PAGE1第02講圖形的旋轉課程標準學習目標①旋轉的概念②旋轉的性質③旋轉作圖1．掌握旋轉的概念，了解旋轉中心，旋轉角，旋轉方向，對應點的概念及其應用；2．掌握旋轉的性質，應用概念及性質解決一些實際問題；3．能夠根據旋轉的性質進行簡單的旋轉作圖．知識點01旋轉的概念（1）旋轉的概念：把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一定角度的變換.點O叫作旋轉中心；轉動的角度叫作旋轉角；圖形上點P旋轉后得到點P’，這兩個點叫作對應點.（2）旋轉三要素：=1\*GB3①旋轉方向；=2\*GB3②旋轉中心；=3\*GB3③旋轉角度注：旋轉中心可在任意位置.即可在旋轉圖形上，也可不在旋轉圖形上.【即學即練1】1．（23-24九年級上·寧夏吳忠·期中）下列現象中屬于旋轉的有（

）個．①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④水龍頭的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【知識點】判斷生活中的旋轉現象【分析】本題考查了生活中的平移．根據平移和旋轉的定義對各小題分析判斷即可．【詳解】解：屬于旋轉的有③④⑤⑥，共4個．故選：C2．（24-25七年級上·河北唐山·期末）如圖，在正方形網格中，將三角形繞點A逆時針旋轉一定角度后得到三角形，則下列說法錯誤的是（

）A．為旋轉角，大小為 B．為旋轉角，大小為C． D．旋轉中心為點A【答案】C【知識點】找旋轉中心、旋轉角、對應點、根據旋轉的性質求解【分析】本題主要考查了旋轉的性質，理解旋轉角成為解題的關鍵．根據旋轉的性質逐項判斷即可．【詳解】解：∵將三角形繞點A逆時針旋轉一定角度后得到三角形，∴旋轉角為：，，旋轉中心為點A，根據網格可知：，∴，故A、B、D正確，不符合題意；∵，∴，故C錯誤，符合題意．故選：C．知識點02旋轉的性質旋轉的性質：一個圖形和它經過旋轉所得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等；兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.【即學即練2】1．（24-25九年級上·寧夏固原·期中）如圖，已知四邊形是正方形，E、F分別是和的延長線上的點，且，連接、、．(1)填空：可以由繞旋轉中心點，按順時針方向旋轉度得到；(2)若，，求的面積．【答案】(1)，；(2)【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、用勾股定理解三角形、找旋轉中心、旋轉角、對應點、根據旋轉的性質求解【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理，解題的關鍵在于理解旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．（1）證明，得到，再根據旋轉的定義即可解題；（2）利用正方形性質和勾股定理得到，由（1）可知，，，最后利用三角形面積公式求解，即可解題．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，，，，觀察圖形可知可以由繞旋轉中心點，按順時針方向旋轉度得到，故答案為：，；（2）解：四邊形是正方形，，，，，由（1）可知，，，的面積為．知識點03確定旋轉中心確定旋轉中心：由旋轉的性質可得，對應點到旋轉中心的距離相等，所以旋轉中心位于對應點連線的垂直平分線上，即旋轉中心是兩對對應點所連線段的垂直平分線的交點.【即學即練3】1．（24-25九年級上·吉林白城·階段練習）如圖，在正方形網格中，繞某點旋轉一定的角度得到，則旋轉中心是點．（填“”或“”）【答案】【知識點】找旋轉中心、旋轉角、對應點【分析】本題考查了找旋轉中心，根據網格的特點找到的垂直平分線的交點，即為所求【詳解】解：如圖所示，的垂直平分線的交點為，點即為旋轉中心故答案為：．2．（23-24九年級上·天津河西·期末）如圖，在邊長為1的正方形網格中，，將線段繞著某點旋轉一個角度可以得到另一條線段（旋轉后A與D重合，B與C重合），則這個旋轉中心的坐標為．【答案】【知識點】坐標與圖形、找旋轉中心、旋轉角、對應點【分析】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，根據點的坐標建立平面直角坐標系，點的坐標，掌握確定旋轉中心的方法：連接對應點的線段的垂直平分線的交點是旋轉中心是解題的關鍵．根據確定旋轉中心的方法：連接對應點的線段的垂直平分線的交點是旋轉中心，作出旋轉中心，由坐標系寫出旋轉中心的坐標即可．【詳解】解：如圖所示，旋轉中心的坐標為．故答案為：．知識點04旋轉作圖旋轉作圖：在畫旋轉圖形時，首先確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵點沿指定的方向旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形.作圖的步驟：（1）連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；（2）把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉中心旋轉一定的角度（旋轉角）；（3）在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；（4）連接所得到的各對應點.【即學即練4】1．（24-25七年級上·上海寶山·期末）在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，三個頂點均在格點上，位置如圖所示．(1)將先向右平移1個單位，再繞點按順時針方向旋轉90°后得到，試畫出；(2)在（1）的基礎上，連接、，四邊形的面積是__________．【答案】(1)見解析(2)【知識點】平移(作圖)、利用平移的性質求解、畫旋轉圖形【分析】本題考查作圖-旋轉變換、作圖-平移變換，熟練掌握平移的性質、旋轉的性質是解答本題的關鍵．（1）根據平移和旋轉的性質作圖即可；（2）根據矩形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：如圖,即為所求．（2）解：四邊形的面積是故答案為：．2．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，的三個頂點都在邊長為1個單位長度的正方形網格的格點上，點O為外一點．(1)將先向右平移4個單位長度得到，作出平移后的圖形；(2)將繞點O順時針旋轉得到，作出旋轉后的圖形；(3)可以看作是經過什么變換得到的？【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【知識點】平移(作圖)、畫旋轉圖形、找旋轉中心、旋轉角、對應點【分析】本題考查了平移作圖，畫旋轉圖形，旋轉的性質；（1）根據平移的性質找到的對應點，順次連接，即可求解；（2）根據旋轉的性質找到的對應點，順次連接，即可求解；（3）連結交于一點，根據圖形可得可以看作是繞點順時針旋轉得到，即可求解．【詳解】（1）解：平移后的圖形如圖所示．（2）旋轉后的圖形如圖所示．（3）如圖，連結交于一點，可以看作是繞點順時針旋轉得到．題型01判斷生活中的旋轉現象例題：（2025八年級下·全國·專題練習）下列物體的運動不是旋轉的是（

