高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)練——解答題A卷

1.已如函數(shù)f(x)-cxln(l+x).

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程；

(II)設(shè)g(x)=7'(x),討論函數(shù)g(x)在[0,+00)上的單調(diào)性;

(HI)證明:對(duì)任意的s,re(0,-K?),有/6+，)>/($)+/?).

2.已知函數(shù)/(幻=/一4,g(x)=x2+a,曲線y=/(x)在點(diǎn)(NJ(xj)處的切線也是曲線

y=g(x)的切線.

(1)若芭=一1,求4：

(2)求。的取值范圍.

3.已知函數(shù)f(x)=ln(l+x)+acev.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線)，=/(?在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+⑼各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求4的取值范圍.

4.已知函數(shù)/(彳)=/+如+1

(1)討論了(X)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=/(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

5.已知函數(shù)f[x)=ax-€R.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求人力的圖象在點(diǎn)P(eJ(e))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=M*(x)-4,討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

6.已知函數(shù)/(")=弘±1)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),aeR).

e"

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線,=f(X)在點(diǎn)(2,7(2))處的切線方程；

⑵若。>0,方程/(x+l)-a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根司,七,求證：累+E>2e.

7.已知函數(shù)f(x)=mex(x+\).

(1)當(dāng)〃7=1時(shí)，求/(X)在x=0處的切線方程；

(2)若g(x)=x2+4x+2,當(dāng)xN-2時(shí)，/(x)Ng(%)恒成立，求m的取值范圍.

8.已知函數(shù)/(幻=x2+ae\aeK),f\x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若a=_2時(shí)，求曲線y=/(x)在x=0處切線/的方程；

⑵若對(duì)任意實(shí)數(shù)-不等式恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

2

9.己知函數(shù)/g(x)=ax+x-l,

x2

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程;

⑵若對(duì)任意的xe(0,+oo),/(x)Wg(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

lnx+x+2

10.已知函數(shù)/(用

x

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(!,/(1))處的切線方程;

⑵討論方程“0=/的實(shí)根個(gè)數(shù).

答案以及解析

1.答案：(I)y=x

(II)g(x)在[0,X。)上單調(diào)遞增

(III)見解析

解析：(I)由題，f\x)=er-ln(l+x)+er?—=ev[ln(l+x)+—],

\+x1+x

故八())=5?ln(l+O)+」一=1,/(O)=e°ln(l+O)=O,

_l+0_

因此，曲線尸/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程為y=x.

(II)解法一：g(x)=f'(x)=exln(l+x)+—5―,

_1+A_

21

貝Ug'(x)=e'ln(l+x)H-------------------y,

1+x(1+x)

21

設(shè)h(x)=ln(l+x)+-------------------,XG[0,+OO),

\+x(1+x)-

mu，\122+1

貝l"?(x)=------------------+---------r=--------r>0,

1+x(1+X)(1+x)(1+x)

故h(x)在[0,-H30)上單調(diào)遞增，

故力(x)2/?(0)=l>0,

因此g'(x)>0對(duì)任意的X€[0,+00)恒成立，

故g(x)在ro,+oo)上單調(diào)遞增.

解法二：g(x)=r(x)=e*ln(l+x)+—,

l+x_

21

則g'(x)=e'ln(l+^)+----------------y，

\+x(1+x)

Xev>0,當(dāng)xw[0,+oo)時(shí)，，ln(l+x)+----------!-z->In1++>0,

\+x(\+x)2(1+x)2

故g'(x)>0對(duì)任意的xe[0,+oo)恒成立，

故g(x)在[0,y)上單調(diào)遞增.

(III)設(shè)m(s)=f(s+t)-f(s)-f(t)=e'+/ln(l+s+f)—e"n(l+s)-e‘ln(l+1),

則m\s)=e"'ln(l+s+t)+——-——-eT[ln(l+s)+—5—]=g(s+t)~g(s)?

14-5+/J14-5

由（H）知g（x）在［0,+oo）上單調(diào)宛增,

故當(dāng)s>0,f>0時(shí)，/(s)=g(s+f)-g(s)>0,

因此，m(s)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

故，網(wǎng)s)>帆(0)=/(0+0-/(0)-/(/)=-/(0)=0,

因此，對(duì)任意的s,fe(0,+oo),有f(s+￡)>f(s)+f").

