2025屆高三二輪復習解答題高頻考點過關第2講數列高頻考點分析高頻考點分析

真題速遞真題速遞1．（2024·全國甲卷（理）·高考真題）記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．2．（2024·全國甲卷（文）·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和.

3．（2023·全國甲卷·高考真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．4．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．

5．（2024·全國I卷·高考真題）設m為正整數，數列是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列是可分數列．(1)寫出所有的，，使數列是可分數列；(2)當時，證明：數列是可分數列；(3)從中任取兩個數和，記數列是可分數列的概率為，證明：．

6．（2024·全國Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數，．按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數列是公比為的等比數列；(3)設為的面積，證明：對任意正整數，.

7．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數列，其前項和為，且．(1)求的通項公式及；(2)設數列滿足，其中．（ⅰ）求證：當時，求證：；（ⅱ）求．

8．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數列，和序列，其中，對數列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數列的各項均為正整數，且為偶數，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．

實戰演練一：等差數列的概念與性質實戰演練一：等差數列的概念與性質【知識點解析】1.等差數列的定義：；；.2.等差數列的通項：.3.等差數列前項和.4.等差數列通項公式的性質（1）若，則.（2）若，則.（3）若、、為等差數列，則，為、的等差中項.（4）若為等差數列，則、、…依舊是等差數列.（5）當時，數列單調遞增；當時，數列單調遞減.5.等差數列前項和的性質（1）且；（2）且為等差數列；（3）等差數列的前項和是一個二次函數，當時，有最小值,當時，有最大值；其中：=1\*GB3①若已知和，則當且僅當取最接近對稱軸的正整數時，有最值；=2\*GB3②若未知和，則需找出的正負交界值；（4）、、依舊是一個等差數列.6.含有絕對值的求和方法：（1）找到的臨界值；（2）若，；若，.【實戰演練】1．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知數列的前項和為．(1)求出的通項公式；(2)求數列前項和最小時的取值．2．（24-25高三上·廣東湛江·期末）已知在等差數列中，，.(1)求數列通項公式；(2)設，求數列的前項和.

3．（23-24高三上·貴州·階段練習）記等差數列的前項和為，已知，.(1)求的通項公式；(2)記數列的前項和為，求.4．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習）已知數列的前項和為，，數列是以1為公差的等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)若對于任意正整數，都有，求實數的最小值.

實戰演練二：等比數列的概念與性質實戰演練二：等比數列的概念與性質【知識點解析】1.等比數列的證明：(1)(2)(3).2.等比數列的通項公式：.3.等比數列的前項和公式：.4.等比數列通項公式的性質=1\*GB3①若，則.=2\*GB3②若，則.=3\*GB3③若、、為等比數列，則，為、的等比中項.=4\*GB3④若為等比數列，則、、…依舊是等比數列.=5\*GB3⑤當且時，數列單調遞增；當且時，數列單調遞減.5.等比數列前項和的性質=1\*GB3①、、依舊是一個等比數列【實戰演練】1．（24-25高三上·貴州銅仁·期末）在數列中，點在直線上；在等比數列中，，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.

2．（2025·海南·模擬預測）設數列的前項和為，已知.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.3．（24-25高三上·山東·階段練習）已知等比數列的各項都是正數，，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前50項之和.4．（24-25高三上·黑龍江綏化·階段練習）已知數列是由正數組成的等比數列，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，求數列的前項和．

實戰演練三：數列通項公式的求解實戰演練三：數列通項公式的求解【知識點解析】1.定義法：已知為等差數列或等比數列（1）等差數列的通項公式：.（2）等差數列的前項和公式：.（3）等比數列的通項公式：.（4）等比數列的前項和公式：.2.法（1）因為=1\*GB3①，=2\*GB3②所以（）.（2）注意事項=1\*GB3①.=2\*GB3②因為當時，才有意義，所以需檢驗通項公式當時是否成立.若不成立，需寫成分段數列的形式.=3\*GB3③不一定每次都能得到的具體表達式，有可能需要進一步化簡.=4\*GB3④若題目求或出現二項式，需要將題目所給條件中的反向化為，對進行探索.=5\*GB3⑤代表數列的前項和.3.累加法：已知或（1）若已知，賦值從到，得到個式子，累加得.（2）若已知，賦值從到，得到個式子，累加得.（3）可以是等差數列，也可以是等比數列或者可裂項的數列.4.累乘法：已知或（1）若已知，則賦值從到，得到個式子，累加得.（2）若已知，則賦值從到，得到個式子，累加得.（3）如論是或，均需注意最后求和的項數.5.構造法（1）若已知，則構造數列為公比為的等比數列，則，解方程得.（2）若已知，則構造數列為公比為的等比數列，則，解方程得和.（3）若已知，則構造數列為公比為的等比數列，則，解方程得.（4）若已知，則構造數列為公差為的等比數列.（5）若題干已給出構造目標，則根據定義法代入構造目標進行證明.6.倒數法：已知(1)取倒數得(2)若，則數列是以為首項，為公差的等差數列.(3)若，則進行二次構造等比數列.【實戰演練】考向一法求數列通項公式1．（24-25高二上·福建·期中·節選）已知數列的前項和，其中.(1)求數列的通項公式；2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習·節選）已知數列的前項和為．(1)求出的通項公式；3．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習·節選）已知數列的前項和為，，數列是以1為公差的等差數列.(1)求數列的通項公式；

