試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第21講相似三角形及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+3命題點(diǎn)24種題型（含7種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一相似多邊形考點(diǎn)二相似三角形04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一相似三角形的性質(zhì)與判定-基礎(chǔ)?題型01選擇或補(bǔ)充一個(gè)條件使兩個(gè)三角形相似?題型02選擇合適的方法證明兩個(gè)三角形相似?題型03補(bǔ)全判定相似三角形的證明過程?題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查相似三角形的證明過程?題型05利用相似三角形的性質(zhì)求解?題型06利用相似的性質(zhì)求坐標(biāo)?題型07相似三角形在網(wǎng)格中的應(yīng)用?題型08相似三角形的性質(zhì)與判定綜合命題點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定-拔高?題型01利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決折疊問題?題型02利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)態(tài)函數(shù)圖像?題型03利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值?題型04利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最值?題型05利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問題?題型06利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決存在性問題?題型07利用相似三角形列函數(shù)關(guān)系式?題型08利用三點(diǎn)定形法證明比例式或等積式?題型09尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用?題型10三角板與相似三角形綜合應(yīng)用?題型11平移與相似三角形綜合應(yīng)用?題型12利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題?題型13與相似三角形有關(guān)的新考法問題命題點(diǎn)三相似三角形的應(yīng)用?題型01利用相似測量物體的高度?題型02利用相似測量物體（不易測量）的寬度?題型03其它問題01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求相似三角形的性質(zhì)★★★了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性質(zhì)定理.相似三角形的有關(guān)證明與計(jì)算★★★相似三角形的應(yīng)用★★會(huì)利用圖形的相似解決一些簡單的實(shí)際問題【考情分析】本專題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似的性質(zhì)求線段的長度、圖形的面積等，試題形式多樣，難度不一，相似三角形的判定方法較多，合理的選擇方法是解題的關(guān)鍵，常見的相似模型有“A”字形、8”字形及“一線三等角”等，熟練掌握這些模型能提升解題速度.【命題預(yù)測】相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)考點(diǎn)，也是難度最大的一個(gè)考點(diǎn).它不僅可以作為簡單考點(diǎn)單獨(dú)考察，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等問題一起考察.而且在很多壓軸題中，經(jīng)常通過相似三角形的判定以及性質(zhì)來得到角相等或者邊長間的關(guān)系，也是動(dòng)點(diǎn)問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段，需要考生在復(fù)習(xí)的時(shí)候給予加倍的重視!02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一相似多邊形1.相似圖形：把形狀相同的圖形叫做相似形.【補(bǔ)充】1）相似圖形的形狀完全一樣，圖形的大小不一定相同；2）全等圖形是一種特殊的相似圖形，它們不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看兩個(gè)圖形的是不是形狀相同，與其它的因素?zé)o關(guān).2.相似多邊形及、性質(zhì)與判定相似多邊形的定義：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.相似多邊形的表示：兩個(gè)相似多邊形可以用符號(hào)“∽”，讀作“相似于”.【補(bǔ)充】1）相似多邊形的三個(gè)條件：①邊數(shù)相同；②對(duì)應(yīng)角相等；③對(duì)應(yīng)邊成比例；2）全等多邊形的相似比是1，即全等圖形是一種特殊的相似圖形；；3）當(dāng)用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)相似圖形時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)必須寫在對(duì)應(yīng)位置.1．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，用放大鏡將賀蘭山旅游圖標(biāo)放大，這兩個(gè)圖形之間屬于以下哪種圖形變換（

）A．相似 B．平移 C．軸對(duì)稱 D．旋轉(zhuǎn)【答案】A【分析】本題考查數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，理解相似、平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可知，將圖標(biāo)放大，圖形大小發(fā)生了變化，結(jié)合平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)不改變圖形大小可以確定，這兩個(gè)圖是相似關(guān)系，從而得到答案．【詳解】解：根據(jù)相似的定義及性質(zhì)可知，用放大鏡將石阡旅游圖標(biāo)放大，兩個(gè)圖形的形狀相同，大小不同，因此這兩個(gè)圖形的關(guān)系是相似，故選：A．2．（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本題考查相似圖形，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的圖形是相似圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，只有選項(xiàng)甲和丁中的對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．故選D．3．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'﹐已知OAA．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：由題意可知，四邊形ABCD與四邊形A'由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：SABCD又四邊形ABCD的面積是2，∴四邊形A'故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖?ABCD與?AEFG關(guān)于點(diǎn)A成位似圖形，若他們的位似比為2:3，則?ABCD與?AEFG的面積比為（

