【例11】已知實數(shù)滿足，且，求的最小值.【解析】令則.當且僅當即即時取得等號.【評注】在解決不等式問題時，如果分母里的字母較多較復(fù)雜，不妨考慮先換元化簡分母，這樣更容易看清題目的本質(zhì).這里其實是我們非常熟悉的一次和與倒數(shù)和的不等式應(yīng)用，只是將等式轉(zhuǎn)化為不等式時，注意檢驗等能否取到.【例12】已知正數(shù)a,b滿足則的最小值為【答案】【解析】令則所以,故問題轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)求值域的問題.易得當即時.【例13】若實數(shù)滿足則的最大值是【答案】【解析】令則問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髨A弧上一點到原點的距離的平方減3的最大值，故.【例14】已知為正實數(shù),且則的最小值是【答案】【解析】解法1：解法2:令則，則【評注】換元法有助于簡化問題，看穿本質(zhì).【例15】已知正數(shù)滿足則的最大值是【答案】【解析】解法1：今得，則當且僅當即時取得等號.解法2令則令則,當且僅當，即時取得等號.【例16】已知則的最大值是【答案】【解析】解法1:令則,目標函數(shù)為畫出,點所在的可行域,如圖，目標函數(shù)與相切時則當且僅當，即時取得.解法2:令則所以.解法3:三角換元令則令則故.解法4：令，則，【評注】解法4用的是不等式中的“極化恒等式”思想，即【例17】已知為實數(shù),且則的最小值是【答案】【解析】解法1：令，，則，且，所以解法2:齊次化,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域問題.今則,令則【例18】若正數(shù)滿足則的最小值為【答案】【解析】解法1：分母復(fù)雜，采用換元法令則問題等價于:已知求的最小值.當且僅當即時取得等號.解法2：齊次化記視為線段上的點與坐標原點連線的斜率,則令,【評注】解法2計算量很大，主要是題目設(shè)計數(shù)據(jù)的問題，但齊次化思路還是清晰的.十二最值之最，合并再求【例1】設(shè)則的最小值等于A. B. $ $【答案】B【解析】設(shè)，則上述六式相加得，當時等號成立.故選.【評注】求最大值的最小值，宜用最值疊加法.變式訓(xùn)練設(shè)則的最小值等于（）A. B. C. 【例2】若求的最小值.【解析】由題意得則故【例3】若求的最小值.【解析】相加得即當時等號成立.【例4】設(shè)函數(shù)，若對任意的正數(shù)和實數(shù)，總存在，使得則實數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】解法1：由題意知，，相加得，故即.解法2:設(shè)的最大值為令,當時,函數(shù)單調(diào)遞減,故.因為所以.由解得.(1)若;(2)若(3)若綜上可得,即.【例5】設(shè)二次函數(shù),若對任意的實數(shù),都存在實數(shù)使得不等式成立,則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得，令，得，設(shè)當時,只有才能保證圖象上下平移時,其絕對值不小于1.否則當任意變化到使時,對任意的,（如圖)故原命題等價于(1)當時，在上單調(diào)遞增，即(2)當時，在上不一定單調(diào)，在上單調(diào)遞減,在，上單調(diào)遞增,所以當時在上單調(diào)遞增;當時在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增或，解得當時在上單調(diào)遞減,此時解得.綜上得【評注】另解:設(shè),則有相加得恒成立,即恒成立,即恒成立,則以上解法為何不對，請讀者研究.拓展提升已知函數(shù)(1)當時,求證：在(0,2)上是減函數(shù)(2)若對任意的實數(shù),都存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.【例6】記為兩數(shù)的最大值,當正數(shù)變化時的最小值為【答案】10【解析】則相加得所以變式訓(xùn)練定義為實數(shù)中較小的數(shù).已知其中均為正實數(shù),求的最大值.【例7】設(shè)記中的最人數(shù)為，求的最小值.【解析】,所以，當時等號成立.【例8】若的最大值為，求的最小值.【解析】顯然取到最小值時，二次函數(shù)的對稱軸在之間.因為，故所以當時,等號成立.所以的最小值為.【例9】設(shè)函數(shù)若對一切恒成立,則的最小值為【答案】【解析】令，故即或由于故.由圖象得故.【例10】設(shè)函數(shù)其中(1)求使得等式成立的的取值范圍(2)(i)求的最小值(ii)求在[0,6]上的最大值.【解析】(1)由于故當時,當時.所以,使得等式成立的的取值范圍為[2,2a].(i)設(shè)函數(shù),則所以由的定義知即(ii)當時,當時所以拓展提升設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)的圖像上的點到直線的距離的最大值，則的最小值是【例11】已知關(guān)于的函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為.令,記函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M.(1)如果函數(shù)在處有極值試確定的值;(2)若|b|>1,求證:對任意的c,都有;(3)若對任意的恒成立,試求的最大值.【解析】(1)由在處有極值,可得解得若則此時沒有極值;若則當變化時，的變化情況如下表:↘極小值↗極大值↘故當時,有極大值故即為所求.(2)證法1：當時,函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間[-1,1]之外,故在[-1,1]上的最值在兩端點處取得,則應(yīng)是和中較大的一個,所以即證法反證法因為所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間[-1,1]之外,故在上的最值在兩端點處取得,應(yīng)是和中較大的一個.假設(shè)則將上述兩式相加得，導(dǎo)致矛盾,所以假設(shè)不成立,.(3)解法1：.(1)當時,由(2)可知;(2)當時,函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間[-1,1]內(nèi),此時由知(i)若則于是(ii)若則于是綜上,對任意的,都有.而當時在區(qū)間[-1,1]上的最大值故對任意的恒成立的的最大值為.解法2：①當時,由(2)可知;②當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間[-1,1]內(nèi),此時即下同解法1變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為.(1)若求的值(2)若對任意的恒成立,求的最大值.十三多元最值，合理轉(zhuǎn)換【例1】已知求的最小值.【解析】解法1：當且時，兩個等號都成立.故當且時,可取到最小值:4解法2：,當且僅當時等號成立.故當時，可取到最小值4.【評注】特別提醒：最值探求時務(wù)必注意等號的驗證.【例2】設(shè)是大于0的常數(shù),函數(shù)若恒成立,則的取值范圍是（） B. C. D.【答案】D【解析】由，解得故選變式訓(xùn)練1.設(shè)二次函數(shù)的值域為則的最大值為2.若成等差數(shù)列,成等此數(shù)列,則的取