4．（2024·四川自貢·三模·節選）已知數列的前項和為，且．(1)證明：數列為等差數列；5．（2024·江蘇揚州·模擬預測·節選）已知各項均為正數的數列前項和為，且．(1)求數列的通項公式；6．（2024·遼寧沈陽·模擬預測·節選）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有(1)求數列的通項公式；

考向二累加法求數列通項公式1．（2024·廣東·二模·節選）數列滿足，．(1)求數列的通項公式；2．（23-24高三上·廣西百色·階段練習·節選）已知數列滿足：，，數列是以4為公差的等差數列．(1)求數列的通項公式；

3．（23-24高三上·山東青島·開學考試·節選）已知數列中，，，數列是公差為1的等差數列.(1)求的通項公式：4．（22-23高三下·河南濮陽·開學考試·節選）在數列中，，．(1)設，求數列的通項公式；

考向三累乘法求數列通項公式1．（24-25高三上·山東日照·開學考試·節選）已知數列滿足，.(1)求數列的通項公式；2．（24-25高三上·山東德州·期中·節選）在數列中，，其前n項和為，且（且）.(1)求的通項公式；

3．（23-24高二下·內蒙古呼和浩特·期中·節選）已知在數列中，，前項和.(1)求、；(2)求數列的通項公式；4．（23-24高三上·廣東·階段練習·節選）已知數列，的前項和分別為，，且滿足，，．(1)求數列的通項公式；

考向四構造法求數列通項公式1．（24-25高三上·甘肅白銀·期末·節選）已知數列滿足，且.2．（24-25高三上·重慶·階段練習·節選）數列的前項和為，滿足且首項.(1)證明：數列為等比數列，并求出數列的通項公式；

3．（24-25高三上·重慶·階段練習·節選）已知數列的前項和為，且.(1)若，求；(2)若數列是單調遞增數列，求首項的取值范圍.4．（24-25高三上·河北·期中·節選）已知數列的前n項和為，且．(1)求證：數列為等比數列；

5．（24-25高三上·河北·階段練習·節選）已知數列滿足.(1)求數列的通項公式；6．（24-25高三上·四川瀘州·開學考試·節選）已知數列的首項，且滿足．(1)求證：數列為等比數列；

7．（23-24高三下·河北張家口·開學考試·節選）已知數列滿足，且．(1)求數列的通項公式；8．（24-25高三上·寧夏中衛·階段練習·節選）已知數列，滿足(1)證明：為等差數列，并求通項公式；(2)若，記前n項和為，對任意的正自然數n，不等式恒成立，求實數的范圍．

考向五倒數法求數列通項公式1．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習·節選）已知數列的首項，且滿足，求．2．（23-24高二下·遼寧·期末·節選）已知數列滿兄，，數列的前項和為，且．(1)求數列，的通項公式，

實戰演練四：數列前實戰演練四：數列前項和的求解【知識點解析】1.定義法：已知為等差數列或等比數列（1）等差數列的通項公式：.（2）等差數列的前項和公式：.（3）等比數列的通項公式：.（4）等比數列的前項和公式：.2.裂項相消法（1）裂項相消法：基本思想是將一個復雜的分數拆分成兩個簡單分數的差，從而簡化求和過程.（2）裂項相消法的常見模型=1\*GB3①等差型：=2\*GB3②無理型：=3\*GB3③指數型：=4\*GB3④常見裂項：，.，.，.

3.錯位相減法：且為等差數列，公差為，為等比數列，公比為.（1）=1\*GB3①（2）=2\*GB3②（3）=1\*GB3①-=2\*GB3②得（4）求和得（5）化簡得最終答案.（6）,則，其中，.（不建議直接用）4.倒序相加法（1）.（2）.（3）上述兩式相加，得（4）若數列在滿足的情況下，則.（5）所以5.分組求和法：（1）記的前項和為，記的前項和為，記的前項和為.（2）分別求與.（3）.

【實戰演練】考向一裂項相消法求數列前項和1．（24-25高三上·山東濟南·階段練習）已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)若，求證：．2．（24-25高三上·湖南長沙·期末）已知數列滿足．(1)求的通項公式．(2)記，數列的前項和為，是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

3．（24-25高三上·江西撫州·階段練習）已知數列的前項積，數列的前項和為，，滿足.(1)求數列、的通項公式；(2)記，數列的前項和為，若使成立，求實數的取值范圍.4．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）已知數列的前項和為，且滿足，.(1)求數列的通項公式；(2)設，設數列的前項和，求證：.

