第十三章熱學(xué)

§13-1氣體狀態(tài)方程

【基本內(nèi)容】

熱力學(xué)系統(tǒng)：由大量分子組成的物質(zhì)（氣體、液體、固體）稱為熱力學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)以外

其它物體稱為外界。

熱力學(xué)：以觀察和實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，研究熱現(xiàn)象的宏觀規(guī)律，總結(jié)形成熱力學(xué)三大定律，對(duì)

熱現(xiàn)象的本質(zhì)不作解釋。

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)：從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，按每個(gè)粒子遵循的力學(xué)規(guī)律，用統(tǒng)計(jì)的方法求出系

統(tǒng)的宏觀熱力學(xué)規(guī)律。

3子而理學(xué)：是研究物質(zhì)熱現(xiàn)象和熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科，它應(yīng)用的基本方法是統(tǒng)計(jì)方法。

一、氣體狀態(tài)方程

1、宏觀量與微觀量

宏觀量：表征大量分子集體性質(zhì)的物理量（如P、V、T、C等）。

微觀量：表征個(gè)別分子狀況的物理量（如分子的大小、質(zhì)量、速度等）。

2、熱力學(xué)過程、平衡態(tài)與平衡過程

熱力學(xué)過程：是系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過一系列變化到另一狀態(tài)的經(jīng)歷。

平衡態(tài)：是熱力學(xué)系統(tǒng)在不受外界影響的條件下，宏觀熱力學(xué)性質(zhì)（如P、V、T）不隨

時(shí)間變化的狀態(tài)。它是一種熱動(dòng)平衡，起因于物質(zhì)分子的熱運(yùn)動(dòng)。

平衡過程：熱力學(xué)過程中的每一中間狀態(tài)都是平衡態(tài)的熱力學(xué)過程。

3、理想氣體的狀態(tài)方程

（1）理想氣體的狀態(tài)方程

是理想氣體在任一平衡態(tài)下，各狀態(tài)參量之間的函數(shù)關(guān)系：

PV=——RT=vRT

（2）氣體壓強(qiáng)與溫度的關(guān)系

P=nkT

2323

玻爾茲曼常數(shù)k=R/NA=1.38X10J/K,啊伏加德羅常數(shù)NA=6.028X10/moU

P=nm

分子數(shù)密度n=N/V,P——?dú)怏w質(zhì)量密度，m——?dú)怏w分子質(zhì)量。

二、理想氣體的壓強(qiáng)

1、理想氣體的微觀假設(shè)

關(guān)于分子個(gè)體力學(xué)性質(zhì)的假設(shè)：（a）分子本身的大小比起它們之間的距離可忽略不計(jì)。

（b）除了分子碰撞瞬間外，分子之間的相互作用以忽略。（c）分子之間以及分子與器壁間

的碰撞是完全彈性的。

關(guān)于分子集體之間性質(zhì)的假設(shè)——統(tǒng)計(jì)假設(shè)：（a）分子按位置的分布是均勻的，即分子

沿空間各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的數(shù)目相等。（b）分子按速度方向的分布是均勻的，即分子沿空間各個(gè)

方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)相等。

2、理想氣體的壓強(qiáng)公式

Pn=Inmv2=4ne.

33'

—1—

￡,=—mv

分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：2

3、壓強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)意義

P是統(tǒng)計(jì)平均值，是對(duì)時(shí)間、對(duì)大量分子、對(duì)面積求平均的效果。

三、理想氣體的溫度

1、分子平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系

—3._

￡,=—KT

2

溫度的意義：氣體的溫度是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度；溫度標(biāo)志物質(zhì)內(nèi)部分子無規(guī)則運(yùn)

