還有一些物理量，譬如晶體中的介電常數，在各向異性晶體中一般要用九個分量才能表達清楚，這九個分量的數值也隨坐標系統不同而有變化，這種量稱為二階張量?，F在我們來具體看看為什么要九個分量才能完整地表達。在各向同性的電介質中電位移矢量與宏觀場強之間有下列物理學關系聯系起來：（1.2）把規(guī)定坐標系統矢量方程展開得到三個方程： D1=0E1D2=0E2D3=0E3或寫為Di=0Ei(i=1,2,3)(1.3)電位移矢量的某一分量Di只和電場強度相同的坐標分量Ei成正比，其中三個方程的比例常數都為0，坐標系統盡管可以不同，E、D的分量也隨之變化，但三方程的比例常數是不變的，所以0和在各向同性介質中均為標量，只要一個數值就可表達而且與所選坐標系統無關，從（1.3）式也可看出D和E方向始終一致。但是，在各向異性晶體中D和E方向并不一致，實驗上發(fā)現，D的某一分量Di和E的所有三個分量都有關系，可寫成如下關系： D1=0(11E1+12E2+13E3) D2=0(21E1+22E2+23E3) D3=0(31E1+32E2+33E3)或可寫為： (i=1,2,3)(1.4)其中ij分別表示Di分量與Ej分量之間的比例關系數?？梢姡暾乇硎揪w的介電常數要用九個分量ij，這九個分量也隨著坐標變換而變化。這就是二階張量的特征。從張量分析的角度看，矢量實際上是一階張量，和矢量對比來理解張量并沒有特別的地方，只是這種物理量是用更多一些分量來表示的量，張量的嚴格定義將在§１．５中介紹。§１．２坐標變換和變換矩陣無論是矢量、二階張量或是更高階的張量，它們的分量都隨著坐標變換而變化。正如圖１．2中所示同一個矢量，當選取后一坐標系統（X1，，X2，，X3，）時，A矢量中有二個分量為零。那么對于張量來說，是否也可以找到一個最合理的坐標系統，使張量分量簡化呢？雖然要找一個簡化張量表示的坐標不那么一目了然，但也是可以找到的，因此有必要介紹一下從一個坐標系轉換到另一坐標系的數學表示方法以及這種坐標變換引起的矢量分量和二階張量分量隨之如何變化的規(guī)律性。在研究晶體時，所經常使用的坐標變換，有這樣二個特點，一是變換到新坐標軸時，坐標軸代表的尺度不能變化，二是新坐標系各軸之間夾角仍要保持直角。這種變換是最簡單的，數學上稱為正交變換。新、老坐標系的坐標軸相對位置一經確定，那么新坐標中X1’與老坐標中X1、X2、X3軸分別的夾角11、12、13X1XX1X2111213X1’X3圖１．３新老坐標軸之間的夾角關系．圖中只畫出了X1我們令三個角度的余弦值分別為a11=cos11，a12=cos12，a13=cos13，此處，X2’以及X3’分別與三個老坐標軸的6個夾角也是確定的，同樣辦法可以得到另外6個量a21、a22、a23、a31、a32、a33，它們都是新老軸之間夾角的余弦，即aij=cos[Xi,Xj]，如果新老坐標系之間，給出了上述九個余弦量，那么兩個坐標系統之間的關系也就唯一地確定下來了．為了便于記憶和運算，我們可以把九個aij三個為一組分成三組，每組排成一行，寫成如下三行、三列的一個方陣X1X2X3(老坐標軸)X1’a11（新坐標軸）X2’a21X3’a31這個方陣稱為變換矩陣，矩陣元素一般是aijaji的。如果給出這個變換矩陣，那么我們可以證明，任何矢量和張量的分量，在這個坐標變換下相應的變化便可唯一地確定．設有矢量P在老坐標系的三個分量分別為P1,P2,P3,P在新坐標系中的三分量為P1’,P2’,PX2XX2X1X3X1’P1P2PP1’P3圖１．４矢量P在新老坐標系中分量的關系圖中新坐標只畫出了X1’軸和分量P1’，顯然可看到，P1’應是P1,P2,P3 P1’=a11P1+a12P2+a13P3同理有： P2’=a21P1+a22P2+a23P3 P3’=a31P1+a32P2+a33P3或寫為： (1.7)如果，反過來老坐標中分量用新坐標表示，顯然有：P1=a11P1’+a21P2’+a31PP2=a12P1’+a22P2’+a32P3P3=a13P1’+a23P2’+a33P或寫為： (1.9)§１．３正交變換矩陣的性質上節(jié)所述的正交變換，因為有二項限制，坐標軸長短單位不能有伸縮，變換前后坐標都保持為直角坐標系。所以（１．５）的矩陣中有幾個元素并不是完全獨立無關的．現在我們來證明這種正交變換矩陣的二個重要特性．一．