專題L1勾股定理【十大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1利用勾股定理求線段長】.................................................................1

【題型2利用勾股定理求面積1................................................................................................5

【題型3利用勾股定理解決折疊問題】............................................................7

【題型4利用勾股定理求平面坐標系中兩點之間的距離】...........................................12

【題型5利用勾股定理證明線段的平方關系】.....................................................16

【題型6勾股定理驗證方法的應用】.............................................................19

【題型7勾股樹問題】..........................................................................24

【題型8勾股定理在格點中的應用】.............................................................29

【題型9直角三角形中的分類討論思想】.........................................................34

【題型10利用勾股定理解決動點問題】...........................................................38

，舉一反三

【知識點勾股定理】

在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.如果直角三角形的兩條直角

邊長分別是a,b?斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

【題型1利用勾股定理求線段長】

【例1】（2023春?浙江?八年級專題練習）如圖，小聰用圖1中的一副七巧板拼出如圖2所示“鳥”，已知正方

形A8C。的邊長為4,則圖2中E尸兩點之間的距離為（）

D.V16

【答案】A

【分析】作輔助線如解析圖，由七巧板和正方形的性質可知，EG=1,FG=l+4=5,再利用勾股定理可

得答案.

【詳解】解：如圖，過E作EG1FG于G,

圖2

由七巧板和正方形的性質可知:

EG=1,

EG=1+4=5,

在Rt△FEG中,

由勾股定理得，

EF=Vl2+52=>^6,

故選:A.

【點睛】本題主要考杳了正方形的性質，七巧板的特點，勾股定理，解題的關鍵是熟悉根據七巧板的特點.

【變式1?1】（2023春.廣東東莞?八年級校考期中）如圖，在△力8匚中，AB=2,zZ?=60°,zC=45°,求BC和

AC的長.

【答案】BC=1+遮，AC=屜

【分析】作AD18C,在兩直角三角形中分別根據勾股定理即可解答.

【詳解】解：作人。1BC,

A

BDC

Z.ADC=/-ADB=90。，

*：AB=2,Z.B=60°,

：30°,BD=-AB=1,

,ABAD=2

.\AD=V22—l2=V3?

???ZC=45°,

AD=CD=V3,

:?BC=1+VI,

在ADC,根據勾股定理得

AC=+C￡)2==V6.

【點睛】本題考查了勾股定理，正確做出輔助線并根據勾股定理列出關系式是解答本題的關鍵.

【變式1-2](2023春?安徽安慶?八年級統考期中)如圖，在△ABC中，長比AC長大I,BC=15,。是A8上

一點，BD=9,CD=12.

(1)求證:CD工AB；

(2)求力C長.

【答案】(1)見解析

(2)13

22

【分析】(1)根據8C=15,BD=9,CD=12,得到8僻+CD=BC,根據勾股定理逆定理即可得到/CD8=

90。，問題得證;

(2)設=則力。=%一8,杈據勾股定理得到(x-8)2+122=/,解方程即可求解.

【詳解】(1)證明：BC=15,BD=9,CD=12,

:?BD?+CD2=92+122=225.BC2=152=225,

：.BD2+CD2=BC2,

."CDB=90°,

:.CD148；

(2)解：由題意得48—力。=1,

設71c=x,貝lJ/10=AB-BD=x+l-9=x-8,

vZ.ADC=90%

.-.AC2=AD2+CD2,

(x-8)2+122=x2,

解得：x=13,

即AC=13.

【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟知兩個定理并根據題意靈活應用是解題關鍵.

【變式1-3](2()23春,遼寧營口?八年級校聯考階段練習)如圖。。=1,過戶作“1_18且尸21=1,得OP】=VL

再過點Pi作尸1B1OPi且PiP?=1，連接OP2,得0B=V3；又過點P?作P2P3-LOP2且P2P3=1，得。P3=2;

2222

依此法繼續作下去，得OP/+OP2+0P3+0P4+…+0P1Q=_.

【答案】65

【分析】先根據勾股定理，分別求出OPjOPzZopsa,O/V.opioZ,再相加即可.

【詳解】解：根據題意可得：

OP」=(x/2)2=2,

2

OP2=。％2+P1P22=2+1=3,

222

OP3=OP2+P2P3=3+1=4,

22

OPj=0P3+P3P4=4+1=5,

2

0P1Q=10+1=11,

222

.??0匕2+OP2+OP3+OP4+???+OP10?=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=65.

故答案為：65.