考向二錯位相減法求數列前項和1．（23-24高三下·天津·階段練習）已知為等差數列，前項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，，，．(1)求和的通項公式；(2)若數列滿足：，求數列的前項和；(3)若數列滿足：，求．2．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知正項數列前項積為，.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和.

3．（24-25高三上·新疆喀什·階段練習）設為數列的前項和，已知(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．4．（24-25高三上·陜西漢中·期中）已知數列的前項和滿足.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.

考向三倒序相加法求數列前項和1．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）記為數列的前項和，已知：，（）．(1)求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；(2)求和：．2．（23-24高三上·云南·階段練習）已知數列滿足：（），數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)求.

3．（2024·上海·模擬預測）已知，數列的前項和為，點均在函數的圖象上.(1)求數列的通項公式；(2)若，令，求數列的前2024項和.考向四分組（并項）求數列前項和1．（2025·江西·一模）已知數列滿足.(1)若為遞增數列，求的取值范圍；(2)當時，證明：數列是等比數列，并求數列的前項之積.

2．（24-25高三上·海南·階段練習）已知數列的前項和為，且滿足.(1)求數列的通項公式；(2)已知，求數列的前項和為.3．（24-25高三上·安徽淮南·階段練習）已知是各項均為正數的等比數列，，且，，成等差數列.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.4．（24-25高三上·四川內江·階段練習）已知正項等差數列滿足：且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足：，求數列的前項和.

實戰演練五：奇偶數列問題實戰演練五：奇偶數列問題【知識點解析】1.奇偶數列求和：已知，其中的前項和為，的前項和為，的前項和為.思路一：分類討論(1)(2)若為偶數，則(3)若為奇數，則思路二：并項求和(1)記(2)(3)若為偶數，則(4)若為奇數，則2.常見奇偶數列模型(1)若，則，相減得.當為奇數時，數列為以為首項，為公差得等差數列.當為偶數時，數列為以為首項，為公差得等差數列.(2)若，則，相除得.當為奇數時，數列為以為首項，為公差得等比數列.當為偶數時，數列為以為首項，為公差得等比數列.(3)若，則直接按奇偶分開討論.

【實戰演練】1．（24-25高三上·江西·階段練習）已知是等差數列的前項和，且，.(1)求的通項公式；(2)記，求數列的前100項和.2．（24-25高三上·內蒙古包頭·期末）已知為數列的前項和，滿足.數列是等差數列，且.(1)求數列和的通項公式；(2)設求數列的前20項和.

3．（24-25高三上·湖北·期末）已知數列的前n項和為，若，(1)求(2)若，為數列的前n項和，求4．（24-25高三上·河南·期末）已知是各項均為正數的數列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)設求數列的前項和.

實戰演練六：數列插項問題實戰演練六：數列插項問題【知識點解析】1.插項的核心：插入的項數與插入的數據類型.2.常見插項問題（1）在和之間插入個數，使這個數構成等差數列，記這個等差數列的公差為，則，整理的.（2）在和之間插入個數，使這個數構成等比數列，記這個等比數列的公比為，則，整理的.（3）在和之間插入個，組成新數列求這個數列的前項和，需分清和各有多少項，分組求和.【實戰演練】1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習）已知數列，數列的前n項和為，且.(1)令，求數列的前n項和.(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在3項，，，（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的3項，若不存在，請說明理由.

2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）設數列的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)在數列的和項之間插入個數，使得這個數成等差數列，其中，將所有插入的數組成新數列，設為數列的前項和，求．3．（23-24高三上·河南南陽·期中）已知數列滿足．(1)求的通項公式；(2)在和之間插入個數，使得這個數依次構成一個等差數列，設此等差數列的公差為，求．4．（22-23高三上·河北唐山·期中）已知正項等差數列滿足，且是與的等比中項.(1)求數列的通項公式及前項和；(2)保持中各項的先后順序不變，在與之間插入個，構成新數列，求數列的前24項和.

實戰演練七：數列最值問題實戰演練七：數列最值問題【知識點解析】1.求最值的常見方法（1）二次函數法.（2）基本不等式法.（3）三角函數法.（4）函數單調性法.2.求數列單調性的方法：（1）作差法（與“0”比較大小）（2）作商法（與“1”比較大小）※雖然數列可近似視為函數（定義域為正整數），但是一般不會用導數討論單調性，因為求導太復雜.【實戰演練】1．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）記為等差數列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，求使取得最大值時的值．

2．（24-25高三上·江蘇宿遷·階段練習）已知數列的前項之積為，且．(1)求數列和的通項公式；(2)求的最大值．3．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習）已知數列的首項為，且滿足(1)求證為等差數列，并求出數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，求．(3)若數列的通項公式為，且對任意的恒成立，求實數的最小值．4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知數列的前項和為，且.(1)求證：數列是等比數列；(2)設，若是遞增數列，求實數的范圍.