變換矩陣元素的正交性新坐標軸OX1’,OX2’,OX a112+a122+a132=1 a212+a222+a232=1(1.10) a312+a322+a332=1上面三式可以寫為： (1.11)我們引入一個新符號ij具有下列性質： (1.12)ij稱克龍尼克函數，把ij排列成矩陣則有如下形式： (1.13)稱為單位矩陣，引入ij后，(1.10),(1.12)六個關系式可以合并寫成如下形式： (1.14)(aij)矩陣元素之間的上述關系就稱為正交關系，共有六個方程，所以九個分量中其實只有三個獨立元素．二．矩陣行列式aij的數值總是等于１數學上可以證明，正交變換的矩陣的行列式的值=１．在數學課中知道一個三行三列的行列式的值有如下定義： (1.15)利用aij的正交條件可以證明aij=＋１或－１．我們這里只指出aij值的重要性，如果值為＋１，表示坐標系的左右手螺旋不變，如果為－１，表示這種變換將引起左右手螺旋性的變換，我們僅指這個結論，不擬普遍地加以證明．§１．４晶體對稱操作的變換矩陣晶體具有一定的對稱性，如果只考慮宏觀物理性質的各方向上具有的對稱性，晶體可分成32種不同類型稱為32種點群*，每一點群包含若干種對稱元素，宏觀對稱元素分為旋轉軸（１，２，３，４，６次軸），對稱平面，旋轉反伸軸如軸，對稱中心，對晶體進行一定“操作”，可以使對稱圖形完全重合，實際上就是使物理性能恢復到未操作前完全一致．這種“操作”除旋轉軸外，不是簡單的機械動作能完成的，從數學的語言來說，就是進行一定的坐標系變換，變換前后一定方向上的物理性能又可完全復原，譬如一個晶體具有４次對稱軸，就是沿某一軸旋轉90后，晶體在各方向上的物理性能又完全重復，等于進行一次90旋轉操作．與此同理，所謂反伸操作，等于動作是相對的，那么我們把坐標系向相反方向旋轉90，在數學上等于進行一次坐標變換，使原來一個矢量(X1,X2,X3)在新坐標中為(-X1’,-X2’,-X3*參看結晶學基礎講義，各點群對稱元素的極射赤平圖見附錄A．一．旋轉軸的變換矩陣設X3沿某一晶體對稱軸，現在使坐標軸X1,X2繞X3轉動一角度．新坐標軸X3’與X3一致，X1’與X1,X2’與X2XX2’X3x3’轉角X1x1’X2圖１．５繞X3軸轉角度后，新坐標軸的相對位置X1’與X1,X2,X3的夾角余弦分別為cos,cos(90-X2’與X1,X2,X3的夾角余弦分別為cos(90+),cosX3’與X1,X2,X3所以它所對應的變換矩陣為 (1.16)對稱軸１，２，３，４，６次軸對應的值，分別為=360,180,120,90,60代入(1.16)即可，例如４次軸，=90代入(1.16)得繞X3旋轉的４次軸變換矩陣為：(1.17)如果把坐標軸X2或X1和轉軸一致，可以得到另一些變換矩陣，同學可自行練習寫出．二．對稱平面的變換矩陣一個對稱平面對應的操作為對一平面作鏡面“像”，任一位置矢量P經反映操作后和P完全重合，從數學上說，任何位置矢量在平面上的分量不變，而垂直于平面的分量則改變正負號，如果把坐標系的(X2X3)平面取得和對稱平面重合，X1和對稱面法線方向一致，那么相應的坐標變換是，新坐標X2’,X3’相對于X2,X3不動，而X1’ (1.18)X2x2X2x2’對稱面nx1X3x3’x1圖１．６對稱平面為(X2X3)平面時，經反映變換后新、老坐標軸的相對位置，n為對稱面法線．當然同理我們還可以寫出，X2或X3與對稱平面法線重合時的反映操作的變換矩陣．三．對稱中心變換矩陣對稱中心對應的操作為反伸，經過反伸操作(就像照相機顯像)使任何位置矢量P可以和大小一樣方向相反的矢量P1重合．從坐標變換的角度來看相當于使新坐標軸X1’,X2’,X3’相對于X1,X2 (1.19)四．旋轉反伸軸的變換矩陣旋轉反伸相應的操作是先繞某軸旋轉90軸，然后再對軸上一點作反伸．假如４次旋轉軸沿著X3，軸上的反伸參考點取為坐標原點，相應坐標變換是這樣的，第一步，X1,X2繞X3轉90，達到X1’X2’位置，X3’和X3仍一致．第二步，對原點作反伸，使X1’,X2’,X3’全部反向變?yōu)閄1”,X2”,X3”．它的變換矩陣，由X1 (1.20)x1’’x1x2’’x3’’x2x1’’x1x2’’x3’’x2x1x2x1’x3,x3’轉90度x2’x3(a)(b)圖１．７４軸沿X3軸坐標轉換(a)先繞X1轉/4，新坐標軸X1’,X2’,X(b)再將X1’,X2’,X3’對坐標原點反伸，達到最后的新坐標軸位置X1”我們在§１．