動(dòng)的劇烈程度。

2、方均根速率4

方均根速率：是氣體分子熱運(yùn)動(dòng)時(shí);速度的平均值。

四、分子間的碰撞

1、平均碰撞頻率

是一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)與其它分色碰撞的平均少數(shù)。

2

Z=6,兀dvn

d：分子有效直徑，v:分子平均速率，n：分子數(shù)密度。

2、平均自由程

是一個(gè)分子在連續(xù)兩次碰撞之間;自由運(yùn)動(dòng)路程的平均值。

j_v__]_KT

~~End2n_y[27td2P

五、能量均分定律

1、自由度

決定物體在空間位置所需要獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，稱為該物體的自由度。

i=t+r

t：平動(dòng)自由度，i：轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

單原子分子t=3、r=0、i=3；剛性雙原子分子t=3、r=2、i=5；剛性多原子分子t=3、

r=3、i=6

2、能量均分定律

Ir

—kT

在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個(gè)自由度的平均動(dòng)能均為2。

—itT

分子的平均動(dòng)能：*-2

3、內(nèi)能及內(nèi)能的改變量

內(nèi)能：是組成系統(tǒng)所有分子的的熱運(yùn)動(dòng)的總動(dòng)能與分子相互作用的總勢(shì)能之和。

理想氣體的內(nèi)能：是組成系統(tǒng)所有分子的的熱運(yùn)動(dòng)的總動(dòng)能之和。

E=—NkT=—vRT=vCT

22"v

理想氣體的內(nèi)能E是溫度的單值函數(shù)：E=E(T)

內(nèi)能的改變量：決定于系統(tǒng)的始未狀態(tài)，與系統(tǒng)經(jīng)歷的過程有關(guān)。

對(duì)理想氣體：“E=vCvdT

【典型例題】

【例137】某容器內(nèi)裝有質(zhì)量為0.1kg,壓強(qiáng)為lOatm、溫度為47°C的氧氣。因容器

漏氣，一段時(shí)間后，壓強(qiáng)減少為原來的5/8,溫度為27°C。求：

(1)(1)容器的體積；

(2)(2)漏出了多少氧氣。

【解】根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程

py=^±RTtn-==8.2xl()-3(加3)

漏氣前狀態(tài)：M0》

py="RT,NM,=^^=6.66x10'(奴)

漏氣后狀態(tài)：〃殖

AM=M?-M2=334(kg)

【例13-2]圖例13-2所示容器內(nèi)，當(dāng)左邊容器

溫度增到5°C,右邊氣體增到30°C時(shí)，中央水銀是否

會(huì)移動(dòng)？如何移動(dòng)？

【解】由理想氣體的狀態(tài)方程

片匕=竺LRT]

對(duì)初始狀態(tài)，左邊氣體：〃

例13-2圖P,V2=絲2R7\

右邊氣體：~〃

水銀處于中央平衡位置時(shí)：

P1=P2,匕=%

由以上各式可求：

也」

M?3

對(duì)未狀態(tài):

PlVl="LR7；

左邊氣體:

P,V2=必RT]

右邊氣體：

平衡時(shí)：尸2=6

由以上各式得：

匕M,TT,T；293278八人。".

-L=―!--xT=——=——x——=0.9847<1

匕M,T,T2273303

故水銀向左邊移動(dòng)少許。

【例13-31有2X10%3的剛性雙原子理想氣體，內(nèi)能為6.75X1O\J。

(1)(1)求該氣體的壓強(qiáng)；

(2)(2)設(shè)分子總數(shù)為5.4X10”個(gè)，求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體的溫度。

【解】(1)由理想的的壓強(qiáng)和溫度的關(guān)系尸=?kT得：

/2E

E=—NkTnP=——=1.35x105(Pa)

2iV

(2)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為：%=3及7/2,故：

5——3F

E=-NkT=>,=—=7.5x10-21(J)

2'5N

13-4]容器內(nèi)有1勿。/的氮?dú)?壓強(qiáng)為1.33Pa,溫度為7°C.求:

(1)(1)加,氮?dú)獾姆肿訑?shù)；

(2)(2)容器中氮?dú)獾拿芏龋?/p>

(3)(3)1/氮?dú)庵校肿拥目偲絼?dòng)動(dòng)能。

【解】視氮?dú)鉃閯傂噪p原子分子：t=3,r=2,i=5

(1)In?氮?dú)獾姆肿訑?shù)