2.答案：(1)〃=3

(2)l-l,+oo)

解析：(1)當(dāng)％=-1時(shí)，/(-1)=0,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,0).

由f(x)=x3-x,得f\x)=3x2-1,

所以切線斜率左=/'(-1)=2,

所以切線方程為y=2(x+l),即j=2x+2.

將y=2x+2代入y=/+。，得f-2x+a-2=0.

由切線與曲線y=g(x)相切，得△=(2)24(。2)=0,解得a=3.

(2)由/(x)=/-x,得/'(幻=3/-1,所以切線斜率左=((內(nèi))=3M一1,

所以切線方程為-*)=(3x：-1)(工一為)，即y=(3x,2-l)x-2x^.

將J=(3x；—1)工一2片代入j=x2+a,得f一(34一l)x+a+2M=0.

由切線與曲線y=g(x)相切,得△=(3/2-1)2一4,+.)=0,

整理，得4。=9式：-8工；-6工；+1.

令力。)=9d-8x3-6x2+l,貝ijh\x)=36/-24x2-12x=l2x(3x+l)(x-l),

由"(x)=0,得“=」，0,1,

3

h(x),hf(x)隨x的變化如下表所示：

X~3信。）0(0,1)1（1收）

〃'(x)-0+0-0+

/?。）極小值極大值極小值

由上表知，當(dāng)x=—g時(shí)，以制取得極小值"（—；）=

當(dāng)％=1時(shí)，〃(外取得極小值獻(xiàn)1)=-4,

易知當(dāng)x->YO時(shí)，h(x)—>-K?,當(dāng)x->+00時(shí)，/i(x)—>+00,

所以函數(shù)h(x)的值域?yàn)閇-4,+oo),

所以由44GJK+eo),得℃[-1,+8),

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為［-1,”).

3.答案：(1)y=2x

(2)(-oo,-l)

解析：(1)當(dāng)4=1時(shí),/(x)=ln(l+x)+x-e'r,

/'(x)=-----Fe+X'c~x?(—1)?

x+1

.?.r(o)=i+i=2,

v/(0)=0,

.??所求切線方程為y—0=2?—0j,即y=2x.

ZJV

(2),//(x)=ln(l+x)+av-e-x=ln(x+l)+—，

er

1°當(dāng)aNO時(shí)，若%>0,則ln(x+l)>0,—>0,.JOO,

e"

「./(x)在(0,+co)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意.

e*+a(l-巧

2。當(dāng)avO時(shí),

(x+l)ex

令g(K)=e*+a(l-x2),則g'(x)=e*-2奴，g'(x)在(-l,+oo)上單調(diào)遞增，

g［T)=5+2a,/(0)=1,

(a)若g'(-l)NO,則一一—<a<Ot一一L?avO時(shí),

2e2e

g'(x)>0在上恒成立，

g(x)在(-l,+oo)上單調(diào)遞增,

vg(-l)=e_,>0,.超。)>0在(T,+oo)上恒成立，

八］)>0在L上恒成立，

.?./(X)在(-1,+00)上單調(diào)遞增，"(0)=0,

.?./(%)在(-1,0),(0,*o)上均無(wú)零點(diǎn)，不符合題意.

(b)若g'(-l)vO,則av---,:.a<一-!-時(shí)，存在天e(-l,0),使得g'(Xo)=O.

2e2e

.?.g(x)在上單調(diào)遞減，在(%,+oo)上單調(diào)遞增.

g(-l)=e1>0,g(O)=l+a,g(l)=e>0.

(i)當(dāng)g(O)NO,即一14。<一」■時(shí)，g(x)>0在(0,y0)上恒成立，

「./'(?>0在(0,-KO)上恒成立,

在(0,-KO)上單調(diào)遞增.

v/(0)=0,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/(x)>0,

.?./(%)在(0,+oo)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意.

(ii)當(dāng)g(0)<0,即av—l時(shí)，

存在百?-1,%)，毛￡(0,1),使得8(百)=8億)=0，

.?./3)在(-1,%),(工2,+8)上單調(diào)遞增，在(公々)上單調(diào)遞減.

v/(0)=0,.-./(^)>/(0)=0,當(dāng)x7T時(shí),/(x)<0,

：.fM在(-1,%)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

即f(x)在(-1,0)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

,**/(0)=0,當(dāng)xf+oo時(shí)，f(x)>0,

.-./(x)在(和內(nèi))上存在一個(gè)零點(diǎn)，即/(x)在(0,+oo)上存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，〃的取值范圍是(YO,-1).