）A．坐在摩天輪里的小朋友 B．正在走動的時針C．騎自行車的人 D．正在轉動的風車葉片【答案】C【知識點】判斷生活中的旋轉現象【分析】本題考查了生活中的旋轉現象；旋轉是圍繞一點旋轉一定的角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉的關鍵，根據旋轉的定義解答即可．【詳解】解：A．坐在摩天輪里的小朋友，屬于旋轉，故不符合題意；B．正在走動的時針，屬于旋轉，故不符合題意；C．騎自行車的人，屬于平移，故符合題意；D．正在轉動的風車葉片，屬于旋轉，故不符合題意；故選：C．【變式訓練】1．（24-25九年級上·廣西防城港·期中）下列運動形式屬于旋轉的是（

）A．蕩秋千 B．射箭 C．立定跳遠 D．晨跑運動【答案】A【知識點】判斷生活中的旋轉現象【分析】本題考查了旋轉“把一個平面圖形繞平面內某一點轉動一個角度，叫做圖形的旋轉”，熟記旋轉的定義是解題關鍵．根據旋轉的定義逐項判斷即可得．【詳解】解：A、蕩秋千，是屬于旋轉，則此項符合題意；B、射箭，不屬于旋轉，則此項不符合題意；C、立定跳遠，不屬于旋轉，則此項不符合題意；D、晨跑運動，不屬于旋轉，則此項不符合題意；故選：A．2．（24-25九年級上·浙江·期中）下列現象不是旋轉的是（

）A．飛速旋轉的電風扇 B．坐電梯從1樓到10樓C．言言在蕩秋千 D．關上教室門【答案】B【知識點】判斷生活中的旋轉現象【分析】本題考查生活中的旋轉現象，根據旋轉的定義逐項判斷，即可解題．【詳解】解：A、飛速旋轉的電風扇，是旋轉現象，不符合題意；B、坐電梯從1樓到10樓，是平移現象，不是旋轉現象，符合題意；C、言言在蕩秋千，是旋轉現象，不符合題意；D、關上教室門，是旋轉現象，不符合題意；故選：B．3．（24-25九年級上·遼寧沈陽·期中）下列現象中不屬于旋轉的是（

）A． B．C．

D．【答案】D【知識點】判斷生活中的旋轉現象【分析】本題考查了判斷生活中的旋轉現象，熟練掌握旋轉的定義是解題的關鍵：旋轉是圍繞一點旋轉一定角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉的關鍵．根據旋轉的定義逐項分析判斷即可得出答案．【詳解】解：A.屬于旋轉現象，故選項不符合題意；B.屬于旋轉現象，故選項不符合題意；C.屬于旋轉現象，故選項不符合題意；D.屬于平移現象，不屬于旋轉現象，故選項符合題意；故選：．題型02找旋轉中心、旋轉角、對應點例題：（23-24九年級上·河南新鄉·期中）是由繞點C旋轉得到的，且點D落在邊上，則下列判斷錯誤的是（）

A．旋轉中心是點C B．C． D．點D是中點【答案】D【知識點】找旋轉中心、旋轉角、對應點、根據旋轉的性質說明線段或角相等【分析】此題主要考查了旋轉的性質．根據旋轉的性質即可求解．【詳解】解：∵是由繞點C旋轉得到的，且點D落在邊上，∴旋轉中心是點C，，，點D不一定的中點，∴A、B、C結論正確．故選：D．【變式訓練】1．（24-25九年級上·湖北武漢·期中）如圖，將將繞點順時針旋轉一定角度得到，且點落在線段上(1)旋轉中心是點______，旋轉角是________和_____；(2)當旋轉角為時，求的度數．【答案】(1)，，(2)【知識點】找旋轉中心、旋轉角、對應點、根據旋轉的性質求解、等邊對等角【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，（1）根據旋轉的性質即可得到結論；（2）根據旋轉的性質和等腰三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）解：將繞點順時針旋轉一定角度得到，旋轉中心是點，旋轉角是和，故答案為：，，；（2）將繞點順時針旋轉一定角度得到，，，，，．2．（23-24九年級上·天津·期中）如圖，已知為正方形內一點，經過旋轉后到達的位置．(1)請寫出旋轉中心及旋轉角的度數；(2)若，求的度數和的長．【答案】(1)旋轉中心為點，旋轉角的度數為90°；(2)，．【知識點】用勾股定理解三角形、找旋轉中心、旋轉角、對應點、全等三角形的性質、等腰三角形的性質和判定【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的性質，勾股定理（1）由旋轉的性質可求解；（2）由旋轉的性質可得，，由等腰直角三角形的性質以及勾股定理可求解．【詳解】（1）解：經過旋轉后到達的位置，∴旋轉中心為點，旋轉角的度數為90°；（2）經過旋轉后到達的位置，，，，．3．（24-25九年級上·全國·階段練習）如圖，三角形逆時針旋轉一定角度后與三角形重合，且點在AD上．(1)指出旋轉中心；(2)若，，求出旋轉的度數；(3)若，，則的長是多少？為什么？【答案】(1)旋轉中心為點(2)(3)，理由見解析【知識點】找旋轉中心、旋轉角、對應點、根據旋轉的性質求解、三角形內角和定理的應用【分析】（）結合圖形找到旋轉中心即可；（）根據題意求得的度數即可求得旋轉角；（）利用旋轉的性質得到，即可求得答案；本題考查了旋轉，三角形內角和定理，根據旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等即可求解，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由圖可得，旋轉中心為點；（2）解：∵，，∴，∴旋轉的度數為；（3）解：由旋轉性質知：，，．題型03根據旋轉的性質求解例題：（24-25九年級上·河南開封·期末）如圖，把繞點按順時針方向旋轉，得到，點落在邊上，若，則°．【答案】24【知識點】等邊對等角、根據旋轉的性質求解、兩直線平行內錯角相等【分析】本題考查旋轉的性質，等邊對等角，平行線的性質；先根據旋轉得到，然后得到的度數，然后根據平行線的性質得到，再根據角的和差解題即可．【詳解】解：由旋轉可得，，∴，又∵，∴，∴，故答案為：24．【變式訓練】1．（24-25九年級上·重慶巫山·期末）如圖，在中，，，將繞點按逆時針方向旋轉得到，此時點恰好落在邊上，若點與點之間的距離為，則的長為