９中將利用晶體對稱性的上述變換得出各張量元素分量之間關系以及最簡單的坐標系統．§１．５二階張量的變換與張量的定義在各向異性介質中的某一些物理參量，常具有張量的性質，它總是與某個物理學定理聯系在一起的．因此，我們還是以介電張量ij為例說明二階張量隨坐標變換時的規(guī)律．設在(X1,X2,X3)坐標系中介電極化的關系為： (1.21)如果變換到（X1’,X2’,X3’）坐標，其變換矩陣為(aij)，那么,和ij (1.22)根據矢量變化公式(1.7)，則有：(1.23)D和E之間有物理學定律(1.22)聯系故有： (1.24)我們再根據(1.9)使E用E’表示則有： (1.25)代入上式略加整理后得到： (1.26)同(1.22)比較可得到在不同坐標系中ij’和kl的如下關系 (1.27)同理可證明相反的變換是： (1.28)現在我們可從數學上給迪卡生張量下一個比較確切的定義:張量是與坐標有聯系的一組量，它們隨坐標變換而按一定規(guī)律變化，如和坐標無關的稱為零階張量（即標量），如出現一次變換矩陣元和一個加和號的為一階張量，如出現二個變換矩陣元和二個加和符號的為二階張量，出現n個矩陣元和n個加和號的稱為n階張量．現將0-4階張量的變換公式列于表A.1．名稱張量個數分量個數變換公式新坐標中分量用老坐標分量表示老坐標分量用新坐標分量表示標量０1=30’==’矢量１3=31二階張量２9=32三階張量３27=33四階張量４81=34根據上述張量的確切定義，鑒別在物理學公式中出現的某一個量究竟是否是張量，其唯一的根據是某一個具有若干分量的一組量，是否遵從表A.1中某一級張量變換公式．因此很容易得出如下兩個結論．（１）任何二個張量的各分量，彼此相乘所得的若干量組成另一個張量，新張量的階數將是原來二個張量階數之總和．現以二個一階張量（矢量）為例，來說明這個推論，二個矢量分量彼此相乘必得如下九個分量．(1.29)這九個分量Piqi(i,j=1-3)，利用(1.6)式極易證明為二階張量 (1.30)(1.30)和表A.1中所列二階張量變換公式完全一致，所以它們是一個二階張量．其它階數張量相乘可以用同樣辦法加以證明．因此三階，四階張量的變換規(guī)律分別和三個矢量及四個矢量乘積的變換規(guī)律一樣．（２）物理學公式中，某二個張量之間存在線性關系，有若干比例常數，那么這一組比例常數必然也是一個張量，它的階數也就是公式兩邊張量階數之和．§１．５中已經證明了兩個矢量D和E之間的比例常數ij，組成一個二階張量．如果推廣到其它階數張量之間的比例常數，完全可以用同樣辦法加以證明．例如第二章的同為二階張量的應力張量ij與應變張量ij之間的比例常數是具有81個分量組成的彈性模量Cijkl，它確實是一個４階張量。又如壓電效應中，電場強度矢量與應力張量（二階）之間的比例常數dijk，有27個分量亦可證明它是遵從三階張量的變換公式．因此在物理公式中出現的一些新的量只要確證其它量是張量，那么這個新的量是哪一級張量是不難確定的．這里還要再次著重指出，只有張量的數學定義才是判斷的唯一依據，譬如介電常數ij共有九個分量組成一個二階張量，這是上述幾節(jié)一再證明了的。但如果有這樣九個量nij2=ij，而且這九個量nij（折射率）確實也隨坐標變換而變化，那么它是不是組成一個張量呢？我們可以從張量定義出發(fā)來考察一下，因為它隨坐標變換的公式是： (1.31)顯然不符合表中二階張量的變換公式，它既不是二階張量，也不是任何其它階的張量．只有(nij)2=ij才是二階張量．因此晶體中其它很多性能如解理強度，表面能，屈服強度，電擊穿強度，晶體生長速率，聲速……等等雖表現為各向異性，但和折射率本身一樣并不具有所要求的張量變換形式，不是張量。它可能與晶體內某些張量性質的物理量有復雜的關系．§１．６張量的足符互換對稱一．對稱與反對稱二階張量一個二階張量ij如果將足符i,j次序互換后，兩個分量存在ij=ij的關系，稱為對稱二階張量，如果有ij=-ij則稱為反對稱二階張量。反對稱二階張量的同足符分量ij次序互換后應有ij=-ij，因此ii=0(i=1,2,3)，所以把對稱與反對稱二個張量寫成矩陣的形式分別為如下形狀：對稱反對稱一個與晶體物理性能相聯系的某些量究竟屬于對稱張量還是非對稱張量或反對稱張量，純粹從數學的角度是無法判斷的，這是出于物理上的原因，取決于相應的物理過程的能量關系，我們以介電極化過程為例說明介電張量是一個對稱二階張量．