第1頁/共1頁沈陽市渾南區廣全實驗學校2024—2025學年度上學期期末高二試題數學命題人：汝婧審核人：數學教研組滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2．作答時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設，隨機變量的分布列為：589則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分布列的性質，列式計算即得.【詳解】由，得，所以.故選：D2.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（）．A.種 B.種C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.故選：D.3.已知雙曲線，則不因的變化而變化的是（）A.頂點坐標 B.漸近線方程 C.焦距 D.離心率【答案】BD【解析】【分析】將雙曲線方程整理為標準方程，寫出頂點坐標，漸近線方程，焦距和離心率，，判斷是否因改變而變化，即可得解.【詳解】整理雙曲線方程可得，所以，，，所以頂點坐標為或，A錯誤；漸近線方程為，B正確；該雙曲線焦距為：，C錯誤；離心率為：，D正確；不因改變而變化的是離心率與漸近線方程.故選：BD.4.此時此刻你正在做這道選擇題，假設你會做的概率是，當你會做的時候，又能選對正確答案的概率為100%，而當你不會做這道題時，你選對正確答案的概率是0.25，那么這一刻，你答對題目的概率為（）A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0.25【答案】A【解析】【分析】應用全概率公式求答對題目的概率.【詳解】由題意，令表示會做，表示選對，則，且，所以.故選：A5.已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先聯立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據三角形面積比得到關于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.6.展開式中，的系數為（）A.320 B.320 C.240 D.240【答案】D【解析】【分析】根據已知二項式寫出含的項，即可得答案.【詳解】由題設，含的項為.所以的系數為.故選：D7.已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根據臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求得，進而根據線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據比例關系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結果.【詳解】解法一：分別取的中點，則，可知，設正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，則，，可得，結合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.8.已知拋物線的焦點為，拋物線上一點A在準線上的射影為，且為等邊三角形.若，則拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意分析求得，在中，利用余弦定理運算求解即可.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點為，準線為，設準線與x軸的交點為，則，可得，在中，則，即，解得，故拋物線方程為.故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.（多選）在一個袋中裝有質地大小一樣的6個黑球，4個白球，現從中任取4個小球，設取的4個小球中白球的個數為X，則下列結論正確的是（）A.B.隨機變量X服從二項分布C.隨機變量X服從超幾何分布D.【答案】CD【解析】【分析】根據二項分布和超幾何分布的概念判斷BC，由超幾何分布的概率公式計算各概率，再由期望公式計算出期望，從而判斷AD．【詳解】由題意知隨機變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；X的取值分別為0，1，2，3，4，則，，，，，∴，故A錯誤，D正確．故選：CD．10.給出下列命題正確是（）A.直線l的方向向量為，平面的法向量為，則l與平行或B直線恒過定點C.已知直線與直線垂直，則實數a的值是D.已知A，B，C三點不共線，對于空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點共面【答案】ABD【解析】【分析】應用空間向量垂直的坐標表示得判斷A；將直線化為即可求定點判斷B；根據直線垂直的判定求參數判斷C；根據空間向量共面定理的推論判斷D.【詳解】A：由，即，則l與平行或，對；B：由已知得，聯立，可得，故直線恒過定點，對；C：由兩直線垂直得，即，可得或，錯；D：由題設且，結合空間向量共面定理的推論知P，A，B，C四點共面，對.故選：ABD11.在校航天知識展中，航天興趣小組準備從8名組員（其中男組員4人，女組員4人）中選4人擔任講解員，則下列說法正確的是（）A.若組員甲和組員乙同時被選中，則共有28種選法B.若4名講解員中既有男組員，又有女組員，則共有68種選法C.若4名講解員全部安排到三個展覽區，每個展覽區至少1名講解員，每名講解員只去一個展覽區，則共有5040種選派法D.校航天知識展結束后，若8名組員站成一排拍照留念，且女組員相鄰，則共有2880種排法【答案】BD【解析】【分析】從剩余人種選人即可判斷A；利用排除法即可判斷B；先選好人，在分組分配即可判斷C；利用捆綁法即可判斷D.