幾類圓錐曲線問題一、弦長問題圓錐曲線的弦長求法設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A()、B()兩點，則弦長|AB|為：(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．例1過拋物線的焦點作傾斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角．分析一：由弦長公式易解．解答為：∵拋物線方程為，∴焦點為(0，-1)．設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．將此式代入中得：．∴由|AB|=8得:∴又有得:或.分析二:利用焦半徑關系.∵∴|AB|=-(+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，可由同學們自己試試完成．二、最值問題方法1：定義轉化法①根據圓錐曲線的定義列方程；②將最值問題轉化為距離問題求解．例2、已知點F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點，定點A的坐標為(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________．解析如圖所示，根據雙曲線定義|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，將|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，即|PA|＋|PF|≥9，等號當且僅當A，P，F′三點共線，即P為圖中的點P0時成立，故|PF|＋|PA|的最小值為9.故填9.方法2：數形結合（切線法）當所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線的距離的最值時：①求與直線平行的圓錐曲線的切線；②求出兩平行線的距離即為所求的最值．例3、求橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1上的點到直線y＝x＋2eq\r(3)的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標．解設橢圓的切線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±eq\r(3).當b＝eq\r(3)時，直線y＝x＋eq\r(3)與y＝x＋2eq\r(3)的距離d1＝eq\f(\r(6),2)，將b＝eq\r(3)代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝－eq\f(2\r(3),3)，此時y＝eq\f(\r(3),3)，即橢圓上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(\r(3),3)))到直線y＝x＋2eq\r(3)的距離最小，最小值是eq\f(\r(6),2)；當b＝－eq\r(3)時，直線y＝x－eq\r(3)到直線y＝x＋2eq\r(3)的距離d2＝eq\f(3\r(6),2)，將b＝－eq\r(3)代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝eq\f(2\r(3),3)，此時y＝－eq\f(\r(3),3)，即橢圓上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))到直線y＝x＋2eq\r(3)的距離最大，最大值是eq\f(3\r(6),2).方法3：參數法（函數法）選取合適的參數表示曲線上點的坐標；②求解關于這個參數的函數最值例4、在平面直角坐標系xOy中，點P(x，y)是橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上的一個動點，則S＝x＋y的最大值為________．解析因為橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosφ,y＝sinφ，))(φ為參數)．故可設動點P的坐標為(eq\r(3)cosφ，sinφ)，其中0≤φ＜2π.因此S＝x＋y＝eq\r(3)cosφ＋sinφ＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosφ＋\f(1,2)sinφ))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,3)))，所以，當φ＝eq\f(π,6)時，S取最大值2.故填2.方法4：基本不等式法①將最值用變量表示．②利用基本不等式求得表達式的最值．例5、求橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1內接矩形ABCD面積的最大值．例6已知定點A(0，3)點B、C分別在橢圓的準線上運動，當∠BAC=90°時，求△ABC面積的最小值。解：橢圓的兩條準線方程分別為：y=1或y=－1。點B在直線y=1上且設B（a，1），點C在直線y=－1上且設C（b，－1），由于∠BAC=90°，A(0，3)，所以，·=，ab=－8。==，當且僅當，即，時△ABC面積的值最大為8。例7已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值．解：(1)將+4(y-1)2=4代入得：+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y由點(x，y)滿足+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．當y=0時，(+y2)min=0．(2)：分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．令x+y=u，則有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0．又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×≥0．∴當時,;當時,∴;三、定值、定點問題方法1：特殊到一般法根據特殊情況能找到定值(或定點)的問題根據特殊情況確定出定值或定點；②對確定出來的定值或定點進行一般情況的證明．例8、已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,2)＝1，過圓O：x2＋y2＝2上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點，證明：∠AOB的大小為定值．證明:當切線的斜率不存在時，切線方程為x＝±eq\r(2).當x＝eq\r(2)時，代入雙曲線方程，得y＝±eq\r(2)，即A(eq\r(2)，eq\r(2))，B(eq\r(2)，－eq\r(2))，此時∠AOB＝90°，同理，當x＝－eq\r(2)時，∠AOB＝90°.當切線的斜率存在時，設切線方程為y＝kx＋b，則eq\f(|b|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，即b2＝2(1＋k2)．由直線方程和雙曲線方程消掉y，得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，由直線l與雙曲線交于A，B兩點．故2－k2≠0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝eq\f(2kb,2－k2)，x1x2＝eq\f(－b2＋2,2－k2)，y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝eq\f(－k2b2－2k2,2－k2)＋eq\f(2k2b2,2－k2)＋eq\f(2b2－k2b2,2－k2)＝eq\f(2b2－2k2,2－k2)，故x1x2＋y1y2＝eq\f(－b2－2,2－k2)＋eq\f(2b2－2k2,2－k2)＝eq\f(b2－21＋k2,2－k2)，由于b2＝2(1＋k2)，故x1x2＋y1y2＝0，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∠AOB＝90°.綜上可知，若l交雙曲線于A，B兩點，則∠AOB的大小為定值90°.