）A．4:9 B．1:9 C．2:3 D．1:3【答案】A【分析】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)，掌握位似圖形的概念、相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的概念得到?ABCD與?AEFG相似，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵?ABCD與?AEFG關(guān)于點(diǎn)A成位似圖形，他們的位似比為2:3，∴?ABCD與?AEFG相似，他們的相似比為2:3，∴?ABCD與?AEFG的面積比為23故選：A．5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖是我國自主研發(fā)的某汽車的廣告文案．已知：將矩形對(duì)折后所得的矩形如果與原矩形相似，那么原矩形的長與寬之比稱為白銀比，則白銀比的近似值是．（小數(shù)點(diǎn)后保留三位）它們的大氣端莊主要來源于對(duì)東方傳統(tǒng)美學(xué)中白銀比例這一規(guī)律的運(yùn)用和黃金比例相比白銀比例下的作品更為端正平街也更符合東方審美【答案】1.414【分析】本題考查相似矩形、折疊性質(zhì)、新定義問題等知識(shí)，讀懂題意，理解白銀比概念，設(shè)原來矩形的長為2x，寬為y，由折疊性質(zhì)及相似多邊形定義得到白銀比的數(shù)學(xué)表示，求解即可得到答案，讀懂題意，理解白銀比是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)原來矩形的長為2x，寬為y，根據(jù)白銀比定義可得2xy=yx，即∴白銀比為2xy考點(diǎn)二相似三角形相似三角形的定義：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示為△ABC∽△DEF.【補(bǔ)充】三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于1.【注意事項(xiàng)】符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大宇母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，如△ABC∽△DEF，表示頂點(diǎn)A與D，B與E，C與F分別對(duì)應(yīng)；【易錯(cuò)點(diǎn)】如果僅說△ABC與△DEF相似，沒有用“∽”連接，則需要分情況討論它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.【補(bǔ)充】相似比具有順序性，如△ABC∽△DEF，相似比為k，則△DEF與△ABC的相似比為.常見的基本圖形：圖①和圖②分別為“A型”圖和“X型”圖，條件是DE//BC，基本結(jié)論是△ABC∽△ADE；圖③、圖④是圖①的變形圖，圖⑤是圖②的變形圖;圖⑥是“母子型”圖，條件是BD為直角△ABC斜邊上的高，基本結(jié)論是△ABC∽△BDC∽△ADB.相似三角形的判定方法：1）判定三角形相似的常用定理：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．②三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；③兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；④兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．2）直角三角形相似的判定方法：①有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.②兩組直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.③斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.相似三角形的性質(zhì)：1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.【補(bǔ)充】己知兩三角形相似，寫對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí)，原則是“大對(duì)大，小對(duì)??；長對(duì)長，短對(duì)短”.【小技巧】相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等是求某條線段的長或求兩條線段的比的一種常用方法，采用此方法時(shí)一定要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系.2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3）相似三角形周長的比等于相似比.4）相似三角形面積比等于相似比的平方.5）傳遞性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，則△BDC∽△ADB.1．（2024·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷A、C；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別為邊∴DE∥BC，BC=2DE，故∵DE∥∴△ADE∽△ABC，故∵△ADE∽∴S△ADE∴S△ADE=1故選：D．2．（2024·青海·中考真題）如圖，線段AC、BD交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使△AOB∽△COD．【答案】∠C=∠A．(答案不唯一)【分析】有一對(duì)對(duì)頂角∠AOB與∠COD，添加∠C=∠A，即得結(jié)論．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD（對(duì)頂角相等），∠C=∠A，∴△ABO∽△CDO．故答案為：∠C=∠A．(答案不唯一)【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．3．（2024·云南·中考真題）如圖，AB與CD交于點(diǎn)O，且AC∥BD．若OA+OC+ACOB+OD+BD=12

【答案】12【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△ACO∽△BDO，根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比，即可解題．【詳解】解：∵AC∥∴△ACO∽△BDO，∴ACBD=故答案為：124．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F是OD上一點(diǎn)．連接EF．若∠FEO=45°，則EFBC【答案】1【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到∠OAD=45°，AD=BC，再證明EF∥AD，進(jìn)而可證明△OEF∽△OAD，由相似三角形的性質(zhì)可得EFAD=OE【詳解】解：∵正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)∴∠OAD=45°，AD=BC，∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，∴OEOA∵∠FEO=45°，∴EF∥AD，∴△OEF∽△OAD，∴EFAD=OE故答案為：125．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求證：△ABE∽【答案】見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出∠B=∠C=90°，AB=CB=9，進(jìn)而得出ABEC【詳解】解：∵BE=3，EC=6，∴BC=9，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°，∵ABEC=∴又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一相似三角形的性質(zhì)與判定-基礎(chǔ)?題型01選擇或補(bǔ)充一個(gè)條件使兩個(gè)三角形相似相似三角形的判定方法：判定三角形相似的常用定理直角三角形相似的判定方法1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似2三邊成比例的兩個(gè)三角形相似有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似3兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似兩組直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似4兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似解題方法：判定兩個(gè)三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法．有時(shí)條件不具備，需從以下幾個(gè)方面探求：1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；2）兩個(gè)三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；3）兩個(gè)三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；5）條件中若有等腰三角形，可找頂角相等，或找底角相等，或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.【拓展】特殊三角形相似的判定：1）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似.2）兩個(gè)等腰直角三角形一定相似.1．（2021·湖南湘潭·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，試添加一個(gè)條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）【答案】AD【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊成比例，夾角相等解題．【詳解】解：根據(jù)題意，添加條件ADAB∵∠A∴△ADE~△ABC故答案為：ADAB【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ADE∽△ABC．【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一個(gè)公共角，則可以再添加一個(gè)角從而利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例也可以判定．【詳解】解∶∵∠A=∠A，∴根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證△ADE∽△ABC相似；根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，可添加條件ADAB=AE故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．3．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，下列不正確的是（

）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB【答案】D【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】解：A、當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)APBP=AB故選：D．4．（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．當(dāng)AD=時(shí)，△ABC∽△ACD．【答案】9【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，當(dāng)ABAC=AC即：AC∵AB=4，AC=6，∴62∴AD=9；故答案為：9．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02選擇合適的方法證明兩個(gè)三角形相似1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在△ABC與△A'B'C'中，點(diǎn)D、D'分別在邊BC、B'C'上，且【答案】見解析．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．【詳解】解：若選①BDCD證明：∵△ACD∽△A∴∠ADC=∠A'D∴∠ADB=∠A∵BDCD∴BDB∴ADA又∠ADB=∠A∴△ABD∽△A選擇②BACD=B若選③∠BAD=∠B證明：∵△ACD∽△A∴∠ADC=∠A'D又∵∠BAD=∠B∴△ABD∽△A【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．2．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是邊AC上一點(diǎn)，且BE=BC，過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：△ADE∽△ABC．【答案】見解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對(duì)頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵BE=BC∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵∠ABC=90°，∴∠D=∠ABC，∴△ADE∽△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MBN，連接MA，CN.求證：△ABM∽△CBN.【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：AB=MB，BC=BN，∠ABC=∠MBN，進(jìn)而可得ABBC=MBBN，∠ABM=∠CBN【詳解】證明：∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MBN，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得AB=MB，BC=BN，∠ABC=∠MBN，∴AB∵∠ABC=∠MBN，∴∠ABC+∠ABN=∠MBN+∠ABN，即∠ABM=∠CBN，∴△ABM∽△CBN.4．（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測）李老師在編寫下面這個(gè)題目的答案時(shí)，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調(diào)整過來嗎？證明步驟正確的順序是（）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E,?F分別在邊AB,?AC,?證明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；關(guān)鍵是證明三角形相似．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組對(duì)應(yīng)角相等，易得解題步驟；【詳解】證明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽故選：B．5．（2024·北京西城·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A?2,0，B12,0，CB所在直線的方程為

