立體幾何中的探索性問題高考定位立體幾何中的探索性問題是高考幾何的一個難點，尤常見于新高考的多選題和解答題中，其題目特點是靈活性較強，需要相對豐富的空間想象能力及計算能力，對所研究幾何體進行深入的剖析與推理。專題解析本專題研究解答題中的探索性問題：點的存在性（1）探索共面（2）探索線線平行與垂直（3）探索線面平行與垂直（4）探索面面平行與垂直（5）探索線面角定值與最值（6）探索面面角定值與最值（7）探索距離面積體積定值專項突破類型一、探索共面例1-1．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，，分別為，的中點.（1）求證：平面.（2）在線段上是否存在一點使得，，，四點共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.練.如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當時，；（2）點在平面內．類型二、探索線線關系例2-1．在濱海文化中心有天津濱海科技館，其建筑有鮮明的后工業風格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）圓臺上底圓周上是否存在一點使得，若存在，求點到直線的距離，若不存在則說明理由.練．如圖，為正三角形，半圓以線段為直徑，是圓弧上的動點（不包括，點）平面平面．（1）是否存在點，使得？若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由；（2），求直線與平面所成角的正弦值．例2-2．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的大小；（3）若線段上總存在一點，使得，求的最大值．練．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面.（1）當為何值時，平面？證明你的結論；（2）若在邊上至少存在一點，使，求的取值范圍.例2-3．如圖所示，在中，斜邊，，將沿直線AC旋轉得到，設二面角的大小為．（1）取AB的中點E，過點E的平面與AC，AD分別交于點F，G，當平面平面BDC時，求FG的長；（2）當時，求二面角的余弦值．（3）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．練．如圖，在四棱錐中，底面是平形四邊形，設∠ABC=θ，平面，點為的中點，且，PA=AD=2．（1）若θ=45°，求二面角P?BC?A的正切值；（2）是否存在使PM⊥BD，若存在求出，若不存在請說明理由．例2-4（恒）．如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,且斜邊AB=22,側棱AA1=3,點為（1）求證：不論λ取何值時,恒有CD⊥B（2）當λ=13時,求平面與平面所成二面角的余弦值.練．如圖,四棱錐的底面是正方形,平面,,AD=2a，點是上的點,且DE=λa(0<λ≤2).（1）求證:對任意的λ∈(0,2],都有AC⊥BE.（2）設二面角的大小為θ,直線與平面所成的角為φ,若,求λ的值.類型三、探索線面關系例3-1．（2018年全國卷Ⅲ文數高考試題）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．練．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（Ⅰ）在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；（Ⅱ）證明：平面PAB⊥平面PBD．練．七面體玩具是一種常見的兒童玩具．在幾何學中，七面體是指由七個面組成的多面體，常見的七面體有六角錐?五角柱?正三角錐柱?Szilassi多面體等．在拓撲學中，共有34種拓撲結構明顯差異的凸七面體，它們可以看作是由一個長方體經過簡單切割而得到的．在如圖所示的七面體中，平面（1）在該七面體中，探究以下兩個結論是否正確．若正確，給出證明；若不正確，請說明理由：①平面；②平面；（2）求該七面體的體積．例3-2．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面底面，，分別為中點，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．類型四、探索面面平行與垂直例4-1.如圖，在三棱柱中，平面，，E，F分別為，的中點．（Ⅰ）在四邊形內是否存在點G，使平面平面？若存在，求出該點的位置；若不存在，請說明理由；（Ⅱ）設D是的中點，求與平面所成角的正弦值．例4-2.如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，為的中點．（1）求證平面；（2）若點為的中點，線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，請確定的位置；若不存在，請說明理由．例4-3（恒垂直）．已知四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，且，平面，、分別是、上的中點，直線與平面所成角的正弦值為，點在上移動.（1）證明：無論點在上如何移動，平面平面；（2）若點為的中點，求二面角的余弦值.類型五、探索線面角例5-1．如圖，四棱錐中，底面為菱形，，，平面，．（1）點E在線段PC上，，點F在線段PD上，，求證：平面；（2）設M是直線AC上一點，求CM的長，使得MP與平面PCD所成角為．例5-2．如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，且，，，且（1）設點M為棱中點，求證平面；（2）線段上是否存在一點N，使得直線與平面所成角的正弦值等？若存在，試求出線段的長度；若不存在，請說明理由．例5-3．直角梯形繞直角邊旋轉一周的旋轉的上底面面積為，下底面面積為，側面積為，且二面角為，，分別在線段，上．（Ⅰ）若，分別為，中點，求與所成角的余弦值；（Ⅱ）若為上的動點、為的中點，求與平面所成最大角的正切值，并求此時二面角的余弦值．練．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面，，，為的中點，點在棱上，且．（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）當直線與平面所成的角最大時，求此時的值．練．請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.①；②；③點在平面的射影在直線上.如圖，平面五邊形中，是邊長為的等邊三角形，，，，將沿翻折成四棱錐，是棱上的動點（端點除外），分別是的中點，且___________.（1）求證：；（2）當與平面所成角最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.練．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內接正三角形，且邊長為在母線上，且．（1）求證：平面平面；（2）設線段上動點為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．練．如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，．（1）證明：；（2）當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時二面角的大小．練．在①平面，②平面平面，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．問題：如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，為中點，為內的動點（含邊界）．（1）求點到平面的距離；（2）若__________，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．類型六、探索面面角例6-1、如圖，在半徑為的半球O中，平行四邊形是圓O的內接四邊形，，點P是半球面上的動點，且四棱錐的體積為．（1）求動點P的軌跡T圍成的面積；（2）是否存在點P使得二面角的大小為？請說明理由．例6-2（恒定角）．如圖1，菱形中，動點，在邊，上(不含端點)，且存在實數使，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖2所示.（1）若，設三棱錐和四棱錐的體積分別為，，求；（2）試討論，當點的位置變化時，二面角是否為定值，若是，求出該二面角的余弦值，若不是，說明理由.練．在四棱錐中，底面為菱形，，平面平面，是邊長為2的正三角形，，分別為，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使得銳二面角的余弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.例6-2．某人設計了一個工作臺，如圖所示，工作臺的下半部分是個正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面邊長為4，高為1，工作臺的上半部分是一個底面半徑為的圓柱體的四分之一．（1）當圓弧E2F2（包括端點）上的點P與B1的最短距離為5時，證明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．當點P在圓弧E2E2（包括端點）上移動時，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范圍．練．如圖，矩形中，，將其沿翻折，使點到達點的位置，且二面角為直二面角.（1）求證：平面平面；（2）設是的中點，二面角的平面角的大小為，當時，求的取值范圍.練；．如圖所示，四棱錐的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD．（1）若平面PAD與平面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積．（2）求證：無論四棱錐的高怎樣變化，平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°例6-3（恒）．已知E,F分別為等腰直角三角形的邊上的中點，∠ACB=900,AC=BC=4，現把ΔAEF沿折起（如圖2），連結AB,AC，得到四棱錐A（1）證明：無論把ΔAEF轉到什么位置，面A1EF⊥面（2）當四棱錐A1?BCEF的體積最大時，求到面A類型七、探索距離面積體積定值例7-1（定距離）．如圖，在棱長為2的正方體中，M是線段AB上的動點．（1）證明：平面；（2）若點M是AB中點，求二面角的余弦值；（3）判斷點M到平面的距離是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．例7-2（定體積）．如圖，是邊長為的正方形，平面平面（1）證明：平面平面；（2）在上是否存在一點，使平面將幾何體分成上