【點睛】本題主要考查了勾股定理、圖形的規律運算，找到線段長度的變化規律并歸納公式是解決此題的關

鍵.

【題型2利用勾股定理求面積】

【例2】（2023春?安徽合肥?八年級校考期中）勾股定理是我國古代的偉大數學發明之一.如圖，以心△

ABCQACB=90。）的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正

方形中，重疊部分的面積記作舟，左下不重疊部分的面積記作S2,若工=3,則S2的值是（）

【答案】B

222

【分析】設Rt△y46c的直角邊AC=a,BC=b,BA=c.則a2+f?=c,S2=(c—a)(c—b)=c—

(a+b)c+abt根據品=(a+b-c)?=3即可推出2c?+2ab-2ac—2bc=3,即可得出結論.

【詳解】解：設Rt△48c的直角邊AC=a,BC=b,BA=c.

Aa2+b2=c2,

;面積為S2的矩形的長和寬分別是C-Q,c-b,

2

*.S2=(c-a)(c-d)=c-(a+b)c+ab,

???面積為Si的正方形的邊長是Q-(c-b)=a+b-c,

:?S]=(a+b—c)2=3,

.*.G2+b2+c2+2ab-2ac-2bc=3,

/.2c2+2ab—2ac—2bc=3,

:d-(a+b)c+ab=1.5,

?S2=1.5?

故選：B.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，整式的乘法，解題個關鍵是熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于

斜邊平方，以及整式的乘法運算.

【變式2-11（2023春?北京昌平?八年級校考階段練習）如圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形,

此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形4BC的斜邊8C,直角邊灰色部分面積記

為工，黑色部分面積記為Sz，白色部分面枳記為S3,則（）

A.S]=S2B.S2=S3C.S]=S3D.S]=S2—S3

【答案】A

【分析】由勾股定理，由整個圖形的面積減去以BC為直徑的半圓的面積，即可得出結論.

【詳解】RS4BC中，

VXfi2+4C2=BC2

???S2=1G4B）+7?4。）_）（鄰。+SAABC

222

=ln（AB+AC-BC）+S6ABC

=$.

故選A.

【點睛】本題考查了勾股定理、圓面積公式以及數學常識；熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

【變式2-2]（2023春?廣東深圳?八年級統考期末）如圖，在RQA8C中，ZBCA=90°,△以8中AB邊上

的高等于48的長度，△QBC中邊上的高等于8C的長度，△H4C中AC邊上的高等于AC的長度，且

△用從△Q4C的面積分別是10和8,則△ACH的面積是（）

【答案】A

【分析】根據勾股定理可求AC2+8C2=A82,再根據三角形的面積公式即可求解.

【詳解】解：在RtaABC中，ZBCA=90°,

：.AC2+BC2=AB2,

中AA邊上的高等于A8的長度，△QAC中3C邊上的高等于的長度，△”4。中AC邊上的高等

于AC的長度，且△雨8,△Q8C的面積分別是10和8,

???△AC”的面積是10-8=2.

故選:A.

【，點睛】本題考查勾股定理，熟知勾股定理是解題的關鍵.

【變式2-3］（2023春?八年級單元測試）在直線1上依次擺放著七個正方形（如圖所示），已知斜放置的三個

正方形的面積分別為a,b,c,正放置的四個正方形的面積依次為SI,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4

=（）

BCDQMF1

A.a+bB.b+cC.a+cD.a+b+c

【答案】C

22222

【分析】求證△ABC^ACDE,得DE=BC,△ABC中AB+CE=AC,根據S3=AB,S4=DE可求得S3+S尸c,

同理可得Sj+S2=a?故S3+S4+S1+S2=a+c.

【詳解】解：

：ZACB+ZDCE=90°,ZBAC+ZACB=90°,

AZDCE=ZBAC,

VAC=CE,ZABC=ZCDE,

AAABC^ACDE,

?'?BODE,

在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2,

即,AB2+DE2=AC2,

22

VS3=AB,S4=DE,

/.83+84=0,

同理Si+S2=a,

故可得Si+S2+Sa+S4=a+c,

故選C.

【點睛】本題考杳了正方形面積的計算，正方形各邊相等的性質，全等三角形的判定.本題中根據

△ABC^ACDE證明S3+S4=c是解題的關鍵.