4.答案：(1)當(dāng)時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，/(x)在3a

333\

匕正豆,y］上單調(diào)遞增，在(匕正互，匕正至］上單調(diào)遞減

I3)I33

(2)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1M+1)和(-1,-a-l).

解析：(1)由題知r(x)=3/_2x+a,A=4-12a.

①當(dāng)AWO,即aN；時(shí)，由于:(外的圖象是開口向上的拋物線，故此時(shí)/'a)N0,則

/(幻在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)△>(),即avg時(shí)，令/'(刈=。，解得％=上牛兔，/J+

令r(x)>。，解得xv百或方>“2，令r(x)<o，解得玉

所以/(%)在(-8小)，(“2，+0°)上單調(diào)遞增，在(和七)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)azg時(shí)，/(X)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，/a)在-8,匕手互｝

巨,內(nèi)］上單調(diào)遞增，在(匕4三豆,11把三］上單調(diào)遞減

I3)I33

(2)設(shè)曲線y=f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為/,切點(diǎn)為(%,片-年+咻+1),

,

f(x0)=3x^-2x0+a,

則切線方程為y-(￡—用+再)+1)=(3/—2%+a)(x—飛),

將原點(diǎn)代入切線方程，得24-4-1-0,

所以(七一D(2x；+毛+1)=0,解得%=1,

所以切線方程為y=(a+l)x,

令/一寸+出；+1=(〃+i)x,g|Jxi-x2-x+l=0,

所以(工一1尸.(1+1)=0,解得x=l或x=—l,

所以曲線)，=/(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(l,a+1)和

(-1,-a-l).

2

5.答案：⑴x-y——=0

e

(2)見解析

解析：U)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x--,可得/(e)=e—

，(x)=l-三詈，故〃e)=L

從而函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)P(e,〃e))處的切線方程為y-fe-|j=x-e,

2

即x-y——=0.

?e

、22(c

(2)g(x)=xf(x)-4=ax~-2inx-4,其定義域?yàn)?0,+o)),貝ljg<x)=2ox--=—

x

(i)當(dāng)aKO時(shí)，g'(x)<0對(duì)于任意的x>0恒成立，故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

a-4

2

4*AQ=e,則Ov毛<1,g(f)=ar；-2lnx。-4>a-21n/-4=0.

又因?yàn)間⑴=。-4<0,所以g(x)在e-,1上有唯一零點(diǎn).

I

(ii)當(dāng)a>0時(shí)，令g'(x)>0,得x>

在J=,+O0上單調(diào)遞增,

所以g(K)在上單調(diào)遞減,

)

故g(X)min=21n>[a-3=Ina—3

①若a>e，且⑶*>。，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn).

②若a=e3,g(x)min=0，函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn).

③若0<。</,g(x)min<0.

2

令X=e've<—=,有g(shù)(.5)=tuf—21nxi-4>一2In%—4=0.

g(x2)=atj-21nx2-4>axj-2x2-4>ax^-4a-2x2-4=(x2+-2)-2]=0.

所以函數(shù)屋力在。f-J=,2+-

上各有一零點(diǎn)，從而函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

kyja)\yjaa

綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)。工0或〃=小時(shí)，函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn);

當(dāng)0vave3時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

6.答案：(1))=4

e

(2)見解析

解析：⑴當(dāng)。=1時(shí),/*)=曳=工

e

貝2⑵—x」1，

ee

因止匕/'(2)=0,

故曲線y=/(x)在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程為y=■!?.

e

(2)由題意知方程疣皿-。=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

對(duì)于函數(shù)y=朧-8-々(a>0),>，'=e"(1-ar),

令y=-(1_的>0,解得彳<。,

令丁*3(1一詞<0,解得x>\,

則函數(shù)產(chǎn)技"-a在區(qū)間,oo[)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(%內(nèi))上單調(diào)遞減,

所以'-J〃>0,得/<!.

ae

又當(dāng)x<0時(shí)，疣--a<0,所以方程比R-a=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.9均大于0.

當(dāng)x>0時(shí)，方程xeax-a=0即方程e,nx-at=e,na,

則原問(wèn)題等價(jià)于lnx-ar=lna有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根.占.