(1)求b的值；(2)求證：△AOC∽△COB．【答案】(1)b=?1；(2)證明見解析．【分析】（1）把B12,0（2）由b=?1得直線的方程為y=2x?1，求出C0,?1，從而得OC=1，OA=2，OB=本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵B12,0∴0=2×1解得：b=?1；（2）由（1）得b=?1，∴CB所在直線的方程為y=2x?1，當(dāng)x=0時(shí)，b=?1，∴C0,?1∵A?2,0，B∴OC=1，OA=2，OB=1∴OC:OB=OA:OC=2:1，又∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB．6．（2024·廣東惠州·二模）如圖，四邊形ABCD是某學(xué)校的一塊種植實(shí)驗(yàn)基地，其中△ABC是水果園，△ACD是蔬菜園．已知AB∥CD，(1)求證：△ABC∽△CAD；(2)若蔬菜園△ACD的面積為80m2，求水果園△ABC【答案】(1)見解析(2)180m【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵（1）由AB∥CD，可得∠BAC=∠ACD，由ABAC=2718=32（2）由（1）知△ABC∽△CAD，則S△ABCS△CAD【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AB=27m∴ABAC=27∴ABAC∴△ABC∽△CAD．（2）解：由（1）知△ABC∽△CAD，∴S△ABCS△CAD解得，S△ABC答：水果園△ABC的面積為180m2?題型03補(bǔ)全判定相似三角形的證明過程1．（2024·山西·模擬預(yù)測）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：下面是小華同學(xué)，課后學(xué)習(xí)過程中遇到的一個(gè)問題：如圖①，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，CD，BE相交于點(diǎn)P．求證：PEBE小華認(rèn)真思考后，寫出下面的證明過程：連結(jié)DE．∵D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=1∵……；∴……．∴PE任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)是指：______．(2)將材料中的證明過程補(bǔ)充完整．(3)如圖②，在△ABC中，AB=AC，AD為邊BC的中線．點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)O，BF與AD交于點(diǎn)P．則S△POF【答案】(1)三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）(2)見解析(3)S【分析】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．（1）利用三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”解答即可；（2）證明△PDE∽△PCB，即可解答；（3）如圖中，連接DF．設(shè)△POF的面積為a．證明EF∥BC，得出OPPD=OFBD=12，從而得出S【詳解】（1）解：依據(jù)：三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）．（2）解：補(bǔ)充如下：∵DE∥∴∠DEP=∠CBP，∠EDP=∠BCP，∴△PDE∽△PCB，∴PE∴PE（3）解：如圖中，連接DF．設(shè)△POF的面積為a．∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥CB，∵AE=EB，AF=FC，∴EF∥BC，∴△AOF∽△ADC，∴AOAD∴AO=12AD∵OF∥∴△OFP∽△DBP，∴OP∴S∴S∵AF=CF，∴S∴S四邊形∴S△POF2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在初中物理學(xué)中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯(lián)系．請(qǐng)耐心閱讀以下材料：【光學(xué)模型】如圖1，通過凸透鏡光心O的光線AO，其傳播方向不變，平行于主光軸MN的光線AC經(jīng)凸透鏡L折射后通過焦點(diǎn)F'，凸透鏡的兩側(cè)各有一個(gè)焦點(diǎn)F和F'，焦點(diǎn)到光心的距離稱為焦距，記為【模型驗(yàn)證】如圖2，平行于主光軸MN的光線AC經(jīng)凸透鏡L折射后與光線AO的交點(diǎn)為點(diǎn)A'，過點(diǎn)A'作主光軸MN的垂線A'B'，垂足為B已知OB=u，OB'=v，OF'=f，AB=?1，A'B'=?2，當(dāng)證明：∵A'B'∴A'∴△AOB∽△A∴ABA即?1同理可得△COF∴COA'B∴uv=②______，∴uv?uf=vf，∴1f請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決以下問題：(1)在上述證明過程的虛框部分中，得到比例式所用到的幾何知識(shí)是___________；(2)請(qǐng)補(bǔ)充上述證明過程中①②所缺的內(nèi)容（用含v,?(3)如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC并交邊BC于點(diǎn)D，設(shè)AD=n，求1AB+1【答案】(1)相似三角形的性質(zhì)(2)①fv?f，②(3)3【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得?1?2（3）作BE∥AC，交AD的延長線于點(diǎn)E，作DF∥AC，交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD，垂足為G，由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得∠E=∠CAD=∠BAD=30°，再由等角對(duì)等邊可得AB=BE，同理可得AF=DF，證明△ADF∽△AEB，△BDF∽△BCA，可得DFEB=AFAB，DFAC【詳解】（1）解：由題意可得，上述證明過程的虛框部分中，得到比例式所用到的幾何知識(shí)是相似三角形的性質(zhì)，故答案為：相似三角形的性質(zhì)；（2）解：由題意可得，COA'B∴uv故答案為：①fv?f，②f（3）解：如圖，作BE∥AC，交AD的延長線于點(diǎn)E，作DF∥AC，交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAD=30°，又∵BE∥∴∠E=∠CAD=∠BAD=30°，∴AB=BE，∵AC∥∴∠CAD=∠ADF=30°，∴AF=DF，∵BE∥AC，∴BE∥∴△ADF∽△AEB，∴DFEB∵DF∥∴△BDF∽△BCA，∴DFAC∴DFAC又∵EB=AB，∴DFAC+DF∵AF=DF，F(xiàn)G⊥AD，∴AG=GD=1在Rt△AGF中，∠DAF=30°，cos∠GAF=AG∴AF=n∴DF=AF=n∴1AC【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇淮安·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，點(diǎn)E在BC上，連接BD、AE，相交于點(diǎn)G，作∠AEF=∠ABD，交BD于點(diǎn)F，設(shè)BE=x．【變中不變】（1）明明發(fā)現(xiàn)：連接AF，當(dāng)點(diǎn)E的位置在BC上發(fā)生變化時(shí)，∠AFE的度數(shù)始終不變．經(jīng)過思考，他整理出如下說理過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．∵∠AEF=∠ABD，且①_______；∴△FGE∽△AGB；∴GFGA=GE又∵∠1=∠2；∴②_______；∴∠3=∠4；∴∠3+∠AEF=∠4+∠ABD=∠ABE；在矩形ABCD中，∠ABE=90°；∴∠3+∠AEF=90°；∴∠AFE=③_______°，即∠AFE度數(shù)不變．【嘗試應(yīng)用】（2）若x=32，求【思維拓展】（3）將△EFG繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EF'G'，是否存在這樣的x，使得△EF【答案】（1）∠FGE=∠AGB；△BGE∽△AGF；90；（2）EF=6510；（3）x=17?12【分析】（1）證明△FGE∽△AGB推出GFGE=GAGB，再證明（2）由（1）得到∠3=∠4，推出sin∠3=sin∠4（3）分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)F'落在直線DC上時(shí)，過點(diǎn)F作MH⊥BC交AD、BC分別為M，H，證明△FEH≌△EF'CAAS，用x表示出EH，F(xiàn)H，EF，在Rt△EFH中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求解；③當(dāng)點(diǎn)G'落在直線DC上時(shí)，過點(diǎn)G【詳解】解：（1）∵∠AEF=∠ABD，且∠FGE=∠AGB；∴△FGE∽△AGB；∴GFGA=GE又∵∠1=∠2；∴△BGE∽△AGF；∴∠3=∠4；∴∠3+∠AEF=∠4+∠ABD=∠ABE；在矩形ABCD中，∠ABE=90°；∴∠3+∠AEF=90°；∴∠AFE=90°，即∠AFE度數(shù)不變．故答案為：∠FGE=∠AGB；△BGE∽△AGF；90；（2）∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，∴CD=1，BC=2，BD=1∵BE=3∴AE=A由（1）知∠3=∠4，∠AFE=90°，∴sin∠3=∴EFAE=CD解得EF=65（2）存在，①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E都在直線DC上，此時(shí)x=2；②當(dāng)點(diǎn)F'落在直線DC上時(shí)，由旋轉(zhuǎn)得，EF=EF'過點(diǎn)F作MH⊥BC交AD、BC分別為M，∴四邊形CDMH為矩形，∵∠FEH=90°?∠CEF∴△FEH≌△EF∴FH=CE=2?x，F(xiàn)M=MH?FH=1?2?x=x?1，∴EH=CE?CH=4?3x，由勾股定理得AE=A同理EF=CD在Rt△EFH中，EH2整理得49x解得x=97或∵EH=4?3x>0，∴x=11∴x=9③當(dāng)點(diǎn)G'落在直線DC上時(shí)，過點(diǎn)G作MN⊥BC交AD、BC分別為M同理四邊形CDMN為矩形，∴MD=CN，由旋轉(zhuǎn)得，EG=EG'，同理得△ECG≌△GNE，∴CE=GN=BN?tan∴MG=1?GN=x?1，∵AD∥∴△AGD∽△EGB，∴BEAD=GN整理得x2解得x=?1±∴x=17綜上，x=17?12或x=【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查相似三角形的證明過程1．（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）下表是小明填寫的綜合實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容．題目測量河流寬度AB目標(biāo)示意圖測量數(shù)據(jù)BC=2m，BD=5m(1)下面是小亮借助小明的測量數(shù)據(jù)求河流寬度AB的過程，小亮檢查自己的解題過程時(shí)發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)誤，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第______步；解：由已知得CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC=∠ADE=90°．

