第4講空間直線、平面的平行1．直線與平面平行(1)判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(01))a?α,\x(\s\up1(02))b?α,\x(\s\up1(03))a∥b))?a∥α(2)性質定理文字語言圖形語言符號語言性質定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(04))a∥α,\x(\s\up1(05))a?β,\x(\s\up1(06))α∩β＝b))?a∥b2．平面與平面平行(1)判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條eq\x(\s\up1(07))相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(08))a?α,\x(\s\up1(09))b?α,\x(\s\up1(10))a∩b＝P,\x(\s\up1(11))a∥β,\x(\s\up1(12))b∥β))?α∥β(2)性質定理文字語言圖形語言符號語言性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線eq\x(\s\up1(13))平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(14))α∥β,\x(\s\up1(15))α∩γ＝a,\x(\s\up1(16))β∩γ＝b))?a∥b1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.4．兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．5．夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．6．經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．7．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．8．如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行．1．已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內B．只有一條，且在平面α內C．有無數條，一定在平面α內D．有無數條，不一定在平面α內答案B解析過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條，因為點P在平面α內，所以這條直線也應該在平面α內．故選B.2．(2019·全國Ⅱ卷)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內有無數條直線與β平行B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，則α內有無數條直線與β平行，反之不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要條件．根據平面與平面平行的判定定理知，若一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行，反之也成立．因此B中的條件是α∥β的充要條件．故選B.3．(多選)(2022·江蘇鎮江質量檢測)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是()答案BCD解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交；B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選BCD.4．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出下列五個結論：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正確的個數是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析因為矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，所以O為BD的中點．在△PBD中，因為M為PB的中點，所以OM為△PBD的中位線，OM∥PD，所以PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因為M∈PB，所以OM與平面PBA，平面PBC相交．故選C．5．如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.答案eq\f(5,2)解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA·CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).6．已知下列命題：①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內；②若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α；③若直線l與平面α相交，則l與平面α內的任意直線都是異面直線；④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線一定與該平面相交；⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內的直線平行或異面；⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a∥b.其中正確的是________(填序號)．答案①⑤解析①若直線與平面有兩個公共點，由基本事實2可得直線在平面內，故①正確；②若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α或l與α相交，故②錯誤；③若直線l與平面α相交，則l與平面α內的任意直線可能是異面直線或相交直線，故③錯誤；④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線可能與該平面平行或相交或在平面內，故④錯誤；⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內的直線無公共點，即平行或異面，故⑤正確；⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a∥b或a，b異面，故⑥錯誤．考向一有關平行關系的判斷例1(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，則下列命題正確的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP答案C解析取B1C1的中點為Q，連接MQ，NQ，由三角形中位線定理，得MQ∥B1D1，∴MQ∥平面BB1D1D，由四邊形BB1QN為平行四邊形，得NQ∥BB1，∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D，又MN?平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D，故選C．(2)已知兩條不同的直線a，b，兩個不同的平面α，β，有如下命題：①若a∥α，b?α，則a∥b；②若α∥β，a?α，則a∥β；③若α∥β，a?α，b?β，則a∥b.其中正確命題的個數為()A．3 B．2C．1 D．0答案C解析若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯誤；若α∥β，a?α，則a與β沒有公共點，即a∥β，故②正確；若α∥β，a?α，b?β，則a與b無公共點，得a，b平行或異面，故③錯誤．∴正確命題的個數為1.故選C．解決有關線面平行、面面平行的基本問題的注意點(1)判定定理與性質定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中，條件“線在面外”易忽視．(2)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷．(3)舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確．1.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n答案D解析A中，兩直線可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交；C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線面垂直的性質定理可知結論正確，故選D.2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點．則下列敘述中正確的是()A．直線BQ∥平面EFGB．直線A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案B解析過點E，F，G的截面如圖所示(其中H，I分別為AA1，BC的中點)．∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故選B.多角度探究突破考向二直線與平面平行的判定與性質角度用線線平行證明線面平行例2(1)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.證明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因為BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又因為CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，FG?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.(2)如圖，在三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．求證：BD∥平面FGH.證明證法一：連接DG，CD，設CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺DEF－ABC中，由AB＝2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則M為CD的中點，又因為H為BC的中點，所以HM∥BD.因為HM?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.證法二：在三棱臺DEF－ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，BE∥HF.在△ABC中，因為G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥AB.又因為GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因為BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度用線面平行證明線線平行例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在MD上取一點G，過G和PA作平面交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，∴PA∥GH.1．判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．2．