10.9靜電場中的功能關系

學習目標

課程標準物理素養

3.1.5知道靜電場中的電

荷具有電勢能。了解電勢物理觀念：理解電勢能的變化與靜電力做功的關系。知道常見的電勢能零點

能、電勢的含義。了解電的規定方法。

勢差的含義。知道勻強電科學思維：會計算靜電力所做的功。

場中電勢差與電場強度的科學探究：通過解決帶電粒子在電場中加速和偏轉的問題，加深對牛頓運動

關系。能分析帶電粒子在定律和功能關系兩個角度分析物體運動的認識，以及將勻變速曲線運動分解

電場中的運動情況，能解為兩個方向上的簡單運動來處理的思路的認識。

釋相關的物理現象。科學態度與責任：體會能量觀點是分析物理問題的重要方法。

02思維導圖

處理電場中能量問題的基本方法

在解決電場中的能量問題時常用到的基本規律有動能定理、能量守恒定律，有時也會用到功能關系。

(1)應用動能定理解決問題需研究合外力的功(或總功)。

(2)應用能量守恒定律解決問題需注意電勢能和其他形式能之間的轉化。

(3)應用功能關系解決該類問題需明確電場力做功與電勢能改變之間的對應關系。

(4)有電場力做功的過程機械能一般不守恒，但機械能與電勢能的總和可以不變。

03知識梳理

（一）課前研讀課本，梳理基礎知識：

一、電場中常見的功能關系

1.除重力之外，其他力對物體做的功等于物體能的變化量．

2.所有外力對物體所做的總功等于物體的變化量．

二、電場中常見的能量守恒

1．若只有做功，電勢能與動能之和保持不變．

2.若只有靜電力和重力做功，、重力勢能、動能之和保持不變．

04題型精講

【題型一】圖像中的功能關系

【典型例題1】[多選]如圖甲所示，一光滑絕緣細桿豎直放置，距細桿右側d的A點處有一固定的正電荷，

細桿上套有一帶電小環，設小環與點電荷的豎直高度差為h，將小環無初速度地從h高處釋放后，在下落至

h＝0的過程中，其動能Ek隨h的變化曲線如圖乙所示，則()

A．小環可能帶負電

B．從h高處下落至h＝0的過程中，小環電勢能增加

C．從h高處下落至h＝0的過程中，經過了加速、減速、再加速三個階段

D．小環將做以O點為中心的往復運動

【典型例題2】（多選）甲所示，兩水平金屬板間距為d，板間電場強度的變化規律如圖乙所示。t＝0時刻，

T

質量為m的帶電微粒以初速度v0沿中線射入兩板間，0～時間內微粒勻速運動，T時刻微粒恰好經金屬板

3

邊緣飛出。微粒運動過程中未與金屬板接觸。重力加速度的大小為g。關于微粒在0～T時間內運動的描述

正確的是()

A．末速度大小為2v0

B．末速度沿水平方向

1

C．重力勢能減少了mgd

2

D．克服電場力做功為mgd

【對點訓練1】一帶負電粒子只在電場力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能Ep隨位移x的變化關系如圖

所示，則粒子在從x1向x3運動的過程中，下列說法中正確的是()

A．在x1處粒子速度最大

B．在x2處粒子加速度最大

C．在x3處電勢最高

D．在x2處電勢為零

【對點訓練2】(多選)如圖甲所示，有一絕緣圓環，圓環上均勻分布著正電荷，圓環平面與豎直平面重合．一

光滑細桿沿垂直圓環平面的軸線穿過圓環，細桿上套有一個質量為m＝10g的帶正電的小球，小球所帶電

－

荷量q＝5.0×104C．小球從C點由靜止釋放，其沿細桿由C經B向A運動的v－t圖像如圖乙所示．小球

運動到B點時，速度圖像的切線斜率最大(圖中標出了該切線)．則下列說法正確的是()

A．由C到A的過程中，小球的電勢能先減小后變大

B．由C到A電勢逐漸降低

C．C、B兩點間的電勢差UCB＝0.9V

D．在O點右側桿上，B點場強最大，場強大小為E＝1.2V/m

【題型二】圓周運動中的功能關系

【典型例題3】(多選)如圖所示，可視為質點的質量為m且電荷量為q的帶電小球，用一絕緣輕質細繩懸掛

3mg

于O點，繩長為L，現加一水平向右的足夠大的勻強電場，電場強度大小為E＝，小球初始位置在最低

4q

點，若給小球一個水平向右的初速度，使小球能夠在豎直面內做圓周運動，忽略空氣阻力，重力加速度為g.