【答案】【知識點】根據旋轉的性質求解、等邊三角形的判定和性質、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定及性質，勾股定理等知識點，利用旋轉的性質判定等邊三角形是解題的關鍵．利用旋轉的性質證出為等邊三角形，從而推出為等邊三角形，得到，即可通過勾股定理求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵繞點按逆時針方向旋轉得到，∴，，∵，，∴∠，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，設，則，∴在中，，∴，解得：，故答案為：．2．（24-25九年級上·湖北十堰·期末）如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉90°得到，當點的對應點恰好落在AB邊上時，則，的長為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、根據旋轉的性質求解、等邊對等角【分析】此題考查了旋轉的性質以及勾股定理，先根據旋轉的性質得出，，，，，根據等腰直角三角形的性質可得，進而勾股定理求得，得出，進而在中，勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵將繞點逆時針旋轉得到，∴，，，，，∴，連接，在中，，在中，∴，在中，故答案為：，．3．（24-25九年級上·天津武清·期末）如圖，在中，，，，將繞點A逆時針旋轉，使點C落在邊上的點E處，點B落在點D處，連接．（1）的長為；（2）的長為．【答案】10【知識點】用勾股定理解三角形、根據旋轉的性質求解【分析】本題考查了勾股定理，旋轉的性質，掌握旋轉的性質是解題關鍵．由勾股定理可得，由旋轉的性質，得出，，，，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）在中，，，，；故答案為：10；（2）由旋轉的性質可知，，，，，，，，故答案為：．題型04求旋轉對稱圖形的旋轉角度例題：（24-25九年級上·遼寧營口·期末）2024年6月30日，由中國船舶自主研發的18兆瓦中速全集成海上風電機組在營口華能仙人島熱電廠成功完成吊裝，標志著創造風輪直徑260米、單機功率18兆瓦“兩個全球第一”紀錄的風電機組即將在我市投入商業化應用．如圖所示的轉子葉片圖案繞中心旋轉后能與原來的圖案重合，則至少要旋轉（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求旋轉對稱圖形的旋轉角度【分析】本題考查了利用旋轉設計圖案，旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角．該圖形被平分成部分，因而每部分被分成的圓心角是，并且圓具有旋轉不變性，因而旋轉度的整數倍，就可以與自身重合．【詳解】解：如圖所示的轉子葉片圖案繞中心旋轉后能與原來的圖案重合，則至少要旋轉故選：B．【變式訓練】1．（24-25九年級上·浙江溫州·期末）如圖所示的剪紙圖片旋轉一定角度后與自身重合，則這個角度至少是（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識點】求旋轉對稱圖形的旋轉角度【分析】本題考查了求旋轉對稱圖形的旋轉角度．根據正五角形的對稱性，用除以5計算即可得解．【詳解】，∴旋轉的角度角度至少．故選B．2．（24-25九年級上·內蒙古呼倫貝爾·期末）把圖中的風車圖案繞著中心O旋轉，旋轉后的圖案與原來的圖案重合，旋轉角的度數至少為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求旋轉對稱圖形的旋轉角度【分析】本題考查了旋轉對稱圖形，即把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，旋轉的角度叫旋轉角．根據旋轉對稱圖形的定義求解即可．【詳解】解：觀察發現，該圖形可以平分成四部分，即旋轉的整數倍，可與原來的圖案重合，旋轉角的度數至少為，故選：C．3．（24-25九年級上·福建廈門·階段練習）利用圖形的旋轉可以設計出許多美麗的圖案．如下圖2中的圖案可以由圖1中的基本圖案以點為旋轉中心，順時針（或逆時針）旋轉角，依次旋轉四次形成，則旋轉角的值不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【知識點】求旋轉對稱圖形的旋轉角度【分析】本題考查了旋轉和正多邊形的外角．根據旋轉后的圖形可知，旋轉后的圖形內部是一個正五邊形，所以旋轉角應為正五邊形外角的正整數倍，然后判斷選項即可．【詳解】解：由圖可知旋轉后的圖形內部是正五邊形，∴（且為正整數），當時，，當時，，當時，，∴不可能是，故選：A．題型05求繞原點旋轉90°點的坐標例題：（24-25九年級上·湖北咸寧·期末）如圖，點的坐標為2,3，將線段繞點順時針旋轉，點的對應點的坐標為．【答案】【知識點】求繞原點旋轉90度的點的坐標【分析】本題考查了旋轉的性質．根據題意作軸，軸，證即可求解．【詳解】解：如圖所示：作軸，軸，由題意得：，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴的坐標為，故答案為：．【變式訓練】1．（2024九年級上·全國·專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點B在x軸上，，點A到x軸的距離為4，將繞點O逆時針旋轉，得到，則點的坐標是．【答案】【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據旋轉的性質說明線段或角相等、用勾股定理解三角形、求繞原點旋轉90度的點的坐標【分析】過點作軸于點，過點作軸于點，先求出，再證明，于是可得，，從而求出點的坐標．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，，，點到軸的距離為4，，，將繞點逆時針旋轉，得到，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化旋轉，旋轉的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質等知識點，添加適當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）如圖，已知點A，B的坐標分別為，（），將繞點A按逆時針方向旋轉得到，則格點的坐標．【答案】【知識點】畫旋轉圖形、求繞原點旋轉90度的點的坐標【分析】本題考查了圖形和坐標，旋轉的性質．根據旋轉定義作出圖形即可解題．【詳解】解：如圖所示，點的坐標為，故答案為：．3．（2023九年級·河南駐馬店·學業考試）如圖，在平面直角坐標系中，直角三角板的頂點C與原點重合，直角邊放在x軸上，，頂點，點M為邊的中點，將直角三角板繞點O旋轉后點M的對應點的坐標是．【答案】或【知識點】求繞原點旋轉90度的點的坐標【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，分順時針旋轉90度和逆時針旋轉90度兩種情況，求出A、B對應點的坐標，再根據兩點中點坐標公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，①當線段繞點逆時針旋轉后點的對應點為，∴∵點為線段的中點，∴點為線段的中點，點的坐標．②當線段繞點順時針旋轉后點的對應點為，如圖，同理可得點的坐標．綜上所述：點的坐標為或，故答案為：或．題型06求繞某點（非原點）旋轉90°點的坐標例題：（24-25九年級上·黑龍江牡丹江·期末）在平面直角坐標系中，，線段的中點繞旋轉后對應點的坐標為．【答案】或【知識點】求繞某點（非原點）旋轉90度的點的坐標、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了旋轉的性質，以及全等三角形的判定和性質，先求得線段的中點，然后分類討論，畫出圖形，結合圖形，即可求解．【詳解】解：∵，設為的中點，∴，如圖所示，當繞點逆時針旋轉得到，過點分別作的垂線，垂足分別為，

