鄭州市2024-2025學年上期期末考試高二數學試題（附答案）注意事項:本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.考試時間120分鐘，滿分150分.考生應首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.交卷時只交答題卡.第I卷(選擇題，共60分)一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由直線方程求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關系可求得答案.【詳解】直線化為所以直線的斜率為，設直線傾斜角為，則,因為所以，故選：B.2.拋物線的準線方程為（）A.x=-1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先寫成拋物線的標準方程，再求準線方程.【詳解】拋物線的標準方程為，開口向上，準線方程為.故選：D.3.已知正項等比數列的前項和為254，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據等比數列基本量的計算可得首項和公比，即可由求和公式求解.【詳解】由于為正項數列，故，公比，由可得，由則，故公比為，因此，故，解得，故選：C4.已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據漸近線方程求出，從而根據求出離心率.【詳解】化為，則，因為雙曲線的漸近線方程為，故，故雙曲線的離心率為.故選：D.5.在三棱錐中，點分別是的中點，點為線段上靠近的三等分點，若記，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據題意作圖，利用空間向量的線性運算，可得答案.【詳解】根據題意，作圖，.故選：C6.數列滿足，其前項的積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求數列的周期，再求乘積.【詳解】，，，，所以數列的周期為4，且，所以.故選：A7.已知是直線上一動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形周長的最小值為（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】利用圓心到直線的距離轉化求四邊形周長的最小值.【詳解】圓，即，由對稱性可知，四邊形的周長為，而，的最小值為點到直線的距離為，所以的最小值為，則四邊形的周長的最小值為.故選：B8.在邊長為2的正方體中，分別為的中點，分別為線段上的動點(不包括端點)滿足，則線段的長度最小值為（）A.2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用坐標法表示垂直關系，再代入距離公式，即可求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，，，設，，，，因為，所以，即，所以，當時，線段的最小值為.故選：A二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知空間向量，則下列結論正確的是（）A.與共面B.C.在上的投影向量為D.與夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】我們可以利用平面向量的基本定理判斷選項A；然后利用向量的坐標運算計算其他選項即可.【詳解】假設與共面，則有解，即有解，解得，故選項A正確；，所以，故選項B錯誤；在上的投影向量為，故選項C錯誤；，故選項D正確；故選：AD10.已知是公差為的等差數列的前項和，且，下列說法正確的是（）A. B.數列的最小項為C. D.能使時的最大值為15【答案】BC【解析】【分析】根據給定條件，可得，再結合單調性及前項和公式逐項判斷.【詳解】在等差數列中，由，得，對于A，，A錯誤；對于B，數列是遞增數列，前8項均為負，從第9項起為正，則數列的最小項為，B正確；對于C，由，得，因此，C正確；對于D，由，得，D錯誤.故選：BC11.橢圓的兩個焦點分別為，則下列說法正確的是（）A.若，過點的直線與橢圓交于兩點，則的周長為16B.若直線與恒有公共點，則的取值范圍為C.若上存在點，使得，則的取值范圍為D.若為上一點，為左焦點，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據橢圓的定義，即可判斷A，根據橢圓方程的形式，以及直線所過定義，即可判斷B，將存在點使，轉化為以為直徑的圓與橢圓有交點，再討論焦點的位置，即可列式求解，利用橢圓的定義，結合數形結合，轉化為三點共線，即可判斷D.【詳解】A.若，則，，則的周長為，故A正確；B.直線恒過定點，若直線與恒有公共點，則且，故B錯誤；C.若上存在點，使得，則，若橢圓的焦點在軸，則，，解得，若橢圓的焦點在軸，則，，解得：，綜上可知，取值范圍為，故C正確；D.，橢圓方程為，，，，設橢圓的右焦點為，則，如圖，當三點共線，且，等號成立，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知，且，則_____.【答案】5【解析】【分析】由可得數量積為零，從而可求出的值.【詳解】因為，且，所以，解得，故答案為：.13.一條光線從點射出，與軸相交于點，經軸反射，求反射光線所在的直線方程_____.【答案】【解析】【分析】根據入射光線與反射光線所在直線的斜率關系，即可求反射光線所在直線的斜率，再代入點斜式直線方程，即可求解.