證明線線平行的三種方法(1)利用基本事實4(a∥b，b∥c?a∥c)．(2)利用線面平行的性質定理(a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b)．(3)利用面面平行的性質定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b)．3.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F是棱PA上的一個動點，E為PD的中點，O為AC的中點．(1)求證：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF.證明(1)因為四邊形ABCD為菱形，O為AC的中點，所以O為BD的中點，又因為E為PD的中點，所以OE∥PB.因為OE?平面PAB，PB?平面PAB，所以OE∥平面PAB.(2)過E作EG∥FD交AP于點G，連接CG，FO.因為EG∥FD，EG?平面BDF，FD?平面BDF，所以EG∥平面BDF.因為E為PD的中點，EG∥FD，所以G為PF的中點，因為AF＝1，PA＝3，所以F為AG的中點，又因為O為AC的中點，所以OF∥CG.因為CG?平面BDF，OF?平面BDF，所以CG∥平面BDF.因為EG∩CG＝G，EG?平面CGE，CG?平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又因為CE?平面CGE，所以CE∥平面BDF.考向三面面平行的判定與性質例4如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)因為GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)因為E，F分別為AB，AC的中點，所以EF∥BC．因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為A1G與EB平行且相等，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化．4．(2022·福建福清階段考試)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點，eq\f(AR,AB)的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明．解(1)證明：連接CP并延長與DA的延長線交于M點，如圖，連接MD1，因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因為eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA．(2)當eq\f(AR,AB)的值為eq\f(3,5)時，能使平面PQR∥平面A1D1DA．如圖．證明：因為eq\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD)，所以PR∥DA．又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA．一、單項選擇題1．已知α，β表示兩個不同的平面，直線m是α內一條直線，則“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由α∥β，m?α，可得m∥β；反過來，由m∥β，m?α，不能推出α∥β.綜上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要條件．故選A．2．已知直線a，b和平面α，下列說法中正確的是()A．若a∥α，b?α，則a∥bB．若a⊥α，b?α，則a⊥bC．若a，b與α所成的角相等，則a∥bD．若a∥α，b∥α，則a∥b答案B解析若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面，故A錯誤；利用線面垂直的性質，可知若a⊥α，b?α，則a⊥b，故B正確；若a，b與α所成的角相等，則a與b相交、平行或異面，故C錯誤；由a∥α，b∥α，得a，b之間的位置關系可以是相交、平行或異面，故D錯誤．故選B.3．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面答案A解析由長方體的性質，知EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.故選A．4．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案B解析∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN?平面PAC，∴MN∥PA．故選B.5．如圖，在多面體ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF答案A解析如圖所示，取DG的中點M，連接AM，FM，則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM，又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四邊形ABFM是平行四邊形，∴BF∥AM，又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，∴BF∥平面ACGD，故選A．6．如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F為PC上一點，當PA∥平面EBF時，eq\f(PF,FC)＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案D解析如圖，連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又因為AD∥BC，E為AD的中點，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).故選D.7．在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A．eq\f(45,2) B．eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)答案A解析如圖，取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又因為D，E分別為AB，BC的中點，則H，F也分別為AS，SC的中點，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．因為AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).故選A．8．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面的面積為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(6) D．4答案C解析如圖所示，易知截面是菱形．分別取棱D1C1，AB的中點E，F，連接A1E，A1F，CF，CE，則菱形A1ECF為符合題意的截面．連接EF，A1C，易知EF＝2eq\r(2)，A1C＝2eq\r(3)，EF⊥A1C，所以截面的面積S＝eq\f(1,2)EF·A1C＝2eq\r(6).故選C．二、多項選擇題9．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結論中正確的是()A．線段B1D1上存在點E，F使得AE∥BFB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面積與△BEF的面積相等D．三棱錐A－BEF的體積為定值答案BD解析如圖所示，AB與B1D1為異面直線，故AE與BF也為異面直線，A錯誤；B1D1∥BD，故EF∥平面ABCD，故B正確；由圖可知，點A和點B到EF的距離是不相等的，C錯誤；連接BD交AC于O，則AO為三棱錐A－BEF的高，S△BEF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4)，三棱錐A－BEF的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),24)，為定值，D正確．故選BD.10．(2021·保定一中模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.則以下四個說法中正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點共線D．平面MNQ∥平面APC答案BC解析如圖，對于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的；對于B，由A項知M，N在平面APC內，由題易知AN∥C1Q，AN?平面APC，所以C1Q∥平面APC是正確的；對于C，由A項知A，P，M三點共線是正確的；對于D，由A項知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．三、填空題11．(2022·北京東城區模擬)設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________(填序號)．答案①或③解析由面面平行的性質定理可知，①正確；當m∥γ，n∥β時，n和m可能平行或異面，②錯誤；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以m∥n，③正確．12．(2022·福建龍巖高三模擬)如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)答案點M在線段FH上解析連接HN，FH，FN，則FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M在線段FH上，則MN?平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.13．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析如圖所示，連接AC，易知MN∥平面ABCD.∴MN∥PQ.又MN∥AC，∴PQ∥AC．∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3).∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2,3)×eq\r(2)a＝eq\f(2\r(2),3)a.四、解答題14．如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，因為四邊形ADEF為平行四邊形，所以O為AE的中點，又M為AB的中點，所以MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又因為BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的對邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又因為DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因為M為AB的中點，N為AD的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，因為BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，因為DE與BD為平面BDE內的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.15．(2022·湖北黃岡入學考試)如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求證：當點