P=—kTnN=^—=3.44x1020

VkT個(gè)

(2)容器中心的密度

M

PV=——RT

p-——=p==1.6x10'5(kg/m3)

(3)InfU氣中，分子的總平動(dòng)動(dòng)能

——3

￡卜=-NkT

k2

N—3

P=—kT=>=—PVu2(J)

V*2

【分類習(xí)題】

[13-1]處于平衡態(tài)的三種理想氣體儲(chǔ)存于一密閉容器中。第一種氣體分子數(shù)密度為

〃1,壓強(qiáng)為6,第二種與第三種理想氣體分子數(shù)密度分別為2勺和3勺，求混合氣體的壓強(qiáng)。

[13-2]在容積為V的容器內(nèi)，盛有質(zhì)量為“I和知2的兩種單原子分子理想氣體。如

混合氣體處于平衡態(tài)時(shí)它們各自的內(nèi)能均為E,則混合氣體的壓強(qiáng)為；兩種分

匕=

子的平均速率之比%。

[13-3]分子平均動(dòng)能了=汝7/2的適用條件是。室溫下，1〃?。/雙原

子理想氣體分子的壓強(qiáng)為尸，體積為丫，求此氣體分子的平均動(dòng)能為。

[13-4]1機(jī)。/氧氣儲(chǔ)存于溫度為27"C的氧氣瓶中，求這瓶氧氣的內(nèi)能、分子的平均

平動(dòng)動(dòng)能及分子的平均動(dòng)能各為多少？

[13-5]對(duì)于氧氣、氫氣和氨氣，當(dāng)它們的溫度升高1K時(shí)，其內(nèi)能增量分別為

多少？

[13-6]容積為10升的容器內(nèi)，充滿50g、18"。的氫氣，當(dāng)它以200〃〃s勻速運(yùn)動(dòng)

時(shí)忽然停止，全部定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為氣體分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，容器與外界無熱交換，則達(dá)

到平衡后，氫氣的溫度增加了K；壓強(qiáng)增加了Pa；分子的平均平動(dòng)

動(dòng)能增加了Jo

2

提示：mv/2=5kATII0

[13-71理想氣體經(jīng)等壓過程由體積%膨脹到2%,求下列物理量末狀態(tài)與初狀態(tài)之

比：平均自由程4，平均速率均，平均動(dòng)能

(13-81標(biāo)準(zhǔn)狀況下，氮?dú)獾钠骄鲎差l率和平均自由程分別為542x1()8“Z和

6x10-6c%。若溫度不變，氣壓降為0.1G"?,則其平均碰撞頻率和平均自由程各為多少？

［13-9］關(guān)于溫度意義的說法，下列哪些是正確的？

(1)氣體溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度

(2)氣體溫度是大量氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，具有統(tǒng)計(jì)意義

(3)溫度的高低，反映氣體分子運(yùn)動(dòng)的劇烈程度.

(4)從微觀上說，氣體溫度表示每個(gè)分子的冷熱程度。

［13-10］理想氣體微觀模型的內(nèi)容有：

(1),(2),(3)o

§13-2,麥克斯韋一一玻耳茲曼分布定律

【基本內(nèi)容】

對(duì)大量分子組成的氣體，個(gè)別分子速度，動(dòng)能，自由運(yùn)動(dòng)的路程是隨機(jī)量，在平衡態(tài)下,

其分布遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

一、麥克斯韋速率分布律

研究在平衡態(tài)下，理想氣體分子按速率分布的規(guī)律。

1、麥克斯韋速率分布函數(shù)

dN?