則下列說法正確的是()

A．小球在運動過程中機械能守恒

B．小球在運動過程中機械能不守恒

C．小球在運動過程中的最小速度至少為gL

5

D．小球在運動過程中的最大速度至少為gL

2

【典型例題4】(多選)如圖所示，半徑為R的環形塑料管豎直放置，內壁光滑，AB為該環的水平直徑，管

的內徑遠小于環的半徑，直徑AB及其以下部分處于水平向左的勻強電場中。現將一直徑略小于塑料管內徑、

質量為m、帶電荷量為＋q的小球從管中A點由靜止釋放，已知qE＝mg，則小球釋放后()

A．到達B點時速度為零，并在BDA間往復運動

B．第一次到達B點時對管壁的壓力為4mg

C．第一次經過最低點D和最高點C時對管壁的壓力之比為5∶1

D．前后兩次經過最高點C時對管壁的壓力之差為4mg

【對點訓練3】（多選）如圖，豎直平面內存在豎直向上、電場強度大小為E的勻強電場，絕緣水平地面與

圓心為O、半徑為R的豎直固定的半圓形絕緣軌道AB平滑相接于A點。一質量為m、電荷量為q的帶正電

的光滑小球在水平面上以大小為v0的速度向右運動，小球經A點沿軌道向上運動，恰好能通過B點。已知

mg

E，小球可視為質點，重力加速度為g。下列說法正確的是（）

4q

A.小球通過B點時的速度大小為gR

15gR

B.v0的大小為

2

R

C.小球從脫離半圓軌道至落地，在空中運動的時間為4

g

1

D.小球落地前一瞬間速度與豎直方向夾角的正切值為

2

【對點訓練4】如圖，兩個帶等量正電的點電荷，分別固定在絕緣水平桌面上的A、B兩點，一絕緣圓形細

管水平固定在桌面A、B兩點間，且圓形細管圓心O位于A、B連線的中點，

細管與A、B連線及中垂線交點分別為C、E、D、F，一個帶負電的小球在細管中按順時針方向做完整的圓

周運動，不計一切摩擦。下列說法正確的是()

A．小球從C運動到D的過程中，速度先減小后增大

B．在兩個帶正電的點電荷產生的電場中，C點的電勢比F點的電勢低

C．小球在C、E兩點的速度大小相等，有相同的電勢能

D．小球在D、F兩點所受的電場力相同

【題型三】恒力作用下的功能關系

【典型例題5】(多選)如圖所示，一個質量為m、電荷量為q的帶正電油滴，在平行于紙面的勻強電場中由

靜止沿斜向右下方做直線運動，其軌跡與豎直方向的夾角為θ，重力加速度大小為g，不計空氣阻力，則下

列判斷正確的是()

mg

A．電場強度的最小值等于

q

mgsinθ

B．電場強度的最大值等于

q

C．帶電油滴的機械能可能增加

D．電場力可能對帶電油滴不做功

【典型例題6】如圖，一質量為m、電荷量為q(q＞0)的粒子在勻強電場中運動，A、B為其運動軌跡上的兩

點。已知該粒子在A點的速度大小為v0，方向與電場方向的夾角為60°；它運動到B點時速度方向與電場

方向的夾角為30°，不計重力。求A、B兩點間的電勢差。

【對點訓練5】如圖所示，在水平向右的勻強電場中有一絕緣斜面，斜面上有一帶電金屬塊沿斜面滑下，已

知在金屬塊滑下的過程中動能增加了12J，金屬塊克服摩擦力做功8J，重力做功24J。下列說法中正確的

是()

A．金屬塊帶負電荷

B．金屬塊克服電場力做功8J

C．金屬塊的電勢能減少4J

D．金屬塊的機械能減少12J

【對點訓練6】如圖，平行板電容器兩極板的間距為d，極板與水平面成45°角，上極板帶正電。一電荷量

為q(q>0)的粒子在電容器中靠近下極板處，以初動能Ek0豎直向上射出。不計重力，極板尺寸足夠大。若粒

子能打到上極板，則兩極板間電場強度的最大值為()

Ek0Ek02Ek02Ek0

A．B．C．D．

4qd2qd2qdqd

05強化訓練

01

【基礎強化】

1．如圖所示，在水平向右的勻強電場中，質量為m的帶電小球，以初速度v從M點豎直向上運動，通過N

點時，速度大小為2v，方向與電場方向相反，則小球從M運動到N的過程()

1

A．動能增加mv2B．機械能增加2mv2

2

3

C．重力勢能增加mv2D．電勢能增加2mv2

2

2.如圖所示，在空間中存在豎直向上的勻強電場，質量為m、電荷量為＋q的物塊從A點由靜止開始下落，

1

加速度為g，下落高度H到B點后與一輕彈簧接觸，又下落h后到達最低點C，整個過程中不計空氣阻力，

3

且彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g，則帶電物塊在由A點運動到C點過程中，下列說法正確的是