方法2：引進參數法定值、定點是變化中的不變量，引入參數找出與變量與參數沒有關系的點(或值)即是定點(或定值).引進參數表示變化量；②研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定值或定點例9、如圖所示，曲線C1：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1，曲線C2：y2＝4x，過曲線C1的右焦點F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1，C2依次交于B，C，D，E四點．若G為CD的中點、H為BE的中點，證明eq\f(|BE|·|GF2|,|CD|·|HF2|)為定值．（自由變量，分析、轉化問題）證明由題意，知F1(－1,0)，F2(1,0)，設B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直線y＝k(x－1)，代入eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1，得8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,k)＋1))2＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，則y1＋y2＝－eq\f(16k,8＋9k2)，y1y2＝－eq\f(64k2,8＋9k2).同理，將y＝k(x－1)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0，則y3＋y4＝eq\f(4,k)，y3y4＝－4，所以eq\f(|BE|·|GF2|,|CD|·|HF2|)＝eq\f(|y1－y2|,|y3－y4|)·eq\f(\f(1,2)|y3＋y4|,\f(1,2)|y1＋y2|)＝eq\r(\f(y1－y22,y1＋y22)·\f(y3＋y42,y3－y42))＝eq\r(\f(y1＋y22－4y1y2,y1＋y22)·\f(y3＋y42,y3＋y42－4y3y4))＝eq\r(\f(\f(－16k2,8＋9k22)＋\f(4×64k2,8＋9k2),\f(－16k2,8＋9k22))·\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)))2＋16))＝3為定值．例10A、B是拋物線（p＞0）上的兩點，且OA⊥OB，求證：（1）A、B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積分別都是定值；（2）直線AB經過一個定點。證明：（1）設A（）、B（），則，?！?，∴為定值，也為定值。（2）∵，∵，∴∴直線AB的方程為：，∴直線AB過定點（2p，0）。例11已知拋物線方程為，點A、B及點P(2，4)都在拋物線上，直線PA與PB的傾斜角互補。（1）試證明直線AB的斜率為定值；（2）當直線AB的縱截距為m（m＞0）時，求△PAB的面積的最大值。分析：這類問題一般運算量大，要注意函數與方程、數形結合、分類討論等思想方法的靈活運用。解析：（1）證明：把P(2，4)代入，得h=6。所以拋物線方程為：y－4=k(x－2)，由，消去y，得。所以，因為PA和PB的傾角互補，所以，用－k代k，得，所以=。（2）設AB的方程為y=2x+m(m＞0)，由，消去y得：，令△=16－4(2m－12)＞0，解得0＜m＜8，，點P到AB的距離d=，所以，=，所以，，當且僅當，即時，等號成立，故△PAB面積最大值為。CxyOFBACxyOFBA圖2方法1：設直線方程為，A，B，C，∴，，∴，，，又∵，∴，即k也是直線OA的斜率，所以AC經過原點O。當k不存在時，AB⊥x軸，同理可證。xyFBACDO圖3NE方法2：如圖2過A作AD⊥l，D為垂足，則：AD∥xyFBACDO圖3NE例13.在拋物線x2＝4y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：A、B和這拋物線的焦點三點共線；為定值.證明：(1)∵拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1．∴A、B到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．由拋物線的定義：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|即A、B、F三點共線．(2)法1：如圖2－46，設∠AFK=θ．∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2∴又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ∴法2：韋達定理四、相交問題直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0”與直觀圖形相結合；方法2，由“△≥0”與根與系數關系相結合；方法3，轉換參數法(以后再講)．例14已知曲線及有公共點,求實數a的取值范圍．可得：=2(1-a)y+-4=0．∵△=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴.如圖2－47，可知：橢圓中心,半軸長,拋物線頂點為,所以當圓錐曲線在下方相切或相交時,.綜上所述,當時,曲線與相交.五、參數范圍問題方法1：曲線幾何性質法①由幾何性質建立關系式；②化簡關系式求解．例15、已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線中的取值范圍是________．解析根據雙曲線定義|PF1|－|PF2|＝2a，設|PF2|＝r，則|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝eq\f(2a,3)，|PF2|＝eq\f(2a,3).根據雙曲線的幾何性質，|PF2|≥c－a，即eq\f(2a,3)≥c－a，即eq\f(c,a)≤eq\f(5,3)，即e≤eq\f(5,3).又e＞1，故雙曲線的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).故填eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).方法2：判別式法當直線和圓錐曲線相交、相切和相離時，分別對應著直線和圓錐曲線方程聯立消元后得到的一元二次方程的判別式大于零、等于零、小于零聯立曲線方程，消元后求判別式；②根據判別式大于零、小于零或等于零結合曲線性質求解．例16、在平面直角坐標系xOy中，經過點(0，eq\r(2))且斜率為k的直線l與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數m，使得向量eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線？如果存在，求m值；如果不存在，請說明理由．解(1)由已知條件，知直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，代入橢圓方程，得eq\f(x2,2)＋(kx＋eq\r(2))2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0.①由直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q，得Δ＝8k2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))＝4k2－2＞0，解得k＜－eq\f(\r(2),2)或k＞eq\f(\r(2),2)，即k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)．由方程①，知x1＋x2＝－eq\f(4\r(2)k,1＋2k2).②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),1＋2k2).③由A(eq\r(2)，0)，B(0,1)，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，1)．所以eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線等價于x1＋x2＝－eq\r(2)(y1＋y2)，將②③代入，解得k＝eq\f(\r(2),2).