/(V)=

Ndv

m)

/(v)=4兀(3/2e-MV-/2kT

由統(tǒng)計(jì)規(guī)律可求：2kT

f(v)表示速率在v附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。

2、麥克斯韋速率分布律曲線

如圖13.1所示，特征：v=0時(shí)，f(v)=0；v

f(v)f8時(shí)，f(v)f0

f(v)dv=

小矩形面積的意義：N表示在

速率區(qū)間V-v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分

比。

vv+dv整個(gè)曲線下面積的意義(歸一化條件)：表示

圖13.1速率在0―8區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分

比為lo

Jf(v)dv=1

3、最可幾速率(最根然速率)

麥克斯韋速率分布函數(shù)/")為極大值處所對(duì)應(yīng)的速率值Vp。表示：在相同速率區(qū)間內(nèi),

Vp所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。

2RT

4

4、麥克斯韋速率分布函數(shù)求平均值

若微觀量Q=Q(V),則其統(tǒng)計(jì)平均值為

。［f(v)Q(v)dv

若在區(qū)間V|fV2內(nèi)求Q(v)的統(tǒng)計(jì)平均值，貝IJ；

JQ(v)f(v)dv

Q(I，)=

1/(v)rfv

5、氣體分子的特征速率

，_2kT-2RT

最可幾速率——討論氣體分子速率分布：V'.N~V〃

/8RT

平均速率——討論氣體分子平均自由程：V7""-N/I加ZL"

V即

/=T_l3kTI3RT

方均根速率——討論氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能：vr巾-7〃

2

Vv>V>vp

二、玻耳茲曼分布定律

1、狀態(tài)空間

當(dāng)以速度和位置來確定分子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，由X、y、z及Vx、匕、Vz為相互垂直的坐標(biāo)

構(gòu)成一坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系所代表的空間叫狀態(tài)空間。

2、分子按能量的分布定律——玻耳茲曼分布定律

在溫度為T的平衡態(tài)下，在狀態(tài)空間dvxdvydvdxdydz內(nèi)的分子數(shù)為：

(IN

氏、EP：表示分子的動(dòng)能和勢(shì)能。no：E?=0處的分子數(shù)密度。

3、分子按勢(shì)能的分布定律

在溫度為T的平衡態(tài)下，分子數(shù)密度為為：

n=n?e-^，kT

推論：重力場(chǎng)中，分子按高度的分布定律

-mgh/kT-ugh/RT

n=noe—nQe

nn-〃加/RT

恒溫氣壓公式：P=Pi

【典型例題】

【例13-5】計(jì)算溫度為7℃,空氣分子在速率400->440/W5-1區(qū)間內(nèi)的百分?jǐn)?shù)為

多少？

【解】設(shè)空氣為理想氣體，在溫度T=280K的平衡狀態(tài)下速率分布函數(shù)為：

"")=擊嗡產(chǎn)"f

則在40。—440m速率區(qū)間的空氣分子的百分?jǐn)?shù)為：

2

△Nr/\*4/7〃x3/2-inv/2kT2*

——=f(v)-=—；=(----------)e-v-Av

N412kT

代入數(shù)值計(jì)算有兩種處理方法：

【法一】已知：7'=280/C,V=400W5-1,AV=40WJ-1

m_fj

K~R

以空氣的摩爾質(zhì)量〃=29xl0Mg."2oL,R=8.3"-ma”、6,則

m〃=3.49xlO-5KZg?/

KR

將以上數(shù)值直接代入公式便可求出結(jié)果，然而數(shù)值多、方法煩。

【法二】先求出最可幾速率

等=400〃3T

則原來的速率區(qū)間400->440m-s-'可改寫為匕，-VP+0JV/>

^^,Av=0.1v=0.12kT

V=V

而Pmm

這樣

△N

/(v)-Av=-nn^2tT.v2.Av=0_4e-1

NJ萬

將67=L77,e=2.718代入上式，得：

—=8.3%

N

比較兩種方法，后者較為方便，有人問：如果速率不是400f440ms”區(qū)間，而是

280—320mri,怎么辦?實(shí)際上只需寫成S7%一0-8勺即可，其中八丫=0.1勺代入

計(jì)算，同樣仍可求得結(jié)果。

計(jì)算這類問題，目的是讓讀者了解分子運(yùn)動(dòng)速率的分布情況及計(jì)算方法。另外，本題并

未告知分布函數(shù)，通常將氣體視作理想氣體，其分布也將服從麥克斯韋速率分布。

【分類習(xí)題】

[13-11]已知?dú)怏w分子總數(shù)N,用速率分布函數(shù)/G)表示：速率在h―七區(qū)間內(nèi)