()

mg

A．該勻強電場的電場強度為

3q

mgH＋h

B．帶電物塊和彈簧組成的系統機械能減少量為

3

C．帶電物塊電勢能的增加量為mg(H＋h)

mgH＋h

D．彈簧的彈性勢能的增加量為

3

3

3.如圖所示，傾角為α＝30°的絕緣斜面AB長度為3l，BC長度為l，斜面BC段上方有沿斜面向上的勻強電

2

場．一質量為m、電荷量為＋q的小物塊自A端左上方某處以初速度v0＝3gl水平拋出，恰好在A點與斜

面相切滑上斜面，沿斜面向下運動，經過C點但未能到達B點，在靜電力作用下返回，最終恰好靜止在A

3

點，已知物塊與斜面間的動摩擦因數為μ＝，不考慮運動過程中物塊電荷量的變化，不計空氣阻力，重力

3

加速度為g，求：

(1)物塊平拋過程中的位移大小；

(2)物塊在電場中的最大電勢能．

4.如圖所示，絕緣的斜面處在一個豎直向上的勻強電場中，一帶電金屬塊由靜止開始沿斜面滑到底端，已知

在金屬塊下滑的過程中動能增加了0.3J，重力做功1.5J，電勢能增加0.5J，則以下判斷正確的是()

A．金屬塊帶負電荷

B．靜電力做功0.5J

C．金屬塊克服摩擦力做功0.7J

D．金屬塊的機械能減少1.4J

5.如圖所示為一個半徑為R的均勻帶電圓環，取環面中心O為原點，以過O點且垂直于環面的軸線為x軸，

P到O點的距離為2R。質量為m、帶負電且電荷量為q的小球從軸上P點由靜止釋放，小球運動到Q點時

速度為零，Q點在O點上方R處。下列說法正確的是()

A．P點電勢比Q點電勢低

B．P點場強比Q點場強大

mgR

C．P、Q兩點的電勢差為

q

mg

D．Q點的場強大小等于

q

6.（多選）如圖所示，足夠長的傾角為30°的絕緣粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有與斜面平行向上的

勻強電場，一質量為0.1kg、帶正電的物塊（視為質點）以一定的初速度沿斜面向上運動，加速度大小為3m/s2、

方向沿斜面向下，取重力加速度大小g=10m/s2，則在物塊向上運動的過程中，下列說法正確的是（）

A.物塊的機械能和電勢能之和減小

B.物塊受到的電場力小于0.2N

C.電場力做的功大于物塊克服摩擦力與克服重力做的功之和

D.物塊的機械能增加

【素養提升】

7.空間存在一方向豎直向下的勻強電場，O、P是電場中的兩點。從O點沿水平方向以不同速度先后發射兩

個質量均為m的小球A、B。A不帶電，B的電荷量為q(q>0)。A從O點發射時的速度大小為v0，到達P點

t

所用時間為t；B從O點到達P點所用時間為。重力加速度為g，求：

2

(1)電場強度的大小；

(2)B運動到P點時的動能。

8．(多選)電子束熔煉是指高真空下，將高速電子束的動能轉換為熱能作為熱源來進行金屬熔煉的一種熔煉

方法。如圖所示，陰極燈絲被加熱后產生初速度為0的電子，在3×104V加速電壓的作用下，以極高的速

3

度向陽極運動；穿過陽極后，在金屬電極A1、A2間1×10V電壓形成的聚焦電場作用下，轟擊到物料上，

其動能全部轉換為熱能，使物料不斷熔煉。已知某電子在熔煉爐中的軌跡如圖中虛線OPO′所示，P是軌

跡上的一點，聚焦電場過P點的一條電場線如圖中弧線所示，則()

A．電極A1的電勢高于電極A2的電勢

B．電子在P點時速度方向與聚焦電場強度方向夾角大于90°

C．聚焦電場只改變電子速度的方向，不改變電子速度的大小

D．電子轟擊到物料上時的動能大于3×104eV

9.(多選)如圖，在水平向右的勻強電場中，一個質量為m、電荷量為＋q的小球，系在一根長為L的絕緣細

線一端，可以在豎直平面內繞O點做圓周運動。AB為圓周的水平直徑，CD為豎直直徑。已知重力加速度

mg

為g，電場強度E＝，不計空氣阻力，下列說法正確的是()

