《十字相乘法》導學案一、教材分析1、教材版本：滬教版（上海）。2、冊數與章節：七年級第一學期，第九章整式，第5節因式分解中的9.15十字相乘法。3、教材內容主旨整式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，而十字相乘法是因式分解中一種非常重要且實用的方法。它在簡化代數式、求解方程等方面有著廣泛的應用。通過學習十字相乘法，能讓同學們更好地理解整式之間的關系，提高代數式運算的能力，為后續學習分式、方程等知識奠定堅實的基礎。二、學情分析1、知識基礎同學們在之前已經學習了整式的乘法運算，對單項式乘以多項式、多項式乘以多項式等有了一定的了解。例如，對于\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)這樣的式子已經熟悉，這為理解十字相乘法的原理提供了知識鋪墊。但對于將一個二次三項式逆向分解成兩個一次式的乘積，可能會存在一定的思維難度。2、能力水平七年級的學生正處于從具體運算向形式運算過渡的階段，邏輯思維能力還在逐步發展。在學習十字相乘法時，可能會在觀察式子的系數特征、尋找合適的分解組合等方面遇到困難。他們需要通過大量的實例練習來提高對這種方法的掌握程度。3、學習特點這個年齡段的學生對新鮮事物充滿好奇心，但注意力集中的時間有限。所以在教學過程中，要采用多樣化的教學方法，如有趣的實例引入、小組競賽等，來激發他們的學習興趣并保持他們的注意力。三、教學目標1、知識與技能目標理解十字相乘法的概念和原理，能夠熟練運用十字相乘法對二次三項式\(ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)進行因式分解。例如，對于\(x^{2}+5x+6\)，能夠準確地分解為\((x+2)(x+3)\)。能通過十字相乘法解決一些簡單的代數式求值和方程求解問題。比如，在方程\(x^{2}3x10=0\)中，先將左邊因式分解為\((x5)(x+2)=0\)，進而求出方程的解\(x=5\)或\(x=2\)。2、過程與方法目標通過對具體二次三項式的分析、分解過程，培養學生觀察、分析、歸納的能力。例如，在分析\(2x^{2}+7x+3\)時，觀察系數\(2\)、\(7\)、\(3\)之間的關系，嘗試不同的組合，從而歸納出十字相乘法的一般步驟。經歷從整式乘法到因式分解的逆向思維過程，提高學生的逆向思維能力。讓學生明白乘法與因式分解是互逆的恒等變形。3、情感態度與價值觀目標讓學生在探索十字相乘法的過程中，體驗成功的喜悅，增強學習數學的自信心。例如，當學生成功分解出一個較復雜的二次三項式時，會獲得成就感。培養學生嚴謹的學習態度和勇于探索的精神。在尋找系數分解組合的過程中，需要耐心和細心，這有助于養成良好的學習習慣。四、教學重難點1、教學重點十字相乘法的原理和步驟。理解如何將二次項系數和常數項分解成兩個數的乘積，并且這四個數交叉相乘再相加后等于一次項系數。例如，對于\(3x^{2}+8x+4\)，二次項系數\(3=1\times3\)，常數項\(4=2\times2\)，通過十字交叉相乘\(1\times2+3\times2=8\)（一次項系數），從而得到\((x+2)(3x+2)\)。運用十字相乘法對二次三項式進行因式分解。能夠準確、快速地對各種形式的二次三項式進行分解，包括二次項系數不為\(1\)的情況。2、教學難點對二次項系數和常數項進行合理分解。當二次項系數和常數項有多種分解方式時，如何準確地找到滿足十字相乘條件的分解組合。比如\(6x^{2}+7x5\)，二次項系數\(6=1\times6=2\times3\)，常數項\(5=(1)\times5=1\times(5)\)，要從中找出正確的組合\(2\times5+3\times(1)=7\)（一次項系數）。當二次三項式中的系數為分數或負數時的十字相乘法運用。例如\(2x^{2}+3x+2\)，需要考慮系數的符號和分數運算的情況。五、教學方法1、講授法在講解十字相乘法的概念、原理和基本步驟時，采用講授法。教師通過簡潔明了的語言，向學生闡述十字相乘法的關鍵知識點。