材料力學重點及其公式

1、材料力學的任務：強度、剛度和穩定性；

應力單位面積上的內力。

平均應力［%="(1.D

mM

全應力p=limp=lim——=(1.2)\\

正應力垂直于截面的應力分量，用符號。表示。((一仔

切應力相切于截面的應力分量，用符號「表示。

應力的量綱：

線應變單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是構件上一

點沿某一方向變形量的大小。圖L2

外力偶矩

傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據軸的轉速n與傳遞的功率P來計算。

當功率P單位為千瓦(kW),轉速為〃(r/min)時，外力偶矩為

當功率為單位為馬力(PS),轉速為〃(r/min)時,外力偶矩為

拉(壓)桿橫截面上的正應力

技壓桿件橫截面上只有正應力。，H為平均分布，其計算公式為。=區(3-1)

A

式中外為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。

正負號規定拉應力為正，壓應力為負。

公式(3-1)的適用條件：

(1)桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉(壓)桿件；

(2)適用于離桿件受力區域稍遠處的橫截面；

(3)桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產生局部應力集中現象，橫截面上應力分布很不均勻;

(4)截面連續變化的直桿，桿件兩側棱邊的夾角eV20°時

拉壓桿件任意斜截面(a圖)上的應力為平均分布，其計算公式;為

全應力〃a=ocosa(3-2)

2

正應力<ya=(TCOSa(3-3)

切應力1=-sin2a(3-4)

式中。為橫截面上的應力。

正負號規定：

a由橫截面外法線轉至斜禳面的外法線，逆時針轉向為正，反之為負。

(ya拉應力為正，壓應力為負。

《對脫離體內一點產生順時針力矩的ra為正，反之為負。

兩點結論：

(1)當1=0°時?，即橫截面上，b.到達最大值，即(%)皿當。=90°B寸，即縱截面上,

cra=90°=0o

(2)當a=45°時，即與桿軸成45°的斜截面上，%到達最大值，即(1)皿=3

1.2拉(壓)桿的應變和胡克定律

(1)變形及應變

桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。

圖3-2

軸向變形△/=/,-/軸向線應變￡吟橫向變形Ab=b「b

橫向線應變￡'=—正負號規定伸長為正，縮短為負。

b

(2)胡克定律

當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比。即O=E￡(3-5)

或用軸力及桿件的變形量表示為△/二"(3-6)

EA

式中EA稱為桿件的抗拉［壓)剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。

公式(3-6)的適用條件：

(a)材料在線彈性范圍內工作，即cr〈bp；

(b)在計算△/時，/長度內其N、E、4均應為常量。如桿件上各段不同，那么應分段計算，求其代

數和得總變形。即

i=\EA

⑶泊松比當應力不超過材料的比例極限時，橫向應變與軸向應變之比的絕對值。即》=

(3-8)

表1-1低碳鋼拉伸過程的四個階段

階段圖1?5特征點說明

中線段

彈性階段oab

比例極限丐，%,為應力與應變成正比的最高應力

彈性極限？，。，為不產生剩余變形的最高應力

屈服階段be

屈服極限b,區為應力變化不大而變形顯著增加時的最低

應力

強化階段ce

抗拉強度6,巧,為材料在斷裂前所能承受的最大名義應力

局部形變階段ef產生頸縮現象到試件斷裂

表1-2主要性能指標

性能性能指標說明

彈性性能彈性模量E

當crWb時，E=—

F8

強度性能材料出現顯著的期性變形

屈服極限。，

材料的最大承載能力

抗拉強度6,

塑性性能延伸率S=Hxl()()%材料拉斷時的塑性變形程度

截面收縮率-=a^xioo%材料的塑性變形程度

強度計算

許用應力材料正常工作容許采用的最高應力，由極限應力除以平安系數求得。

塑性材料［。］=1；脆性材料紅

凡%

其中凡,知稱為平安系數，且大于1。

強度條件：構件工作時的最大工作應力不得超過材料的許用應力。

對軸向拉伸(壓縮)桿件

N】

<y=<［rcrl(3-9)

AL」

按式(1-4)可進行強度校核、截面設計、確定許克載荷等三類強度計算。

2.1切應力互等定理

受力構件內任意一點兩個柱互垂直面上，切應力總是成對產生，它們的大小相等，方向同時垂直指

向或者背離兩截面交線，且與械面上存在正應力與否無關。

2.2純剪切

單元體各側面上只有切應力而無正應力的受力狀態，稱為純剪切應力狀態。

2.3切應變

切應力作用下，單元體兩把互垂直邊的直角改變量稱為切應變或切應變，用r表示。

2.4剪切胡克定律

在材料的比例極限范圍內，切應力與切應變成正比，即

r=G/(3-10)