……第一步又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，

……第二步∴ABBD=DE解得AB=6m．

(2)請(qǐng)你求出河流寬度AB的長．【答案】(1)三(2)25【分析】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用：（1）根據(jù)題意可得：開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第三步；（2）先證明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求解．【詳解】（1）解：開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第三步；故答案為：三（2）解：由已知得CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC=∠ADE=90°．

又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，

∴ABAD∵BC=2m，BD=5m，∴ABAB+5解得：AB=25m2．（22-23九年級(jí)上·河北保定·期中）【閱讀與思考】如圖是兩位同學(xué)對(duì)一道習(xí)題的交流，請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列對(duì)話并完成相應(yīng)的任務(wù)．在△ABC中，AB=8，BC=5，AC=4，D是線段AB上一點(diǎn)，且DB=6，過點(diǎn)D作DE交AC于點(diǎn)E，使以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求DE的長．如圖，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E

∴DE∴DE=AD

這個(gè)解答有兩處錯(cuò)誤，一處是比例式寫錯(cuò)了，另一處是解答過程不完整，沒有分類討論．【解決問題】(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)請(qǐng)將另一種情況畫出相應(yīng)圖形并解答．【答案】(1)DEBC=AD(2)見解析．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）另一個(gè)錯(cuò)誤是沒有進(jìn)行分類討論，過點(diǎn)D作∠ADE=∠ACB，則△ADE∽AACB，可得出結(jié)論．【詳解】（1）正確比例式為：DEBC∴DE=BC?AD（2）另一個(gè)錯(cuò)誤是沒有進(jìn)行分類討論，如圖，過點(diǎn)D作∠ADE=∠ACB，

∵∠A=∠A，則△ADE∽△ACB，∴DE∴DE=AD?BC綜上可得：DE為54或5【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山西運(yùn)城·一模）計(jì)算：(1)?(2)下面是小明作業(yè)中一個(gè)題目的解答過程，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，BE=13BC，連接BD，AE，AE與BD交于點(diǎn)F，已知?ABCD解：作AG⊥BC于點(diǎn)G．∵S?ABCD=BC?AG=24，∴∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴△BEF∽∴BEAD=EF∴S△BEF∴S△BEF任務(wù)一：填空：①上面解答過程中，證明三角形相似的依據(jù)是______．②小明的作業(yè)經(jīng)過老師批改在S△BEF任務(wù)二：請(qǐng)你經(jīng)過正確計(jì)算直接寫出△BEF的面積為______．【答案】(1)?11+(2)①兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；②S△BEF【分析】（1）先計(jì)算平方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，然后進(jìn)行除法和加減運(yùn)算即可；（2）①由題意知，證明三角形相似的依據(jù)是兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似；進(jìn)而可得答案；②由①可知EFAF=13，由△BEF與△ABF的底邊EF，AF上的高相等，可得S△BEFS△ABF=EFAF=【詳解】（1）解：原式=?1÷=?9?2+=?11+（2）解：①由題意知，證明三角形相似的依據(jù)是兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；故答案為：兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．②由①可知EF∵△BEF與△ABF底邊EF，AF上的高相等，∴S故答案為：S△BEF③解：由題意知S△BEFS∴S△ABF=3∵S∴3解得S故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．QUOTE?題型05利用相似三角形的性質(zhì)求解利用相似三角形的性質(zhì)可推得成比例線段，從而建立等式求得未知線段的長.在中考題中常常運(yùn)用相似三角形的面積比等于相似比的平方解決與幾何圖形面積相關(guān)的問題.1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案．若OA=1，則OG=（

