學年廣東省廣州市西關外國語教育集團九年級（上）期中數學試卷一、選擇題：本題共小題，每小題3分，共分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A.B.C.D.2.已知二次函數，則其二次項系數a，一次項系數b，常數項c分別是（）A.，，B.，，C.，，D.，，3.二次函數的圖象可能是（）A.B.C.D.4.二次函數圖象的頂點坐標是（）A.B.C.D.5.用配方法解方程時，此方程可變形為（）A.B.C.D.6.點與點關于原點對稱，則的值為（）A.-1B.1C.-2024D.20247.如果函數是關于x的二次函數，那么k的值是（）A.1或2B.0或2C.2D.08.某商品原售價為200元，連續兩次降價后售價為100元，下面所列方程正確的是（）A.B.C.D.9.已知實數a，b分別滿足，，且，則的值是（）A.7B.-710.是關于xx的取值范圍是y在實數a的取值范圍是（）A.B.C.D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共分。已知關于x的一元二次方程的兩個實數根分別是m，n，則______.12.一元二次方程的兩個實數根中較大的根是______.13.如圖所示，在正方形ABCDACBD相交于點O，繞點O逆時針旋轉90°后與重合，，則四邊形BEOF面積是______.14.有m10______.15.二次函數的圖象關于原點對稱的圖象解析式為______.16.拋物線的對稱軸為直線，圖象過點，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①；②；③；④若點，均在拋物線上，則；⑤.其中正確的序號有______.三、計算題：本大題共1小題，共4分。17.解方程：.四、解答題：本題共8小題，共分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.（本小題4分）已知二次函數的圖象經過點，，求此二次函數的表達式.19.（本小題6分）如圖，中，.（1）將繞點B逆時針旋轉180°得到，連接，（2）求證：四邊形是菱形.20.（本小題6分）已知關于x的方程.（1）若該方程有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根.21.（本小題8分）如圖所示，拋物線與直線相交于點A，.（1）直接寫出實數m，n的值，并求出點A，B的坐標；（2）若，請直接寫出x的取值范圍.22.（本小題10分）水果店王阿姨在水果批發市場以20元/kgykg與銷售單價x元/kg的滿足如圖所示的一次函數關系.（1）求y與x之間的函數關系式.并在不虧錢的情況下直接寫出自變量x的取值范圍；（2）請你幫王阿姨拿個主意，將這種水果的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？23.（本小題10分）如圖所示，拋物線經過點，，，它的對稱軸為直線.（1）求的面積；（2）求拋物線的解析式；（3PP作直線DE是直線P，D，E為頂點的三角形與全等，求滿足條件的點P，點E的坐標.24.（本小題12分）如圖，中，繞點C順時針旋轉得到D落在線段接.（1）求證：平分；（2）試判斷線段與線段的位置關系，并說明理由；（3）若，請你求出的度數.25.（本小題12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線E：的頂點P在拋物線F：上，直線與拋物線E，F分別交于點A，.（1）求a的值；（2）將A，B的縱坐標分別記為，，設，若s的最大值為4，則m的值是多少？（3）是x軸的正半軸上一點，且的中點M恰好在拋物線F上.試探究：此時無論m為何負值，在y軸的負半軸上是否存在定點GG.答案和解析1.【答案】DABC均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°以不是中心對稱圖形；選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.故選：D.根據中心對稱圖形的定義逐項判斷即可.2.【答案】D根據二次函數的定義進行解答即可.【解答】解：∵函數是二次函數，整理得：，∴二次項系數，一次項系數，常數項.故選D.3.【答案】C【解析】解：∵二次函數，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，頂點為，故選項C符合，故選：C.利用二次函數的性質判斷即可.4.【答案】A【解析】解：二次函數圖象的頂點坐標為，故選：A.對于二次函數，其頂點坐標為，據此求解即可.5.【答案】B【解析】解：，移項得：，配方得：，即.故選B.將方程常數項移到右邊，兩邊都加上16，左邊化為完全平方式，即可得到結果.6.【答案】B【解析】解：∵點與點關于原點對稱，∴，，則.故選：B.直接利用關于原點對稱點的性質得出a，b的值，即可求出答案.7.【答案】D依據二次函數的定義可知，，從而可求得k的值.【解答】解：∵函數是關于x的二次函數，∴，.解得.8.【答案】B【解析】解：當商品第一次降價時，其售價為（元）.當商品第二次降價后，其售價為（元）.∴.故選：B.9.【答案】A根據已知兩等式得到a與b為方程的兩根，利用根與系數的關系求出與的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用完全平方公式變形，將與的值代入計算即可求出值.