式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數1另兩個彈性常數為彈性模量E及泊松匕I/〕，其數

值由實驗決定。

E

對各向同性材料,E、v、G有以下關系G=--一(3-11)

2。+N)

2.5.2切應力計算公式

式中lp為該截面對圓心的極慣性矩，0為欲求的點至圓心的距離。

T

圓截面周邊上的切應力為=—(3-13)

式中稱為扭轉截面系數，R為圓截面半徑。

R

2.5.3切應力公式討論

（1）切應力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內、小變形時的等圓豉面直桿；

對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應用，其誤差在工程允許范圍內。

（2）極慣性矩。和扭轉截面系數叱是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下,

材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉破壞和變形的能力愈強。因此，設計空心軸

比實心軸更為合理。

表3-3

.7rd4

實心圓p~32

（外徑為d）

W,=—

116

/4_心

空心圓

夕32d

（外徑為D,a-

D

內徑為d）WM

W,=--(i-a4)

’16

2.5.4強度條件

圓軸扭轉時，全軸中最大切應力不得超過材料允許極限值，否那么將發生破壞。因此，強度條件為

T

（3-14）對等圓截面直桿T=-7^<[r](3-15)

max中]max

」

\w1/max

式中卜]為材料的許用切應力。

1M

3.1.1中性層的曲率與彎矩的關系一二——(3-16)

PEI：

式中，p是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；4是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。

M

3.1.2橫截面上各點彎曲正應力計算公式b=—y（3-17）

式中，M是橫截面上的彎矩；/z的意義同上；y是欲求正應力的點到中性軸的距離

最大正應力出現在距中性軸最遠點處巴麗二必^?乂^二曳4（3-18）

I.W.

式中，W-=-L稱為抗彎截面系數。對于〃X〃的矩形截面，w,=-bh2；對于直徑為D的圓形截面,

'6

W,=—D\對于內外徑之比為。=幺的環形截面，W.=—D\\-a4).

232D’32

假設中性軸是橫截面的對稱軸，那么最大拉應力與最大壓應力數值相等，假設不是對稱軸，那么最大拉

應力與最大壓應力數值不相等。

3.2梁的正應力強度條件

梁的最大工作應力不得超過材料的容許應力，其表達式為51m=才《［。］

(3-19)

對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁(如T字形截面、上下不等邊的工字形截面

等)，其強度條件應表達為

百.二個(3-20a)

Z

。3=午％4，］(3-20b)

式中，分別是材料的容許拉應力和容許壓應力；,，內分別是最大拉應力點和最大壓應力點距

中性軸的距離。

3.3梁的切應力7=&&(3-21)

Lb

式中，Q是橫截面上的剪力；S；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；是整個

橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。

3.3.1矩形截面梁

切應力方向與剪力平行，大小沿截囿寬度小變，沿高度呈拋物線分布。

切應力計算公式r=^S--y2\(3-22)

最大切應力發生在中性軸各點處，1ax=32。

a2A

3.3.2工字形截面梁

切應力主要發生在腹板局部，其合力占總剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹板局部來承

當。

切應力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為r=

(3-23)

近似計算腹板上的最大切應力：7二烏d為腹板寬度E為上下兩翼緣內側距

Gmax11

dfi\

333圓形截面梁

橫截面上同一高度各點的切應力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。

八7ld-2d

QS；，『獲=40

最大切應力發生在中性軸上，其大小為(3-25)

maxLb/rd”,3A

——xJ

64

圓環形截面上的切應力分布與圓截面類似。

3.4切應力強度條件

梁的最大工作切應力不得超過材料的許用切應力，即r=gnK^nm<[r]

raax(3-26)

式中，是梁上的最大切應力值；S；max是中性軸一側面積對中性軸的靜矩：/二是橫截面對中性

軸的慣性矩；b是1隊處截面的寬度。對于等寬度截面，"皿發生在中性軸上，對于寬度變化的截面，rmax

不一定發生在中性軸上。

4.2剪切的實用計算

名義切應力：假設切應力沿剪切面是均勻分布的，那么名義切應力為r=2(3-27)

A

剪切強度條件：剪切面上的工作切應力不得超過材料的許用切應力圖，即r=-^<[r]

A

(3-28)

5.2擠壓的實用計算

名義擠壓應力假設擠壓應力在名義擠壓面上是均勻分布的，那么6K

AM

(3-29)

式中，4,,表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當擠壓面為平

面時為接觸面面積，當擠壓面為曲面時為設計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。

擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力。加=：三口〃』

兒

(3-30)

1,變形計算

圓軸扭轉時，任意兩個橫截面繞軸線相對轉動而產生相對扭轉角。相距為/的兩個橫截面的相對扭

轉角為

(P=(瓦"x(僦)(4.4)

假設等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數，那么上式化為

77

(P=-^―(rad)(4.5)