根據電磁學知道電介質中電場的單位體積的總能量為： (1.32)(1.32)微分得 (1.33)方程右邊第一項是由于宏觀電場強度改變dE而引起介質極化偶極矩在電場中的勢能變化部分，這不涉及到極化變化而引起的總能量改變，第二項才是直接晶體極化改變了dD引起的晶體內能電能的增加．后一項，才是真正與極化過程相聯系的總能量變化，所以晶體極化過程中總能的改變可寫為： (1.34)將關系式代入上式可得到 (1.35)上式對E1及E2的偏導數分別為： ）(1.36) ）(1.37)我們知道總電能W是宏觀電場獨立變量E1,E2,E3的連續(xù)函數，根據高等數學多元函數的性質知道兩次偏導數的次序可以顛倒 (1.38)考慮(1.36),(1.37)代入上式得到： 21=12(1.39)同理可以證明： 31=13以及23=32所以介電張量是一個對稱二階張量．在晶體物理中重要的二階張量屬于可逆過程的都有相應能量關系，因而都是對稱張量。此外一些不可逆過程有關的如電導、熱導系數等二階張量也是可以從另一角度證明絕大多數也屬于對稱張量（不可逆過程有關的二階張量，也可以從另外的角度來證明大多數這樣的物理量也是對稱張量，但是其證明涉及到不可逆過程的熱力學關系，已超出本課程范圍）．應力與應變張量雖然不存在能量關系，但從第二章中已證明也是對稱二階張量．一個對稱二階張量的獨立的分量只有以下六個：11,22,33,23=32,13=31,12=21下面我們在許多場合下，可以將對稱雙重足符簡化為一個足符來表示．簡化足符的數值可?。保?，其對應關系定義如下：雙足符ij 11,22,33,23,13,12簡化足符i 1，2，3，4，5，６(1.40)為便于記憶，簡化足符的順序在二階張量的矩陣形式中按如下順序對應起來：二．三階張量的足符對稱問題三階張量有三個角標如dijk,足符i,j,k間是否有互換對稱，也必須從物理過程中去考察．一般說正如§１．５指出的三階張量都有相應物理過程的公式和一個一階張量、一個二階張量相聯系，如壓電效應中有：(i=1,2,3)(1.41)或者如反壓電效應（或稱電致伸縮效應）中有（壓電效應與反壓電效應參看§４．５） (i,j=1,2,3)(1.42)(1.41),(1.42)中的二階張量是對稱張量，那么可以證明，與二階對稱張量相對應的二個足符存在互換對稱．所以一個三階張量，由于其中二個足符是對稱的，存在dijk=dikj(kj對稱)的關系，所以27個分量實際上只有18個獨立分量．四．四階張量的足符對稱問題四階張量有四個足符如彈性模量Cijkl，由于上述同樣道理，物理學公式中它所聯系的二個二階張量都是對稱張量（彈性模量參看§２．４及§２．５），那么四個足符將分為二組(i,j)及(k,l)分別是對稱的，而且可以分別應用簡化足符而使之簡化為二個足符表示，但足符數字都改取１－６，一般說四階張量中的81個分量可減少為36個分量．但是，利用彈性形變的總能量的關系還可證明Cij兩個簡化足符之間也有互易對稱關系，如： C1122=C2211 C1123=C2311 ……由于這兩種對稱性關系的存在，彈性模量的獨立分量將進一步減少到21個．不過，這種簡化足符間的互換對稱，不是所有四階張量普遍存在的關系．如果相應的物理過程中，不存在某種總能量變化的對稱關系，那么，簡化足符是沒有這種對稱的，如第八章的壓光系數，光彈系數等四階張量就沒有這種互換對稱存在，所以它一般仍保持36個分量．以上利用足符的互換對稱而使用簡化足符，僅僅是為了在計算某些物理學公式時使得變數盡可能減少，但必須十分注意的是，使用簡化足符，并不是張量階數降低了，所以在坐標變換時要決定張量各分量的變化時，絕對不能應用簡化足符．§１．７張量的矩陣表示和矩陣的代數運算為了書寫與運算的方便，常常把物理學公式中的矢量與張量寫成矩陣的形式，譬如方程(1.4)可寫成下列形式： (1.43)要用(1.43)來代替(1.4)，實際上必須事先約定一些規(guī)則為前提．（１）約定任何一個矢量（即一階張量）的三個分量都可以寫成，稱為三行一列矩陣．（２）約定一個二階張量，可以寫成稱為三行三列矩陣，分量ij，寫在矩陣的第i行和第j列位置上．（３）方程(1.43)等式右邊兩個矩陣連寫在一起，表示兩矩陣的乘積，所以還要事先約定一個矩陣的乘法規(guī)則．