∴，∴，∴，∴即當繞順時針旋轉時，同理可得故答案為：或．【變式訓練】1．（24-25九年級上·福建福州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，由繞點旋轉得到，則點的坐標為．【答案】【知識點】求繞某點（非原點）旋轉90度的點的坐標、用勾股定理解三角形【分析】本題考查坐標與旋轉，根據旋轉中心在對應點連線的中垂線上，畫出的中垂線，得到點的橫坐標，設出點坐標，根據，列出方程進行求解即可．【詳解】解：∵由繞點旋轉得到，∴，∵，∴點的橫坐標為：，設，∵，，∴，∴，解得：，∴；故答案為：．2．（24-25九年級上·河北廊坊·階段練習）如圖，在直角坐標系中，已知，．將線段繞點A順時針旋轉得到，則點B的坐標是．【答案】【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、求繞某點（非原點）旋轉90度的點的坐標、坐標與圖形綜合【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化旋轉，全等三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握旋轉的性質及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．分別過點和點作軸的垂線，垂足分別為和，由旋轉的性質可得，，進而可得，利用可證得，然后利用全等三角形的性質即可解決問題．【詳解】解：如圖，分別過點和點作軸的垂線，垂足分別為和，，由旋轉的性質可知，，，，，在和中，，，，，又，，，，，點的坐標為，故答案為：．3．（2024九年級上·吉林·專題練習）如圖，的頂點坐標分別為，，．如果將繞點順時針旋轉，得到△，那么點的對應點的坐標為．

【答案】【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、求繞某點（非原點）旋轉90度的點的坐標【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，全等三角形的性質與判定，過點C作軸，分別過作直線的垂線，垂足分別為D、E，則，由旋轉的性質可得，則可證明，再證明得到，據此可得答案．【詳解】解：如圖所示，過點作軸，分別過作直線的垂線，垂足分別為、，∴，由旋轉的性質可得，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．