(jlp

圖4.2

式中G/尸稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，。的正負號與扭矩正負號相同。

公式(4.4)的適用條件：

(1)材料在線彈性范圍內的等截面圓軸，即70盯；

(2)在長度/內，八G、。均為常量。當以上參數沿軸線分段變化時，那么應分段計算扭轉角,

然后求代數和得總扭轉角。即夕二(rad)(4.6)

當T、。沿軸線連續變化時，用式(4.4)計算夕。

2,剛度條件

扭轉的剛度條件圓軸最大的單位長度扭轉加O'z不得超過許可的單位長度把轉角［。］，

即

=(rad/m)(4.7)

5p

式^\nax=—X—(°/〃?)(4.8)

?llldXGIrp71L?J

2,撓曲線的近似微分方程及其積分

在分析純彎曲梁的正應力時，得到彎矩與曲率的關系-=—

pEI

對于跨度遠大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得

p(x)EI

利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即切'=警^

(4.9)

將上式積分一次得轉角方程為夕=〃=J誓公+C(4.10)

再積分得撓曲線方程(o=\\等公卜+G+。(4.11)

式中，CO為積分常數，它們可由梁的邊界條件確定。當梁分為假設干段積分時，積分常

數確實定除需利用邊界條件外，還需要利用連續條件。

3,梁的剛度條件

限制梁的最大撓度與最大轉向不超過規定的許可數值，就得到梁的剛度條件，即

凡一同，*胭(4.⑵

3,軸向拉伸或壓縮桿件的應變能

在線彈性范圍內，由功能原理得V=W=\FM

￡￡2

當桿件的橫截面面積A、軸力網為常量時，由胡克定律4=也，可得

EA2EA

(4.14)

桿單位體積內的應變能稱為應變能密度，用匕表示。

(4.15)

4,圓截面直桿扭轉應變能

在線彈性范圍內，由功能原Vr=W=-Me(p

77T2/

將二r與°二一廠代入上式得v=-------

GIp2GIP

圖4.5

根據微體內的應變能在數值上等于微體上的內力功，得應變能的密度匕：匕=-zr

9

(4.17)

5,梁的彎曲應變能

在線彈性范圍內，純彎曲時-，由功能原理得

將"=M與。=也代入上式得=—(4.18)

EI2EI

圖4.6

橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應用式(4.18),積分

得全梁的彎曲應變能匕,即匕=(4.19)

I2EI

2.截面幾何性質的定義式列表于下:

靜矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩

邑=配l=dAi=jyzdA

>\fyzA",7P2dA

u書

s二二(必

4書

3.慣性矩的平行移軸公式

靜矩：平面圖形面積對某坐標軸的一次矩，如圖17所示。

定義式：S、=\zdA,Sz=^ydA(I-1)

量綱為長度的三次方。

由于均質薄板的重心與平面圖形,■有.同的坐標分和汽。那么

由此可得薄板重心的坐標z0為z°二比二二二

AA

S

同理有yc=^

A

ss

所以形心坐標Zc=工v，y(1-2)

cA-cA

或Sy=A-zc,S.=A-yc

由式（1-2）得知，假設某坐標軸通過形心軸，那么圖形對該軸的靜矩等于零，即＞c=°，邑二°；

zc=0,那么Sv=。；反之，假設圖形對某一軸的靜矩等于零，那么該軸必然通過圖形的形心。靜

矩與所選坐標軸有關，其值可能為正，負或零。

如一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合匯面圖形。設笫/〃塊分圖形的面積為4，

5=￡Azc㈠⑶

形心坐標為）％，z0，那么其靜矩和形心坐標分別為v

?1=1'i=\

24%

(1-4)

