球的切與接問題高考定位球作為立體幾何中重要的旋轉體之一，成為考查的重點，基本屬于必考題目．而且球相關的特殊距離，即球面距離是一個備考的重點，要熟練掌握基本的解題技巧．還有球的截面的性質的運用，特別是其它幾何體的內切球與外接球類組合體問題，更應特別加以關注的．題目一般屬于中檔難度，往往單獨成題，或者在解答題中以小問的形式出現．專題解析（1）補形（2）找球心（3）作球心（4）平面化（5）動態切接專項突破類型一、補形例1-1．《九章算術》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，，，，若三棱錐的所有頂點都在球上，則球的半徑為（）A． B． C． D．練．空間四面體中，，，，則該四面體的外接球的表面積為_________練、（廣東省七校聯合體2021屆高三下學期第三次聯考16）．如圖，在四棱錐中，，平面，底面為正方形，且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上，則當時，球的表面積為___________；當四棱錐的體積取得最大值時，二面角的正切值為___________.例1-2.【2019年高考全國Ⅰ卷理數】已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A． B． C． D．練．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．練．（2019?新課標Ⅰ，理12）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點，，則球的體積為A． B． C． D．例1-3、（廣東省梅州市2021屆高三下學期3月總復習質檢T16）．已知球是三棱錐的外接球，，，點是的中點，且，則球的表面積為____________.練．已知三棱錐SABC中，SA平面ABC，且SA＝4，AB＝AC＝2，BAC＝120，則三棱錐SABC的外接球的表面積為_____．例1-4.（廣東省湛江市湛江一中2021屆高三下學期3月模擬T8）．四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面，底面為梯形，，且，則此球的表面積等于（）A． B． C． D．練.【2020年高考全國Ⅰ卷理T10】已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.例1-5．（2021?泉州二模）如圖是一個由6個正方形和8個正三角形圍成的十四面體，其所有頂點都在球的球面上，若十四面體的棱長為1，則球的表面積為A． B． C． D．練.（多選）(2021揚州一檢T12）我們把所有棱長都相等的正棱柱（錐）叫“等長正棱柱（錐）”，而與其所有棱都相切的稱為棱切球，設下列“等長正棱柱（錐）”的棱長都為1，則下列說法中正確的有（）A．正方體的棱切球的半徑為 B．正四面體的棱切球的表面積為C．等長正六棱柱的棱切球的體積為 D．等長正四棱錐的棱切球被棱錐5個面（側面和底面）截得的截面面積之和為例1-6.在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．例1-7．（2021春?鹿城區校級月考）單位正方體內部或邊界上不共面的四個點構成的四面體體積的最大值為A． B． C． D．例1-8．在一次綜合實踐活動中，某手工制作小組利用硬紙板做了一個如圖所示的幾何模型，底面為邊長是4的正方形，半圓面底面．經研究發現，當點在半圓弧上（不含，點）運動時，三棱錐的外接球始終保持不變，則該外接球的表面積為______．類型二、找球心例2-1．三棱錐中，，，的面積為，則此三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．練．在三棱錐中，平面平面，，，，的面積為，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．練．如圖，在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．練．已知邊長為的菱形中，，現沿對角線折起，使得，此時點在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．練．已知點???都在球的球面上，，△是邊長為1的等邊三角形，與平面所成角的正弦值為，若，則球的表面積為（）A． B． C． D．類型三、作出球心例3-1.已知在三棱錐S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2eq\r(2)，二面角B－AC－S的大小為eq\f(2π,3)，則三棱錐S－ABC的外接球的表面積為()A.eq\f(124π,9)B.eq\f(105π,4)C.eq\f(105π,9)D.eq\f(104π,9)練.已知四棱錐的頂點都在球的球面上，底面，，，若球的表面積為，則四棱錐的體積為（）A．4 B． C． D．練.在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．例3-2．已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．練．在邊長為6的菱形中，，將菱形沿對角線折起成直二面角，則所得三棱錐外接球的表面積等于___________.練．已知，分別是邊長為2的等邊邊，的中點，現將沿翻折使得平面平面，則棱錐外接球的表面積為_________．練．已知四面體中和是等邊三角形，二面角為直二面角．若，則四面體外接球的體積為_______．練．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（）A． B．100π C． D．20π練．已知四棱錐的側棱均相等，其各個頂點都在球的球面上，，，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．練．已知四棱錐，平面，，，，，二面角的大小為.若四面體的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．練．已知菱形的邊長為，，若沿對角線將折起，所得的二面角為鈍二面角，且A，，，四點所在球的表面積為，則四面體的體積為________．練．已知三棱錐中，底面，，，則三棱錐外接球的表面積為___________.練．已知三棱錐，平面ABC，，，直線SB和平面ABC所成的角大小為.若三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________.練．如圖，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，是邊長為6的正三角形，二面角的大小為120°，則球的體積為______．練．在三棱錐中，，，，，則該三棱錐外接球的半徑為___________.練．已知四棱錐中，側面底面，，且，則此四棱錐外接球的表面積等于（）A． B． C． D．類型四、平面化例3-1.（2020高考全國新課標Ⅲ卷）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為_________．練、（廣東省東莞市光明中學2021屆高三下學期期初T4）．打印屬于快速成形技術的一種，它是一種以數字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構造物體的技術（即“積層造型法”．過去常在模具制造、工業設計等領域被用于制造模型，現正用于一些產品的直接制造，特別是一些高價值應用（比如髖關節、牙齒或一些飛機零部件等）．已知利用打印技術制作如圖所示的模型，該模型為在圓錐底內挖去一個正方體后的剩余部分（正方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上），圓錐底面直徑為，母線與底面所成角的正切值為．打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量約為（取，精確到A． B． C． D．練.在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．練．如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺外接球的體積為（）A． B． C． D．練．如圖，半球內有一內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，若正方體的邊長為2，則半球的表面積為____________.練．已知圓錐的底面半徑為母線長為則該圓錐內半徑最大的球的表面積與圓錐外接球的表面積之比為（）A． B． C． D．練．如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為_____________.練．在一個棱長為的正方體內部有一個大球和小球，大球與正方體的六個面都相切，小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑動，則小球的表面積最大值是___________.類型五、動態切接例5．球的球面上有四點、、、，其中、、、四點共面，是邊長為的正三角形，平面平面，則棱錐體積的最大值為___________練．在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為_________.練．三棱錐的頂點均在一個半徑為4的球面上，為等邊三角形且其邊長為6，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．練（廣東省河源市2021屆高三下學期3月第一次聯考T16）．三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為2的球面上，已知△ABC是邊長為2的正三角形，PA=PB，則△PAB面積的最大值為________.練（廣東省七校聯合體2021屆高三下學期第三次聯考16）．如圖，在四棱錐中，，平面，底面為正方形，且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上，則當時，球的表面積為___________；當四棱錐的體積取得最大值時，二面角的正切值為___________.練．已知球面上有四個點A，B，C，D，球心為點O，O在CD上，若三棱錐的體積的最大值為，則該球O的體積為________．練．已知三棱錐S-ABC的外接球O的表面積為，SA=2，SA⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，點P在球O的表面上運動，則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）A． B．C． D．練．正方體的棱長為2，的中點分別是P，Q，直線與正方體的外接球O相交于M，N兩點點G是球O上的動點則面積的最大值為（）A． B． C． D．練．已知直四棱柱，其底面是平行四邊形，外接球體積為，若，則其外接球被平面截得圖形面積的最小值為（）A． B． C． D．練．已知