題型07求繞原點旋轉一定角度的點的坐標例題：（24-25九年級上·重慶·期中）在平面直角坐標系中，點先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，得到A點，再把A點繞原點旋轉得到B點，那么B點的坐標是．【答案】【知識點】由平移方式確定點的坐標、求繞原點旋轉一定角度的點的坐標【分析】本題考查點的平移和中心對稱的性質，設，由平移得，再利用旋轉可得，，即可得解．【詳解】解：設點的坐標為，點先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，得到A點，∴，把點繞原點旋轉得到點，∴，，∴，故答案為：．【變式訓練】1．（24-25九年級上·廣東江門·期中）將含有角的直角三角板如圖放置在平面直角坐標系中，在x軸上，若，將三角板繞原點O逆時針旋轉，則點A的對應點的坐標為．【答案】【知識點】含30度角的直角三角形、求繞原點旋轉一定角度的點的坐標、化為最簡二次根式、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等等，先由含30度角的直角三角形的性質和勾股定理推出，由旋轉的性質可得，再求出，進而得到點在y軸上，據此可得答案．【詳解】解：∵在中，，∴，∴，由旋轉的性質可得，∴，∴點在y軸上，∴點的坐標為，故答案為．2．（24-25九年級上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，線段與x軸正方向的夾角為，且，若將線段繞點O旋轉得到線段，則此時點的坐標為．【答案】或【知識點】含30度角的直角三角形、求繞原點旋轉一定角度的點的坐標、用勾股定理解三角形【分析】過點作軸于點B，根據旋轉的性質可得，，利用平角的定義得出，解直角，求出，，進而得到點的坐標．此題考查的是旋轉的性質，平角的定義，解直角三角形等知識，正確作出輔助線是解決此題關鍵．【詳解】解：如圖1，將線段繞點O沿逆時針方向旋轉線段，過點作軸于點B，，，，在直角中，，，，∴，點的坐標為．如圖2，將線段繞點O沿順時針方向旋轉到線段，過點作軸于點B，，，．在直角中，，，，∴，點的坐標為．綜上，點的坐標為或．故答案為：或．3．（2024·黑龍江牡丹江·一模）如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，，，將繞點O旋轉，使點B落在x軸上，則此時點A的坐標為．【答案】或【知識點】含30度角的直角三角形、求繞原點旋轉一定角度的點的坐標、等邊對等角、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，等邊對等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，分當點F在x軸正半軸時，當點F在x軸負半軸時，過點E作于H，根據旋轉的性質得到，據此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質求出點E的坐標即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，設點A的對應點為點E，點B的對應點為F，如圖所示，當點F在x軸正半軸時，過點E作于H，由旋轉的性質可得，∴，∴，∴；如圖所示，當點F在x軸負半軸時，同理可得；綜上所述，當點B落在x軸上，此時點A的坐標為或，故答案為：或．題型08平面直角坐標系中旋轉作圖例題：（24-25九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長為1，三個頂點的坐標分別為，，(1)的長等于________．(2)請畫出把向左平移2個單位得，并寫出點的坐標；(3)請畫出把繞原點旋轉得到，并寫出點的坐標．【答案】(1)(2)見解析，(3)見解析，【知識點】平移(作圖)、畫旋轉圖形、已知兩點坐標求兩點距離、由平移方式確定點的坐標【分析】本題考查作圖平移變換、旋轉變換，熟練掌握平移、旋轉變換的性質是解答本題的關鍵．（1）根據勾股定理求解即可；（2）將三個頂點向左平移2個單位長度得到其對應點，再首尾順次連接即可，然后寫出坐標即可；（3）作出A、B、C繞原點旋轉得到的對應點、、，順次連接即可，然后寫出坐標即可．【詳解】（1）∵，∴；（2）如圖所示，即為所求；∴；（3）如圖所示，即為所求；∴．【變式訓練】1．（24-25九年級上·遼寧葫蘆島·期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為，，．(1)請畫出關于x軸對稱的，并寫出，，的坐標；(2)將繞點O逆時針旋轉得到，請畫出，并寫出，，的坐標．【答案】(1)見解析，，，；(2)見解析，，，【知識點】坐標與圖形變化——軸對稱、求繞原點旋轉90度的點的坐標、畫旋轉圖形【分析】本題考查的是作圖-軸對稱變換、旋轉變換，掌握變換規律是解題的關鍵．（1）由軸對稱的性質先確定的坐標，然后再描點、連線即可，再寫出，，的坐標；（2）由旋轉的性質先確定，，的坐標，然后再描點、連線即可，再寫出，，的坐標．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；，，