）A．125564 B．12564 C．64【答案】C【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，規(guī)律探究；先求解∠BOA=∠BOC=?=360°12=30°【詳解】解：∵12個(gè)相似的直角三角形，∴∠BOA=∠BOC=?=360°OAOB∵OA=1，∴OB=2OC=4OD=1×23∴OG=1×2故選C2．（2022·云南·中考真題）如圖，在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，設(shè)△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2．則S2S1A．12 B．14 C．34【答案】B【分析】先判定△EBD～△ABC，得到相似比為12【詳解】解：∵D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，∴BEAB又∵∠B=∠B，∴△EBD～△ABC，相似比為12∴S2故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇連云港·中考真題）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為1:3，∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，則A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】C【分析】根據(jù)平行得到ΔADE～ΔABC，根據(jù)相似的性質(zhì)得出ADAB=【詳解】解：∵在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠A=∠A，∴Δ∴AD∵ADDB∴DE∵DE=6cm∴BC=5DE故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用相似求線段長，涉及到平行線的性質(zhì)、兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，DEBC(1)若AB=8，求線段AD的長．(2)若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四邊形對(duì)邊平行證明△ADE∽△ABC，得到（2）利用平行條件證明△ADE∽△EFC，分別求出△ADE與△EFC、△ADE與△ABC的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出【詳解】（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥∴△ADE∽∴DEBC∵DEBC∴ADAB∴AD=1（2）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED=∠ECF,∠EAD=∠CEF，∴△ADE∴S△ADE∵DEBC=14，∴FC=BC?DE=4DE?DE=3DE，∴DEFC∴S△ADE∵△ADE∽△ABC，∴S△ADE∵S△ADE∴S△EFC∴S?BFED【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運(yùn)用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關(guān)鍵．?題型06利用相似的性質(zhì)求坐標(biāo)1．（2020·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為?4,0、0,4，點(diǎn)C3,n在第一象限內(nèi)，連接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，則n=【答案】14【分析】過點(diǎn)C作CD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，先證△CDE≌△CDB（ASA），進(jìn)而可得DE＝DB＝4－n，再證△AOE∽△CDE，進(jìn)而可得43【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y軸，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴△AOE∽△CDE，∴AOCD∴43解得：n=14故答案為：145【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=?3x與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于A，B1,m兩點(diǎn)，點(diǎn)C在