實戰演練八：數列新定義問題實戰演練八：數列新定義問題【知識點解析】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.【實戰演練】1．（24-25高三下·湖南長沙·開學考試）已知數列為個數的一個排列，其中，且．若在集合中至少有一個元素i使得，則稱數列A具有性質T．(1)當時，寫出4個具有性質T的數列A；(2)若數列和均為等差數列，且，證明：對于所有的偶數項數列不具有性質T；(3)在所有由的排列組成的數列A中任取一個，記具有性質T的數列的概率為，證明：對于任意．

2．（24-25高三上·黑龍江·期末）已知正項數列滿足：對任意的正整數n，都有，其中d為非零常數．(1)若，求數列的通項公式；(2)證明：；(3)若且，從，，，…，（且）中任取兩個數，記這兩個數是無理數，且這兩個無理數中間僅包含一個整數的概率為，若，求正整數的最小值．公式：（其中n為正整數）．

3．（24-25高三上·河北邢臺·期末）若數列的首項，對任意的，都有（為常數，且），則稱為有界變差數列，其中為數列的相鄰兩項差值的上界．已知數列是有界變差數列，的前項和為．(1)當時，證明：．(2)當中各項都取最大值時，對任意的恒成立，求的最大值；(3)當中各項都取最大值時，，數列的前項和為，若對任意的，都有，求的取值范圍．

4．（2025·陜西咸陽·一模）若無窮數列滿足：對于，，其中A為常數，則稱數列為“A數列”．(1)若等比數列為“A數列”，求的公比q；(2)若數列為“A數列”，且，．①求證：；②若，且是正項數列，，求滿足不等式的的最小值．第2講數列高頻考點分析高頻考點分析

