試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁專題21帶電粒子在磁場中的運動（講義）一、核心知識一、基本概念1．洛倫茲力、洛倫茲力的方向、洛倫茲力公式(1)洛倫茲力：磁場對運動電荷的作用力．(2)洛倫茲力的方向①判斷方法：左手定則．a．磁感線垂直穿過手心．b．四指指向正電荷運動的方向．c．拇指指向正電荷所受洛倫茲力的方向．②方向特點：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v決定的平面．(注意：B和v不一定垂直)(3)洛倫茲力的大小：F＝qvBsinθ，θ為v與B的夾角．①v∥B時，洛倫茲力F＝0.②v⊥B時，洛倫茲力F＝qvB.③v＝0時，洛倫茲力F＝0.2．洛倫茲力與安培力的聯系與區別(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現，二者是相同性質的力．(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對運動電荷不做功．3．帶電粒子在勻強磁場中的運動(1)洛倫茲力的特點洛倫茲力不改變帶電粒子速度的大小，或者說，洛倫茲力對帶電粒子不做功．(2)粒子的運動性質(不計重力時)①若v0∥B，則粒子不受洛倫茲力，在磁場中做勻速直線運動．②若v0⊥B，則帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動．(3)半徑和周期公式①由qvB＝meq\f(v2,r)，得r＝eq\f(mv,qB).②由v＝eq\f(2πr,T)，得T＝eq\f(2πm,qB).二、帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動1．“圓心”的確定方法方法一：由兩點和兩線確定圓心，畫出帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡．確定帶電粒子運動軌跡上的兩個特殊點(一般是射入和射出磁場時的兩點)，過這兩點作帶電粒子運動方向的垂線(這兩垂線即為粒子在這兩點所受洛倫茲力的方向)，則兩垂線的交點就是圓心，如圖(a)所示．方法二：若只已知過其中一個點的粒子運動方向，則除過已知運動方向的該點作垂線外，還要將這兩點相連作弦，再作弦的中垂線，兩垂線交點就是圓心，如圖(b)所示．方法三：若只已知一個點及運動方向，也知另外某時刻的速度方向，但不確定該速度方向所在的點，如圖(c)所示，此時要將其中一速度的延長線與另一速度的反向延長線相交成一角(∠PAM)，畫出該角的角平分線，它與已知點的速度的垂線交于一點O，該點就是圓心．2．“半徑”的確定方法方法一：由物理方程求：半徑R＝eq\f(mv,qB)；方法二：由幾何方程求：一般由數學知識(勾股定理、三角函數等)計算來確定．3．“圓心角與時間”的確定方法(1)速度的偏向角φ＝圓弧所對應的圓心角(回旋角)θ＝2倍的弦切角α，如圖(d)所示．(2)時間的計算方法．方法一：由圓心角求，t＝eq\f(θ,2π)·T；方法二：由弧長求，t＝eq\f(s,v).4．帶電粒子在不同邊界磁場中的運動(1)直線邊界(進出磁場具有對稱性，如圖所示)．(2)平行邊界(存在臨界條件，如圖所示)．(3)圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示)．三、帶電粒子在有界磁場中的臨界問題1．帶電粒子在有界磁場中運動一般存在著臨界問題(邊界問題)以及極值問題，解決這類問題的技巧方法就是以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口，借助半徑r和速度v、磁感強度B等之間的關系進行軌跡分析，從而確立軌跡與邊界的關系，找出臨界點．2．分析臨界極值問題常用的四個結論(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切．(2)當速率v一定時，弧長越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長．(3)當速率v變化時，圓心角大的，運動時間長，解題時一般要根據受力情況和運動情況畫出運動軌跡的草圖，找出圓心，根據幾何關系求出半徑及圓心角等．(4)在圓形勻強磁場中，當運動軌跡圓半徑大于區域圓半徑時，則入射點和出射點為磁場直徑的兩個端點時，軌跡對應的偏轉角最大(所有的弦長中直徑最長)．