q

A．若小球能在豎直平面內做完整的圓周運動，則過最高點D的最小速度為gL

B．若小球能在豎直平面內做完整的圓周運動，則小球運動到B點時機械能最大

C．若小球能在豎直平面內做完整的圓周運動，小球從C到D的過程中機械能不守恒

D．若將小球從A點由靜止釋放，小球能沿圓弧運動到D點且速度為零

10．在一個水平面上建立x軸，在過原點O垂直于x軸的平面的右側空間有一個勻強電場，場強大小E＝

6.0×105N/C，方向與x軸正方向相同。在O處放一個電荷量q＝－5.0×10－8C，質量m＝1.0×10－2kg的絕

緣物塊。物塊與水平面間的動摩擦因數μ＝0.20，沿x軸正方向給物塊一個初速度v0＝2.0m/s，如圖所示。

(g取10m/s2)試求：

(1)物塊向右運動的最大距離；

(2)物塊最終停止的位置。

11．[多選]如圖所示，豎直向上的勻強電場中，一豎直絕緣輕彈簧的下端固定在地面上，上端連接一帶正電

小球，小球靜止時位于N點，彈簧恰好處于原長狀態。保持小球的帶電量不變，現將小球提高到M點由靜

止釋放。則釋放后小球從M運動到N過程中()

A．小球的機械能與彈簧的彈性勢能之和保持不變

B．小球重力勢能的減少量等于小球電勢能的增加量

C．彈簧彈性勢能的減少量等于小球動能的增加量

D．小球動能的增加量等于電場力和重力做功的代數和

12.[多選]如圖所示，半圓槽光滑、絕緣、固定，圓心是O，最低點是P，直徑MN水平，a、b是兩個完全相

同的帶正電小球(視為點電荷)，b固定在M點，a從N點靜止釋放，沿半圓槽運動經過P點到達某點Q(圖

中未畫出)時速度為零。則小球a()

A．從N到Q的過程中，重力與庫侖力的合力先增大后減小

B．從N到P的過程中，速率先增大后減小

C．從P到Q的過程中，動能減少量小于電勢能增加量

D．從N到Q的過程中，電勢能一直增加

13.[多選]空間某區域豎直平面內存在電場，電場線分布如圖所示。一個質量為m、電荷量為q，電性未知的

小球在該電場中運動，小球經過A點時的速度大小為v1，方向水平向右，運動至B點時的速度大小為v2。

若A、B兩點之間的高度差為h，則以下判斷中正確的是()

A．A、B兩點的電場強度和電勢大小關系為EA＞EB、φA＜φB

B．若v2＞v1，則電場力不一定做正功

m22

C．A、B兩點間的電勢差為(v2－v1－2gh)

2q

1212

D．小球從A點運動到B點的過程中電場力做的功為mv2－mv1

22

14.[多選]如圖所示，在豎直平面內xOy坐標系中分布著與水平方向成45°角的勻強電場，將一質量為m、帶

電荷量為q的小球，以某一初速度從O點豎直向上拋出，它的軌跡恰好滿足拋物線方程y＝kx2，且小球通

1，1

過點Pkk。已知重力加速度為g，則()

mg

A．電場強度的大小為

q

g

B．小球初速度的大小為

2k

5mg

C．小球通過點P時的動能為

4k

2mg

D．小球從O點運動到P點的過程中，電勢能減少

k

【能力培優】

15.如圖所示，在粗糙水平面上間隔一定距離放置兩個帶電的物體A、B，帶電荷量分別為Q和—q(設兩電荷

間只有庫侖力)，開始時，A、B均處于靜止狀態，在物體B上施加一水平向右的恒力F，使物體A、B向右

運動．在此過程中，下列說法正確的是()

A．力F、庫侖力及摩擦力對物體A所做的功之和等于物體A的動能增量

B．力F做的功與摩擦力對物體B做的功之和等于物體B的動能增量

C．力F做的功加上摩擦力對物體B做的功等于物體B的動能增量

D．力F做的功及摩擦力對物體A和B做功的代數和等于物體A和B的動能增量及電勢能增量之和

16．如圖所示，一光滑絕緣半圓環軌道固定在豎直平面內，與光滑絕緣水平面相切于B點，軌道半徑為R。

3mg

整個空間存在水平向右的勻強電場E，場強大小為，一帶正電小球質量為m、電荷量為q，從距離B點

4q

R

為處的A點以某一初速度沿AB方向開始運動，經過B點后恰能運動到軌道的最高點C。(重力加速度為g，

3

sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)則：

(1)帶電小球從A點開始運動時的初速度v0多大？

(2)帶電小球從軌道最高點C經過一段時間運動到光滑絕緣水平面上D點(圖中未標出)，B點與D點的水平

距離多大？

17.(多選)如圖，一根不可伸長的絕緣細線一端固定于O點，另一端系一帶電小球，置于水平向右的勻強電

場中，現把細線水平拉直，小球從A點由靜止釋放