某一個矢量Pi、張量Tij，或者坐標變換的相應矩陣aij，我們都用P,I,A等符號下加一橫來代表，（通常書籍中用黑體字表示）．現在我們來規(guī)定矩陣的乘法規(guī)則．設有一個m行n列矩陣和一個n行P列矩陣，相乘后得出另一m行P列的矩陣． 乘積是這樣規(guī)定的： (1.44)k是A中的第i行各元素分別乘上B矩陣的第k列的各元素的總和為乘積矩陣中的第ij元素．為明白起見，舉一個數學例子： (1.45)乘積矩陣中第一行第一列元素等于第一個矩陣的第一行元素分別乘上第二矩陣的第一列元素之和，即：00+33+2(-2)=5其它乘積矩陣元素的值，可按此規(guī)則乘得(1.45)的結果．在矩陣乘法中必須注意二點：１．兩矩陣相乘前面矩陣的列數必須和后面矩陣的行數相等，否則兩矩陣不能相乘．２．兩矩陣相乘的次序顛倒是不相等的，即ABBA．例如：有了事先約定的上述各規(guī)則，那么物理學公式(1.43)與(1.4)表示完全同等．有了矩陣運算的上述規(guī)則，同樣可以應用到矢量和二階張量的變換公式，用矩陣形式可表示出來，同學可以自行證明，矢量P的變換公式可寫為：(1.46)或 (1.47)式中，A為坐標變換矩陣．二階張量的變換公式可寫為： 或 (1.48)式中A是坐標變換矩陣，是A的轉置矩陣，即將A中的行換為列，列換為行的矩陣． 物理學公式和張量的坐標變化的運算利用矩陣符號將簡潔得多，在各項具體展開時，不易搞錯，有很大的方便．譬如一個矢量P經連續(xù)坐標變換二次，最后的變換公式用矩陣符號運算就簡單得多，設第一次變換為A，第二次變換為B，則有： 及前式代入后式得到最后變換公式為： (1.49)式中 最后變換必定相當于進行變換C，正好是BA的乘積．行數列數(mn)相同的矩陣可以相加，有：(1.50) 其中矩陣元素有下列關系： Cij=aij+bij(1.51)其它更高階的張量，如第四章遇到的壓電系數dijk，第七章中遇到的電光系數ijk，第六章中的非線性系數dijk為三階張量以及第二章遇到的彈性模量Cijkl，聲光系數Pijkl為四階張量，不能直接寫成矩陣形式，但是我們可以利用它們兩個足符的互換對稱性（即ij可互換或kl可互換）將其指標簡化后，物理學公式在形式上也可以寫成矩陣形式，這將在有關各章中分別加以介紹．§１．８二階對稱張量的幾何表示和二階張量的主軸晶體物理中遇到的二階對稱張量比較多，我們應該比較熟悉它隨坐標系變換的性質．同時二階張量的變換公式中只出現二個變換矩陣元素的加和符號，比較簡單，有可能在空間中用一個幾何曲面來形象地表示它和坐標系之間的關系．一個矢量可用某方向上一定長度的直線來形象地表示它在該坐標系中的三個分量，三個分量相應于在三個坐標軸上的投影，坐標系變換時，可形象地看到三個投影的大小也在相應改變．下面介紹二階張量對應的幾何表示．我們現在按下式定義一個空間二次曲面： (1.52)展開出來就是：(1.53)如果有Sij=Sji，(1.53)變?yōu)椋? (1.54)從空間解析幾何的知識，我們知道(1.54)是一個以坐標系原點為中心的二次曲面方程，或者是一個橢球，或者是一個雙曲面。坐標系變換時，曲面方程的各項系數也相應變化，現在假定坐標系從OX1,OX2,OX3變?yōu)镺X1’,OX2’,OX (1.55)代入(1.54)有： (1.56)經整理新坐標系中，曲面方程中Xk’Xl’項的新系數為： (1.57)(1.57)寫為： (1.58)我們可以明顯地注意到，一個二次曲面的各系數的變換公式(1.57)和二階的變換公式完全一樣． 因為二次曲面的系數對i,j是對稱的，Sij=Sji，所以說二次曲面的系數就具有二階對稱的特征．因而任何一個二階對稱張量ij，在幾何上都可以用下述曲面來形象地表示： (1.59)對稱二階張量的六個分量相應于這個曲面方程的六個系數，這個曲面稱為該張量的表象曲面，正如一個矢量可用在某方向上一定長度線段來表示，它的三分量是三個坐標上的投影，而一個對稱二階張量有六個分量，則要用一個空間曲面表形象地表示，它的分量為曲面方程的六個系數，這樣的表示在直觀上有很大好處，因為大家對二次曲面在各坐標系統中的方程變化比較熟悉，下面將看到，利用表象曲面可以很快地看出它代表的張量所決定的物理性能在各方向上所具有的對稱性． 我們在空間解析幾何中已經知道，一個二次曲面，有一個重要特性，總可以找到三個正交的坐標系統中曲面方程中交叉項系數都等于零．