四、磁場中的“幾何圓”模型1．放縮圓帶電粒子以大小不同、方向相同的速度垂直射入同一勻強磁場中，做圓周運動的半徑隨著速度的增大而增大，圓心在垂直于進入磁場的速度方向的直線上，因此其軌跡為半徑放大的動態圓，利用放縮的動態圓，如圖所示，可以找出臨界狀態的運動軌跡．2．旋轉圓速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑均為R，同時可發現這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑為R的圓上．由此我們也可以得到一種確定臨界條件的方法：確定這類粒子在有界磁場中運動的臨界條件時，可以將一半徑為R的圓沿著“軌跡圓心圓”平移，從而探索出臨界條件，如下圖所示，這種方法稱為“平移法”．五、質譜儀與回旋加速器1、質譜儀（1）構造：如圖所示，由粒子源、加速電場，偏轉磁場和照相底片等構成．（2）原理：粒子由靜止被加速電場加速，qU＝eq\f(1,2)mv2.粒子在磁場中做勻速圓周運動，有qvB＝meq\f(v2,r).由以上兩式可得r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))，m＝eq\f(qr2B2,2U)，eq\f(q,m)＝eq\f(2U,B2r2).2、回旋加速度（1）構造：如圖所示，D1、D2是半圓形金屬盒，D形盒的縫隙處接交流電源，D形盒處于勻強磁場中．（2）原理：交流電的周期和粒子做圓周運動的周期相等，粒子經電場加速，經磁場回旋，由qvB＝eq\f(mv2,r)，得Ekm＝eq\f(q2B2r2,2m)，可見粒子獲得的最大動能由磁感應強度B和D形盒半徑r決定，與加速電壓無關．（3）決定帶電粒子在回旋加速器內運動時間長短的因素帶電粒子在回旋加速器內運動時間長短與帶電粒子做勻速圓周運動的周期有關，同時還與帶電粒子在磁場中轉動的圈數有關．設帶電粒子在磁場中轉動的圈數為n，加速電壓為U.因每加速一次粒子獲得的能量為qU，每圈有兩次加速．結合Ekn＝eq\f(q2B2r\o\al(2,n),2m)知，2nqU＝eq\f(q2B2r\o\al(2,n),2m)，因此n＝eq\f(qB2r\o\al(2,n),4mU).所以帶電粒子在回旋加速器內運動時間t＝nT＝eq\f(qB2r\o\al(2,n),4mU)·eq\f(2πm,qB)＝eq\f(πBr\o\al(2,n),2U).二、重點題型分類例析題型1：洛倫茲力的方向【例題1】（2020·全國高三專題練習）科學家預言，自然界存在只有一個磁極的磁單極子，磁單極N的磁場分布如圖甲所示，它與如圖乙所示正點電荷Q的電場分布相似。假設磁單極子N和正點電荷Q均固定，有相同的帶電小球分別在N和Q附近（圖示位置）沿水平面做勻速圓周運動，則下列判斷正確的是（）A．從上往下看，圖甲中帶電小球一定沿逆時針方向運動B．從上往下看，圖甲中帶電小球一定沿順時針方向運動C．從上往下看，圖乙中帶電小球一定沿順時針方向運動D．從上往下看，圖乙中帶電小球一定沿逆時針方向運動題型2：洛倫茲力的計算【例題2】（2020·河北滄州市·滄州三中高三月考）（多選）如圖所示，、兩長直導線，垂直紙面水平固定放置，兩導線中通以垂直紙面向里、大小相同的恒定電流，是、連線垂直平分線上的一點，、連線與、連線的夾角為，一質量為、電荷量為的帶正電粒子從點垂直紙面向外以大小為的速度水平射出，射出瞬間，受到的洛侖茲力大小為，則（）A．洛侖茲力的方向豎直向上B．洛侖茲力的方向豎直向下C．導線中電流產生的磁場在點的磁感應強度大小為D．導線中電流產生的磁場在點的磁感應強度大小為題型3：洛倫茲力和安培力的關系【例題3】（2020·浙江高三月考）導線中帶電粒子的定向運動形成了電流。帶電粒子定向運動時所受洛倫茲力的矢量和，在宏觀上表現為導線所受的安培力。如圖所示，設導線ab中每個帶正電粒子定向運動的速度都是v，單位體積的粒子數為n，粒子的電荷量為q，導線的橫截面積為S，磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里，則下列說法正確的是A．由題目已知條件可以算得通過導線的電流為B．題中導線受到的安培力的方向可用安培定則判斷C．每個粒子所受的洛倫茲力為，通電導線所受的安培力為D．改變適當的條件，有可能使圖中帶電粒子受到的洛倫茲力方向反向而導線受到的安培力方向保持不變題型4：質譜儀【例題4】（2020·江蘇高三月考）帶電量相同、質量不同的粒子從容器下方的小孔飄入電勢差為的加速電場，其初速度幾乎為零。加速后的粒子經過沿著磁場垂直的方向進入磁感應強度為的勻強磁場中，最后打在照相底片上，如圖所示。運動過程中粒子之間的相互作用忽略不計，下列說法正確的是（）

