反對稱矩陣的基本概念綜述1.1反對稱矩陣的定義設矩陣為一個方陣,如果滿足，那么為反對稱矩陣.如果反對稱矩陣的元素均在實數域上，那么為實反對稱矩陣.1.2反對稱矩陣的基本性質設和都為實反對稱矩陣，那么滿足以下性質:性質1的主對角線上的元素全都為零.性質2與的和或差,的數乘以及轉置都是反對稱矩陣.性質3如果是非奇異的矩陣，那么也是反對稱矩陣.性質4也為反對稱矩陣.矩陣與之乘是對稱矩陣的等價條件為與的乘法可交換.如果設為正整數，那么當時，即為偶數時,是反對稱矩陣.當時，即為奇數時,是對稱矩陣.性質5的特征值只為零或者純虛數.性質6如果數是的其中一個特征值，那么的相反數同樣也是的一個特征值.性質7與同樣階數的單位矩陣之和是非奇異的矩陣.性質8的合同矩陣依然是實反對稱矩陣.性質9假設是任意給定的一個方陣，那么可知一定是反對稱矩陣.性質10奇數階的的行列式全部都為零，偶數階的的行列式大于或等于零,所以的行列式全部都為非負的實數，不可能存在奇數階的是非奇異的矩陣.性質11的兩個不互為相反數的特征值所對應的特征向量兩兩正交.證明不妨設的其中兩個特征值分別為、，、分別是的對應于特征值、的特征向量，則，.用表示、的內積,那么有.所以.由于實反對稱特征值除零以外都是以互反的純虛數對(由性質6)出現，如果，取相反的純虛數，此時，顯然無法說明，的正交性.當，取相反的純虛數時，，此時,所以，正交.結論得證.性質12的特征值全部都為零的充要條件為是零矩陣.性質13與矩陣合同.(法1)因為的階數為，不妨設，（1）當時，是零矩陣,命題顯然成立.（2）當時，如果，那么為零矩陣，命題成立.如果，取可逆矩陣，可以使得,即與合同，命題成立.（3）假設對于階數小于的,命題成立.同樣證明階的命也成立.如果的第一行全部都為零，不妨設，為階的反對稱矩陣.根據歸納假設可以知道，必定存在一個階的非奇異矩陣,可以使得與矩陣的形式相同,即:.設,則有.設，其中為階單位矩陣，則有.設,則有,所以與的形式為合同矩陣.如果的第一行不全為零，設，不妨設，進而對實施下面的初等變換：再取，則可以得到，因為所做變換是對稱式的，所以是一個階的實反對稱矩陣，根據歸納假設，一定存在一個階的非奇異矩陣,可以使得與矩陣的形式相同,即:,不妨設且,則,所以與矩陣的結構合同.性質得證.性質14對于任意給定的維列向量,都是成立的.性質15設的階數為,并且有.性質16如果中有一個階的主子式，并且全部的含有主子式的階的主子式和階的主子式都為零，則有.性質17如果的全部階的主子式和階的主子式都為零，則.性質18設的秩為，階數為,那么至少存在一個階的主子式不等于零.性質19設的元素是在實數域上，則的純虛數特征值所對應的特征向量的實部與虛部向量的模長相等且相互正交.性質20的秩為偶數，且它的秩的個數等于它的非零特征根的個數.證明由性質13可以得到:(1)與矩陣合同.顯然的秩必定為偶數，又因為合同矩陣的秩相同，所以的秩也為偶數.(2)由文可知，對于任意給定的，都可以找到一個酉矩陣,可以使得酉相似對角化,即是對角矩陣.所以,不妨設與對角矩陣相似，根據相似矩陣的性質（相似矩陣的特征值、行列式、秩都是相同的.另外結合性質5也可證得的秩為偶數.設的結構為:，為的全部純虛數特征根.對角元素的次序不產生影響.（事實上，如果對角矩陣的排列順序與所給出不同，也可以找到正交矩陣，然后利用正交矩陣可以使對角矩陣上的其中兩個對角元素位置互換：,所以可以經過有限次的正交相似對角化調整特征根的排列順序，不影響相似條件）.由相似矩陣的特殊性質可以看出，的秩由純虛數特征值的個數決定,或者說它們的個數是相同的,性質得證.性質21的奇異值個數和純虛數特征值的個數相同，并且奇異值就等于純虛數特征值的模.性質22的奇異值