（2）解：如圖，即為所求；，，．2．（23-24九年級上·新疆哈密·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別是．(1)將以點B為旋轉中心旋轉，畫出旋轉后對應的；(2)平移，若A的對應點的坐標為，畫出平移后的；(3)若將繞某一點旋轉可以得到，請直接寫出旋轉中心的坐標．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)【知識點】平移(作圖)、畫旋轉圖形、已知點平移前后的坐標，判斷平移方式【分析】本題考查坐標與圖形的變換—旋轉與平移：（1）根據旋轉的性質，畫出即可；（2）根據平移的性質，畫出即可；（3）根據旋轉的性質，確定旋轉中心即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）∵A的對應點的坐標為，故將沿著軸，向上平移4個單位得到；如圖，即為所求；（3）如圖，點即為旋轉中心坐標為：．3．（24-25九年級上·陜西商洛·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．(1)將繞點C順時針旋轉得到（點B的對應點是點），則的坐標為；(2)請畫出繞原點O順時針旋轉后得到的（點A，B，C的對應點分別是點，，）．【答案】(1)(2)畫圖見解析【知識點】畫旋轉圖形、求繞某點（非原點）旋轉90度的點的坐標【分析】本題考查的是畫旋轉圖形，求解旋轉對應點的坐標；（1）先畫出繞點C順時針旋轉得到，再寫出其坐標即可；（2）分別確定繞原點O順時針旋轉后的對應點，再順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖，即為旋轉后的線段，∴．（2）解：如圖，即為所求：題型09坐標與旋轉規律問題例題：（24-25九年級上·甘肅天水·期末）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點O順時針旋轉后，得到正方形，以此方式，繞點O連續旋轉2025次得到正方形．如果點C坐標為0,2，那么點的坐標為．【答案】【知識點】坐標與旋轉規律問題【分析】本題考查點的坐標變化規律，依次求出每次旋轉后點對應點的坐標，發現規律即可解決問題．根據正方形的運動發現點的對應點的坐標按旋轉后點的對應點的坐標按，，，，，，，循環出現，據此即可得到答案．【詳解】解：四邊形是正方形，且點C坐標為0,2，點的坐標為，則，點的坐標為，依次類推，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，，由此可見，旋轉后點的對應點的坐標按，，，，，，，循環出現，由，得到點的坐標為，故答案為：．【變式訓練】1．（24-25九年級上·河北廊坊·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，再將繞點順時針旋轉得到，連接，……，繞點連續旋轉24次得到線段，那么線段的長度為．【答案】3【知識點】坐標與旋轉規律問題【分析】根據旋轉的性質，得到線段每旋轉4次，回到初始位置，即可求出旋轉24次線段的位置，即可求解，本題考查了，旋轉的性質，坐標與圖形，解題的關鍵是：熟練掌握旋轉的性質．【詳解】解：由題意可得，線段每旋轉4次，回到初始位置，∵，∴線段與線段重合，點與點重合，∴，故答案為：3．2．（24-25八年級上·山東東營·期末）如圖，在平面直角坐標系中，將繞點A順時針旋轉到的位置，點B，O分別落在點，處，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在x軸上，將繞點順時針旋轉的位置，點在x軸上……依次進行下去．若點，，則點的坐標為．【答案】【知識點】根據旋轉的性質求解、坐標與旋轉規律問題、用勾股定理解三角形【分析】本題考查坐標與圖形的變化旋轉、勾股定理等知識，解題的關鍵是從特殊到一般探究規律，發現規律，利用規律解決問題．首先根據已知求出三角形三邊長度，然后通過旋轉發現，、、，由圖象可知點在軸上，，根據這個規律可以求得的坐標．【詳解】解：由圖象可知點在軸上，，，，，，，，，，，，，．故答案為:．3．（24-25八年級上·全國·期末）將按如圖方式放在平面直角坐標系中，其中，，頂點的坐標為，將繞原點逆時針旋轉，每次旋轉，則第次旋轉結束時，點對應點的坐標為．【答案】【知識點】坐標與旋轉規律問題【分析】本題主要考查圖形的旋轉規律，坐標與圖形，掌握題中規律是解題的關鍵．根據得，由繞原點逆時針旋轉，每次旋轉，每旋轉6次回到原位，可知第2025次旋轉結束時，相當于由此位置旋轉，進而可求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵繞原點逆時針旋轉，每次旋轉，每旋轉6次回到原位，∴，∴第2025次旋轉結束時，相當于由此位置旋轉，∴第2025次旋轉結束時，點對應點與點A關于原點對稱，∴點對應點的坐標為．故答案為：．題型10旋轉綜合題——幾何變換例題：（24-25九年級上·北京西城·期末）如圖，中，，，點是邊上一點，連接，將繞點旋轉得到，點，，在同一條直線上，延長交于點．(1)求的度數；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】等腰三角形的性質和判定、根據旋轉的性質求解、等邊對等角、三線合一【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是：（1）根據旋轉的性質得出，則，結合可得出，即可求解；（2）根據全等三角形的性質得出，，則可求出，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求出，則，根據等角對等邊可得出，然后根據三線合一即可得證。【詳解】（1）解：∵將繞點旋轉得到，∴.∴.∵，∴.∵，∴.∴.（2）證明：∵，∴，.∵，∴，∴.∵中，，，∴，∴，∴.∵，∴，∴.【變式訓練】1．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖①，將一副直角三角尺中的兩個直角疊放在一起，其中，，，，現按住直角三角尺不動，將直角三角尺繞點按順時針方向旋轉，圖②為旋轉過程中的某一位置，當三點再一次共線時停止旋轉，記．(1)當時，求直線與直線相交所成角的大小；(2)當時，求k的值；(3)當時，求k的值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】三角板中角度計算問題、根據旋轉的性質求解、三角形的外角的定義及性質【分析】本題主要考查三角板中角度的計算，三角形外角的性質，旋轉的性質，掌握旋轉的性質，角的和差計算是解題的關鍵．（1）當時，，設直線與直線交于點，則有，根據三角形外角的性質即可求解；（2）根據題意，分類討論：當在的左側時，，；當在的右側時，，不符合題意；由此即可求解；（3）當在的左側時，與相交，所以當時，在的右側，則，，由此即可求解．【詳解】（1）解：當時，，設直線與直線交于點，則直線與直線相交所成的銳角為，∵，∴．（2）解：當在的左側時，∵，∴，∴，，∴，即；當在的右側時，，∵當三點再一次共線時停止旋轉，∴該種情況不符合題意．（3）解：當在的左側時，與相交，∴當時，在的右側，則，∴，∴，即．2．（24-25九年級上·江西贛州·期末）如圖1是一種裝飾物件的擺動裝置，在地面上，支架是底邊為的等腰直角三角形，擺動臂可繞點旋轉，擺動臂可繞點旋轉，，．(1)在旋轉過程中．①當、、三點在同一直線上時，的長為；②當、、三點是同一個直角三角形的三個頂點時，求的長．(2)若擺動臂由三角形外順時針旋轉到三角形內，點的位置由外的點轉到其內的點處，連接，如圖2，此時，，求的長．【答案】(1)或；或；(2)．【知識點】用勾股定理解三角形、根據旋轉的性質求解、線段的和與差【分析】（）分當在上時和當在延長線上時兩種情況，由線段和差即可求解；當為直角頂點時，當直角頂點時，當為直角頂點時三種情況，然后根據勾股定理即可求解；（）連接，由旋轉性質可知：，，證明，再根據“”證明，則，再通過勾股定理求出即可；本題考查了線段和差，勾股定理，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵、、三點在同一直線上，∴由題意可知，當在上時，，當在延長線上時，，故答案為：或；當為直角頂點時，；當直角頂點時，；當為直角頂點時，不存在；（2）解：如圖，連接，由旋轉性質可知：，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴由勾股定理得：，∴．3．（24-25八年級上·山東東營·期末）【基礎回顧】（1）如圖1，E是正方形中邊上任意一點，以點A為中心，將順時針旋轉后得到，若連接，則的形狀為；【類比探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，設與相交于點P，在上取點Q，使，連接，猜想與的數量關系，并給予證明；【聯想拓展】（3）如圖3，在中，，，點P在上，求，，之間存在的數量關系．【答案】（1）等腰直角三角形；（2），證明見解析；（3）【知識點】等腰三角形的性質和判定、根據旋轉的性質求解、全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形【分析】（1）由旋轉的性質得到，，結合正方形性質得到，即可解題；（2）結合旋轉的性質證明，利用全等三角形性質即可證明與的數量關系；（3）將逆時針旋轉后得到，連接，得到是等腰直角三角形．再結合旋轉的性質和勾股定理求解，即可解題．【詳解】解：（1）由旋轉的性質可知，，，四邊形為正方形，，，的形狀為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）答：，證明：將順時針旋轉后得到，，．又，．．（3）將逆時針旋轉后得到，連接，則是等腰直角三角形．由旋轉的性質可知：，．，，．，．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形性質，全等三角形性質和判定，等腰直角三角形性質和判定，勾股定理，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．一、單選題1．（24-25九年級上·云南曲靖·期中）下列現象中：①地下水位逐年下降；②傳送帶上的物品的移動；③鐘擺的運動；④蕩秋千運動．屬于旋轉的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】判斷生活中的旋轉現象、生活中的平移現象【分析】本題考查了生活中的旋轉現象，根據平移和旋轉的定義對各小題分析判斷后求解．【詳解】解：①地下水位逐年下降，是平移現象；②傳送帶上的物品的移動，是平移現象；③鐘擺的運動，是旋轉現象；④蕩秋千運動，是旋轉現象．屬于旋轉的有③④共2個．故選：B．2．（22-23九年級上·浙江寧波·期中）如圖，將繞點逆時針旋轉至，使，若，則旋轉角的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】等邊對等角、根據旋轉的性質求解、根據平行線的性質求角的度數【分析】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．也考查了平行線的性質．先根據平行線的性質得到，再根據旋轉的性質得到，等于旋轉角，然后根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算出，從而得到旋轉角的度數．【詳解】解：，，繞點逆時針旋轉至，，等于旋轉角，，，即旋轉角的度數是．故選：B．3．（24-25九年級上·山西呂梁·期中）如圖是中國共產主義青年團團旗，是中國共產主義青年團的象征和標志．旗面為紅色、象征革命勝利；左上角圖案由黃色五角星和黃色圓圈組成、象征中國青年一代緊密團結在中國共產黨周圍．如果將左上角圖案繞某點旋轉角后所得到的圖形與原圖形重合，則旋轉角的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求旋轉對稱圖形的旋轉角度【分析】本題考查旋轉對稱圖形，熟知正多邊形的對稱性是解題的關鍵．根據五角星的對稱性即可解決問題．【詳解】解：由題知，若將五角星的五個外面的頂點連接起來，將得到一個正五邊形．∵，∴當五角星繞其中心旋轉整數倍的度數后，會與原圖形重合．，，∴旋轉角的值不可能是．故選：A．4．（重慶市渝中區2024-2025學年九年級上學期期末考試數學試卷）如圖，在平面直角坐標系中，繞旋轉中心順時針旋轉后得到，則旋轉中心的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識點】找旋轉中心、旋轉角、對應點、坐標系中的旋轉【分析】本題考查了中心對稱圖形、點坐標與圖形，熟練掌握旋轉中心一定在任何一對對應點所連線段的垂直平分線上是解題關鍵．找出線段和的垂直平分線的交點即可得．【詳解】解：由題意可知，線段和的垂直平分線的交點即為旋轉中心．∵如圖，線段的垂直平分線為直線，線段的垂直平分線是邊長為3的正方形的一條對角線所在直線，其與軸的交點為，