令g(x)=Inx-ar-Ina(x>0),

則g'(x)=，_a(x>0),

x

所以g(K)在上單調(diào)遞增，在9,+00)上單調(diào)遞減,

不妨設(shè)％<x,,則。<%—.

a

令G(x)=g(x)-g-x),xe(0,3),

22

則G'(x)=---------------2?>--2a=0,

x(2-ax)1

a

0」〕上單調(diào)遞增,

從而當(dāng)時(shí),G(x)vO,

因?yàn)槌?L+8)上單調(diào)遞減,

22

所以>---%,即司>一,

*'a"a

則42+*>[±+乜)：>3>2e,

122a2

故原命題得證.

7.答案：(1)y=2x+\

(2)[2,2e2]

解析：(1)當(dāng)m=1時(shí)，/(x)=ex(x+l),r(x)=e?x+2),

所以〃0)=1，/W)=2,

故f(x)在x=0處的切線方程為y-1=2(x-O),即y=2x+l.

(2)令h(x)=/(x)-g(x)=mex(x+1)-x2-4x-2,x>-2?

h\x)-mex(x4-2)-2x-4=(x+2)^nex-2).

若mWO,貝ij—2<0.當(dāng)xe(-ao,-2)時(shí)，h\x)>0；當(dāng)xe(-2,+co)時(shí)，h\x)<0?

所以力(x)在(TO,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,+oo)上單調(diào)遞減；

2

若帆>0,令〃'(幻=0,解得x=-2,X2=ln—.

tn

當(dāng)0</"<2e2時(shí)，x2>X,,則在(YO,-2),(1II2,+QO)上單調(diào)遞增，在卜2,ln2)上單

調(diào)遞減；

當(dāng)機(jī)=2e?時(shí)，2=xi，則力(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)相>2/時(shí)，々VX］,則力(4)在(-co,In2),(-2,+<?)上單調(diào)遞增，在(也2,一2)上單調(diào)

遞減.

由力(0)20,得7n之2.

2

①若2<m<2c,h(x)在［-2,+<)。)的最小值為h(x2),

而〃)=2X2+2-^2-4巧-2=-^2(x2+2)>0,

所以當(dāng)xN-2時(shí)，人㈤20恒成立.

②若帆=2e?,Ki)在［-2,+oo)單調(diào)遞增，

而〃(-2)=0,所以當(dāng)xN-2時(shí)，/心:)NO恒成立.

③若m>2e2,則/?(-2)=~/nc~2+2=-e-2(祖一2e2)v0,

所以當(dāng)X2-2時(shí)，/?(x)之0不可能恒成立.

綜上所述，〃，的取值范圍為［2,2e］.

8.答案：⑴y=2x-2.

⑵取值范圍為々NO.

x

解析：⑴當(dāng)。=-2時(shí)，f\x)=2x+2e~t

則八0)=2.

又/(0)=_2,.?.切線/的方程為j+2=2x,即y=2x-2.

(2)①當(dāng)。之0時(shí)，/(x)NKNO顯然成立；

②當(dāng)avO時(shí)，當(dāng)xvO時(shí)，e-r>l,

2

/(x)<x+at月./(一/二2)<-。+。=0,不滿足題意，舍去.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為々20.

9.答案：⑴2x-y-3=0.

⑵取值范圍為

4|--x-lnx|

解析：⑴因?yàn)?。)=也一/,所以八幻=乂二_2一24=處將一2-

x.V

所以/XD=4(1-lnl)-2=2.

I2

乂/⑴二一1,所以曲線)，=/(%)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為)，+1=2比一1),即

2x-y-3=0.

⑵對(duì)任意的X￡(0,+oo),/(x)?g(x)恒成立，

即對(duì)任意的xw(0,+co),41n入_幺4以2+工一*恒成立，

x2

所以當(dāng)x=l時(shí)，—-12<?X12+I-^,所以

122

下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的X￡(0,+co),如絲一/Wax?+x-3恒成立，

2x2

即證當(dāng)aN，時(shí)，對(duì)任意的xe(0,+oo),41nx-x2+*x4(a+l)V恒成立，

22

只需證對(duì)任意的4￡(0,E)，41nL/+短=*恒成立

2(2J2

3、、59,54(x-l)|9x2+13x+8)

3