課程基本信息

第一學

課例編號學科數學年級高一學期

期

課題數學建模活動（1）

教科書書名：普通高中教科書數學必修第一冊A版

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師

指導教師

教學目標

教學目標：

1.通過參與數學建模的全過程，了解數學建模的概念，掌握數學建模的基本過程；

2.在探究數學建模的過程中，進一步體會函數模型在現實生活中的應用，感受數學

的應用價值；

3.體會課題研究的過程，感受課題研究的意義，提升數學建模的素養.

教學重點：將實際問題轉化為數學問題，數據的收集與函數模型的選擇和建立.

教學難點：數據的收集，函數模型的選擇.

教學過程

時間教學環節主要師生活動

導語：通過前期對函數應用相關知識的學習，我們知道用函數

構建數學模型解決實際問題時，首先要對實際問題中的變化過程進

行分析，析出其中的常量、變量及其相互關系；明確其運動變化的

基本特征，從而確定它的運動變化類型.然后根據分析結果，選擇

合適的函數類型構建數學模型，將實際問題化歸為數學問題；再通

過運算、推理，求解函數模型.最后利用函數模型的解說明實際問

題的變化規律，達到解決問題的目的.

（一）

—化歸

2分鐘實際問題函數模型

復習回顧

運推

算理

解釋說明

實際問題的解4-------------------------------------函數模型的解

但是在構建函數模型時，經常會遇到沒有現成數據可用的情

況，這時就需要先收集數據.本節課就讓我們一起經歷建立數學模

型解決實際問題的全過程，一起感受數學與我們生活的緊密聯系.

也希望通過每節課的學習，同學們在以后的生活中嘗試著用數學的

眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表

達現實世界.

師生活動：教師總結用函數構建數學模型解決實際問題的基本

構成，學生復習回顧.

設計意圖：通過對函數應用問題的回顧，提出解決問題需要自

己收集數據，激發學生探究興趣.

實際情景

我國是茶的故鄉，是世界上最早發現茶樹、利用茶葉和栽培茶

葉的國家，也是茶文化的發源地.中國茶道的主要內容講究五境之

美，即茶葉、茶水、火候、茶具、環境，其中茶葉可分為綠茶、紅茶、

烏龍茶、白茶、黃茶和黑茶.

茶文化的內涵其實就是中國文化的一種具體表現.中國素有禮

儀之邦之稱謂，茶文化的精神內涵即是通過沏茶、賞茶、聞茶、飲

茶、品茶等習慣與中國的文化內涵和禮儀相結合形成的一種具有鮮

明中國文化特征的一種文化現象，也可以說是一種禮節現象.

提出問題

茶已成為全世界最大眾化、最受歡迎、最有益于身心健康的綠

色飲料.那你知道如何才能泡制一杯口感最佳的茶水嗎？

情景分析

問題1：影響茶水口感的因素有哪些？

（二）師生活動：學生思考發言，相關因素可能包含有茶葉類型、水

5分鐘

選題開題溫、茶具、泡茶用水、沖泡方法、茶葉用量、沖泡次數等.教師歸納

并給出情景:經驗表明，我們探究使用的某種綠茶用85K的水泡制，

再等到茶水溫度降至60K時飲用，可以產生最佳口感..

問題2：如何處理這些影響因素呢？

師生活動：教師引導學生結合探究的側重分析相關因素的重要

程度，突出主要因素，弱化次要因素的影響；學生在教師的引導下，

進一步思考確定主要因素，通過控制變量的方法弱化次要因素對探

究過程的影響.

教師總結：在此次探究過程中，我們將水溫作為主要因素，可

以在探究開始前，先提出一些假設，通過控制變量的方法減少他們

對結果的影響：如在實驗過程中

1.選擇同一種且等量的茶葉沖泡；

2.使用同一個茶具，比如同一個玻璃杯；

3.固定初始泡茶的水溫85汽；

4.在同一環境溫度25久下，使用相同純凈水，并用相同的泡茶方

法.

問題3:如何刻畫茶水降溫的過程？

師生活動：學生交流討論.

教師總結：茶水降溫的過程中也伴隨著時間的變化，因此我們

可以建立茶水溫度隨時間變化的函數模型，將該茶水溫度的實測過

程轉變為時間估計的問題，使得不用時刻測試水溫，進而根據函數

模型，通過簡單計算就可以知道大約需要放置多長時間才能達到最

佳飲用口感.

轉化問題

在25久室溫下，用85汽的水泡制的茶大約需要放置多長時間，

溫度能夠降到6（TC達到最佳飲用口感？

設計意圖：創設真實的生活問題，有較強的代入感，培養學生

在現實生活中發現問題并提出或轉化為數學問題的意識，提高學習

數學的興趣，通過分析讓探究的問題變得可測量，為后續的研究

奠定基礎.

收集數據

活動1：請同學們小組合作，為獲取數據設計實驗流程.

師生活動：學生小組合作，設計實驗流程，并在全班分享交流，

互相完善最終形成實驗流程.