例如，解釋二次項系數、一次項系數和常數項在十字相乘中的關系，以及如何根據系數進行分解組合。2、練習法在講解完基本知識點后，安排大量的練習。練習內容包括簡單的二次三項式分解，如\(x^{2}+3x+2\)，逐步過渡到較復雜的情況，如\(4x^{2}4x3\)。通過練習，讓學生鞏固所學知識，提高運用十字相乘法的能力。3、討論法當遇到一些有多種分解可能或者較難的二次三項式時，組織學生進行小組討論。例如對于\(8x^{2}+6x9\)，讓學生在小組內討論二次項系數\(8\)和常數項\(9\)的分解方式，以及如何找到合適的十字相乘組合。通過討論，激發學生的思維，培養他們的合作能力。六、教學過程1、導入新課（5分鐘）教師先在黑板上寫出兩個整式相乘的式子\((x+3)(x+2)\)，讓學生運用整式乘法的知識進行計算，得到\(x^{2}+5x+6\)。然后提問：“如果現在給你\(x^{2}+5x+6\)這個式子，你們能不能把它還原成剛才那兩個整式相乘的形式呢？”引發學生的思考，從而引出本節課的主題——十字相乘法。可以結合生活中的例子，比如把一個長方形的面積\(x^{2}+5x+6\)（假設長和寬都是整式）分解成兩個整式表示的邊長，就像把一個大的區域劃分成兩個小的區域一樣。2、講授新課（20分鐘）十字相乘法的原理講解以\(x^{2}+5x+6\)為例，教師在黑板上畫出一個十字交叉的形式。二次項系數\(1=1\times1\)，寫在十字交叉的左邊；常數項\(6=2\times3\)，寫在十字交叉的右邊。然后交叉相乘再相加，\(1\times3+1\times2=5\)（正好是一次項系數），所以\(x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)\)。接著，再舉一個二次項系數不為\(1\)的例子，如\(2x^{2}+7x+3\)。二次項系數\(2=1\times2\)，常數項\(3=1\times3\)，通過十字交叉相乘\(1\times3+2\times1=7\)（一次項系數），所以\(2x^{2}+7x+3=(x+3)(2x+1)\)。總結十字相乘法的步驟第一步：把二次項系數分解成兩個因數的乘積，寫在十字交叉的左邊。第二步：把常數項分解成兩個因數的乘積，寫在十字交叉的右邊。第三步：交叉相乘，將所得的積相加，如果和等于一次項系數，那么就可以寫出因式分解的結果。強調注意事項當二次項系數和常數項有多種分解方式時，要耐心嘗試，找到滿足十字相乘條件的組合。對于系數為分數或負數的情況，要特別注意符號的運算。3、課堂練習（20分鐘）教師在黑板上給出以下練習題：簡單類型：\(x^{2}+4x+3\)，\(x^{2}5x+6\)，\(x^{2}+2x3\)。中等類型：\(2x^{2}+5x+3\)，\(3x^{2}7x+2\)，\(4x^{2}4x3\)。較復雜類型（可作為選做題）：\(6x^{2}+7x5\)，\(8x^{2}+6x9\)。讓學生在練習本上進行練習，教師巡視課堂，及時發現學生存在的問題并給予指導。對于普遍存在的問題，如系數分解錯誤或者十字相乘計算錯誤等，教師要及時在黑板上進行糾正和講解。4、課堂小結（10分鐘）請幾位同學站起來分享自己在本節課的收獲，包括十字相乘法的原理、步驟以及在練習過程中的注意事項等。教師對學生的回答進行補充和總結，再次強調十字相乘法的重點和難點。例如，強調在分解系數時要全面考慮各種可能的組合，以及如何準確判斷找到正確的組合。5、布置作業（5分鐘）必做題：課本上關于十字相乘法的課后練習題，如練習冊上的\(10\)道基礎練習題，包括二次項系數為\(1\)和不為\(1\)的二次三項式因式分解。選做題：對于學有余力的同學，可以布置一些拓展性的作業，如嘗試用十字相乘法解決一些簡單的方程\(3x^{2}+5x2=0\)，并思考十字相乘法在解決實際問題（如面積計算、利潤計算等）中的可能應用，寫出自己的想法，字數在\(200\)字左右。七、教學評價1、課堂表現評價在課堂上觀察學生的表現，包括是否積極參與討論、回答問題是否準確、在練習過程中的專注度和完成情況等。對于積極參與的學生給予表揚和鼓勵，對于存在問題的學生給予個別指導。2、作業評價根據學生的作業完成情況，了解學生對十字相乘法的