被7、11、13整除性質專題講義一、核心知識點.1.三位分節法（通用方法）

操作步驟：

(1).將數從右向左每三位分一節，末節不足三位時補零

(2).交替加減各節數值（奇數節加，偶數節減）

(3).若結果能被7/11/13整除，則原數也能被整除

原理：基于7×11×13=1001的特性.2.單獨判定技巧

7的判定：

(1).末位截斷：末位×2，用剩余數減去這個積

(2).重復操作直到容易判斷（如得到7、0或負數）11的判定：

(1).計算奇數位數字和與偶數位數字和的差

(2).若差是11的倍數（含0），則原數可被11整除.13的判定：

(1).末位截斷：末位×4，用剩余數加上這個積

(2).重復操作直到容易判斷.3.1001特性

7×11×13=1001→若數可被1001整除，則必能被7、11、13同時整除二、典型例題.例題1:判斷37135能否被7整除.解析：（截斷法）

3713－5×2=3713－10=3703

370－3×2=370－6=364

36－4×2=28→28÷7=4

∴能被7整除.例題2:驗證123456789能否被11整除.解析：（奇偶位差法）

奇數位和：9+7+5+3+1=25

偶數位和：8+6+4+2=20

差：25－20=5→非11倍數

∴不能被11整除.例題3:判斷1001能否被13整除.解析：（1001特性）

1001=7×11×13→可直接被13整除.例題4：用三位分節法判斷31415926能否被7整除.解析：

分節：031'415'926

計算：031－415+926=542

542÷7≈77.43→不能被7整除例題5：求使4__56能被7整除的空格數字.解析：當__=2時：4256

425－6×2=413→41－3×2=35→35÷7=5

當__=9時：4956

495－6×2=483→48－3×2=42→42÷7=6

∴填2或9.例題6：證明任意連續六個相同數字組成的數必被7、11、13整除.解析：設數為aaaaaa（如111111），分節為111'111

計算：111－111=0→0能被7、11、13整除.例題7：判斷987654321能否被13整除.解析：（三位分節法）

分節：987'654'321

計算：987－654+321=654

654÷13≈50.3→不能被13整除例題8：求能同時被7和11整除的最小三位數.解析：

7×11=77→77的倍數

最小三位數為154（77×2）.例題9：用截斷法判斷864192能否被13整除

解析：

86419+2×4=86419+8=86427

8642+7×4=8642+28=8670

867+0×4=867→867÷13=66.69

∴不能被13整除.例題10：設數A=3717171，問A能否被11整除.解析：（奇偶位差法）

奇數位和：1+1+1+3=6

偶數位和：7+7+7=21

差：21－6=15→非11倍數

∴不能整除.三、強化練習.習題1：判斷666666能否被7整除.習題2：用三位分節法驗證999999能被13整除.習題3：求使23_4能被11整除的空格數字.習題4：找出能被7整除的最大三位數.習題5：判斷3141592653589793能否被11整除.習題6：用截斷法驗證1001能被7整除.習題7：求同時被7和13整除的最小四位數.習題8：設數N=abcabc，證明N必被7、11、13整除.習題9：判斷2468013579能否被13整除.習題10：求滿足3_2_能被7和11整除的四位數.習題11：用三位分節法判斷20240601能否被7整除.習題12：判斷777777777能被13整除嗎?習題13：用截斷法驗證105105能否被7整除.習題14：求一個被7除余1且被11整除的最小兩位數.習題15：用奇偶位差法判斷101010101能否被11整除.習題16：使三位數2_8成為13的倍數，求空格數字.習題17：判斷123456789101112能否被1001整除.習題18：用截斷法驗證142856能被7整除.