曲面方程有如下簡單的形式： (1.60) 由此可見，一個二階對稱張量，一般情況下有六個分量，但是實際上，只要找到適當的坐標系統，僅需要三個分量就可以完全確定，使所有ij的ij=0的三個坐標軸稱為張量主軸，這時三個不等于零的分量11,22,33稱為二階張量主值，如果三個主值都是正值，那么它的表象曲面就是大家熟悉的橢球方程： (1.61)其中［見圖１．８(a)］如果三個主值中二個為正，一個為負，是一個單葉雙曲面［見圖１．８(b)］，主值中二個為負，一個為正，是一個雙葉雙曲面［見圖１．８(c)］．(a)(b)（c）圖１．８二階對稱張量三種可能的表象曲面(a)橢球(b)單葉雙曲面(c)雙葉雙曲面根據以上分析，當二階對稱張量在取主軸為坐標軸時，不為零的分量只有三個，具有最簡單的形式．這時的物理學公式也具有最簡單的形式．例如電位移與電場強度間關系為： (i=1,2,3)(1.62)如果取ij的主軸為坐標軸，有： D1=011E1D2=022E2(1.63)D3=033E3D在X1方向的分量D1只與E1有關，D2只與E2有關，D3只與E3有關，當112233時，D和E一般說方向并不一致，這是各向異性晶體必須存在的現象，但是張量的主軸卻是一個特殊的方向，當E恰好平行于某一主軸方向，譬如沿著OX1軸，即E(E1,0,0)，那么根據(1.63)式可得到D=(011E1,0,0)，D也在OX1方向上，所以E沿主軸這一特殊方向時，D和E是相互平行的． 可以用一個二次曲面表示一個二階張量，并且在主軸坐標系下，只有矩陣對角線上三個分量不為零，分別稱為該張量的主值，這是一、二階對稱張量的普遍特性，所以像應力張量．應變張量：當找到主軸坐標系時，只有對角線上分量不為零，也就是說，在這個坐標系下，只存在正應力分量或者正應變分量，這在分析彈性應力對偏振光干涉強度的影響，如利用光測彈性方法分析晶體缺陷中位錯應力場引起的干涉強度輪廓分布時是很重要的，根據第八章分析，晶體折射率的變化主要由于正應力（壓縮或膨脹）引起的，換名話說只與應力的主值有關系，分析偏光干涉強度輪廓時如果取主軸為坐標系時將會帶來極大的方便．§１．９二階對稱張量主軸的確定 一個對稱二階張量必定存在三個主軸，在主軸坐標下張量分量中ij的各項均為零而得到簡化．那么現在反過來問：給出了任意坐標下的張量各分量Xij，如何找出它的主軸在什么方向上呢？這是一個很重要的問題．我們還記得在§１．８中提到一個二階對稱張量ij是把D與E之間聯系起來的，如果E在主軸方向上，那么D必然與E平行．如果這里有一矢量(X1,X2,X3)它正好在某一對稱二階張量Sij的主軸方向上，那么矢量Xi’=(i=1,2,3)必須也在矢量(X1,X2,X3)方向上，我們可利用主軸方向上的這一特殊性把主軸找出來，如果(X1,X2,X3)矢量確實沿著主軸的話，必然有下列關系： (i=1,2,3)(1.64)是某一常數，因為方程兩邊相應的矢量平行，所以只能相差一個常數倍．(1.64)是一個三元聯立代數方程，可以具體地寫為： (1.65)要方程組有Xi非零的解，必須使系數行列式為零： (1.66)(1.66)是的三次方程，可以解出三個根’,”,’”．在數學上可以證明這三個根對應于張量Sij的三個主值.即取主值’,代入(1.65)可求得一套(X1’,X2”,X3’),同樣以”和’”分別代入(1.65)求得另二套(X1”,X2”,X3”)和(X1”’,X2”’,X3 如果進行這樣的坐標變換就可得到Sij在主軸坐標系中的簡單形式： 以上只是介紹了尋找主值和主軸的思路，具體計算有時是很繁瑣的．現舉一個簡單的例子：（１）設有二階對稱張量，試求其主軸及主值．按(1.66)式列出方程：(1.67)具體寫出聯立方程為： (1.68)令系數行列式為零： (1.69)乘出行列式值得到： 整理后得 (2-3+2)(4-)=0求出的三個根為：’=1,”=2,”’=4(1.70)將’代入(1.69)得(1.71)解得：X3’=0,X1’=X2再將”代入(1.69)得：(1.72)得：X3”=0,X1”=-X2再將”’代入(1.69)得：(1.73)得X1”’=X2”’=0,X3”’,|X”’三個主軸的方向余弦各為：(1.72)如果要將坐標系變換到主軸坐標系則要進行下列變換：(1.73)這個變換相當于繞坐標軸X3轉動45角（見§１．４），這主軸坐標中張量分量按(1.48)式為：如果按§１．