最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)專(zhuān)題講義一、核心知識(shí)點(diǎn)1.基本概念最大公因數(shù)（GCD）：幾個(gè)數(shù)公有的最大因數(shù)

最小公倍數(shù)（LCM）：幾個(gè)數(shù)公有的最小倍數(shù)2.求解方法列舉法：GCD：列出所有公因數(shù)取最大

LCM：列出公倍數(shù)取最小短除法：用公因數(shù)連續(xù)除，直到商互質(zhì)

GCD=所有除數(shù)乘積，LCM=除數(shù)與商的乘積分解質(zhì)因數(shù)法：GCD=共有質(zhì)因數(shù)的最低次冪乘積

LCM=所有質(zhì)因數(shù)的最高次冪乘積3.重要性質(zhì)兩數(shù)乘積=GCD×LCM

若兩數(shù)互質(zhì)，則GCD=1，LCM=兩數(shù)乘積二、典型例題.例題1：求36和48的最大公因數(shù).解析（短除法）

GCD=.例題2：求15和28的最小公倍數(shù).解析：分解質(zhì)因數(shù)：

LCM=.例題3：三根木棍分別長(zhǎng)24cm、36cm、60cm，截成等長(zhǎng)小段的最長(zhǎng)長(zhǎng)度.解析：分解質(zhì)因數(shù)：

GCD=.例題4：甲每6天值日，乙每8天值日，至少多少天后共同值日？解析：短除法求LCM：

LCM=天.例題5：用分解質(zhì)因數(shù)法求GCD(72,90).解析：

GCD=.例題6：已知兩個(gè)數(shù)GCD=12，LCM=72，求這兩個(gè)數(shù).解析：設(shè)兩數(shù)為和（互質(zhì)）

可能組合：與或與.例題7：一盒糖分給6人或8人都剩3顆，求糖數(shù)（不足50顆）.解析：求LCM(6,8)=24

解為顆.例題8：求12、18、30的LCM.解析：分解質(zhì)因數(shù)：

LCM=.例題9：兩數(shù)和為60，GCD=12，求這兩個(gè)數(shù).解析：設(shè)兩數(shù)為和，則

互質(zhì)組合：→12與48；→24與36.例題10：時(shí)鐘A每18分鐘響一次，B每24分鐘響一次，現(xiàn)在A和B同時(shí)響起，問(wèn)多少分鐘后A和B再次同時(shí)響起.解析：分解質(zhì)因數(shù)：

LCM=分鐘.三、強(qiáng)化練習(xí).習(xí)題1：求GCD(54,81).習(xí)題2：求LCM(9,12,15).習(xí)題3：用36朵紅花和48朵黃花扎花束，問(wèn)最多能扎多少束花束.習(xí)題4：已知兩個(gè)數(shù)GCD=15，其中一數(shù)90，求另一數(shù).習(xí)題5：一筐蘋(píng)果3個(gè)3個(gè)數(shù)剩2，5個(gè)5個(gè)數(shù)剩1，求最少數(shù)量.習(xí)題6：求16、20、28的GCD.習(xí)題7：已知兩個(gè)數(shù)GCD=12，LCM=180，求這兩個(gè)數(shù).習(xí)題8：甲每10天理一次發(fā)，乙每12天理一次發(fā)，丙每15天理一次發(fā).求甲、乙、丙理發(fā)周期的最小公倍數(shù).習(xí)題9：一個(gè)數(shù)除以6余1，除以8余5的最小自然數(shù).習(xí)題10：一種地磚長(zhǎng)和寬分別為28cm和20cm，現(xiàn)在用若干塊這種地磚鋪成正方形.問(wèn)最少需要多少塊磚.習(xí)題11求GCD(105,140).習(xí)題12：求LCM(16,24,36).習(xí)題13：兩個(gè)數(shù)GCD=8，和為72，求所有這樣兩位數(shù)的組合.習(xí)題14：甲閃光燈每15秒閃一次，乙閃光燈每20秒閃光一次.求甲、乙閃光燈的最小同步時(shí)間.習(xí)題15用短除法求GCD(84,126).習(xí)題16：三個(gè)齒輪齒數(shù)分別為30、45、60，首次同時(shí)回到原位需轉(zhuǎn)多少圈？習(xí)題17：一個(gè)數(shù)除以7余3，除以9余5，求該數(shù)的最小解.習(xí)題18：用36個(gè)紅球和60個(gè)藍(lán)球裝禮盒，每盒顏色分布相同，最多裝幾盒？習(xí)題19：已知兩個(gè)數(shù)GCD=6，LCM=210，求這兩個(gè)數(shù).習(xí)題20：三個(gè)齒輪A、B、C齒數(shù)分別為24、36、48齒，A與B咬合，B與C咬合，問(wèn)旋轉(zhuǎn)多少圈后三者恢復(fù)初始位置關(guān)系.