(1)m=______，k=______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．(2)點(diǎn)P在x軸上，若以B，O，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)?3，?3，?4,0(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為4,0或5【分析】（1）點(diǎn)B是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出m，k的值；根據(jù)“A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）根據(jù)點(diǎn)P在x軸上，結(jié)合圖形，排除點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上的情形，當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，兩個(gè)三角形中已有一對(duì)角相等，而夾角的兩邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故分類討論：①△AOC∽△BOP；②△AOC∽△POB．分別求出兩種情況下OP的長，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）（1）將B1,m代入y=?3x，得m=?3×1=?3∴B1,?3將B1,?3代入y=kx∴k=?3．如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠ADC=90°．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴A?1,3∴OD=1，又∵∠ACO=45°，∴CD=AD=3，∴OC=OD+CD=1+3=4，∴C?4,0故答案為：?3，?3，?4,0；（2）由（1）可知，B1,?3，A當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，∠BOP>90°，∴∠BOP>∠AOC．又∵∠BOP>∠ACO，∴△BOP與△AOC不可能相似．當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，∠AOC=∠BOP．①若△AOC∽△BOP，則OAOB∵OA=OB，∴OP=OC=4，∴P4②若△AOC∽△POB，則OAOP又∵OA=?12+∴OP=5∴P5綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為4，0或【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，并能利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想分析是解答本題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，以點(diǎn)C0,1為位似中心，將△ABC按相似比2:1放大，得到△DEC，則點(diǎn)A2,?1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為【答案】4,?3或?4,5/?4,5或4,?3【分析】本題主要考查了位似變換、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，理解位似圖形的定義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．分△ABC與△DEC在y軸同側(cè)和△ABC與△DEC在y軸異側(cè)兩種情況討論，分別求解即可．【詳解】解：分兩種情況討論，①如下圖，當(dāng)△ABC與△DEC在y軸同側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，∵A2,?1，C∴AM=2，CM=1??1=2，∵將△ABC按相似比2:1放大，得到△DEC，∴CACD∵∠ACM=∠DCN，∠AMC=∠DNC=90°，∴△ACM∽△DCN，∴AMDN=CM解得DN=4，CN=4，∴ON=CN?OC=4?1=3，∴D4,?3②如下圖，當(dāng)△ABC與△DEC在y軸異側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，由①可知，AM=2，CM=2，CACD∵∠ACM=∠DCN，∠AMC=∠DNC=90°，∴△ACM∽△DCN，∴AMDN=CM解得DN=4，CN=4，∴ON=CN+OC=4+1=5∴D?4,5故答案為：4,?3或?4,5．4．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知拋物線W：y=ax2+bx+ca≠0交x軸于點(diǎn)A?1，0(1)求出拋物線W的解析式；(2)已知拋物線的對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)P為拋物線W上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q，連接PD，若△PQD∽△AOC，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)?2，5【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先把解析式化為頂點(diǎn)式得到拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，?4，設(shè)Pm，m2?2m?3，則Q1，【詳解】（1）解：∵拋物線W：y=ax2+bx+ca≠0交x軸于點(diǎn)A?1∴a?b+c=09a+3b+c=0∴a=1b=?2∴拋物線W的解析式為y=x（2）解：∵拋物線解析式為y=x∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，設(shè)Pm，m∴PQ=m?1∵A?1∴OA=1，∵△PQD∽△AOC，∴PQOA=DQ∴m2∴m2?2m+1=3m?3或∴m2?5m+4=0或解得m=1（舍去）或m=4或m=?2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?2，5或?題型07相似三角形在網(wǎng)格中的應(yīng)用1．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．設(shè)△ABC的周長為C1，△DEF的周長為C2，則C1C2【答案】2【分析】先證明兩個(gè)三角形相似，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，得出周長比的值便可．【詳解】解：∵DEABEFBCDFAC∴DEAB∴△ABC∽△DEF，∴C1故答案為：22【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，本題關(guān)鍵是證明三角形相似．2．（2020·浙江湖州·中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是．【答案】52【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)確定兩直角邊的比值為1：2，以及6×6網(wǎng)格圖形中，最長線段為62，進(jìn)行嘗試，可確定10、210、5【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，∴AB=5，AC：BC=1：2，∴與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形的兩直角邊的比值為1：2，若該三角形最短邊長為4，則另一直角邊長為8，但在6×6網(wǎng)格圖形中，最長線段為62，但此時(shí)畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點(diǎn)都在格點(diǎn)且長為8的線段，故最短直角邊長應(yīng)小于4，在圖中嘗試，可畫出DE=10，EF=210，DF=52的三角形，∵101=2102=5∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF=∠C=90°，∴此時(shí)△DEF的面積為：10×210÷2=10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為：52．故答案為：52．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．3．（2024·河南洛陽·一模）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡，要求：借助網(wǎng)格，只用無刻度的直尺，不要求寫出畫法）(1)在圖①中，在線段AB上畫出點(diǎn)M，使AM=3BM.(2)在圖②中，在線段AB上畫出點(diǎn)N，使AN=2BN(3)在圖③中，在線段AB上畫出點(diǎn)Q，使PQ⊥AB.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）取格點(diǎn)C，D，使AC=3,BD=1，且AC∥BD，連接CD，交AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求．（2）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE=2,BF=1，且AE∥BF，連接EF，交AB于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求．（3）利用網(wǎng)格，過點(diǎn)P作AB的垂線，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q【詳解】（1）解：如圖①，取格點(diǎn)C，D，使AC=3,BD=1，且AC∥BD，連接CD，交AB于點(diǎn)M，則△ACM∽△BDM，∴AM即AM=3BM，則點(diǎn)M即為所求．（2）如圖②，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE=2,BF=1，且AE∥BF，連接EF，交AB于點(diǎn)N，則△AEN∽△BFN，∴AN即∴AN=2BN，則點(diǎn)N即為所求．（3）如圖③，取格點(diǎn)G，連接PG交AB于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．?題型08相似三角形的性質(zhì)與判定綜合由于相似三角形具有對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的特性，因此在求線段的長及角的大小時(shí)，可以找出邊、角所在的三角形，然后尋找條件證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而求出線段的長及角的大小.1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交與點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC延長線上，OE與CD相交與點(diǎn)F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，則菱形【答案】96【分析】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．作OH∥BC交CD于點(diǎn)H，則△DOH∽△DBC，求得OH=12BC=5，再證明△OFH∽△EFC，求得EC=6，再證明∠OEC=∠COE【詳解】解：作OH∥BC交CD于點(diǎn)H，則∵四邊形ABCD是邊長為10的菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)∴BC=10，OD=OB=12BD，OA=OC∴OHBC=OD∴OH=1∵OH∥BC，∴△OFH∽△EFC，∴OHEC∴EC=6∵四邊形ABCD是菱形，且∠ACD=2∠OEC，∴∠ACB=∠ACD=2∠OEC=∠COE+∠OEC，∴∠OEC=∠COE，∴OC=EC=6，∴OB=B∴BD=2OB=16，AC=2OC=12，∴S菱形故答案為：96．2．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)M,N在AD邊上，AM=DN，連接CM并延長交BA的延長線于點(diǎn)E，連接BN并延長交CD的延長線于點(diǎn)F．求證：AE=DF．小麗的思考過程如下：參考小麗的思考過程，完成推理．【答案】見解析【分析】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明△AEM∽△DCM，可得AEDC=AMDM，同理可得：【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB∥∴△AEM∽△DCM∴AE同理可得，△FDN∽△ABN，∴DF又∵AM=DN，∴AM+MN=DN+MN即AN=DM，∴又∵AB=CD，∴AE=DF．3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對(duì)三角形的相似進(jìn)行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足為D．（1）興趣小組的同學(xué)得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A請(qǐng)完成填空：①______；②______；（2）如圖2，F(xiàn)為線段CD上一點(diǎn)，連接AF并延長至點(diǎn)E，連接CE，當(dāng)∠ACE=∠AFC時(shí)，請(qǐng)判斷△AEB的形狀，并說明理由．（二）學(xué)以致用（3）如圖3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面內(nèi)一點(diǎn)D，滿足AD=AC，連接CD并延長至點(diǎn)E，且∠CEB=∠CBD，當(dāng)線段BE的長度取得最小值時(shí)，求線段CE【答案】（1）①∠ACD；②ACAD；（2）△AEB是直角三角形，證明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（2）證明△ACF∽△AEC，得出ACAF=AEAC，證明（3）證明△CEB∽△CBD，得出CECB=CBCD，求出CD?CE=CB2=262=24，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作⊙A，則C,D都在⊙A上，延長CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，連接E0E，證明△ECE0∽△D0【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴AB∴AC（2）△AEB是直角三角形；理由如下：∵∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC∴△ACF∽△AEC，∴AC∴AC由（1）得AC∴AF?AE=AD?AB，∴AF∵∠FAD=∠BAE，∴△AFD∽△ABE，∴∠ADF=∠AEB=90°，∴△AEB是直角三角形．（3）∵∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD，∴△CEB∽△CBD，∴CE∴CD?CE=CB如圖，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作⊙A，則C,D都在⊙A上，延長CA到E0，使CE0=6，交⊙A于則CD∵CD0為∴∠CDD∴CD∴CD∵∠ECE∴△ECE∴∠CDD∴點(diǎn)E在過點(diǎn)E0且與C過點(diǎn)B作BE'⊥E0∵垂線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E'處時(shí)，BE即BE的最小值為BE∵∠CE∴四邊形CE∴BE在Rt△CE0即當(dāng)線段BE的長度取得最小值時(shí)，線段CE的長為215【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．4．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上．若∠BAD=∠C，則AB（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，CA=CD=2，點(diǎn)E在AB上，連接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延長AD，BF相交于點(diǎn)G．若BE=4，DG=6，求FG的長．【答案】（1）見解析；（2）BE=13?1【分析】（1）證明△ABD∽△CBA，得出ABBC（2）過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，解直角三角形得出CF=AC×sin60°=2×32=3，AF=AC×cos60°=2×12=1，證明△BDG∽△BCF，得出DGCF=（3）連接BD，證明△BED∽△GEB，得出DEBE=BEEG，求出DE=2，證明△ABE為直角三角形，得出∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理求出BG=B【詳解】解：（1）∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC∴AB（2）過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，如圖所示：則∠AFC=∠AGD=90°，∴DF∥∵∠BAC=60°，∴CF=AC×sin60°=2×3∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD=1∵DF∥∴△BDG∽△BCF，∴DGCF∴DG=1∴BG=B∴BF=2BG=13∴AB=AF+BF=1+13∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠AED=∠CAD，∴∠AED=∠CDA，∴∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=180°，∴∠BED=∠ADB，∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BAD，∴BEBD即BE2解得：BE=13（3）連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，AD=AB=BC=5∵∠ABC=2∠EBF，∴∠ABD=∠CBD=∠EBF，∴∠EBF?∠DBF=∠CBD?∠DBF，即∠DBE=∠CBF，∵AD∥∴∠CBF=∠G，∴∠DBE=∠G，∵∠DEB=∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴DEBE∵DG=6，∴EG=DE+6，∴DE4解得：DE=2，負(fù)值舍去，∴EG=2+6=8，∴AE=AD?DE=3，∵AE∴△ABE為直角三角形，∠AEB=90°，∴∠BEG=180°?90°=90°，∴在Rt△BEGBG=B∴BF=BG?FG=45∵AD∥∴△DFG∽△CFB，∴FGBF即FG4解得：FG=24【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．命題點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定-拔高?題型01利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決折疊問題1．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，將矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)A，B分別落在邊AD、BC上的點(diǎn)A'，B'處，EF，A'F分別交AC于點(diǎn)G，H．若GH=2，HC=8，則A．2029 B．2039 【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．先證明AG=GF=GO，設(shè)AG=GF=GO=x，證明△AEG∽△CFG和△AA'H∽△CFH，推出AECF=EGx=x10和【詳解】解：如圖，A'B'交AC∵矩形ABCD，∴AD∥由折疊的性質(zhì)得AE=A'E，BF=B'∴AB∥EF∥OB∴AGGO∴AG=OG，∵AF平分∠BAC，AB∥∴∠GAF=∠BAF=∠GFA，∴AG=GF=GO，設(shè)AG=GF=GO=x，∵GH=2，HC=8，∴HO=x?2，GC=8+2=10，∵AE∥∴△AEG∽△CFG，∴AECF=EG∵AA∴△AA∴AA'CF∵AA由①②得x+28解得x=103，則在Rt△CFG中，CF=∵AE20∴AE=2029故答案為：A．2．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點(diǎn)B落在B'處，CB'⊥AD，垂足為F