∴旋轉中心的坐標是，故選：B．5．（24-25九年級上·天津河北·期末）如圖，將繞點順時針旋轉，得到，點的對應點分別為點，若點在一條直線上，連接，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】根據旋轉的性質求解、等腰三角形的性質和判定【分析】本題主要考查了旋轉的性質，解題時注意：旋轉前、后的圖形全等．根據旋轉的性質得到，則，，逐項進行推導即可得到答案．【詳解】解：由旋轉可得，，∴，又∵點在一條直線上，∴，故選項A正確；∵∴∴，∴不一定成立，故選項B不成立，∵，不一定等于，故選項C不正確；無法證明，故選項D不正確；故選：A二、填空題6．（24-25七年級上·上海·期末）在體育課上，當老師下達口令“向右轉”時，右腳正確的動作應是以（填“腳跟”或“腳尖”）為旋轉中心，沿著（填“順”或“逆”）時針方向旋轉度．【答案】腳跟順90【知識點】判斷生活中的旋轉現象【分析】本題考查了旋轉的相關概念，掌握旋轉的相關概念，結合生活經驗解決問題是解題的關鍵．根據旋轉的相關概念，結合生活經驗即可解答．【詳解】解：在體育課上，當老師下達口令“向右轉”時，右腳正確的動作應是以腳跟為旋轉中心，沿著順時針方向旋轉90度．故答案為：腳跟；順；90．7．（23-24九年級上·重慶梁平·期末）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，把繞點A按逆時針旋轉后得到，則點的坐標是．【答案】【知識點】一次函數圖象與坐標軸的交點問題、求繞某點（非原點）旋轉90度的點的坐標【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及坐標與圖形變化——旋轉．利用一次函數圖象上點的坐標特征，可求出點A，B的坐標，進而可得出的長，結合旋轉的性質，可得出的長，再結合點A的坐標，即可求出點B1的坐標．【詳解】解：當時，，∴點B的坐標為，∴；當時，，解得：，∴點A的坐標為，∴．由旋轉可知：，∴點的坐標是，即．故答案為：．8．（2024九年級·全國·競賽）將點繞坐標原點按逆時針方向旋轉后得到點，點的坐標是．【答案】【知識點】求繞原點旋轉一定角度的點的坐標【分析】本題考查了坐標與圖形變化—旋轉，等腰直角三角形的性質，作軸于，由題意得，由旋轉的性質可得，，則，從而得出是等腰直角三角形，即可得出，從而得出答案．【詳解】解：如圖，作軸于，，點的坐標為，，將點繞坐標原點按逆時針方向旋轉后得到點，，，，是等腰直角三角形，，點的坐標是，故答案為：．9．（湖南省益陽市2024-2025學年上學期期末考試九年級數學試題）如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉60°得到，點，的對應點分別為，，延長交于點，則的長為．【答案】/【知識點】含30度角的直角三角形、根據旋轉的性質求解、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，勾股定理，由旋轉可得，，，即得，進而得到，得到，再利用勾股定理求出即可求解，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．【詳解】解：設相交于點，由旋轉可得，，，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，解得，故答案為：．10．（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖，三角形的底邊與等腰直角三角形的直角邊重合，保持三角形不動，等腰直角三角形繞直角頂點按順時針旋轉，已知，若在旋轉的過程中，旋轉角度不大于且三角形與三角形有一條邊平行，則的度數為．【答案】或或或【知識點】根據平行線的性質求角的度數、根據旋轉的性質求解、等邊三角形的判定和性質【分析】根據順時針方向，分，，，計算解答即可．【詳解】解：∵，等腰直角三角形，∴；如圖①中，當時，∴，∴；

