一次函數與正比例函數第四章一次函數八年級數學上冊?北師大版1.經歷一次函數概念的抽象過程，體會模型思想，發展符號意識。2.理解正比例函數和一次函數的概念，能根據所給條件寫出正比例函數和簡單的一次函數表達式。學習目標

復習提問

1、什么叫函數?在某個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定一個x值,相應地就確定唯一一個y值,那么我們稱y是x的函數,其中x是自變量,y是因變量。2、函數有哪些表示方法?圖象法、列表法、關系式法實例引入

在古代，許多民族與地區使用水鐘來計時，如圖所示．當時的人們通過容器泄水的流量來判斷時間的多少．那么你知道為什么可以用水流量來判斷時間嗎？假設漏水量是均勻的，受水壺中的浮子就會均勻升高，也就是說，浮子升高高度h=kt(k為常數）實例引入

在現實生活當中有許多問題都可以歸結為函數問題,大家能不能舉一些例子?探究新知探究活動一：1、某彈簧的自然長度為3cm，在彈性限度內，所掛物體的質量x每增加1kg，彈簧長度y增加0.5cm。x/kg012345y/cm5.544.5533.5(1)計算所掛物體的質量分別為1kg，2kg，3kg，4kg，5kg時的長度，并填入下表：(2)你能寫出x與y之間的關系嗎？y=0.5x+

3提示：等量關系：彈簧長度=增加的長度+自然長度探究新知探究活動二：2、某輛汽車油箱中原有油60L,汽車每行駛50km耗油6L。(1)完成下表：汽車行使路程x/km050100150200300耗油量y/L0612182436(2)你能寫出y與x的關系嗎?y=0.12x(3)你能寫出油箱剩余油量z(L)與汽車行駛路程x(km)之間的關系式嗎?z=60－0.12x探究新知上面的三個關系式中，有什么共同點及區別？(1)y=0.5x+3(2)y=0.12x(3)z=60－0.12x若兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=kx+b(k,b為常數，k不等于0）的形式，則稱

y是x的一次函數.（x為自變量，y為因變量.）當b=0時，稱y是x的正比例函數.探究新知思考：一次函數的結構特征有哪些？（1）k≠0.（2）x的次數是1.（3）常數項ｂ可以為一切實數.一次函數正比例函數解釋應用例1：寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛,行駛路程為y(km)與行駛時間x(h)之間的關系;解：由路程=速度×時間，得y=60x,y是x的一次函數,也是x的正比例函數.解：由圓的面積公式，得y=πx2,

y不是x的正比例函數，也不是x的一次函數.（2）圓的面積y(cm2)與它的半徑x(cm)之間的關系.解釋應用解：這個水池每時增加5m3水，xh增加5xm3水，因而y=15+5x,

y是x的一次函數，但不是x的正比例函數.（3）某水池有水15m3，現打開進水管進水，進水速度為5m3/h，x

h后這個水池有水y

m3.解釋應用例2：我國現行個人工資、薪金所得稅征收辦法規定：月收入低于3500元的部分不收稅；月收入超過3500元但低于5000元的部分征收3%的所得稅……如某人月收入3860元,他應繳個人工資、薪金所得稅為:（3860-3500）×3%=10.8元.(1)當月收入大于3500元而又小于5000元時,寫出應繳所得稅y(元)與收入x(元)之間的關系式.解:y=0.03×(x-3500)

(3500<x<5000)解釋應用(2)某人月收入為4160元，他應繳所得稅多少元？解:當x=4160時，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.解:設此人本月工資是x元，則

19.2=0.03×(x-3500),

x=4140.答:此人本月工資是4140元.(3)如果某人本月應繳所得稅19.2元，那么此人本月工資是多少元？拓展應用例3：已知函數y=（k+1）x+（k2-1）①當k取什么值時，y是x的一次函數？②當k取什么值時，y是x的正比例函數？解：①由已知得k+1≠0∴k≠-1故當k≠-1時，y是x的一次函數.②由已知得故當k=1時，y是x的正比例函數.

k+1≠0①k2-1=0②

由①得k≠-1由②得k=±1∴k=1拓展應用例4：已知函數y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.(1)若它是一次函數，求m的值；(2)若它是正比例函數，求m的值．解：(1)∵y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數，∴m2－24＝1且m－5≠0，

∴

m＝±5且m≠5，

∴m＝－5.