A．這些粒子經過時的動能相同B．這些粒子經過時的速率相同C．這些粒子在磁場中運動的軌跡圓半徑與質量成正比D．這些粒子在磁場中運動的時間與質量成反比題型5：電磁流量計【例題5】（2020·遵義市南白中學高三月考）2020年爆發了新冠肺炎，該病毒傳播能力非常強，因此研究新冠肺炎病毒株的實驗室必須是全程都在高度無接觸物理防護性條件下操作。武漢病毒研究所是我國防護等級最高的P4實驗室，在該實驗室中有一種污水流量計，其原理可以簡化為如右圖所示模型：廢液內含有大量正、負離子，從直徑為d的圓柱形容器右側流入，左側流出。流量值Q等于單位時間通過橫截面的液體的體積。空間有垂直紙面向里的磁感應強度為B的勻強磁場，下列說法正確的是（）A．帶電粒子所受洛倫茲力方向是水平向左B．正、負粒子所受洛倫茲力方向是相同的C．污水流量計也可以用于測量不帶電的液體的流速D．只需要測量MN兩點電壓就能夠推算廢液的流量題型6：霍爾元件【例題6】（2020·哈爾濱市·黑龍江實驗中學）（多選）一長方體電阻率為的金屬導體板，長、寬、厚分別為a、b、c，其中a>b>c，置于勻強磁場B中，方向垂直于導體上表面，現將金屬板用圖甲、乙兩種方式接到內阻可不計的電源兩端，合上開關后，在導體前后表面（即I、II面）將產生電勢差。則關于導體以下說法正確的是（）A．圖甲、乙前后表面電勢差相等 B．圖甲前后表面電勢差小于圖乙C．圖甲圖乙中都是后表面電勢高 D．圖甲圖乙中都是前表面電勢高題型7：回旋加速器【例題7】（2020·商河縣第一中學高三月考）如圖所示為回旋加速器的工作原理示意圖，D形金屬盒置于真空中，半徑為R，兩金屬盒間的狹縫很小，磁感應強度大小為B的勻強磁場與金屬盒盒面垂直，高頻交流電的頻率為f，加速電壓為U，若中心粒子源處產生的初速度為0的質子（質量為m，電荷量為+e）在加速器中被加速。不考慮相對論效應，則下列說法正確的是（）A．加速的粒子獲得的最大動能隨加速電壓U的增大而增大B．不改變磁感應強度B和交流電的頻率f，該加速器一定可加速其他帶正電荷的粒子C．質子被加速后的最大速度不能超過2πRfD．質子第二次和第一次經過D形盒間狹縫后軌道半徑之比為2∶1題型8：帶電粒子在有界磁場中的運動【例題8】（2020·赤峰二中高三月考）如圖所示，矩形abcd內存在勻強磁場，ab=2ad，e為cd的中點。速率不同的同種帶電粒子從a點沿ab方向射入磁場，其中從e點射出的粒子速度為v1；從c點射出的粒子速度為v2，則v1∶v2為（不計粒子重力）（）A．1∶2 B．5∶2 C．1∶3 D．2∶5題型9：帶電粒子在磁場中運動的多解問題【例題9】（2021·全國）（多選）如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直xOy平面向外。某時刻一個質子從點（L0，0）處沿y軸負方向進入磁場；一個α粒子同時從點（－L0，0）進入磁場，速度方向在xOy平面內。設質子的質量為m、電荷量為e，不計質子與α粒子的重力和它們之間的相互作用。如果α粒子第一次到達原點時恰能與質子相遇，已知質子和α粒子都帶正電，且α粒子的質量是質子質量的4倍，α粒子帶的電荷量是質子的2倍，則（）A．質子的速度大小為B．質子的速度大小為C．兩粒子相遇時，α粒子的運動時間可能是D．兩粒子相遇時，α粒子的運動時間可能是題型10：帶電粒子在組合場中的運動【例題10】（2020·大連市普蘭店區第三十八中學高三月考）如圖所示，平面直角坐標系內有一圓形勻強磁場區域其圓心在坐標為的點，半徑為，磁場的磁感應強度大小為，方向垂直坐標平面向內，在磁場區域的右側的區域內有范圍足夠大的勻強電場區域，電場強度為E，方向沿軸正方向，一電荷量為q，質量為m的帶負電粒子從點沿軸正方向以一定的初速度射入磁場區域，并恰好從點沿x軸正方向射出磁場區域，進入電場偏轉后經x軸（2R,0）離開電場，不計帶電粒子的重力和空氣阻力。(1)求帶電粒子的初速度大小；(2)粒子從進入磁場到離開電場的時間。題型11：帶電粒子在復合場中的運動【例題11】（2020·遼寧高三三模）如圖所示，空間存在一勻強電場和一豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場，在該空間內建立一個三維坐標系Oxyz（z軸正方向豎直向上）。