真題速遞真題速遞1．（2024·全國甲卷（理）·高考真題）記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，解得．當時，，所以即，而，故，故，∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2024·全國甲卷（文）·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為,故，所以即故等比數列的公比為，故，故，故.（2）由等比數列求和公式得，所以數列的前n項和.3．（2023·全國甲卷·高考真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據即可求出；（2）根據錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．4．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.5．（2024·全國I卷·高考真題）設m為正整數，數列是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列是可分數列．(1)寫出所有的，，使數列是可分數列；(2)當時，證明：數列是可分數列；(3)從中任取兩個數和，記數列是可分數列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）首先，我們設數列的公差為，則.由于一個數列同時加上一個數或者乘以一個非零數后是等差數列，當且僅當該數列是等差數列，故我們可以對該數列進行適當的變形，得到新數列，然后對進行相應的討論即可.換言之，我們可以不妨設，此后的討論均建立在該假設下進行.回到原題，第1小問相當于從中取出兩個數和，使得剩下四個數是等差數列.那么剩下四個數只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數列中取出和后，剩余的個數可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數列是可分數列.（3）定義集合，.下面證明，對，如果下面兩個命題同時成立，則數列一定是可分數列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個結論.第一種情況：如果，且.此時設，，.則由可知，即，故.此時，由于從數列中取出和后，剩余的個數可以分為以下三個部分，共組，使得每組成等差數列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數為，則忽略之）故此時數列是可分數列.第二種情況：如果，且.此時設，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時，由于從數列中取出和后，剩余的個數可以分為以下四個部分，共組，使得每組成等差數列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數為，則忽略之）這里對②和③進行一下解釋：將③中的每一組作為一個橫排，排成一個包含個行，個列的數表以后，個列分別是下面這些數：，，，.可以看出每列都是連續的若干個整數，它們再取并以后，將取遍中除開五個集合，，，，中的十個元素以外的所有數.而這十個數中，除開已經去掉的和以外，剩余的八個數恰好就是②中出現的八個數.這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數列是可分數列.至此，我們證明了：對，如果前述命題1和命題2同時成立，則數列一定是可分數列.然后我們來考慮這樣的的個數.首先，由于，和各有個元素，故滿足命題1的總共有個；而如果，假設，則可設，，代入得.但這導致，矛盾，所以.設，，，則，即.所以可能的恰好就是，對應的分別是，總共個.所以這個滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個.這就得到同時滿足命題1和命題2的的個數為.當我們從中一次任取兩個數和時，總的選取方式的個數等于.而根據之前的結論，使得數列是可分數列的至少有個.所以數列是可分數列的概率一定滿足.這就證明了結論.6．（2024·全國Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數，．按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數列是公比為的等比數列；(3)設為的面積，證明：對任意正整數，.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當時，過且斜率為的直線為，與聯立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.（2）方法一：由于過且斜率為的直線為，與聯立，得到方程.展開即得，由于已經是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據韋達定理，另一根，相應的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標亦可通過韋達定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數列是公比為的等比數列.方法二：因為，，，則，由于，作差得，，利用合比性質知，因此是公比為的等比數列.（3）方法一：先證明一個結論：對平面上三個點，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問已經得到，，故.再由，就知道，所以數列是公比為的等比數列.所以對任意的正整數，都有.而又有，，故利用前面已經證明的結論即得.這就表明的取值是與無關的定值，所以.方法二：由于上一小問已經得到，，故.再由，就知道，所以數列是公比為的等比數列.所以對任意的正整數，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.方法三：由于，作差得，變形得①，同理可得，由（2）知是公比為的等比數列，令則②，同時是公比為的等比數列，則③，將②③代入①，即，從而，即.7．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數列，其前項和為，且．(1)求的通項公式及；(2)設數列滿足，其中．（ⅰ）求證：當時，求證：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①證明見詳解；②【詳解】（1）設等比數列的公比為，因為，即，可得，整理得，解得或（舍去），所以.（2）（i）由（1）可知，且，當時，則，即可知，，可得，當且僅當時，等號成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當時，，可知為等差數列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.8．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數列，和序列，其中，對數列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數列的各項均為正整數，且為偶數，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因為數列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設存在符合條件的，可知的第項之和為，第項之和為，則，而該方程組無解，故假設不成立，故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數列之和比原數列之和多4，假設存在符合條件的，且，因為，即序列共有8項，由題意可知：，檢驗可知：當時，上式不成立，即假設不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們設序列為，特別規定.必要性：若存在序列，使得的各項都相等.則，所以.根據的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數，而，所以也是偶數.我們設是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數列中，使得最小的一個.上面已經說明，這里，.從而由可得.同時，由于總是偶數，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數.下面證明不存在使得.假設存在，根據對稱性，不妨設，，即.情況1：若，則由和都是偶數，知.對該數列連續作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設.情況2-1：如果，則對該數列連續作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對該數列連續作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會導致矛盾，所以對任意的都有.假設存在使得，則是奇數，所以都是奇數，設為.則此時對任意，由可知必有.而和都是偶數，故集合中的四個元素之和為偶數，對該數列進行一次變換，則該數列成為常數列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結果，且相對于序列也是無序的，（ⅰ）若，不妨設，則，①當，則，分別執行個序列、個序列，可得，為常數列，符合題意；②當中有且僅有三個數相等，不妨設，則，即，分別執行個序列、個序列可得，即，因為為偶數，即為偶數，可知的奇偶性相同，則，分別執行個序列，，，，可得，為常數列，符合題意；③若，則，即，分別執行個、個，可得，因為，可得，即轉為①，可知符合題意；④當中有且僅有兩個數相等，不妨設，則，即，分別執行個、個，可得，且，可得，因為為偶數，可知的奇偶性相同，則為偶數，且，即轉為②，可知符合題意；⑤若，則，即，分別執行個、個，可得，且，可得，因為為偶數，則為偶數，且，即轉為④，可知符合題意；綜上所述：若，則存在序列，使得為常數列；（ⅱ）若存在序列，使得為常數列，因為對任意，均有成立，若為常數列，則，所以；綜上所述：“存在序列，使得為常數列”的充要條件為“”.

實戰演練一：等差數列的概念與性質實戰演練一：等差數列的概念與性質【知識點解析】1.等差數列的定義：；；.2.等差數列的通項：.3.等差數列前項和.4.等差數列通項公式的性質（1）若，則.（2）若，則.（3）若、、為等差數列，則，為、的等差中項.（4）若為等差數列，則、、…依舊是等差數列.（5）當時，數列單調遞增；當時，數列單調遞減.5.等差數列前項和的性質（1）且；（2）且為等差數列；（3）等差數列的前項和是一個二次函數，當時，有最小值,當時，有最大值；其中：=1\*GB3①若已知和，則當且僅當取最接近對稱軸的正整數時，有最值；=2\*GB3②若未知和，則需找出的正負交界值；（4）、、依舊是一個等差數列.6.含有絕對值的求和方法：（1）找到的臨界值；（2）若，；若，.【實戰演練】1．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知數列的前項和為．(1)求出的通項公式；(2)求數列前項和最小時的取值．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）當時，，當時，,滿足上式，所以.（2）因為，所以，因,則數列是以為首項，2為公差的等差數列，令，解得，所以當時，，當時，，所以當或時，數列前項和有最小值，最小值為.2．（24-25高三上·廣東湛江·期末）已知在等差數列中，，.(1)求數列通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設數列的公差為，由題意得，解得.所以，，即數列的通項公式為.（2）由（1）得，所以，所以，.3．（23-24高三上·貴州·階段練習）記等差數列的前項和為，已知，.(1)求的通項公式；(2)記數列的前項和為，求.【答案】(1)(2)8872【詳解】（1）由則設的公差為則則所以數列的通項公式為.（2）由題可知，.4．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習）已知數列的前項和為，，數列是以1為公差的等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)若對于任意正整數，都有，求實數的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）數列是以1為公差的等差數列，且，，，當時，；經檢驗，當時，滿足上式.（2）由，則，而，所以，即的最小值為.