分子的平均速率為；速率大于%的分子幾率為；設(shè)分子質(zhì)量

[—mv2Nf(v)dv

為加，則上2尸的意義是。

[13-12]圖13-12分別表示相同溫度下，氮?dú)夂脱鯕獍此俾实姆植记€，其中曲線I表

示.分子的速率分布曲線；陰影部分面積的意義是；分布曲線

下面的面積的意義是

[13-13]圖13-13分別

f(v)表示相同溫度下氫氣和氮?dú)?/p>

的麥克斯韋速率分布曲線。

由圖求出氨氣和氫氣分子的

最可幾速率分別為多少？

00v(in/s)

1000

圖13-12圖13-13

§13-3熱力學(xué)第一定律

【基本內(nèi)容】

一、熱力學(xué)系統(tǒng)與熱力學(xué)過程

熱力學(xué)系統(tǒng)分類：

孤立系統(tǒng)：與外界沒有任何相互作用的系統(tǒng)。

J封閉系統(tǒng)：與外界沒有物質(zhì)交換，但有能量交換的系統(tǒng)。

1開放系統(tǒng)：與外界即有物質(zhì)交換又有能量交換的系統(tǒng)。

準(zhǔn)L靜態(tài)過程（平衡過程）：在熱力學(xué)過程中的所有中間狀態(tài)都無限接近于平衡態(tài)

的過程。實(shí)際過程中，進(jìn)行得無限緩慢的過程，可視為準(zhǔn)靜態(tài)過程；反之，若過程進(jìn)行較快,

則視為非準(zhǔn)靜態(tài)過程。

二、熱量、內(nèi)能、功

1、熱能和熱量

‘熱能:是系統(tǒng)內(nèi)分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的總動(dòng)能，是狀態(tài)量。

熱量Q：是熱能的改變量，是過程量。

規(guī)定：Q>0表示系統(tǒng)從外界吸收熱量。Q<0表示系統(tǒng)向外界放出熱量.