７中所述的矩陣乘法來計算很方便地可得到：（主軸坐標系）S的三個主值確為’,”,”’的數值．§１．10晶體張量與晶體對稱性的關系 晶體宏觀物理性能必然反映晶體內部結構的對稱性，因而某種物理性能的各階張量的分量也必然受到晶體宏觀對稱性的制約．換句話說，晶體各張量分量由于應該反映這種對稱性，因而有些分量必須為零，有些分量之間應存在一些關系，完全獨立的分量將進一步減少,最為明顯的例子是有壓電效應的晶體的點群類型均是沒有對稱中心的.下面我們將證明有對稱中心時，壓電系數的所有分量均為零，而有熱釋電效應的晶體，由于對稱性的制約，只能是20種壓電類晶體中10種類型．本節(jié)主要討論宏觀物理性能和晶體微觀對稱性之間的關系,這對于晶體物理效應的應用來說,熟悉這種關系是重要的． 一．物質與場張量 上面我們討論張量的一些普遍性質時沒有去嚴格區(qū)分我們可能遇到的兩種不同的張量:一種張量是直接與晶體本身屬性相聯系的物理參量,另一類是外界施加于晶體的物理量．舉例來說，晶體受到外應力作用時，晶體中將存在應力場，這個應力場是用二階應力張量來描述的，雖然它是一個張量，但不是晶體本身屬性決定的，而是由外界施加應力的方式決定，顯然不受晶體本身對稱性所制約,即使是各向同性的物體，只要外界應力各方向不一樣，內部應力決不會是各向同性的.因而應力張量和直接屬于晶體自身物理屬性的參量如介電張量，熱膨脹，熱傳導系數等二階張量不同,前者是外界施加于物體的，不受晶體對稱性制約，我們稱之為“場張量”，后者是晶體自身屬性的參量，受晶體對稱性制約，稱為“物質張量”．一階張量中外加電場也屬于場張量，熱釋電系數則屬于一階的物質張量．因此，下面我們的分析對稱性對張量的影響，都是分析“物質張量”．不過在具體問題中，只要注意到這一點，那么兩種張量是不易混淆的，今后我們仍不加區(qū)分，統稱為張量． 二．諾埃曼原理 我們說晶體宏觀物理性能應該受到晶體對稱性的制約，這并不意味著要求在各方向上物理性能具有的對稱性一定和晶體所屬的點群類型的對稱性完全一致．，而是要求物理性能的對稱性應包含晶體所具有的點群對稱性，或者說至少不能低于點群對稱性，這個原理一般稱為諾埃曼(Neumann)原理.譬如我們下面將證明的，一個屬于立方晶系任何一個點群的晶體，它的介電極化性能或者光折射率各方向上的對稱性并不一定和點群對稱性一致而有立方的對稱．事實上這兩種物理性能表現出來的卻是各向同性的比立方對稱還要高．各向同性等于說是什么對稱都有，就像幾何圖形的球體所具有的對稱性一樣，它當然包含了立方的對稱性，這就不違背諾埃曼原理.假如介電性能與光折射率表現為只有一個四次對稱軸的各向異性，那么就和諾埃曼原理違背了，這是絕對不會出現的．由于一階和二階張量都有比較形象的幾何表示（一階張量可視為一個矢量的三個分量，二階對稱張量可視為一個二次曲面方程的六個系數），利用諾埃曼原理可以很方便很直觀地找出晶體對稱性對物理性能，即對相應張量的判約關系．我們僅僅舉兩個簡單的例子來說明上述辦法． 第一例：具有熱釋電效應的晶體只有10種點群. 熱釋電效應的物理方程是 Pi=iT(i=1,2,3)(1.74) 晶體在溫度改變T時，晶體產生的自發(fā)極化強度矢量的三個分量和T成正比，i是熱釋電系數（為一階張量）．對不同的晶體三個分量i是各不相同的．當然的晶體來說i是一定的，也就是只要有溫度改變量T，熱釋電效應產生的自發(fā)極化強度P總是沿著這個晶體的某一方向，因為根據方程(1.74)P的方向是i(i=1,2,3)所決定的，熱釋電物理效應造成的自發(fā)極化強度P的指向就體現了這個物理性能上各方向上的差異．應用諾埃曼原理，就是考察一下已有這個極化強度P的晶體是不是還能保持這個晶體所屬點群的對稱性，因為如果P所具有的對稱包含了點群對稱性，那么點群對稱性就能保持，如果不能包含，就會和原有的點群對稱性相抵觸．用這個角度來考察它對一階張量，即對P的分量（兩者只差一T）的制約有如下四個結論： (i)有對稱中心的晶體，如果存在極化矢量P的話，不論它指向如何，破壞了晶體的中心對稱，所以P=0，即的分量都為零，不會有熱釋電效應． (ii)如果晶體沒有對稱中心，但只有一根對稱軸（２，３，４或６次軸），P如果不沿著這個對稱軸，就與點群對稱性抵觸[見圖１．９(a)]，如果P沿著這個軸，就可保持原有的點群對稱性，即允許有熱釋電效應.