實戰演練二：等比數列的概念與性質實戰演練二：等比數列的概念與性質【知識點解析】1.等比數列的證明：(1)(2)(3).2.等比數列的通項公式：.3.等比數列的前項和公式：.4.等比數列通項公式的性質=1\*GB3①若，則.=2\*GB3②若，則.=3\*GB3③若、、為等比數列，則，為、的等比中項.=4\*GB3④若為等比數列，則、、…依舊是等比數列.=5\*GB3⑤當且時，數列單調遞增；當且時，數列單調遞減.5.等比數列前項和的性質=1\*GB3①、、依舊是一個等比數列【實戰演練】1．（24-25高三上·貴州銅仁·期末）在數列中，點在直線上；在等比數列中，，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）易知故求數列的通項公式分別為.（2）由（1）知：設數列的前項和為，數列的前項和為，則則數列的前n項和.2．（2025·海南·模擬預測）設數列的前項和為，已知.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，得.當時，，所以.所以是以4為首項，4為公比的等比數列，故.（2）由已知得，所以.3．（24-25高三上·山東·階段練習）已知等比數列的各項都是正數，，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前50項之和.【答案】(1)(2)1275【詳解】（1）依題意，設公比為，由題意得，，解得或（舍去），，所以，（2）因為，所以，所以，所以數列是首項，公差等差數列.所以數列的前50項和為.4．（24-25高三上·黑龍江綏化·階段練習）已知數列是由正數組成的等比數列，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等比數列的公比為，由，得，∵是由正數組成的等比數列，則，，則，解得或（舍），又，所以，解得，所以（2），所以