【解答】解：根據題意得：a與b為方程的兩根，∴，，則原式.故選A.10.【答案】B【解析】解：第一種情況：當二次函數的對稱軸不在內時，此時，對稱軸一定在的右邊，函數方能在這個區域取得最大值，，即，第二種情況：當對稱軸在內時，對稱軸一定是在區間的中點的右邊，因為如果在中點的左邊的話，就是在的地方取得最大值，即：，即（此處若a取5的話，函數就在1和3的地方都取得最大值）綜合上所述.故選：B.由于二次函數的頂點坐標不能確定，故應分對稱軸不在和對稱軸在內兩種情況進行解答.【答案】1【解析】解：∵關于x的一元二次方程的兩個實數根分別是m，n，∴，故答案為：1.根據一元二次方程的根與系數的關系得出結論.12.【答案】6【解析】解：∵或，∴，，∴原方程較大的根為6.故答案為6.原方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可得到原方程較大的根.13.【答案】1【解析】解：∵繞點O逆時針旋轉90°后與重合，∴，∴，∴四邊形面積，故答案為：1.由旋轉的性質可得，由面積和差關系可求解.14.【答案】5【解析】解：依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去）.故答案為：5.10場，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可.15.【答案】【解析】解；的頂點坐標為，故變換后的拋物線為，故答案為：.根據關于原點對稱點的特點，可得答案.16.【答案】②③⑤【解析】解：①∵，∴，∵，∴，故①錯誤.②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，故②正確.③∵拋物線與x軸的一個交點是，對稱軸是，∴拋物線與x軸的另一個交點是，∴，故③正確.④∵點在拋物線上，對稱軸為，∴也在拋物線上，∵-1.5>-2，且，都在對稱軸的左側，∴，故④錯誤.⑤∵拋物線對稱軸為，且經過，∴，，∴，，∴，∴⑤正確.故正確的判斷是②③⑤.故答案為②③⑤.①根據二次函數的圖像可知：①，，，據此判斷即可；②根據拋物線與x軸有兩個不同的交點，結合一元二次方程根的判別式判斷即可；③由圖象可知拋物線與x軸的一個交點是，對稱軸為，進而確定另一個交點，然后判斷即可；④結合二次函數對稱軸確定其增減性判斷即可；⑤根據對稱軸為可得，進而可得，，.17.解：因式分解得，，∴或，解得，.將等號左邊寫成兩個一次因式的積，分別令每個因式等于零，得到兩個一元一次方程，分別解這兩個一元一次方程，得到方程的解.18.【答案】解：依題意，得，解得，所以二次函數表達式為.【解析】把兩已知點的坐標代入得到關于b、c的方程組.然后解方程組求出b、c的值即可.19.1）解：如圖所示.（2）證明：∵繞點B逆時針旋轉得到，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是菱形.1）根據旋轉的性質作圖即可.（2）根據旋轉的性質、菱形的判定證明即可.20.1）∵方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：.∴的取值范圍是；（2）設方程的另一根為，由根與系數的關系得：，解得：，則的值是-1，該方程的另一根為-31）關于的方程有兩個不相等的實數根，即判別式.即可得到關于的不等式，從而求得的范圍.（2）設方程的另一根為，根據根與系數的關系列出方程組，求出a的值和方程的另一根.21.1）∵拋物線的頂點坐標為，∴，∵直線與x軸的交點坐標為，∴，解方程組得或，∴，；（2）若，的取值范圍為.1）利用拋物線的頂點的縱坐標為5確定m的值，利用直線與y軸的交點坐標確定n的值，然后解方程組得點A和點B的坐標；（2）利用函數圖象，寫出拋物線在一次函數圖象上方所對應的自變量的范圍即可.22.1）設所求關系式為，由圖得：解得：，∴所求關系式：；（2）設這種水果的利潤為w元，依題意：，∴這種水果定價30元/kg時，可獲最大利潤元.1）由待定系數法即可求解；（2）由，，即可求解.23.1）∵，，，∴，∴；（2）由題意得：，則，解得：，則所求解析式：；（3）∵拋物線：，對稱軸直線，∴即直線為直線，∵，，∴等腰中，∵與全等；直線，∴且點D、E在直線上，設，則，∴當時，，即，∴當時，，即，∵直線，，∴，即，∵，點D，E在直線上，∴，∴，，∴，，，.1）由，即可求解；（2）由待定系數法的即可求解；（3）等腰中，而與全等，直線，得到且點D、E在直線上，設，則，進而求解.24.1）證明：∵將繞點順時針旋轉得到，∴，，∴，∴，∴平分.（2）解：，理由：由旋轉得，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴.（3）解：如圖，，∵，∴，由（12）得，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度數是72°.1）由旋轉得，，則，所以，即可證明平分；（2）由旋轉得，則，由，，得，，所以，則，所以；（3）由（1）、（2）得，因為，所以，則，于是得，求得.25.1）由題意可知，拋物線E：的頂點P的坐標為，∵點P在拋物線F：上，∴，∴.（2）∵直線與拋物線E，F分別交于點A，B，∴，，∴，∵-3<0，∴當時，的最大值為，∵的最大值為4，∴，解得，∵，∴.（3）存在，理由如下：設點M的坐標為n，則，，∴，∵點Q在x軸正半軸上，∴且，∴，∴，