【題型3利用勾股定理解決折疊問題】

【例3】(2023春?全國?八年級階段練習)如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,

現將直角邊AC沿直線力。折登，使它落在斜邊AA上且與AE重合，則6。的長為()

A

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【答案】A

【分析】根據折疊的性質可得4C=AE=6cm,CD=DE,/ACD=NAED=NDEB=90。,利用勾股定理列式求出

AB,從而求出8E,設CD=DE=xcm,表示出80,然后在RQDEB中，利用勾股定理列式計算即可得解.

【詳解】解：:△AC。與AAE。關于4。成軸對稱，

：,AC=AE=6cm,CD=DE,ZACD=ZAED=ZDEB=90Q,

在Rs/18。中，AB2=AC2+BC2=62+S2=102,

?二44=10cm,

BE=AB-AE=10-6=4(cm),

設CO=O￡=xcm,則。=(8-x)cm,

在RsOEB中，由勾股定理，得PM?：(8-%)2,

解得x=3,

CD=3cm.

/.BD=S-x=8-3=5(cm),

故選：A.

【點睛】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，熱記性質并表示出即ZiOEB的三邊，然后利用勾股

定理列出方程是解題的關鍵.

【變式3-1]（2023春?八年級課時練習）已知IRtZi/lBC中，44cB=90。，AC=8,BC=4,D為斜邊4B上

的中點，E是直角邊4c上的一點，連接。E,將△4DE沿0E折疊至△4'DE,A'E交BD于點F,若△OEF的面

積是△力DE面積的一半，則。￡1為（）

中』

A.2B.2V5C.2A/2D.4

【答案】C

【分析】連接BE,過。作。G_LAC于G,先判定△4DE三4EBF（SAS）,即可得出力'。=BE==2花,

再根據勾股定理求得CE的長，進而得出EG和。G的長，再根據勾股定理即可得到。E的長.

【詳解】解：如圖所示，連接8E,過。作DGJ./1C于G,

*：LACB=90°,AC=8,BC=4,

，由勾股定理得力B=4通，

由折疊可得，△40￡＞與44。9全等，

?:kOEF的面積是440E面積的一半，

???ADE/的面積是△ADE面積的一半,ELDF=-AD,

2

，是4E的中點，

又???/）是A8的中點,

：.DF=-AD=-BD即F是80的中點，

22f

J.LA'DE^LEBF{SAS）,

：,A'D=BE=AD=2A/5,

又,：乙C=90°,

:?Rt△BCE中，CE=7BEZ-BU=V20-16=2,

〈DGllBC,。是48的中點,

???G是力。的中點，即CG=：/IC=4,

：.EG=CG-CE=4-2=2,DG=：BC=2,

:?Rt△DEG中，DE=y/DG2+EG2=V4T4=2傳

故選：C.

【點睛】本題主要考查了折疊問題以及勾股定理的運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖

形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.

【變式3-2】（2023春?福建廈門?八年級校考階段練習）如圖的實線部分是由RtLABC經過兩次折疊得到

的，首先將Rt^ABC沿BD折疊，使點C落在斜邊上的點C處，再沿OE折疊，使點A落在OL的

延長線上的點A!處.若圖中立。=90。，DE=3cm,BD=4cm,則DC1的長為.

【答案】*m

【分析】由折疊的性質得出N8OC=NBOC'WNCDC,ZADE=ZA,DE=^ZADA\NBCO=NC=90。，求出

NBDE=NBDC+NADE=90。,DC1AB,由勾股定理得出BE二而環:麗=5cm,由三角形面積即可得出

答案.

【詳解】解：..?△ABC是直角三角形，

:.ZC=90°,

由折疊的性質得：NBDC=NBDC』NCDC,ZADE=ZA'DE=-ZADA',N8CD=NC=90°,

22

，ZBDE=ZBDC+180°=90°,DCYAB,

2

:.BE-JDE2+BD2=y/32+42=5（cm）,

??,ABDE的面積亭EX￡）C=K?B。，

.?.。。=誓=等=募（5）；

故答案為：ycm.

【點睛】本題考查了翻折變換的性質、勾股定理、三角形面積等知識；熟練掌握翻折變換的性質和勾股定理

是解題的關鍵.

【變式3-3]（2023春?全國?八年級階段練習）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm.

①如圖1，現將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，則CD=cm.

②如圖2,若將直角NC沿MN折疊，點C與AB中點H重合，點M、N分別在AC、BC上，則AM?、BN2與

MH之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論.

【答案】（1）3；（2）答：AM2+BN2=MN2.

【詳解】解：（1）解：如圖所示：

???將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上,

???CD=DE,AC=AE,ZAED=ZC=90°,

VAC=6,BC=8,

/.AB=10,

設CD二DE二x,則BD=8-x,BE=10-6=4,

在RtZiBED中，x2+42=(8-^)2,解得：x=3.