最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)專(zhuān)題講義解析版一、核心知識(shí)點(diǎn)1.基本概念最大公因數(shù)（GCD）：幾個(gè)數(shù)公有的最大因數(shù)

最小公倍數(shù)（LCM）：幾個(gè)數(shù)公有的最小倍數(shù)2.求解方法列舉法：GCD：列出所有公因數(shù)取最大

LCM：列出公倍數(shù)取最小短除法：用公因數(shù)連續(xù)除，直到商互質(zhì)

GCD=所有除數(shù)乘積，LCM=除數(shù)與商的乘積分解質(zhì)因數(shù)法：GCD=共有質(zhì)因數(shù)的最低次冪乘積

LCM=所有質(zhì)因數(shù)的最高次冪乘積3.重要性質(zhì)兩數(shù)乘積=GCD×LCM

若兩數(shù)互質(zhì)，則GCD=1，LCM=兩數(shù)乘積二、典型例題.例題1：求36和48的最大公因數(shù).解析（短除法）

GCD=.例題2：求15和28的最小公倍數(shù).解析：分解質(zhì)因數(shù)：

LCM=.例題3：三根木棍分別長(zhǎng)24cm、36cm、60cm，截成等長(zhǎng)小段的最長(zhǎng)長(zhǎng)度.解析：分解質(zhì)因數(shù)：

GCD=.例題4：甲每6天值日，乙每8天值日，至少多少天后共同值日？解析：短除法求LCM：

LCM=天.例題5：用分解質(zhì)因數(shù)法求GCD(72,90).解析：

GCD=.例題6：已知兩個(gè)數(shù)GCD=12，LCM=72，求這兩個(gè)數(shù).解析：設(shè)兩數(shù)為和（互質(zhì)）

可能組合：與或與.例題7：一盒糖分給6人或8人都剩3顆，求糖數(shù)（不足50顆）.解析：求LCM(6,8)=24

解為顆.例題8：求12、18、30的LCM.解析：分解質(zhì)因數(shù)：

LCM=.例題9：兩數(shù)和為60，GCD=12，求這兩個(gè)數(shù).解析：設(shè)兩數(shù)為和，則

互質(zhì)組合：→12與48；→24與36.例題10：時(shí)鐘A每18分鐘響一次，B每24分鐘響一次，現(xiàn)在A和B同時(shí)響起，問(wèn)多少分鐘后A和B再次同時(shí)響起.解析：分解質(zhì)因數(shù)：

LCM=分鐘.三、強(qiáng)化練習(xí).習(xí)題1：求GCD(54,81).解析：

GCD=.習(xí)題2：求LCM(9,12,15).解析：短除法：

LCM=.習(xí)題3：用36朵紅花和48朵黃花扎花束，問(wèn)最多能扎多少束花束.解析：GCD(36,48)=12束.習(xí)題4：已知兩個(gè)數(shù)GCD=15，其中一數(shù)90，求另一數(shù).解析：

另一數(shù)可能為或.習(xí)題5：一筐蘋(píng)果3個(gè)3個(gè)數(shù)剩2，5個(gè)5個(gè)數(shù)剩1，求最少數(shù)量.解析：試算得最小解11：，余1.習(xí)題6：求16、20、28的GCD.解析：分解質(zhì)因數(shù)：

，，

GCD=.習(xí)題7：已知兩個(gè)數(shù)GCD=12，LCM=180，求這兩個(gè)數(shù).解析：兩數(shù)乘積=

可能組合：36與60（驗(yàn)證：GCD(36,60)=12，LCM=180）.習(xí)題8：甲每10天理一次發(fā)，乙每12天理一次發(fā)，丙每15天理一次發(fā).求甲、乙、丙理發(fā)周期的最小公倍數(shù).解析：分解質(zhì)因數(shù)：

，，

LCM=天.習(xí)題9：一個(gè)數(shù)除以6余1，除以8余5的最小自然數(shù).解析：設(shè)數(shù)=→試算得最小解13.習(xí)題10：一種地磚長(zhǎng)和寬分別為28cm和20cm，現(xiàn)在用若干塊這種地磚鋪成正方形.問(wèn)最少需要多少塊磚.解析：LCM(28,20)=140cm→塊.習(xí)題11求GCD(105,140).解析：短除法：

GCD=.習(xí)題12：求LCM(16,24,36).解析：分解質(zhì)因數(shù)：

，，

LCM=.習(xí)題13：兩個(gè)數(shù)GCD=8，和為72，求所有這樣兩位數(shù)的組合.解析：設(shè)數(shù)為和（且互質(zhì)）.解為：(8,64)和(16,56).習(xí)題14：甲閃光燈每15秒閃一次，乙閃光燈每20秒閃光一次.求甲、乙閃光燈的最小同步時(shí)間.解析：LCM(15,20)=60秒.習(xí)題15用短除法求GCD(84,126).解析：

GCD=.習(xí)題16：三個(gè)齒輪齒數(shù)分別為30、45、60，首次同時(shí)回到原位需轉(zhuǎn)多少圈？解析：齒數(shù)30、45、60的LCM=180→轉(zhuǎn)6圈、4圈、3圈.習(xí)題17：一個(gè)數(shù)除以7余3，除以9余5，求該數(shù)的最小解.解析：試算得最小解59：，.習(xí)題18：用36個(gè)紅球和60個(gè)藍(lán)球裝禮盒，每盒顏色分布相同，最多裝幾盒？解析：GCD(36,60