實戰演練三：數列通項公式的求解實戰演練三：數列通項公式的求解【知識點解析】1.定義法：已知為等差數列或等比數列（1）等差數列的通項公式：.（2）等差數列的前項和公式：.（3）等比數列的通項公式：.（4）等比數列的前項和公式：.2.法（1）因為=1\*GB3①，=2\*GB3②所以（）.（2）注意事項=1\*GB3①.=2\*GB3②因為當時，才有意義，所以需檢驗通項公式當時是否成立.若不成立，需寫成分段數列的形式.=3\*GB3③不一定每次都能得到的具體表達式，有可能需要進一步化簡.=4\*GB3④若題目求或出現二項式，需要將題目所給條件中的反向化為，對進行探索.=5\*GB3⑤代表數列的前項和.3.累加法：已知或（1）若已知，賦值從到，得到個式子，累加得.（2）若已知，賦值從到，得到個式子，累加得.（3）可以是等差數列，也可以是等比數列或者可裂項的數列.4.累乘法：已知或（1）若已知，則賦值從到，得到個式子，累加得.（2）若已知，則賦值從到，得到個式子，累加得.（3）如論是或，均需注意最后求和的項數.5.構造法（1）若已知，則構造數列為公比為的等比數列，則，解方程得.（2）若已知，則構造數列為公比為的等比數列，則，解方程得和.（3）若已知，則構造數列為公比為的等比數列，則，解方程得.（4）若已知，則構造數列為公差為的等比數列.（5）若題干已給出構造目標，則根據定義法代入構造目標進行證明.6.倒數法：已知(1)取倒數得(2)若，則數列是以為首項，為公差的等差數列.(3)若，則進行二次構造等比數列.【實戰演練】考向一法求數列通項公式1．（24-25高二上·福建·期中）已知數列的前項和，其中.(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）當時，，則，當時，，滿足上式，所以.2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知數列的前項和為．(1)求出的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）當時，，當時，,滿足上式，所以.3．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習）已知數列的前項和為，，數列是以1為公差的等差數列.(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）數列是以1為公差的等差數列，且，，，當時，；經檢驗，當時，滿足上式.4．（2024·四川自貢·三模）已知數列的前項和為，且．(1)證明：數列為等差數列；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）數列滿足①，當時，有②，①②可得：，即，變形可得，故數列是以為等差的等差數列；5．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知各項均為正數的數列前項和為，且．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為①，所以②，③，由③得：，所以，②-①得：，整理得：，又因為各項均為正數，所以，所以是公差的等差數列，．6．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有(1)求數列的通項公式；【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由，，兩式相減得，即，因為，所以，即，故是首項為，公差為的等差數列，所以；考向二累加法求數列通項公式1．（2024·廣東·二模）數列滿足，．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，所以，又因此是以為首項，1為公差的等差數列，設的前n項和為，則，又由，得，，當時，經檢驗也滿足，∴．2．（23-24高三上·廣西百色·階段練習）已知數列滿足：，，數列是以4為公差的等差數列．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）根據題意可得；當時，，又符合上式，所以；3．（23-24高三上·山東青島·開學考試）已知數列中，，，數列是公差為1的等差數列.(1)求的通項公式：【答案】(1)【詳解】（1）因為數列是公差為1的等差數列，因為，，所以所以所以，，，……，所以所以所以因為適合上式，所以4．（22-23高三下·河南濮陽·開學考試）在數列中，，．(1)設，求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：因為，，且，所以，當時，當時，又時也符合上式，所以.考向三累乘法求數列通項公式1．（24-25高三上·山東日照·開學考試）已知數列滿足，.(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意知：當時，，；當時，滿足；綜上所述：.2．（24-25高三上·山東德州·期中）在數列中，，其前n項和為，且（且）.(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，代入，整理得，所以，以上個式子相乘得，.當時，，符合上式，所以.3．（23-24高二下·內蒙古呼和浩特·期中）已知在數列中，，前項和.(1)求、；(2)求數列的通項公式；【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由及得，由及、得；（2）當時，，整理得，∴，驗證，當時符合，∴當時，；4．（23-24高三上·廣東·階段練習）已知數列，的前項和分別為，，且滿足，，．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由已知，所以，當時，，兩個等式相減得，整理可得，即，，，，，，等式左右分別相乘可得，因為，所以，考向四構造法求數列通項公式1．（24-25高三上·甘肅白銀·期末）已知數列滿足，且.(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，則，且，則，可知數列是首項和公比均為2的等比數列，可得，所以.2．（24-25高三上·重慶·階段練習）數列的前項和為，滿足且首項.(1)證明：數列為等比數列，并求出數列的通項公式；【答案】(1)證明見解析，【詳解】（1）由已知可得時，，兩式相減得，即，∴，當時，，∴，∵，∴，∴，故有，∴，∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，故.3．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知數列的前項和為，且.(1)若，求；(2)若數列是單調遞增數列，求首項的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，則，可得，若，則，可知是以首項為2，公比為3的等比數列，則，所以.（2）因為，當時，則；當時，則，兩式相減可得，則，若數列是單調遞增數列，則，解得，且，解得，綜上所述：首項的取值范圍為.4．（24-25高三上·河北·期中）已知數列的前n項和為，且．(1)求證：數列為等比數列；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）∵，∴當時，，兩式相減得，，整理得，即，令得，，，，∴是以為首項，公比的等比數列.5．（24-25高三上·河北·階段練習）已知數列滿足.(1)求數列的通項公式；【答案】(1)；【詳解】（1）數列中，由，得，而，因此數列是首項為，公比為的等比數列，，所以數列的通項公式是.6．（24-25高三上·四川瀘州·開學考試）已知數列的首項，且滿足．(1)求證：數列為等比數列；【答案】(1)證明見詳解；【詳解】（1）由題設易知，因為，所以，所以，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列.7．（23-24高三下·河北張家口·開學考試）已知數列滿足，且．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)；【詳解】（1）由已知，所以，又，所以數列是首項為，公比的等比數列，所以，即.8．（24-25高三上·寧夏中衛·階段練習）已知數列，滿足(1)證明：為等差數列，并求通項公式；(2)若，記前n項和為，對任意的正自然數n，不等式恒成立，求實數的范圍．【答案】(1)證明見解析；【詳解】（1）因為，所以兩邊同除以得：，即，又因為，所以的首項，所以是首項為1，公差為1的等差數列，所以，所以考向五倒數法求數列通項公式1．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）已知數列的首項，且滿足，求．【答案】【詳解】由，，得，，所以，又故數列是首項、公比均為的等比數列，則，故．2．（23-24高二下·遼寧·期末）已知數列滿兄，，數列的前項和為，且．(1)求數列，的通項公式，【答案】(1)，【詳解】（1），，數列是以為首項，為公差的等差數列，，；，當時，，即，當時，，所以，即，當時，，；

實戰演練四：數列前實戰演練四：數列前項和的求解【知識點解析】1.定義法：已知為等差數列或等比數列（1）等差數列的通項公式：.（2）等差數列的前項和公式：.（3）等比數列的通項公式：.（4）等比數列的前項和公式：.2.裂項相消法（1）裂項相消法：基本思想是將一個復雜的分數拆分成兩個簡單分數的差，從而簡化求和過程.（2）裂項相消法的常見模型=1\*GB3①等差型：=2\*GB3②無理型：=3\*GB3③指數型：=4\*GB3④常見裂項：，.，.，.