故答案為：3；

(2)AM2+BN2=MN2,理由如下：

過點B作BP〃AC交MH延長線于點P,連接PN,

A

AZA=ZPBH

在zkAMH和^BPH中

NA=NPBH,AH=BH,ZAHM=ZBHP

AAM=BP,MH=PH

又；NHJ_MP

???MN=NP

VBP/ZAC,ZC=90°

,ZNBP=90°

??,BP?+BN2=NP2

Z.AM2+BN2=MN2

【題型4利用勾股定理求平面坐標系中兩點之間的距離】

【例4】（2023春?全國?八年級專題練習）先閱讀一段文字，再回答下列問題，已知在平面內兩點坐標RQi，

%），22。2,乃），其兩點間距離公式為尸產2=-、）2+（約一%）2,同時，當兩點所在直線在坐標軸

上或平行于x軸或垂直于％軸時，兩點間距離公式可化簡為%-勺|或|y2-乃1?

（1）已知4（3,5）,8（—2,—1）,則從B兩點間的距離為；

⑵已知48在平行于y軸的直線上，點4的縱坐標為5,點B的縱坐標為-1,則力，B兩點間的距離為；

(3)已知4B在平行于％軸的直線上，點A的橫坐標為5.且4B兩點間的距離為3,則點8的橫坐標為

(4)已知一個三角形各頂點坐標為<(0,6),8(-3,2),C(3,2),請判定此三角形的形狀，并說明理由.

【答案】(1)鬧

(2)6

(3)2

(4)等腰三角形，見解析

【分析】(1)直接代入兩點間距離公式為「止2=/(%2—%)2+32—%)2即可;

(2)直接代入兩點間距離公式|%-丫11即可；

(3)分點8在點A左側還是右側兩種情況，左側橫坐標減去距離，右側橫坐標加上距離；

(4)先分別用公式求出三邊長，再依據邊的長度判定三角形是等腰三角形.

【詳解】(1)根據兩點間距離公式可得：AB=1(3+2)2十(5+=<61；

(2)由題意可得:|y2-711=1-1-51=6；

(3)點B的橫坐標為5+3=8或5-3=2；

(4)由兩點間距離公式可得：AB=7(0+3)2+(6-2)2=5,

BC=J(-3-3與+(2-2)2=6,

AC=J(0—3尸+(6-2尸=5,

:.AB=AC,

。是等腰三角形.

【點睛】本題考查兩點間距禽公式和三角形的分類，關鍵是正確弋入公式計算.

【變式4-1](2023春?全國?八年級專題練習)如圖，Rt/kAOB的頂點力(2,1),B(-2,幾)分別在第一，二

象限內，Z.AOB=90°,則〃的值為()

C.4D.3

【答案】C

【分析】利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：???內△AOB的頂點4(2,1),8(—2,ri),

：.0B2=n2+22,0A2=22+I2=5,AB2=(-2-2)2+(n-I)2,

'：LAOB=90°,

2

???OF+O/P=ABt

An2+22+5=(-2-2)2+(n-l)2,

.\n2+9=n2-2n+17,

解得？i=4,

故選C.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟知坐標系中兩點距離公式是解題的關鍵.

【變式4-2](2023春?江蘇南通?八年級統考期末)平面直角坐標系％Oy中，已知點P(m,2M-4),且實數m,

n滿足m-?i2+4=0,貝ij點P到原點。的距離的最小值為.

【答案】w

【分析】根據勾股定理先表示出P0,然后根據機-小+4=0結合完全平方公式對式子變形，再利用非負數

的性質，可以得到。。的最小值.

【詳解】解：???點P(m,2n2-4),點。(0,0),

PO=yj(m—0)2+(2n2—4—0)2=Jm2+(2n2—4)2,

vm-n24-4=0,

???n2=m+4,

:.PO=yjrn.2+[2(m+4)—4]2

=+(2m+4)2

=/m2+4m2+16m+16

=$5+；)2十1，

?:(m+軟>o,

，.河爐序得W，

???PO的最小值是釁,

故答案為：釁.

3

【點睛】本題考查勾股定理的應用、完全平方公式的應用、非負數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，用

含m的式子表示出P0.

【變式4-3](2023春?福建龍巖?八年級校考階段練習)閱讀理解：說明代數式"一3尸+4的幾

何意義，并求它的最小值.