rr

EAAEA

i=\/=1

§I-2慣性矩和慣性半徑

慣性矩：平面圖形對某坐標軸的二次矩，如圖［-4所示。

/.=y2dA（1-5）

量綱為長度的四次方，恒為正。相應定義

為圖形對y軸和對z軸的慣性半徑。

組合圖形的慣性矩。設/9乙為分圖形的慣性矩，那么總圖形對同一軸慣性矩為/、.=：￡%,

/二二￡〃11-7）假設以「表示微面積抬到坐標原點O的距離，那么定義圖形對坐標原點。的極慣性

/=1

矩

=fp2dA（1-8）因為p2=y2+z2

'JA

2

所以極慣性矩與（軸）慣性矩有關系=￡（/+Z}M=/V+A（1-9）

式（1-9）說明，圖形對任意兩個互相垂直軸的（軸）慣性矩之和，等于它對該兩軸交點的極慣性

矩。

下式Iv：=^yzdA（1-10）

定義為圖形對一對正交軸），、z軸的慣性積。量綱是長度的四次方。/、：可能為正，為負或為

零。假設y,z軸中有一根為對稱軸那么其慣性積為零。

§I-3平行移軸公式

由于同一平面圖形對于相互平行的兩對直角坐標軸的慣

性矩或慣性積并不相同，如果其中一對軸是圖形的形心軸

（4,zj時，如圖1-7所示，可得到如下平行移軸公式

圖1-7平行移軸公式

2

Iy=Iyc+aA

2

<Iz=IZc+bA

/=/+加泊（⑶

、）Zyczc

簡單證明之：

其中J.ZcdA為圖形對形心軸必的靜矩，其值應等于零，那么得

同理可證（1-13）中的其它兩式。

結論：同一平面內對所有相互平行的坐標軸的慣性矩，對形心軸的最小。在使用慣性積移軸

公式時應注意a.b的正負號。把斜截面上的總應力〃分解成與斜截面垂直的正應力區,和相切

的切應力卻（圖13.1c）,那么其與主應力的關系為

22

aH=o'1/+a2m+oy，（13.1）

Tn=+/2〃/+62〃2―e：（13.2）

在以名為橫坐標、「,為縱坐標的坐標系中，由上式所確定的任意斜截面上的正應力?

和切應力0為由三個主應力所確定的三個圓所圍成區域（圖13.2

中陰影）中的一點。由圖13.2顯見

1.縱向變形和橫向變形（拉伸前試樣標距1,拉伸后試樣標距11：拉伸前試樣

直徑d,拉伸后試樣直徑dl）

&/=Zj-ZMd

2.縱向線應變和橫向線應變

圖13.2

a

3.泊松比一二一叱

4.胡克定律EA,a=Ee

4=Z必

5.受多個力作用的桿件縱向變形計算公式？112

6.承受軸向分布力或變截面的桿件，縱向變形計算公式H翁

7.軸向拉壓桿的強度計算公式

同=%

8.許用應力"，脆性材料a一5，塑性材料

LT

<5=2—xlOO%

9.延伸率<

3=X100%

10.截面收縮率A

11.剪切胡克定律（切變模量6,切應變g）T=Gy

仁島

12.拉壓彈性模量E、泊松比卜和切變模量G之間關系式

k—jj-=五（1々）

13.圓截面對圓心的極慣性矩匕）實心圓1T（b）空心圓

T

P

14.圓軸扭轉時橫截面上任一點切應力計算公式（扭矩7,所求點到圓心距離r）

rT

15.圓截面周邊各點處最大切應力計算公式

%=—即;="

16.扭轉截面系數FR,（a）實心圓116

%=?（1々）

（b）空心圓】6

T

17.薄壁圓管（壁厚3WRo/10,Rn為圓管的平均半徑）扭轉切應力計算公式2檔,

18,圓軸扭轉角.勺扭矩八桿長/、扭轉剛度GH「的關系式

19.同一材料制成的圓軸各段內的扭矩不同或各段的直徑不同（如階梯軸）時"GI,或

20.等直圓軸強度條件

21.塑性材料E=2~。副01：脆性材料E二口8TQ）[a]

==（昌）M向引0

22.扭轉圓軸的剛度條件？或U/,穴

人或4=或

23.受內壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應力計算公式4<5,2<5

24.平面應力狀態下斜截面應力的一般公式

巴.%a-a.

a=--~--~-coi2a-r_sin2ar=--??-sin2a4-T,cos2a

-22，、?2力

25.平面應力狀態的三個主應力

tan2q

26.主平面方位的計算公式

/=±

2

27.面內最大切應力

28.受扭圓軸外表某點的三個主應力巧=丁，，=0,5=t

29.三向應力狀態最大與最小止應力=5

30.三向應力狀態最大切應力z

￡1=1心=口5-乂，+%）1

31.廣義期克定律EE

J=”肛一.5+5)1

32.四種強度理論的相當應力

32.一種常見的應力狀態的強度條件q?=I[r4II

24%24%

33.組合圖形的形心坐標計算公式

34.任意截面圖形對一點的極慣性矩與以該點為原點的任意兩正交殳標軸的慣性矩之和的關系式二八+

35.截面圖形對軸/和軸J，的慣性半徑？

r

36.平行移軸公式（形心軸zc與平行軸zl的距離為a,圖形面積為A}=r+//

b=M-y--

37.純彎曲梁的正應力計算公式

2一4一百一F

38.橫力彎曲最大正應力計算公式少2

39.矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數？

1226.

64232

40.幾種常見截面的最大彎曲切立力計算公式（為中性軸一州的橫截面對中性軸z的靜矩，力為橫做而在中

性軸處的寬度）、一疝1

J=生二”

41.矩形截面梁最大彎曲切應力發生在中性軸處Ibh1A

r=4

42.工字形截面梁腹板上的彎曲切應力近似公式白方

43.軋制工字鋼梁最大彎曲切應力計算公式

4死

3(^^4)-

44.圓