【詳解】對于A，由題意，共有種選法，故A錯誤；對于B，由題意，共有種選法，故B正確；對于C，先選好人，共有種選法，然后將人按要求分到三個展區，有種，所以共有種選派法，故C錯誤；對于D，由題意，共有種排法，故D正確.故選：BD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若點在圓外，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據圓心到點的距離大于半徑即可列不等式求解.【詳解】圓的標準方程為，由于點0,1在圓外，所以，解得，故答案為：13.某學校舉辦作文比賽，共設6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文．則甲、乙兩位參賽同學抽到的主題不相同的概率為____________．【答案】【解析】【分析】利用古典概型計算即可.【詳解】由題意可知甲乙兩人抽取主題的情況有種，不相同的情況有種，所以其概率為.故答案為：14.三棱錐中，，，點E為CD中點，的面積為，則AB與平面BCD所成角的正弦值為______，此三棱錐外接球的體積為______．【答案】①##②.##【解析】【分析】設平面，垂足為，可證得在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為，，從而可求得，利用三角形面積公式可求得，結合已知條件與余弦定理，勾股定理可證得，從而為外接球直徑，利用球的體積計算即可．【詳解】設平面，垂足為，如圖，過作于點，過作于，連接，由平面，平面，得，又，平面，平面，平面，得，同理，從而均為直角三角形，∵，，∴，則在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為．∵，∴，又，，即，則AB與平面BCD所成角的正弦值為，又，解得，又，，，同理，，為外接球直徑，三棱錐外接球的體積為．故答案為：，.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.在二項式展開式中，前三項的二項式系數之和為79.（1）求的值；（2）若展開式中的常數項為，求實數的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二項式定理求前三項的二項式系數，列方程即可求得；（2）由二項式定理求的通項，由此可求常數項，由條件列方程求即可.【小問1詳解】二項式的展開式的前三項的二項式系數依次為，因為展開式中的前三項的二項式系數之和等于79，所以有，即，解得或.因為，所以.【小問2詳解】因為展開式的通項為，令，得，所以常數項為，由已知整理得，所以.16.假定籃球運動員甲每次投籃命中的概率為.現有3個籃球，該運動員甲準備投籃，一旦投中即停止投籃，否則一直投籃到籃球用完（不重復使用）．設耗用籃球數為，求：（1）的概率分布列；（2）均值.【答案】（1）X123（2）【解析】【分析】（1）求出的可能取值及相應的概率，求出分布列；（2）在第一問的基礎上求出均值.【小問1詳解】隨機變量的所有取值是，X123【小問2詳解】17.如圖，在三棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）若是棱上一點且，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意，證得和，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）由（1），得到，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面和的一個法向量為和，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：連接，因為，所以，因為，所以，因，所以，則，所以，因為，且平面，所以平面.【小問2詳解】解：由題設，又因為為的中點，所以，由（1），可得，，兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，因為，由題意易得，所以為正三角形，可得，因為，所以，所以，設平面的法向量為，則，令，則，所以，又由平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，且為銳角，所以，可得即二面角的大小為.【點睛】18.某校為了提高教師身心健康號召教師利用空余時間參加陽光體育活動．現有4名男教師，2名女教師報名，本周隨機選取2人參加．（1）求在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率；（2）記參加活動的女教師人數為X，求X的分布列及期望；（3）若本次活動有慢跑、游泳、瑜伽三個可選項目，每名女教師至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為，每名男教師至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為，每人每參加1項活動可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，記隨機選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望．【答案】（1）（2）分布列及期望見解析.（3）【解析】【分析】（1）由條件概率的計算公式即可求解；（2）參加活動的女教師人數為，則服從超幾何分布，即可寫出的分布列及期望.（3）根據一名女教師和一名男教師參加活動獲得分數的期望，即可得，即可求得.【小問1詳解】設“有女教師參加活動”為事件，“恰有一名女教師參加活動”為事件，則，，所以.【小問2詳解】依題意知服從超幾何分布，且，，，所以的分布列為：012.【小問3詳解】設一名女教師參加活動可獲得分數為，一名男教師參加活動可獲得分數為，則的所有可能取值為3,6，的所有可能取值為6,9，，，，，有名女教師參加活動，則男教師有名參加活動，，所以.即兩個教師得分之和的期望為分.19.已知橢圓的短軸頂點為，短軸長是4，離心率是，直線與橢圓C交于兩點，其中.（1