解：VPTI+收-3尸+4=-0尸+1+-3尸+22.

幾何意義：如圖，律立平面直角坐標系，點P(x,0)是x軸上一點，則Ja-0)2+12可以看成點。與點40,1)

的距離，d(x-3)2+22可以看成點〃與點8(3,2)的距離,所原代數式的值可以看成線段P4與P8長度之和,

它的最小值就是PA+P8的最小值.

求最小值：設點A關于x軸對稱點4,^\PA=PA,.因此，求24+PB的最小值，只需求P/V+P8的最小值,

而點A,8間的直線段距離最短，所以PA+P8的最小值為線段4B的長度.為此，構造直角三角形4c8,

因為4C=3,CB=3,所以由勾股定理得48=3魚，即原式的最小值為3企.

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

()代數式JQ-1)2+1+JQ-2尸+9的值可以看成平面直角坐標系中點P(%,0)與點4(1,1)點

B的距離之和.(填寫點8的坐標)

(2)弋數式+49+*一12%+37的值可以看成平面直角坐標系中點PQ,0).與點A

B的距離之和.(填寫點A,B的坐標)

(3)求出代數式〃2+49+，產―12%+37的最小值.

【答案】⑴(2,3),(2,-3)

(2)(0,7),(6,1)

⑶10

【分析】(1)先把原式化為，(無-1)2+1+收一2尸+32的形式,再根據題中所給的例子即可得出結論;

(2)先把原式化為—0)2+72+/(%-6A+/的形式,故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標

系中點P(%0)與點4(0,7)、點8(6,1)的距離之和,

(3)在坐標系內描出各點，利用勾股定理得出結論即可.

【詳解】(1)I原式化為-1)2+1+收一2尸+32的形式,

???代數式10+1+—2)2+9的值可以看成平面直角坐標系中點P(%,0)與點4做1,1)、點

B(2,3)或(2,-3)的距離之和，

故答案為(2,3),(2,-3)：

(2),??原式化為J(x-+72+J0—6尸+M的形式,

，所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P(%0)與點力(0,7)、點B(6,1)的距離之和，

故答案為：(0,7),(6,1).

(3)如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為4,則PA=PA',

???P4+PB的最小值，只需求P4+P8的最小值，而點大、8間的直線段距離最短，

???PH+PO的最小值為線段43的長度，

?(0,7),B(6,1)

???/(0,-7),4c=6,BC=S,

=>IA'C2+BC2y/62+82=10,

?,?代數式收+49+二無2-12、+37的最小值為10.

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此題的關鍵是利用數形結合思想

解決問題，學會用轉化的思想解決問題.

【題型5利用勾股定理證明線段的平方關系】

【例5】(2023春?河北石家莊?八年級石家莊外國語學校校考階段練習)已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂

美”四邊形，現有如圖所示的“垂美"四邊形ABCD,對角線AC,B。交于點O.

(2)若AD=幾BC=V5,^\AB2+CD2=:

(3)若A8=m,BC=n,CD=c,AD=d,則〃?，〃，c,d之間的數量關系是

【答案】4V27m2+c2=n2+d2

【分析】(1)根據題意和勾股定理即可求出.

(2)利用勾股定理,進行等量代換,可以得到的值.

(3)由(2)得求解過程可以得到482+。。2=8。2+2。2,進行替換即可.

【詳解】(1)?.?4C18D,

:.LBOC=Z-COD=Z.DOA=Z-AOB=90°,

OR=yjAR2-OA2

=《52-32

=4,

CB=y/OB2+OC2

=《42+42

=45/2.

故答案為4注.

(2)由(1)得：

AOB2+OC2=BC2,OA2+OD2=AD2,OB2+OA2=AB2,OC2+OD2=CD2,AAB2+CD2=OB2+

OA2+OC2+OD2=BC2+AD2,

vAD=V2,BC=V5?

??.AB2+CD2=(V2)2+(V5)2

=/I.

故答案為7.

(3)由(2)得：

ABZ+CD2=BC2+AD2,

???ni2+c2=n2+d2.

故答案為血2+c2=M+d2.

【點睛】本題考查勾股定理的應用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關鍵.

【變式5-1](2023春?廣東云浮?八年級校考期中)在中，41,乙氏乙。的對邊分別是Q,b,c,若

Z.A=90°,貝1J()

A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.b2+c2=a2D.a+c=b

【答案】C

【分析】根據勾股定理解答即可.