②如圖②中，當時，∴．∵，∴．∵，∴；③如圖③中，當時，∴．∵，∴；

④如圖④中，當時，∴．∵，∴．綜上所述，滿足條件的的值為或或或．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，分類思想，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．三、解答題11．（24-25九年級上·河北邢臺·期末）如圖，經過旋轉后到達的位置，點落在AB的延長線上，．(1)直接寫出旋轉中心；(2)若相交于點，求的度數；【答案】(1)旋轉中心為點；(2)．【知識點】三角形內角和定理的應用、根據旋轉的性質求解、對頂角相等【分析】（）根據旋轉的概念即可求解；（）設相交于點，根據對頂角線段可得，由旋轉性質可知，最后由三角形的內角和定理即可求解；本題考查了旋轉的性質，對頂角相等，三角形的內角和定理，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意可得：旋轉中心為點；（2）解：設相交于點，∴，∵經過旋轉后到達的位置，∴，∵，，∴．12．（24-25八年級上·重慶·期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，，．(1)將繞點逆時針旋轉后得到，請畫出，并寫出中的坐標為（_______，_______）；(2)連接，求的面積．【答案】(1)畫圖見解析，(2)4【知識點】畫旋轉圖形、求繞原點旋轉90度的點的坐標【分析】本題考查旋轉的知識，解題時注意旋轉方向和旋轉角度，掌握以上知識是解題的關鍵；（1）將三個頂點分別繞原點逆時針旋轉后得到其對應點，再首尾順次連接即可得到旋轉后的圖形，然后可以得到的坐標；（2）在一個的正方形中，求出正方形的面積減去3個小三角形面積即可得到的面積；【詳解】（1）解：分別連接、、，然后分別逆時針旋轉即可得到點、、，然后連接、、，如圖：，∴；（2）解：如圖，∵在一個的正方形中，∴；13．（24-25九年級上·甘肅定西·期末）如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉后得到，且點，，在同一條直線上，連接．(1)求的值；(2)求的長．【答案】(1)(2)【知識點】等腰三角形的性質和判定、根據旋轉的性質求解、直角三角形的兩個銳角互余、含30度角的直角三角形【分析】（1）根據直角三角形的兩個銳角互余得出，進而根據旋轉的性質得出，根據等邊對等角得出，再根據三角形內角定理得出旋轉角，即可求解；（2）根據含30度角的直角三角形的性質得出，進而根據得出，根據，即可求解．【詳解】（1）解：，由旋轉得，點在同一條直線上，，，旋轉角的度數是，即，的值為120．（2），，由（1）知，，，的長為6．【點睛】本題考查了旋轉的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質與判定，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．14．（24-25九年級上·北京密云·期末）如圖，在下面正方形網格中小正方形的邊長為，，，都是格點（小正方形的頂點），將繞點順時針旋轉90°得到，點，點的對應點分別為，．(1)補全圖形；(2)求長；(3)．【答案】(1)見解析(2)(3)【知識點】勾股定理與網格問題、畫旋轉圖形、三角形的外角的定義及性質【分析】本題考查作旋轉圖形、勾股定理與網格問題，（1）根據旋轉的性質作圖即可．（2）利用勾股定理計算即可．（3）在線段的延長線上取點，根據網格的特點可得，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：（3）在線段的延長線上取點，由圖可得，，∴．故答案為：．15．（24-25九年級上·河北石家莊