∴當m＝－5時，函數y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數．拓展應用解：(2)∵y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數，

∴

m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.

∴

m＝±5且m≠5且m＝－1，則這樣的m不存在，

∴函數y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能為正比例函數．【方法總結】函數是一次函數，則k≠0，且自變量的次數為1.當b＝0時，一次函數為正比例函數．(2)若它是正比例函數，求m的值．隨堂練習下列關系式中，哪些是一次函數，哪些是正比例函數？(1)y＝－x－4;(2)y＝5x2－6；(3)y＝2πx;(6)y＝8x2＋x(1－8x)解：(1)是一次函數，不是正比例函數；(2)不是一次函數，也不是正比例函數；(3)是一次函數，也是正比例函數；(4)是一次函數，也是正比例函數；(5)不是一次函數，也不是正比例函數；(6)是一次函數，也是正比例函數．（7）不是一次函數，也不是正比例函數（7）y=kx+b中考鏈接1.（2023·浙江·統考中考真題）我市“共富工坊”問海借力，某公司產品銷售量得到大幅提升．為促進生產，公司提供了兩種付給員工月報酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：(1)直接寫出員工生產多少件產品時，兩種方案付給的報酬一樣多；(2)求方案二y關于x的函數表達式；(3)如果你是勞務服務部門的工作人員，你如何指導員工根據自己的生產能力選擇方案．一1.(1)30件；(2)(3)若每月生產產品件數不足30件，則選擇方案二；若每月生產產品件數就是30件，兩種方案報酬相同，可以任選一種；若每月生產產品件數超過30件，則選擇方案一中考鏈接2.（2023·上海·統考中考真題）“中國石化”推出促銷活動，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價降低0.30元．假設這張加油卡的面值能夠一次性全部用完．(1)他實際花了多少錢購買會員卡？(2)減價后每升油的單價為y元/升，原價為x元/升，求y關于x的函數解析式（不用寫出定義域）(3)油的原價是7.30元/升，求優惠后油的單價比原價便宜多少元？(1)900(2)(3)課堂小結1.判斷一個函數是一次函數的條件：自變量是一次整式，一次項系數不為零；2.判斷一個函數是正比例函數的條件：自變量是一次整式，一次項系數不為零，常數項為零．一次函數一次函數的概念正比例函數的概念函數關系式的確定當堂測試1.判斷:(1)y=2.2x，y是x的一次函數，也是x的正比例函數.（）(2)y=80x+100，y是x的一次函數.（）

√√2.在函數y=(m-2)x+(m2-4)中，當m

時，y是x的一次函數；當m

時，y時x的正比例函數.≠2=-23．為了增強居民的節約用水意識，某市制定了新的水費標準：每戶每月用水量不超過5t的部分，自來水公司按每噸2元收費；超過5

t的部分，按每噸2.6元收費.設某用戶月用水量x噸，自來水公司應收的水費為y元.（1）試寫出y（元）與x（t）之間的函數關系式.（2）該戶今年5月份的用水量為8

t，自來水公司應收水費多少元？解:（1）當x≤5時，y＝2x；

當x>5時，y＝10＋（x－5）×2.6＝2.6x－3;（2）因為x＝8>5所以y＝2.6×8－3=17.8（元）.當堂測試分層作業1.下列表示y式x的正比例函數的是（

）A.y=-0.1xB.y=C.y=2xD.y=4x2.油箱中有油30kg,油從管道中勻速流出，1h流完，則油箱中剩余油量Q（kg）與流出時間t（min）之間的函數關系式是_________

A【基礎達標作業】3.已知函數y=(m-1)x｜m︱+1是一次函數，求m值4.若函數y=(m-3)x+m2-9是正比例函數，求m的值解：根據題意，得∣m∣=1,解得m=±1，但m-1≠0,即m≠1,所以m=-1.解：根據題意，得m2-9=0,解得m=±3，但m-3≠0,即m≠3,所以m=-3.分層作業【能力提升作業】分層作業5.某書店開設兩種租書方式：一種是零星租書，每本收費1元，另一種是會員卡收費，卡費每月12元，租書每本0.4元，小彬經常來該店租書，若每月租書數量為x本.(1