【詳解】解：???乙4，乙B,4c的對邊分別是a,b,c,LA=90°,

a為斜邊，

???b2+c2=a2.

故選：C.

【點睛】本題考查的勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的

平方是解題的關鍵.

【變式5-2】（2023春?八年級課時練習）素有吁古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數與形結

合在一起的偉大發現，也是人類最早發現并用于生產、觀天、測地的第一個定理，它導致了無理數的發現,

引發了第一次數學危機，它使數學由測量計算轉變為推理論證.在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其

為“畢達哥拉斯定理“，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了

數百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現有四名網

友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網友足（填

寫數字序號即可）.

①。（懂得都懂）②）TOS（永遠的神）③JA7VQ（覺醒年代）④0GT%（強國有我）

［答案］①?③④

【分析】根據各部分圖形的面積和差系導出a、b、c三者關系進行判斷便可.

【詳解】解：①由圖形可知，（b-a）2+4x^ab=c2,

整理得。2+爐=42,

故①符合題意；

②由圖形可知，c2+4x^ab=（a4-6）2,

整理得。2+墳=。2,

故②符合題意；

③由下圖知，2x+b）2,

整理得Q2Ib2=c2

故③符合題意:

ADF=y,

：.DE=c--,

c

由AABE的面積公式得[b-b=1c(c-y),

整理得。2+產=<2,

故④符合題意；

故答案為：①②③④.

【點睛】本題主要考查的是勾股定理的證明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面積公式是解決此題的關鍵.

【變式5-3](2023春?湖北?八年級校考期中)已知如圖，在△A8C中，AB=AC,力在C8的延長線上.

求證：(1)AD2-AB2=BD-CDx

(2)若。在C8上，結論如何，試證明你的結論.

【答案】（1）見詳解；⑵4?2-力。2=8。?CD,理由見詳解

【分析】（1）過點A作AE_L8C于E,根據等腰三角形三線合一的性質可得8E=C￡,利用勾股定理列式表

示出DE2.CE2,然后相減即可得解：

（2）根據（1）的求解思路列式整理即可.

【詳解】（1）證明：如圖，過點4作AE_L8C于E,

,：AB=AC.

:?BE=CE,

在R/aAOE中，AD2-AE2=DE2,

在RAACE中，AC2-AE2=CE2,

兩式相減得，AD2-AC2=DEr-CE1=（DE-CE）（DE+C￡）=（DE-BE）CD=BD?CD,

即AD2-AB2=BD>CD；

(2)結論為：AB2-AD2=BD*CD.

證明如下：與(1)同理可得，AI^-AE^DE2,AC2-AE2=CE2,

???點。在CB上，

：,AB>ADt即：AOAD,

/.XC2-AD2=CE2-DE2=CCE-DE)(CE+DF)=(BE-DE)(CE-\-DE)=BD?CD,

：.AC2-AD2=BD<D,

即AB2-AD2=BD>CD.

BEC

【點睛】本題考杳了勾股定理，等腰三角形的性質，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵，也是本題的

難點.

【題型6勾股定理驗證方法的應用】

【例6】(2023春?山西太原?八年級統考期中)我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾,

另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數學家劉徽(約公元225年一公元295年)將勾股形分割成一個

正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形,

是由兩個完全相同的"勾股形''拼接而成，若Q=3,b=l,則長方形的面積為.

【分析】欲求矩形的面積，則求出圖1中陰影部分小三角形長直角邊邊長即可，由此可設其為x,在直角三

角形ACB中，利用勾股定理可建立關于x的方程，進而可求出該矩形的面積.

【詳解】圖I圖2

解：設如圖1陰影部分小三角形長直角邊邊長為X,

■=3,

AB=x+3>

在RtAABC中，AC2+BC2=AB2,

即(1+x)2+(|+3)2=(X+3R

整理得，x=2,

???該矩形的面積=ACBC=(1+3)(1+x)=4x3=12

故答案為：12.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，得到關于x的方程是解題的關鍵.

【變式6-1]（2023春?新疆烏魯木齊?八年級統考期中）如圖,四邊形4BCD中,Z.DAB=Z.BCD=90°,分別

以四邊形的四條邊為邊向外作正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4,若S1+54=135,S3=49,則$2=（）

【答案】B

【分析】連接BD,根據勾股定理可得力。2+4”=8。2,BC2^CD2=BD2,即1+S4=S2+S3,即可求

解.

根據勾股定理可得m+AB2=ED2tBC2+CD2=BD2t

BPS1+S4=S2+S3,

A52=135-49=86,

故選:B.