3、功

W=，PdV

W=「'PdV=

功是過程量，在P—v圖下的意義：MP-V圖中，相應(yīng)過程曲線下的面

積。

4、系統(tǒng)狀態(tài)變化的原因

作功：是通過物體的宏觀位移完成的，宏觀有序能量一微觀無序能量。

傳熱：是通過分子之間的相互完成的，微觀無序能量一微觀無序能量。

三、熱力學(xué)第一定律

表述一、系統(tǒng)從外吸收的熱量等于系統(tǒng)內(nèi)能的增量與系統(tǒng)對(duì)外作功之和。

Q=E2-E,+W

dQ=dE+dW

表述二、第一類永動(dòng)機(jī)是不可能制成的。

第一類永動(dòng)機(jī)是不消耗任何形式的能量（Q=0）,而能循環(huán)地（AE=O）對(duì)外作功（W>0）

的機(jī)器。

四、熱容量

1,熱容量

熱容量C的定義：?個(gè)系統(tǒng)所吸收的熱量與溫升的比值，稱為該系統(tǒng)的熱容量。

c/dQ

~dT單位：J/K

（1）比熱：若系統(tǒng)的質(zhì)量為單位質(zhì)量，則稱系統(tǒng)的熱量為比熱容，簡(jiǎn)稱比熱。

MdT

單位：J/Kg.K,顯然：C'=Me

（2）摩爾熱容量：若系統(tǒng)的質(zhì)量為一摩爾，則稱系統(tǒng)的熱量為摩爾熱容量。

1dQ

C=

vdT

單位：J/mol.K,顯然：C'=vC

2、理想氣體的定容、定壓摩爾熱容

(1)定容摩爾熱容量

1(dQ)i

Cr=--------vcV=—K

定義：vvdT,對(duì)理想氣體：2

(2)定壓摩爾熱量

c.1("2),

定義：P_ydT，對(duì)理想氣體：c。=Cv+R

Co2+i

y=---=----

(3)比熱比：i

3、幾個(gè)重要公式：

dE-vCvdT

(d。)丫=vCvdT

(d。)p=vCpdT

五、理想氣體在各種過程中

所作的功

1、1、熱力學(xué)第一定律在理想

氣體等值過程中的應(yīng)用

(b)(1)等容過程

如圖13.2(a),P—V圖:平

圖13.2行于P軸的直線：

W=O.AE=vCv^T,(Q)P=AE

(2)等壓過程

如圖13.2(b),P-V圖：平行于V軸的直線。

W=R(T2-T,),E=VCV(T2-Tl),(2)v=vCP(T,-T.)

(3)等溫過程

如圖13.2(c),P—V圖：雙曲線。

W=vRTIn",AE=0,2=W

02

2、絕熱過程

絕熱過程：是系統(tǒng)與外界無熱能交換的過程。

(1)準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程

過程方程：P1=C/F=Q,PF=C3

P—V圖：形狀與等溫線相似。但比等溫線陡。

(2)絕熱自由膨脹過程

絕熱自由膨脹過程是非準(zhǔn)靜態(tài)過程。

結(jié)論：理想氣體向真空絕熱自由膨脹后，溫度和內(nèi)能不變，壓強(qiáng)降低。

六、循環(huán)過程

1、循環(huán)過程

(1)循環(huán)

一個(gè)系統(tǒng)經(jīng)歷一系列變化后，又回到初始狀態(tài)的整個(gè)過程，叫循環(huán)過程。一個(gè)循環(huán)由多

個(gè)過程組成，組成循的各個(gè)過程叫分過程。循環(huán)的物質(zhì)系統(tǒng)叫工作物質(zhì)，簡(jiǎn)稱工質(zhì)。

(2)循環(huán)的特點(diǎn)

工質(zhì)可以作功、傳熱、完成一個(gè)循環(huán)后內(nèi)能不變。

2、2、正循環(huán)及其效率

(1)正循環(huán)：在P—V圖中，沿順時(shí)針方向進(jìn)行的循環(huán)，系統(tǒng)對(duì)外作正功。

(2)正循環(huán)的效率

W：表示循環(huán)過程中，系統(tǒng)對(duì)外所作的凈功；Q.：表示循環(huán)過程中，系統(tǒng)所吸收的熱量;

Q=：表示循環(huán)過程中，系統(tǒng)所放出的熱量。

3、3、逆循環(huán)及其致冷系數(shù)

(1)逆循環(huán)：在P—V圖中，循過程沿逆時(shí)針方向進(jìn)行，系統(tǒng)對(duì)外作負(fù)功。

(2)致冷系數(shù)：

4、4、卡諾循環(huán)

(1)卡諾循環(huán)的組成

卡諾循環(huán)是由兩個(gè)絕熱過程和兩個(gè)等溫過程組成的循環(huán)。卡諾循環(huán)中，工質(zhì)從高溫?zé)嵩?/p>

吸收熱量Q”對(duì)外作凈功肌向低溫?zé)嵩捶懦鰺崃縌”

(2)卡諾循環(huán)的效率

結(jié)論：以理想氣體為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán)的金率，只由熱庫的溫度決定。