【詳解】由條可知入射光線和反射光線所在直線的斜率互為相反數，入射光線的斜率，所以反射光線所在直線的斜率為，且過點，所以反射光線所在的直線方程為，即.故答案為：14.意大利數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數:1，，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，即，.后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”.記Sn為“斐波那契數列”的前項和，若，則_____.(結果用表示)【答案】【解析】【分析】由題意得當時，，據此可證得，再結合已知條件可求得結果.【詳解】由題意知，所以，則，，，，即①，由題意得當時，，則，所以，所以，所以，所以②，所以由①②可得.故答案為：【點睛】方法點睛：與新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.四、解答題:本題共5小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓心為的圓經過兩點，且圓心在直線:上.（1）求圓的標準方程;（2）過點的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用待定系數法求圓的方程；（2）利用弦長公式求圓心到直線的距離，再討論直線的斜率，代入點到直線的距離公式，即可求解.【小問1詳解】設圓的標準方程為，故圓心的坐標為，因為圓心在直線上，所以因為是圓上兩點，所以，根據兩點間的距離公式，有，即，由①②可得，故圓的方程為，【小問2詳解】由(1)知，圓心為，半徑為，設圓心到直線的距離為,則,若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為3，符合題意;若直線的斜率存在，設直線的方程為,即,由題意可得，解得，此時，直線的方程為,即.綜上所述，直線的方程為或.16.已知拋物線上的點與拋物線焦點的距離為3，點到軸的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）若點在第一象限，則經過拋物線焦點和點的直線交拋物線于點，經過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，求證：直線BD平行于拋物線的對稱軸.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據點與拋物線焦點的距離為3、點到軸的距離為列出方程組可得答案；（2）聯立直線的方程、拋物線的準線方程可得點的縱坐標，再由直線的方程和拋物線聯立，可得點的縱坐標，再由點和點的縱坐標相等可得答案.【小問1詳解】拋物線的準線方程為：，由題意可得，整理可得，所以拋物線為：；【小問2詳解】由題意可知，則直線的方程為：①，拋物線的準線方程是②，聯立①②可得點的縱坐標為：，因為焦點的坐標為2,0，故直線的方程為③把③式和拋物線聯立，即，消去得，又因為點縱坐標為，故可得點的縱坐標為，點和點的縱坐標相等，于是可得DB平行于軸.17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，側棱底面，點在線段上運動.（1）證明:平面；（2）若平面與平面的夾角為，試確定點的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）點為線段的中點.【解析】【分析】（1）根據題意可得，，由線面垂直判定定理證明；（2）設，設點的坐標為，利用空間向量法中兩平面的夾角公式可得的值.【小問1詳解】底面底面，，在中，，即，又平面，所以平面；【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，依題意得：，，由（1）可知，平面，所以平面的一個法向量，由題意可設，設點的坐標為，則，即，可得點的坐標為，所以，設n1=x1,即，取，則，所以是平面的一個法向量，因為平面與平面的夾角為，所以，解得，所以點為線段的中點.18.已知數列的前項和為且.（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列.（i）記，求數列的通項公式;（ii）求數列的前項和.【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）根據和與項的關系結合等比數列的通項公式即可求解；（2）（i）根據題意可得，從而可求；（ii）利用錯位相減法即可求解.【小問1詳解】當時，，當時，，即.又所以數列是1為首項，2為公比的等比數列，所以；【小問2詳解】（i）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，則為新數列的第1項，為新數列的第項，即，即；（ii）①，②，①一②得，，，，所以.19.在平面直角坐標系中，對于任意一點，總存在一個點，滿足關系式，則稱為平面直角坐標系中的伸縮變換.（1）在同一直角坐標系中，求平面直角坐標系中的伸縮變換，使得圓變換為橢圓；（2）已知曲線經過平面直角坐標系中的伸縮變換得到的曲線是，且與軸有兩個交點(在的左側)，過點且斜率為的直線與在軸右側有兩個交點.（i）求的取值范圍；（ii）若直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）代入伸縮變換公式，利用待定系數法，即可求解；（2）首先利用伸縮變換公式求曲線的方程，（ⅰ）聯立直線與曲線的方程，利用判別式和韋達定理，求得到取值范圍；（ⅱ）利用韋達定理表示和，即可求解.【小問1詳解】將伸縮變換代入，得到