預想：用85K的純凈水泡好一杯茶，每隔1分鐘測量一次茶

水溫度，并進行記錄.

問題4：該實驗過程需要用到哪些測量工具？

師生活動：學生總結，需要秒表和溫度計.

追問：怎樣保證測量數據的準確性以減少誤差？

師生活動：引導學生提出在實驗過程中，可多次重復實驗，取

（三）平均值從而減小誤差.

17分鐘

做題結題任務1：請同學們課后按照實驗流程進行實驗,獲取并記錄一

組數據.

設計意圖：讓學生參與到數據收集的設計和實施過程，培養學

生嚴謹的思維.

實驗數據

某研究人員得到一組數據，以下探究過程應用該組數據：

時間/min012345

溫度/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10

建立模型

觀察實驗數據會發現，隨著時間的變化，茶水的溫度也在發生

變化，這兩個變量可以存在著某種函數關系，但并沒有現成的函數

模型，所以我們可以借助數據的趨勢進行分析.散點圖如下：

問題5：觀察散點圖，兩個變量有怎樣的“

變化趨勢？

82

師生活動：學生觀察并總結，散點圖的分：.

布狀況成遞減狀態，也就是說茶水的溫度隨".

時間成遞減關系.：.

追問：當時間不斷延長，最終茶水能降到：?

什么溫度？：?

師生活動：學生思考并回答，茶水最終將

趨于室溫25℃.

問題6：請同學們在前期學習的函數中找到符合趨勢的函數模

型？

師生活動：學生思考并交流，可能會提出各種遞減函數作為備

選模型，教師引導學生關注茶水降到室溫就不能再降的事實，再結

合幾類基本初等函數的變化特征，指導學生做出選擇.

教師總結：自變量是少于等于0,函數值大于等于25,隨著自

變量的變化函數值呈遞減趨勢且逐漸趨于25,結合以上特征我們

初步可以選定y=kax+25(k&R,0<a<l,x>0)來近似刻畫茶

水溫度隨時間變化的規律.

求解模型

問題7：如何利用以上實驗數據求解函數模型中的參數k和。

師生活動：學生思考，教師給予適當引導.

根據實際情況可知，當無=0時，y=85,可得Q60.

得到函數模型：y=60ax+25(0<a<l,x>0)

y-25=60ax(o<a<l,x>0)

為求衰減比例a從第2mm的溫度數據開始，計算每一分鐘(y-

25)的值與上一分鐘(y-25)值的比值.

012345

y-2560.0054.1948.7546.1943.1940.10

比值0.90320.91810.92840.93510.9285

檢驗模型

問題8：請同學們結合這五個函數圖象與實際數據的吻合情況,

思考應該如何選取。的值？

師生活動：學生比較五個函數的吻合程度,與實際數據更加吻

合的是當比值為0.9181時，因此可以選擇函數y=60x0.9181*+

25作為本題的模型.教師進一步引導學生計算比值的平均值作為

y=60x0.9227*+25y=60x0.9181x+25

通過比較，采用平均值作為衰減比例與實際數據更加的吻合，

因此選取的函數模型為y=60x0.9227X+25.

教師總結：這種采用平均值的方法在解決實際問題中也是很常

見的.因為實驗所得的數據并不一定具有很強的規律性，所以我們

在實驗過程中應盡量重復大量實驗，以保證數據的代表性，而在函

數模型的選擇上也是多樣的，所選擇的函數模型一般也只能大致反

應茶水溫度變化的局部規律，因此，建立模型后需要對模型進行檢

驗.

求解問題

問題9：在25。（：室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間

才能達到最佳飲用口感？

師生活動：學生完成計算思路，教師給予信息技術支持求解最

后答案.

將y=60代入y=60X0.9227x+25,得

60X0.9227*+25=60

7

解得久=log%27

由信息技術得X?6.6997

教師總結:至此,我們完成整個實際問題的探究,并得到在25℃

室溫下，用85汽水泡制的茶大約需要放置7min,溫度能夠降到60℃

達到最佳飲用口感.

問題10：你體會到研究這個問題具有哪些實際價值？

師生活動：學生思考并發言.

教師總結：很多實際問題的背后，可能都隱藏著某種規律，這

種規律可以用實驗的方法進行探究，并用數學的方法加以刻畫.

設計意圖：通過學生對具體問題建模過程的參與，讓學生進一

步體會函數模型在現實生活中的應用；同時了解數學建模的概念，

知道數學建模的過程，初步培養數學建模的意識.

活動2：請同學們小組合作，結合以上探究過程歸納數學建模

的步驟.

教師總結：數學建模需要我們用數學的眼光觀察實際情境，從

而發現和提出問題，用數學的方式收集數據，其中包括必要的假設

和實驗獲取數據，利用數學思維選擇函數模型，用數學知識求解函

數模型，最后檢驗結果，若符合實際則將數學結果轉化為實際問題

（五）

2分鐘的解，若不符合實際則要重新選擇模型.這就是數學建模的過程.

課堂小結

不符合實際

發

求

實

觀

選

現

解

際

察

收

擇

和

函

問

集