被7、11、13整除性質專題講義解析版一、核心知識點.1.三位分節法（通用方法）

操作步驟：

(1).將數從右向左每三位分一節，末節不足三位時補零

(2).交替加減各節數值（奇數節加，偶數節減）

(3).若結果能被7/11/13整除，則原數也能被整除

原理：基于7×11×13=1001的特性.2.單獨判定技巧

7的判定：

(1).末位截斷：末位×2，用剩余數減去這個積

(2).重復操作直到容易判斷（如得到7、0或負數）11的判定：

(1).計算奇數位數字和與偶數位數字和的差

(2).若差是11的倍數（含0），則原數可被11整除.13的判定：

(1).末位截斷：末位×4，用剩余數加上這個積

(2).重復操作直到容易判斷.3.1001特性

7×11×13=1001→若數可被1001整除，則必能被7、11、13同時整除二、典型例題.例題1:判斷37135能否被7整除.解析：（截斷法）

3713－5×2=3713－10=3703

370－3×2=370－6=364

36－4×2=28→28÷7=4

∴能被7整除.例題2:驗證123456789能否被11整除.解析：（奇偶位差法）

奇數位和：9+7+5+3+1=25

偶數位和：8+6+4+2=20

差：25－20=5→非11倍數

∴不能被11整除.例題3:判斷1001能否被13整除.解析：（1001特性）

1001=7×11×13→可直接被13整除.例題4：用三位分節法判斷31415926能否被7整除.解析：

分節：031'415'926

計算：031－415+926=542

542÷7≈77.43→不能被7整除例題5：求使4__56能被7整除的空格數字.解析：當__=2時：4256

425－6×2=413→41－3×2=35→35÷7=5

當__=9時：4956

495－6×2=483→48－3×2=42→42÷7=6

∴填2或9.例題6：證明任意連續六個相同數字組成的數必被7、11、13整除.解析：設數為aaaaaa（如111111），分節為111'111

計算：111－111=0→0能被7、11、13整除.例題7：判斷987654321能否被13整除.解析：（三位分節法）

分節：987'654'321

計算：987－654+321=654

654÷13≈50.3→不能被13整除例題8：求能同時被7和11整除的最小三位數.解析：

7×11=77→77的倍數

最小三位數為154（77×2）.例題9：用截斷法判斷864192能否被13整除

解析：

86419+2×4=86419+8=86427

8642+7×4=8642+28=8670

867+0×4=867→867÷13=66.69

∴不能被13整除.例題10：設數A=3717171，問A能否被11整除.解析：（奇偶位差法）

奇數位和：1+1+1+3=6

偶數位和：7+7+7=21

差：21－6=15→非11倍數

∴不能整除.三、強化練習.習題1：判斷666666能否被7整除.解析：

66666－6×2=66666－12=66654

6665－4×2=6665－8=6657

665－7×2=665－14=651

65－1×2=63→63÷7=9

∴能整除.習題2：用三位分節法驗證999999能被13整除.解析：

分節：999'999

計算：999－999=0→0能被13整除.習題3：求使23_4能被11整除的空格數字.解析：

奇數位和：4+3=7

偶數位和：_+2

差：|7－(_+2)|是11倍數

解得_=5（7－7=0）.習題4：找出能被7整除的最大三位數.解析：

999÷7≈142.71→7×142=994.習題5：判斷3141592653589793能否被11整除.解析：（快速法）

奇數位和：3+9+5+5+9+4+1=32

偶數位和：7+8+3+8+6+1+3=36

差：32－36=－4→不能整除.習題6：用截斷法驗證1001能被7整除.解析：

100－1×2=98→98÷7=14.習題7：求同時被7和13整除的最小四位數.解析：

7×13=91→91×11=1001.習題8：設數N=abcabc，證明N必被7、11、13整除.解析：

abcabc=abc×1001→1001=7×11×13.習題9：判斷2468013579能否被13整除.解析：（分節法）

分節：2'468'013'579→補零為002'468'013'579

計算：002－468+013－579=－1032

1032÷13不能整除.習題10：求滿足3_2_能被7和11整除的四位數.解析：

設數為3a2b

被11整除：奇數位和(3+2)=5，偶數位和(a+b)→|5－(a+b)|是11倍數，所以|5－(a+b)|=0或11

情況1：a+b=5

被7整除：末位b，前段3a2→300＋10a＋2－2b是7倍數，即3a-2b+1是7的倍數，即3a-2(5-a)+1是7的倍數，5a-9是7的倍數，5a-2是7的倍數，無解.

情況2：a+b=16

被7整除：末位b，前段3a2→300＋10a＋2－2b是7倍數，即3a-2b+1是7的倍數，即3a-2(16-a)+1是7的倍數，5a-31是7的倍數，5a＋4是7的倍數，a=2或9.

a=2時，b=14，不滿足

a=9時，b=7，滿足

最終解：3927.習題11：用三位分節法判斷20240601能否被7整除.解析：

分節：020'240'601

計算：020－240+601=381

381÷7≈54.43→不能整除.習題12：判斷777777777能被13整除嗎?解析：（三位分節法）

分節：777'777'777

計算：777－777+777=777

777÷13=59.769→不能整除.習題13：用截斷法驗證105105能否被7整除.解析：

10510－5×2=10500

1050－0×2=1050

105－0×2=105→105÷7=15

∴能整除.習題14：求一個被7除余1且被11整除的最小兩位數.解析：

設數N=11k，且11k≡1mod7

計算11kmod7等價于4k≡1mod7→k=2（4×2=8≡1）

∴N=11×2=22→22÷7=3余1

正確答案：22.習題15：用奇偶位差法判斷101010101能否被11整除.解析：

奇數位和：1+1+1+1+1=5

偶數位和：0+0+0+0=0

差5－0=5→不能整除.習題16：使三位數2_8成為13的倍數，求空格數字.解析：

方法一：截斷法

末位8×4=32，前段2_+32需被13整除

即2_+32=(20+_)+32=52+_

需52+_≡0mod13→52≡0mod13→_=0

答案：