但是現在晶體的對稱性對P的指向是有限制的，P的三個分量中，只允許沿著對稱軸方向分量不為零,垂直于對稱軸分量都必須為零[見圖１．９(b)]．如果坐標軸X3取在對稱軸上，那么i=(0,0,3)． (iii)同理，晶體如只有一個對稱平面，那么只有P躺在這個對稱面內，才能保持原有對稱性，此時，對P的制約是垂直于對稱面的分量必須為零．如果坐標軸X2取在對稱面法線方向上，則(1,0,3)（見圖１．１０）．X2X1X1對稱軸對稱軸X3X2X1X1對稱軸對稱軸X3X2OPX3PO(a)(b)圖１．９對稱軸對一階張量的限制(a)不在對稱軸上，破壞了軸的對稱(b)沿對稱軸方向，對稱軸的對稱性仍可保持 (iv)晶體中雖無對稱中心，但有４，６或者有一個以上對稱軸，或者有一個對稱軸并垂直于該軸有一個對稱平面的諸點群類型，P不論指向如何，都破壞了點群對稱性，故的三分量均為零也就沒有熱釋電效應．綜上所述，剔除(i),(iv)兩項結論中所指出的無熱釋電效應的點群類型，那么32種點群中只有如下10種是熱釋電類晶體． １ ２ ３ ４ ６ m mm2 3m 4mm 6mmX3X2X3X1X2X3X2X3X1X2對稱面X1(a)(b)圖１．１０對稱平面一階張量的限制(a)不躺在m內，對稱破壞(b)躺在m內，m對稱性可保持 第二例凡是立方晶系諸點群，其對稱二階張量三主值必相等，其它分量均為零，表像橢球必蛻化為球． 既然表象曲面的形狀和相對坐標軸的一定方位時的曲面方程，它的六個系數可以完整地代表二階對稱張量的六個分量，那么應用諾埃曼原理考察晶體對稱性對張量的制約，就是考察晶體中“放”進這個曲面后能否保持原有點群對稱性的問題.立方晶系諸點群的共同點是至少有一個三次軸和一個二次軸（可參看附錄A中的點群極圖）．如果這兩個對稱元素的制約就足以使表象橢球蛻化為球的話，那么其它任何對稱元素均可自動滿足了．從圖１．１１可清楚看到(a)曲面為橢球，無論方位如何．對稱軸２和３的對稱性均遭破壞，(b)如果曲面蛻化為旋轉橢球即垂直于某一主軸的截面為圓并且這個主軸平行于對稱軸，則３次軸對稱性保持，但２次軸對稱性遭破壞，(c)只有蛻化為一個球時，方能同時保持二個軸的對稱性．曲面蛻化為球時，曲面方程只有三個主值不為零而且相等，其它交叉次項系數均為零，于是問題得證． 用類似方法可很快證明三方，六方，四方晶系諸點群，曲面蛻化為旋轉橢球，并且方位上也有了限制，即垂直截面為圓的軸平行于高次軸，這類點群的晶體在光學上稱為單軸晶體． 還可證明正交，單斜，三斜晶系諸點群，曲面仍為一般橢球，但方位的限制上三晶系有所不同，這類晶體光學上稱為雙軸晶體(光學上的單軸晶體和雙軸晶體將在第五章詳細討論)．(a)(b)(c)圖１．１１相交的三次軸和二次軸對稱性對表象橢球的限制(a)任意橢球(b)旋轉橢球（垂直于圓截面的主軸平行于３次軸）(c)球至于前已證明的立方晶系，它的表象曲面蛻化為球，由此可見對于任何一個與二階張量聯系的物理性能，在立方晶系的晶體中完全和各向同性的物體一樣，所以介電極化和光學折射率（它的平方為二階張量）是和二階張量相聯系的，因此它們在立方晶系中具有各向同性的性質．二階張量和對稱性的關系其結果列于附錄A的表A2中．三．利用對稱變換確定對稱性對張量的制約一階張量和二階對稱張量和對稱性的關系，可利用形象的幾何圖形來考察，對更高階的張量必須用對稱變換的方法加以考察，這是一種適用任何階張量的更為普遍的方法．任何階數的張量I，經過晶體所屬點群對稱變換后得到新坐標系的張量I’，因為這個變換是晶體對稱元素相應的變換，所以變換后的物理性能應該和未變換前完全一樣，即要求： I’I(1.75)(1.75)等式表示張量各分量之間彼此相等，所以是一組聯立方程，從方程中便可找出，由于該對稱元素的存在，在張量分量之間制約關系．現在舉三個例子來說明上述方法．第一例點群４的二階對稱張量具有下列矩陣形式：(X3軸//４次軸時)(1.76)點群４有一４次軸，設X3軸//４次軸，根據§１．４(1.17)式，其變換矩陣，根據§１．５所述二階張量Tij的變換規(guī)律與兩矢量乘積XiXj的變換一樣，經過上述四次軸變換后，X1’=X2,X2’=-X1,X3’=X X1’X1’=X2X故有 T11’=T22根據變換前后張量元素應等同的要求應滿足(1.75)式，故有 I11’=I22=I11同理，其它分量也有下述關系： (1.79)上述聯立方程組中有的方程是矛盾的．如：從I13’ I23=I13(1.80)從I23’ -I13