由(1)知k＜－eq\f(\r(2),2)或k＞eq\f(\r(2),2)，故不存在符合題意的常數k.例17.已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設Q是橢圓上任意一點，、分別是左、右焦點，求∠的取值范圍；解：（1）∵，∴。∵是共線向量，∴，∴b=c,故。（2）設當且僅當時，cosθ=0，∴θ。例18.橢圓的焦點為FF，點P為其上的動點，當∠FPF為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是___。解：由橢圓的知焦點為F1（－,0）F2（,0）.設橢圓上的點可設為P（3cos,2sin）.為鈍角∴=9cos2－5＋4sin2=5cos2－1<0解得：∴點P橫坐標的取值范圍是（）.解決與角有關的一類問題，總可以從數量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉化為向量的數量積為負值，通過坐標運算列出不等式，簡潔明了.課堂知識運用訓練1．設P是曲線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1,1)的距離與點P到x＝－1直線的距離之和的最小值為()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(6)2．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＋c))2有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的范圍為()．A.eq\f(\r(5),5)＜＜eq\f(3,5)B．0＜＜eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(2),5)＜＜eq\f(\r(3),5)D.eq\f(\r(3),5)＜＜eq\f(\r(5),5)3．設F是橢圓eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,6)＝1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍為________．4．過拋物線y2＝2px(p＞0)上一定點P(x0，y0)(y0＞0)作兩直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，則eq\f(y1＋y2,y0)的值為________．5．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦點為F，過F點的直線l交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點，當△PFO的面積最大時，求直線l的方程．已知⊙O′過定點A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上運動，MN為圓O′在軸上所截得的弦．(1)當O′點運動時，|MN|是否有變化？并證明你的結論；(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，試判斷拋物線C的準線與圓O′的位置關系，并說明理由．課堂知識運用訓練-解析1．設P是曲線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1,1)的距離與點P到x＝－1直線的距離之和的最小值為()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(6)解析如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x＝－1，由拋物線的定義知：點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離；于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(－1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小；顯然，連AF交曲線于P點．故最小值為eq\r(22＋1)，即為eq\r(5).答案C2．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＋c))2有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的范圍為()．A.eq\f(\r(5),5)＜＜eq\f(3,5)B．0＜＜eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(2),5)＜＜eq\f(\r(3),5)D.eq\f(\r(3),5)＜＜eq\f(\r(5),5)解析此題的本質是橢圓的兩個頂點(a,0)與(0，b)一個在圓外、一個在圓內即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＞\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＋c))2,b2＜\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＋c))2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞\f(b,2)＋c,b＜\f(b,2)＋c))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c2＞\f(1,4)a2－c2,\r(a2－c2)＜2c))?eq\f(\r(5),5)＜e＜eq\f(3,5).答案A3．設F是橢圓eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,6)＝1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍為________．解析若公差d＞0，則|FP1|最小，|FP1|＝eq\r(7)－1；數列中的最大項為eq\r(7)＋1，并設為第n項，則eq\r(7)＋1＝eq\r(7)－1＋(n－1)d?n＝eq\f(2,d)＋1≥21?d≤eq\f(1,10)，注意到d＞0，得0＜d≤eq\f(1,10)；若d＜0，易得－eq\f(1,10)≤d＜0.那么，d的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,10)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,10))).4．過拋物線y2＝2px(p＞0)上一定點P(x0，y0)(y0＞0)作兩直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，則eq\f(y1＋y2,y0)的值為________．解析設直線PA的斜率為kPA，PB的斜率為kPB，由yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,0)＝2px0，得kPA＝eq\f(y1－y0,x1－x0)＝eq\f(2p,y1＋y0)，同理kPB＝eq\f(2p,y2＋y0)，由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，因此eq\f(2p,y1＋y0)＝－eq\f(2p,y2＋y0)，即y1＋y2＝－2y0(y0＞0)，那么eq\f(y1＋y2,y0)＝－2.5．橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦點為F，過F點的直線l交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點，當△PFO的面積最大時，求直線l的方程．解求直線方程，由于F(－c,0)為已知，僅需求斜率k，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則y0＝eq\f(y1＋y2,2)，由于S△PFO＝eq\f(1,2)|OF|·|y0|＝eq\f(c,2)|y0|只需保證|y0|最大即可，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋c,b2x2＋a2y2＝a2b2))?(b2＋a2k