若CF=4cm【答案】257/【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，和三角形的相似判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵CF=4cm∴CB由翻折，菱形的性質(zhì)，得：CB=CD=CB'=5cm，∵CB∴CB∴∠BCB∴∠BCE=∠B∵CD=5，∴FD=3，過點(diǎn)E作EG⊥BC，設(shè)CG=x，則EG=x，∵∠B=∠D，∠BGE=∠DFC，∴△EGB∽△CFD，∴EGCF∴x4解得：x=20∴BE=25故答案為：257【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE,AC分別與DF,EF相交于G,H兩點(diǎn)．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的長是．

【答案】m【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°，從而可得S△FHG=S【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵折疊△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S△BDE=∵DE平分等邊△ABC的面積，∴S∴S又∵∠AGD=∠FGH,∠CHE=∠FHG，∴△ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG，∴S△ADGS∴S∴GH解得GH=m2+故答案為：m2【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A,D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E,F，連接BM．

(1)求證：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的長．【答案】(1)證明見解析(2)MD=【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，則∠EMB=∠EBM，進(jìn)而證明∠BMP=∠MBC，再由平行線的性質(zhì)證明∠AMB=∠MBC即可證明（2）如圖，延長MN,BC交于點(diǎn)Q．證明△DMP∽△CQP得到QC=2MD，QP=2MP，設(shè)MD=x，則QC=2x，BQ=3+2x．由∠BMQ=∠MBQ，得到MQ=BQ=3+2x．則MP=13MQ=3+2x3【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，∠EMP=∠EBC=90°，∴∠EMB=∠EBM．∴∠EMP?∠EMB=∠EBC?∠EBM，即∠BMP=∠MBC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠AMB=∠MBC．∴∠AMB=∠BMP．（2）解：如圖，延長MN,BC交于點(diǎn)Q．∵AD∥∴△DMP∽△CQP．又∵DP=1，正方形ABCD邊長為3，∴CP=2∴MDQC∴QC=2MD，QP=2MP，設(shè)MD=x，則QC=2x，∴BQ=3+2x．∵∠BMP=∠MBC，即∠BMQ=∠MBQ，∴MQ=BQ=3+2x．∴MP=1在Rt△DMP中，M∴x2解得：x1=0（舍），∴MD=12