【典型例題】

熱力學(xué)第一定律的應(yīng)用，關(guān)鍵是內(nèi)能、功和熱量的計(jì)算。計(jì)算步驟為：(1)由準(zhǔn)靜態(tài)過

程中功的公式"卬=PdV求功，(2)由內(nèi)能公式〃=vCvdT求內(nèi)能，其由系統(tǒng)始末狀

態(tài)的溫度決定，(3)由熱力學(xué)第一定律°=E2-EI+W求熱量。

對(duì)等溫、等壓過程，內(nèi)能和熱量的計(jì)算可直接應(yīng)用公式：

("Q'=vCvdT,{dQ)p=vCPdT

氣體作功的三種計(jì)算方法：

(1)氣體壓力作功的公式

dW=PdV,W=PPdV

是計(jì)算氣體壓力作功的一般方法。由于氣體作的功是‘與具體過程有關(guān)即功是過程量，因此用

此式求功W時(shí)，必須先由給定的具體過程的過程方程尸十求出，再積分求出W。

(2)熱力學(xué)第一定律0=4￡+肌若已知Q和AE,則可由求出功W。

(3)由于P——V圖中的任一點(diǎn)表示一個(gè)平衡態(tài)，P——V圖中的任一條曲線表示一個(gè)準(zhǔn)靜

態(tài)過程，因此功W有時(shí)也可由P——V圖上過程曲線下的面積而得到(過程曲線為直線時(shí)常

用此法。)

【例13-6】若一定量的理想氣體，按"=/下的規(guī)律變化，a為常數(shù)，求：

(1)(1)氣體從體積%膨脹到V?所作的功；

(2)(2)體積為％時(shí)的溫「與體積為1時(shí)的溫度Tz之比。

T-PM

(2)由'=vRT得T2P2V2

由廣力F得K=(K)

11_=匕.

所以，T2匕

[15013-7]一定量的理想氣體經(jīng)歷acb過

程時(shí)吸熱20OJ,如圖13-7。求經(jīng)歷acbda

過程時(shí)，吸熱為多少？

【解】Q:=卬“”血=w.+w“4

35

WMa=-(4-l)x10'x4x10=-1200(J)

Qmb=E?-Ea+Wacb

例13-7圖而

EL%=^vR(Tb-T?)=^-(PbVb-PaVJ=0

W

所以，ueb=Q1Kb=200(J)

Qacbda—acbda叩bda+皿acb

=-1200(J)+200(J)=-1000(J)

【例13-8]一定質(zhì)量的理想氣體，開始時(shí)處于尸。=12x10'網(wǎng),

%=8.31x10"?\T0=300K的初態(tài)，經(jīng)過一等容過程后，溫度升為%=450K,再

經(jīng)過一等溫過程，壓強(qiáng)減少為？=尸。的未態(tài)。已知該理想氣體的比熱比，=5/3。求:

(1)(1)該理想氣體的定容與定壓摩爾熱容量;

(2)(2)氣體從初始狀態(tài)至未狀態(tài)過程中所

吸收的熱量。

【解法一】⑴由？=5/3,J=g+R得:

(2)P—V圖如圖所示

B等容過程

\48x103(J)

由理想氣體狀態(tài)方程

PUVO例13-8圖)=4(mol)

BC等溫過程

\EBC=0

fvrvRTVP

QBC=WSC==^r,ln^=RTx\n-^-

而，pcP。T。,所以

4

QABC=QAB+QBC=^Cv(T,-T0)+vRTt\n=1.35x10(J)

【解法二】：QaBC=XEKBC+WABC

而：ABC=E。-E人=vCv(T,-To)=7.48X103(J)

4，'］，

(3

"ABCi；PdV=vRT,Inyi-=6.06x10(J)

所以，=1.35x104(J)

【例13-9】比熱比為Y=1.40的理想氣體進(jìn)行如圖例

13-9所示的循環(huán)。TA=300K,求：

⑴B、C態(tài)的溫度;

(2)每一過程中氣體所吸的熱量。

例13-9圖

【解】(l)C-A等容過程

T=27\=15K

cpA

B-C等壓過程

V

TB=，-Tc=225K

(2)由PV…T得：

pv

v=--——=0.321mol

RTA

c

y=——=1.40,Cr=Cv+R=>

°y

57

C=_R,Cp=-R

v2P2

B-C等壓過程

QBC=/Cp(Tc—)=一140°(J)

