直線和圓的位置關系（1）九年級下冊數學北師大版

同學們,還記得唐代詩人白居易的《憶江南》這首詩嗎?詩里面的句名是“日出江花紅勝火,春來江水綠如藍,能不憶江南?”實際上“日出江花紅勝火”便是“旭日東升”的真實寫照,同學們能不能簡單描述一下“旭日東升”的畫面?【想一想】當太陽逐漸升起時,地平線與太陽的位置發生了怎樣的變化?【問題】

直線和圓有幾種位置關系呢?新知講解l直線和圓的位置關系1.直線和圓的位置關系有三種(從直線與圓公共點的個數)2.用圖形表示如下:.o.o.olll相交相切相離切線切點...如果知道

O的半徑r與圓心O到直線l的距離d的大小關系，那么我們能判斷

O與直線L的位置關系嗎？反過來，如果知道位置關系，那么能判斷r與d的大小關系嗎？·Od直線和圓相交

d<rr·Ord直線和圓相切

d=r·Ord

直線和圓相離

d>r（1）請舉出生活中直線與圓相交、相切、相離的實例．

(2)圖3—22中的三個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，你能畫出它們的對稱軸嗎？（3）如圖3—23，直線CD與⊙O相切與點A，直徑AB與直線CD有怎樣的位置關系？說一說你的理由．圓的切線垂直與過切點的半徑．證明：AB與CD要么垂直，要么不垂直．假設AB與CD不垂直，過點O作一條直徑垂直于CD、垂足為M，則OM＜OA，即圓心O到直線CD的距離小于⊙O的半徑，因此CD與⊙O相交，這與已知條件“直線CD與⊙O相切”相矛盾，所以AB與CD垂直．例1已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm，AC=4cm．以點Ｃ為圓心作圓，當半徑為多長時，ＡB與⊙C相切？以點Ｃ為圓心，分別以2cm和4cm的長為半徑作兩個圓，這兩個圓與AB分別有怎樣的位置關系？BCDA解：如圖，過點C作AB的垂線段CD．

∵AC=4cm，AB=8cm；

∴cosA=，

∴∠A=60°．

∴CD=ACsinA=4sin60°=(cm)．

因此，當半徑長為2cm時，AB與⊙C相切．BCDA由(1)可知，圓心C到AB的距離d＝2所以，當r＝2cm時，d＞r，⊙C與AB相離；當r＝4cm時，d＜r，⊙C與AB相交．cm，BCDA1.已知☉O的半徑是6cm，點O到同一平面內直線l的距離為5cm，則直線l與☉O的位置關系是(

)A.相交 B.相切C.相離 D.無法判斷解析:設圓的半徑為r，點O到直線l的距離為d，∵d=5cm,r=6cm，∴d<r，∴直線l與圓相交.故選A.A2.如圖所示,AB切☉O于點B,延長AO交☉O于點C,連接BC.若∠A=40°,則∠C等于 (

)A.20° B.25° C.40° D.50°解析:如圖所示，連接OB.∵AB切☉O于點B，∴OB⊥AB,即∠ABO=90°，∴∠AOB=50°，又∵點C在AO的延長線上，且在☉O上，∴∠C=∠AOB=25°.故選B.B鞏固練習3.如圖所示，C為☉O外一點，CA與☉O相切，切點為A，AB為☉O的直徑，連接CB.若☉O的半徑為2，∠ABC=60°,則BC=

.

解析:∵CA與☉O相切,切點為A,AB為☉O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=60°，☉O的半徑為2，∴在Rt△BAC中，∠C=30°，AB=4，∴BC=2AB=2×4=8.故填8.84.如圖所示,已知∠MAN=30°,O為邊AN上一點,以O為圓心,2為半徑作☉O,交AN于D,E兩點,當AD=

時,☉O與AM相切.

解析:如圖所示,設AM切☉O于點C,連接OC,則AC⊥OC,∴∠ACO=90°,OC=OD=2,∵∠MAN=30°,∴OC=OA.∵OC=OD=2,∴OA=4,∴AD=OA-OD=2,∴當AD=2時,☉O與AM相切.故填2.25.如圖所示,已知∠AOB=30°,P是OA上的一點,OP=24cm,以r為半徑作☉P.(1)若r=12cm,試判斷☉P與OB的位置關系;(2)若☉P與OB相離,試求出r需滿足的條件.解:如圖所示,過點P作PC⊥OB,垂足為C,則∠OCP=90°.∵∠AOB=30°,OP=24cm,∴PC=OP=12cm.(1)當r=12cm時,r=PC,∴☉P與OB相切,即☉P與OB的位置關系是相切.(2)當☉P與OB相離時,r<PC,∴r需