【點睛】本題考查勾股定理，根據直角的信息提示，作出輔助線，構造出直角三角形，是解題的關鍵.

【變式6-2]（2023春?北京海淀?八年級北京市十一學校校考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾

股定理，是我國古代數學的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個

大正方形（如圖2）.設直角三角形較長直角邊長為小較短直角邊長為從若就=8,大正方形的面積為

25,則圖2中EF的長為（）

圖1圖2

A.3B.4C.2V2D.3>/2

【答案】D

【分析】由圖形2可知，中間四邊形的邊長為(a-b)的小正方形.由大正方形的面枳由四個全等的直角三角

形加中間小正方形的面積得出弓x4+(Q-力)2=25,再結合/=8即可得出(a-匕)的值，再根據勾股定

理叩可求出召尸的長.

【詳解】解：由圖形2可知，中間四邊形的邊長為(a-b)的小正方形，

???大正方形的面積為25,

：,AB2=25,

又1?大正方形的面積由四個全等的直角三角形加中間小正方形的面積，

工？x4+(Q-6)2=25,

/.(a—b)2+2ab=25,

/.(a-b)z+2x8=25,

.,.a-b=3(負值已舍)，

即圖2中小正方形的邊長為3,

:?EF=V32+32=3也

故選:D.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理的應用，正確得出大正方形的面積是解題的關鍵.

【變式6-3](2023春?江蘇?八年級專題練習)中國數學史上最先完成勾股定理證明的數學家是公元3世紀三

國時期的趙爽，他為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖1).圖2由弦圖

變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成.將圖中正方形MNKT,正方形EFGH,正方形ABCD

的面積分別記為S1,S2,S3.若S1+S2+S3=18,則正方形EFGH的面積為.

圖1圖2

【答案】6

【分析】設四邊形M7KN的面積為x,八個全等的三角形面積一個設為），，構建方程組，利用整體的思想思

考問題，求出d4y即可.

【詳解】解：設四邊形M7XN的面積為乂八個全等的三角形面枳?個設為y,

「正方形MNKT,正方形EFGH,正方形A8C。的面枳分別為0,S2,S3,5/+52+^=18,

???得出5/=A?S2=4y+x,Sj=8）+v,

:.S/+S2+S.?=3X+12y=18,故3x+12y=18,

x+4y=6,

所以52=A+4）=6,即正方形EFGH的面積為6.

故答案為6

【點睛】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質、全等三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數,

構建方程組解決問題.

【題型7勾股樹問題】

【例7】（2023春?全國?八年級階段練習）正方形力8CZ）的邊長為1,其面積記為S】，以CD為斜邊作等腰直角

三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2,…按此規律繼續下去，則S2022

的值為（）

B

A.（廣B.（I）2-C.囹⑼D.（留

【答案】B

【分析】根據等腰直角三角形的性質可得出S2+S2=S/,寫出部分Sn的值，根據數的變化找出變化規律Sn=

0）晨。依此規律即可得出結論.

【詳解】解：在圖中標上字母E,如圖所示.

???正方形ABCO的邊長為1,△CDE為等腰直角三角形,

^DE^CE^CD2,DE=CE,

：,S2+S2=Si.

觀察，發現規律：

5/=12=1,

S2=：S/=j

53=翔=鏟，

54=的=（，，

Sn=（；）"1.

當〃=2022時，S2O22=（|）20221=（1）2021,

故選:B.

【，點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理以及規律型中數的變化規律，解題的關鍵是找出規律

S?=（夕本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，寫出部分Sn的值，根據數值的變化找出變

化規律是關鍵

【變式7-1]（2023春?八年級統考期中）圖1是第七屆國際數學教育大會（/CME）的會徽，主體圖案是由

如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中。4=4/2=443=-=/1849=1，現把圖2中的直角三角

形繼續作下去如圖3所示，若?。力n的值是整數，且19§0,則符合條件的〃有（）

【答案】C

【分析】利用勾股定理可求出0/12，04，0A4...0An=yfn,即可得到OArOAn=V5-VH,再根據OArOAn

是整數及1SE30,由此可求出〃的值的個數.

【詳解】由題意得

22

OA2=Vi+1=企；

OA3=J（a）*+]2=.2+1=V5；

04=y/3+I2=V4...

0An=Vn；

Vl<n<30,

???OA,OAn的值是整數，

JOAn的值可以是8,2V3,3V3

是整數的有3個.

故答案為：C.