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2024·湖北·中考真題）在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊CD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，PG交BC于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：△DEP∽△CPH；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點(diǎn)，AB=2，AD=3時(shí)，求GH的長；(3)如圖3，連接BG，當(dāng)P，H分別為CD，BC的中點(diǎn)時(shí)，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)GH=(3)BG=6【分析】（1）證明對(duì)應(yīng)角相等，即可得到△EDP∽△PCH；（2）根據(jù)△EDP∽△PCH，求得PH的長度，從而得出GH長度；（3）延長AB，PG交于一點(diǎn)M，連接AP，先證明△MBH≌△PCH，得到相等的邊，再根據(jù)△BMG∽△MAP，得出大小關(guān)系．【詳解】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∵E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，∵P為CD中點(diǎn)，∴DP=CP=1設(shè)EP=AE=x，∴ED=AD?x=3?x，在Rt△EDP中，E即x2解得x=5∴EP=AE=x=5∴ED=AD?AE=4∵△EDP∽△PCH，∴EDPC=EP∴PH=5∵PG=AB=2，∴GH=PG?PH=3（3）解：如圖，延長AB，PG交于一點(diǎn)M，連接AP，∵E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在CD上，∴AP⊥EF，BG⊥直線EF，∴BG∥AP，∵AE=EP，∴∠EAP=∠EPA，∴∠BAP=∠GPA，∴△MAP是等腰三角形，∴MA=MP，∵P為CD中點(diǎn)，∴設(shè)DP=CP=y，∴AB=PG=CD=2y，∵H為BC中點(diǎn)，∴BH=CH，∵∠BHM=∠CHP，∠CBM=∠PCH，∴△MBH≌△PCH(ASA∴BM=CP=y，HM=HP，∴MP=MA=MB+AB=3y，∴HP=1在Rt△PCH中，CH=∴BC=2CH=5∴AD=BC=5在Rt△APD中，AP=∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP，∴BGAP∴BG=6∴ABBG∴AB=6BG，即【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解題關(guān)鍵．?題型02利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)態(tài)函數(shù)圖像1．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，在△DEF中，DE=DF=5，EF=8，BC與EF在同一條直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．△ABC以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段EF所在直線向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，△ABC停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△ABC與△DEF重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分0≤t<4，4≤t<8，8≤t<12三種情況，分別求出函數(shù)解析即可判斷．【詳解】解：過點(diǎn)D作DH⊥CB于H，，∵DE=DF=5，EF=8，∴EH=FH=1∴DH=當(dāng)0≤t<4時(shí)，如圖，重疊部分為△EPQ，此時(shí)EQ=t，PQ∥，∴△EPQ∽△EDH，∴PQDH=EQ∴PQ=∴S=1當(dāng)4≤t<8時(shí)，如圖，重疊部分為四邊形PQC'B'，此時(shí)

∴B'F=BC+CF?BB∵PB∴△PB∴S△P又S△DCF∴S△P∴S△P∵DH⊥BC，∠A∴A'∴△C∴S△C'∴S△∴S=S當(dāng)8≤t<12時(shí)如圖，重疊部分為四邊形△PFB'，此時(shí)BB

∴B'∵PB∴△PB∴S△PB∴S=S綜上，S=3∴符合題意的函數(shù)圖象是選項(xiàng)A．故選：A．【點(diǎn)睛】此題結(jié)合圖像平移時(shí)面積的變化規(guī)律，考查二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，根據(jù)平移點(diǎn)的特點(diǎn)列出函數(shù)表達(dá)式是關(guān)鍵，有一定難度．2．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC平分∠DAB．設(shè)AB=x，AD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（A．B．C．D．【答案】D【分析】先證明CD=AD=y，過D點(diǎn)做DE⊥AC于點(diǎn)E，證明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性質(zhì)可得函數(shù)關(guān)系式，從而可得答案．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，∴∠ACD=∠CAD，則CD=AD=y，即△ACD為等腰三角形，過D點(diǎn)做DE⊥AC于點(diǎn)E．則DE垂直平分AC，AE=CE=12AC=3∵∠BAC=∠CAD，∠B=∠AED=90°，∴△ABC∽△AED，∴ACAD∴6y∴y=18∵在△ABC中，AB<AC，∴x<6，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象，證明△ABC∽△AED是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】過點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF，進(jìn)而求出函數(shù)關(guān)系式，由此即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H，

根據(jù)相似比可知：EFBC即EF6解得：EF=2（3-x），則△DEF的面積y=12×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-32)2+故y關(guān)于x的函數(shù)圖象是一個(gè)開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(32，9故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．4．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=3，BC=4，AD=5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按A→B→C的方向在AB，BC邊上移動(dòng)，記PA=xx>0，點(diǎn)D到直線PA的距離為y，則y關(guān)于xA．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖象，關(guān)鍵是利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于根據(jù)點(diǎn)P的位置分兩種情況討論．分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D到直線PA的距離不變，恒為5；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△PAB∽△ADE，即可判斷出y=15x(3<x≤5)，據(jù)此判斷出y【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D到直線PA的距離為：y=DA=5(0≤x≤3)，即點(diǎn)D到PA的距離為AD的長度，是定值5；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，連接AC，過D作DE⊥AP于E，如圖所示：∵AB=3，BC=4，∴AC=A∵AD∥∴∠APB=∠DAE，∵∠ABP=∠AED=90°，∴△PAB∽△ADE，∴PAAD∴x5∴y=15綜上，觀察各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖形符合．故選：B．QUOTE?題型03利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值1．（2024·福建·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，AE⊥OC，垂足為E,BE的延長線交AD于點(diǎn)F．(1)求OEAE(2)求證：△AEB∽△BEC；(3)求證：AD與EF互相平分．【答案】(1)1(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）先證得AC=2AO，再在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACAO=2．在Rt（2）過點(diǎn)B作BM∥AE，交EO延長線于點(diǎn)M，先證明△AOE≌△BOM，可得AE=BM,OE=OM，再證得∠BAE=∠CBE，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；（3）如圖，連接DE,DF，由（2）△AEB∽△BEC，可得AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD,∠EAO=∠EBD，從而得出△AOE∽△BDE【詳解】（1）∵AB=AC，且AB是⊙O的直徑，∴AC=2AO．∵∠BAC=90°，∴在Rt△AOC中，tan∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中，tan∴AE∴OE（2）過點(diǎn)B作BM∥AE，交EO延長線于點(diǎn)M．∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°．∵AO=