現在x軸上的O、M兩點，質量均為m的油滴a和b同時以相同速率v0噴出，帶電+q的油滴a從原點沿x軸正方向噴出，在Oxz平面內做勻變速曲線運動；不帶電的油滴b從x軸上M點沿z軸正方向噴出，上升到達最高點時，恰好與a相碰，瞬間結合成油滴P。忽略空氣阻力，重力加速度為g。求：(1)O、M兩點間距離；(2)油滴a、b結合為P后的瞬時速度；(3)勻強電場場強的大小。題型12：帶電粒子在交變場中的運動【例題12】（2020·甘肅蘭州市·蘭州一中高三二模）某空間存在著一個變化的電場和一個變化的磁場，電場方向向右（如圖甲中由B到C的方向），電場變化如圖乙中E－t圖像，磁感應強度變化如圖丙中B－t圖像。在A點，從t=1s（即1s末）開始，每隔2s，有一個相同的帶電粒子（重力不計）沿AB方向（垂直于BC）以速度v射出，恰能擊中C點，且粒子在AB間運動的時間小于1s，若，求：（1）圖線上E0和B0的比值是多少？磁感應強度B的方向是怎樣的？（2）若第1個粒子擊中C點的時刻已知為（1＋Δt）s，那么第2個粒子擊中C點的時刻是多少？本卷由系統自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第=page11頁，總=sectionpages22頁參考答案【例題1】A【解析】根據圓周運動的受力條件可以從圖乙中判斷帶電小球帶的一定是負電，且在電場中小球的運動方向與電場力的方向無關；由甲圖中洛侖茲力方向，根據左手定則可知，帶電小球一定沿逆時針方向運動。故選A。【例題2】AC【解析】AB．設導線中電流產生的磁場在點的磁感應強度大小為，則導線中電流產生的磁場在點的磁感應強度大小也為，由于這兩個磁感應強度大小相等，夾角為，因此合磁場方向水平向右，大小，根據左手定則可知，洛侖茲力的方向豎直向上，A項正確，B項錯誤；CD．由解得,C項正確，D項錯誤。故選AC。【例題3】A【解析】電流：，則A正確；導線受到的安培力的方向由左手定則判斷，則B錯誤；粒子所受的洛倫茲力為F洛=qvB，導線長度為L，則其受的安培力為：F=nqLSvB=BIL，則C錯誤；洛倫茲力方向反向決定了所受到的安培力方向也反向，則D錯誤；故選A。【例題4】A【解析】AB．根據動能定理得,帶電量相同，動能相同；解得電量相同，所以質量不同的粒子具有不同的速率，故A正確，B錯誤；CD．粒子在磁場中運動的軌道半徑為半徑與成正比；運動時間時間與質量成正比，故CD均錯誤。故選A。【例題5】D【解析】A．根據左手定則，正電荷受到豎直向下的洛倫茲力，負電荷受到豎直向上的洛倫茲力，AB錯誤；C.不帶電液體在磁場中流動時，由于沒有自由電荷，不能形成電場，MN兩點沒有電勢差，因此無法測出流速，C錯誤；D．計算液體的流速，根據可得流速流量,D正確。故選D。【例題6】BD【解析】AB．對甲圖，根據電阻定律可知設電源電動勢為E，由，可知自由電子在電場和磁場中達到平衡，有電場力等于洛侖茲力，可知聯立以上各式可求得同理，對乙圖，根據電阻定律可知設電源電動勢為E，由，可知自由電子在電場和磁場中達到平衡，有電場力等于洛侖茲力，可知聯立以上各式可求得因為b>c，所以有故A錯誤，B正確；CD．由于甲、乙都是金屬板，所以都是自由電子在發生定向移動，由于電流的方向都是向右，故自由電子向左移動，由左手定則，可知都是金屬板的后表面聚焦自由電子，從而帶負電，前表面帶正電，所以對金屬板前后表面來說，都會有金屬板前表面電勢高于后表面電勢，故C錯誤，D正確。故選BD。【例題7】C【解析】A．根據qvB=m知v=則最大動能Ekm=mv2=，與加速的電壓無關，故A錯誤；B．帶電粒子在磁場中運動的周期與加速電場的周期相等，根據T=知，換用其他帶正電荷的粒子，粒子的比荷變化，周期變化，回旋加速器需改變交流電的頻率才能加速其他粒子，故B錯誤；C．質子出回旋加速器的速度最大，此時的半徑為R，則v=2πRf所以最大速度不超過2πfR，故C正確；D．粒子在加速電場中做勻加速運動，在磁場中做勻速圓周運動，根據v=知，質子第二次和第一次經過D形盒狹縫的速度比為：1，根據r=則半徑比為：1，故D錯誤。故選C。【例題8】D【解析】速率不同的同種帶電粒子從a點沿ab方向射入磁場，從e點、c點射出磁場對應的軌跡如圖：由幾何關系可得則，帶電粒子在磁場中運動時，洛倫茲力充當向心力，有解得則，故選D。【例題9】BC【解析】AB．質子的運動軌跡如圖所示。其圓心在處，其半徑，質子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得解得，故A錯誤，B正確；CD．質子在磁場中做勻速圓周運動的周期同理，α粒子的周期是質子周期的2倍；由于α粒子第一次到達原點時恰能與質子相遇，故相遇時質子可能運