【點睛】本題考杳了勾股定理的應用；探索圖形規律，找到規律是解題的關鍵.

【變式7-2]（2023春?山東荷澤?八年級校考階段練習）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形,

再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀

好似一棵樹而得名.假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原

理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面枳為

第一代勾股樹第二代勾股樹第三代勾股樹

【答案】2024

【分析】根據勾股定理可得第一代勾股樹中所有正方形的面積為2,再一次求出第二代、第三代勾股樹中所

有三角形的面積，總結出?般規程，即可進行解答.

【詳解】解：設第?代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為。和江斜邊長為c,

根據勾股定理可得；a2+b2=c2,

*.*c2=1,

???第一代勾股樹中所有正方形的面積為=a2+b2+c2=c2+c2=2；

同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為=2a2+2〃+c2=3c2=3；

第三代勾股樹中所有正方形的面積為=4c2=4；

第〃代勾股樹中所有正方形的面積為=（n+l）c2=n+l；

???第2023代勾股樹中所有正方形的面積為2024.

故答案為:2024.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是仔細觀察圖形，根據勾股定理總結出變化的一般規律.

【變式7-3］（2023春?江西南昌?八年級南昌市第三中學校考期中）勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之

一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我

國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖''（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

s.

(1)①如圖2,3,4,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別

為工，S?,S3,利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關系滿足工+52=S3的有個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為Si，

S2,直角三角形面積為S3,也滿足S1+S2=S3嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出S1，S”53的數量

關系.

(2)如果以正方形?邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這

一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形M的邊

長為定值加，四個小正方形A,B,C,。的邊長分別為a,b,c,d,則a?+廿++d?=.

【答案】(1)①3；②滿足，證明見解析

⑵/

【分析】(1)設兩直角邊分別為，y,斜邊為z,用x,y,z分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根

據犬+、2=22,求解S],S2,S3之間的關系，進而可得結果；②根據小+/=。2,1+$2=挈+掣+

y--y-=S3=?,可得Si+S2=S3；

22222

(2)由題意知，SA=a,SB=b,Sc=cfSD=d,(S4+Se)4-(Sc4-SD)=SM=m,代入求解即可.

【詳解】(1)①解?：設兩直角邊分別為4,y,斜邊為z,

22

則圖2中，Si=/,S2=y,S3-z

**x2+y2=z2,

.?.S]+S2=S3，故圖2符合題意；

圖3中，工=直=芷，$2=直=吆，$3=直=之,

128z28，28

..nx2,ny2zr(x2+y2)rrz2

?+——'9

8888

???Si+S2=S3，故圖3符合題意；

圖4中，S1=1x?x?sin600=S2=?y?sin60°=S3=-z?sin60°-

..V3X2+百y2_遙(x2+y2)_百z2

444

???Si+S2=S3，故圖4符合題意:

???這3個圖形中面積關系滿足S1+S2=S3的有3個,

故答案為：3；

②解：滿足，證明如下：

22

由題意知a?+b=c,Sx+S2=+唆L+—-,S3=—,

12222202

:.S1+s2=s3；

22222

(2)解：由題意知，SA=a,SB=h,Sc=cfSD=d,(SA+SF)+(Sc+SD)=SM=m,

.\a24-b24-c24-d2=m2,

故答案為:m2.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹.解題的關鍵在于正確的表示各部分的面積.

【題型8勾股定理在格點中的應用】

【例8】（2023春?江蘇鹽城?八年級校聯考階段練習）問題背景：

在AABC中，AB、BC、4c三邊的長分別為石、J石、713,求這個三角形的面積.小明同學在解答這道題

時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為I），再在網格中畫出格點△A3C?（即△A8C三個頂點

都在小正方形的頂點處）.如圖①所示.這樣不需求△48C的高，而借用網格就能計算出它的面積.

（1）請你將4A8C的面積直接填寫在橫線上」

思維拓展：

(2)我們把上述求△ABC面枳的方法叫做構圖法.若△ABC三邊的長分別為&、g、用,請利用圖②的

正方形網格(每個小正方形的邊長為1)畫出相應的△A3c.并求出它的面積.

探索創新：

(3)若△ABC三邊的長分別為2加八6a(a>0),請利用圖③的正方形網格(每個小正方形的邊長

為a)畫出相應的△A3C,并求出它的面積.

(4)若仆ABC三邊的長分別為-m2+16n2、V9m2+4n2>2Vm2+n2〃>0,且,時〃)，試運用構圖

法求出這個三角形的面積.

【答案】⑴：