C-A等容過程

QCA=/CV(TA-晨)=1500(J)

AfB過程

對(duì)整個(gè)循環(huán)過程A-B-C-A

QABCA=AE+W

△E=0

W=y(P?-PC)(VB-Vc)=>QMCA=600(J)

QABCA=QAB+QBC+QCA=

所以：。那=QABCA-QBC-QCA=500(J)

【例13-101一定質(zhì)量的氧氣，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的體積為1.0XI0%3,求下列各過程中

氣體所吸收的熱量。

(1)(1)等溫膨脹到體積為2.0Xl(y2m3的狀態(tài)，如圖

例13T0所示的AfC過程。

(2)(2)先等容冷卻，再等壓膨脹至(1)中的狀態(tài),

如圖例13-10所示的Af8fC過程。

【解】(1)在A-C等溫過程中

E,=0

由熱力學(xué)第一定律：Q=EC-EA+W

Q=W=PdV=廣與L/V

vVc

=vRTIn」-=P.V,In7.02x102(J)

匕匕

(2)在A-B等容、B-C等壓過程中

7八=鹿nbE詆=0

由熱力學(xué)第一定律得：0枷=卬八席=-%)

V

P.V.=P,V.nP)==0.5(atm)

對(duì)A-C等溫過程：*V2

所以，。八8=5.07xlO2(J)

【例1371］如圖例13T1所示，容器下半部分內(nèi)有4Xl(y3kg的氫氣與標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的

大氣平衡。不計(jì)活塞質(zhì)量。若把2X104J能量緩慢地傳給氫氣，求氫氣最終的壓強(qiáng)、體積和

溫度各為多少？

【分析】氫氣吸收熱量至終態(tài)經(jīng)歷下列兩個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程：(1)由狀態(tài)A(PpVP「)

等壓膨脹至狀態(tài)B(P2,V2,T2)；(2):態(tài)B(P2,V2,T2)等容升溫狀態(tài)C(P3,V3,

T3),如圖例13-11圖解所示。

【解】求狀態(tài)A的狀態(tài)參量P”V,,T,

大氣

5

P,=Po=1.013x10Pa

P

?CTt=273K

M0,

v=--=2mol

PV=vRT=>V.=2^L_=4.48x103

0-P,

(1)(1)A-B等壓過程

p,=^=1.013x105Pa

例13T1圖例13-11圖解

V2=2V}=8.96x10-m3

V

T2=上T]=546K

匕

QAB=AE沖+WAB

△EAB=*RT,卬襁=P,(V2-V,)=V7?(T2-T,)

QAB="AS+匕B

AEAB=；vRT,=q(匕_匕)=水(乙-TJ

4

QAB=(1/?+/?MT2-r,)=1.59xlO(J)

(2)(2)B-C等容過程

-23

V3=V2=8.96X10/n

4

QRC=AEBC=-T?),QBC—2xl0-QAB=>

5

7,=g&-+T2=645(K),P?=五尸？=I.02x10Pa

-vRA

2

【例13-12]Imol單原子分子理想氣體循環(huán)過程的P-V圖如圖例13-12所示,Tc=600K,

求：

(1)(1)系統(tǒng)在各分過程中所吸收的熱量;

(2)(2)系統(tǒng)經(jīng)一循環(huán)所作的凈功；

(3)(3)循環(huán)的效率。

【解】單原子分子理想氣體，i=3。

(1)(I)a-b等壓過程

Qab=yCP(Tb-Ta)

b-c等容過程

Q-vCm-TC

c-a等溫過程

?vV

Q.a=1/PdV=M」n十

V

T=T=600K,7\=~Ta=300K

而：aCV"故,

Q.,h=-6232.5J

2A.=3739.5J

Q..a=3436J

(2)w=+。"+Qca=963J

W963

r/=-----=13.4%