3.錯位相減法：且為等差數列，公差為，為等比數列，公比為.（1）=1\*GB3①（2）=2\*GB3②（3）=1\*GB3①-=2\*GB3②得（4）求和得（5）化簡得最終答案.（6）,則，其中，.（不建議直接用）4.倒序相加法（1）.（2）.（3）上述兩式相加，得（4）若數列在滿足的情況下，則.（5）所以5.分組求和法：（1）記的前項和為，記的前項和為，記的前項和為.（2）分別求與.（3）.

【實戰演練】考向一裂項相消法求數列前項和1．（24-25高三上·山東濟南·階段練習）已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由①，當時，解得，當時，②，①-②，得，數列是以首項為，公比為2的等比數列，．經驗證符合上式，所以．（2）由（1）知，．則，故，所以，故．2．（24-25高三上·湖南長沙·期末）已知數列滿足．(1)求的通項公式．(2)記，數列的前項和為，是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）在①中，令得，，解得，當時，②，①②得，，故，當時，，滿足要求，綜上，的通項公式為.（2）由，則，則，假設存在實數，使得數列為等差數列，故當時，，只有當，即時，為常數，其他值均不合要求，故當時，是等差數列．3．（24-25高三上·江西撫州·階段練習）已知數列的前項積，數列的前項和為，，滿足.(1)求數列、的通項公式；(2)記，數列的前項和為，若使成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當時，，當時，滿足上式，所以，，.因為，當時，，兩式作差得，即，所以，，所以，當時，，，，，，上述等式全部相乘得，所以，，也滿足，所以，對任意的，.（2）因為.所以，.由已知，即，解得，因此，實數的取值范圍是.4．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）已知數列的前項和為，且滿足，.(1)求數列的通項公式；(2)設，設數列的前項和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）數列的前項和為，對任意的，，當時，則有，可得，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，所以數列為等比數列，且其首項和公比都為，所以.（2）由（1）可得，則，則，所以，所以.考向二錯位相減法求數列前項和1．（23-24高三下·天津·階段練習）已知為等差數列，前項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，，，．(1)求和的通項公式；(2)若數列滿足：，求數列的前項和；(3)若數列滿足：，求．【答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）設公差為，公比為，，，，解得或，，，故數列的通項公式為，，，，，解得，，故數列的通項公式為；（2）根據題意，，則，①，②①－②：，所以；（3）根據題意，，則．2．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知正項數列前項積為，.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)(2).【詳解】（1），當時，，當時，，時適合上式，所以；（2），，，令①，②，①－②得，所以，所以.3．（24-25高三上·新疆喀什·階段練習）設為數列的前項和，已知(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）因為，當時，，即，當時，，所以，化簡得，又，所以數列是以首項為，公比為的等比數列，所以.（2）因為，所以，，兩式相減得，，所以，故，．4．（24-25高三上·陜西漢中·期中）已知數列的前項和滿足.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.【答案】(1)(2)=【詳解】（1）當時，.當時，由，得，則.因為，所以.（2）（方法一）由（1）可得.則，①則，②①，得，從而.（方法二）由（1）可得，令，則令，且，則，整理得，則，解得，故..考向三倒序相加法求數列前項和1．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）記為數列的前項和，已知：，（）．(1)求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；(2)求和：．【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）由，有，又，故，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，即，故，兩式相減得，即，所以，因此的通項公式為．（2）設，則由（1）知，又，兩式相加得：，因為，，，所以.2．（23-24高三上·云南·階段練習）已知數列滿足：（），數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，；當時，①，②，①－②得：，∴，當時，，∴.（2）∵，∴∴①，②，又∵∴①＋②得：∴.3．（2024·上海·模擬預測）已知，數列的前項和為，點均在函數的圖象上.(1)求數列的通項公式；(2)若，令，求數列的前2024項和.【答案】(1)(2)1012【詳解】（1）因為點均在函數的圖象上，所以，當時，，即，當時，，因為滿足上式，所以；（2）因為，所以，因為，所以，所以①，又②，①+②，得，所以.考向四分組（并項）求數列前項和1．（2025·江西·一模）已知數列滿足.(1)若為遞增數列，求的取值范圍；(2)當時，證明：數列是等比數列，并求數列的前項之積.【答案】(1)；(2)證明見解析，.【詳解】（1）由題設，即，恒成立，而在上單調遞減，則，所以；（2）由題設，則，又，所以是首項為，公比為2的等比數列，故，所以，則，所以.2．（24-25高三上·海南·階段練習）已知數列的前項和為，且滿足.(1)求數列的通項公式；(2)已知，求數列的前項和為.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，,當時，，又符合上式，所以；（2）由（1）知，所以.3．（24-25高三上·安徽淮南·階段練習）已知是各項均為正數的等比數列，，且，，成等差數列.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等比數列的公比為，且，因為，，成等差數列，則，即，可得，解得或（舍去），所以的通項公式為.（2）由（1）可知：，則，所以.4．（24-25高三上·四川內江·階段練習）已知正項等差數列滿足：且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足：，求數列的前項和.【答案】(1)或(2)或【詳解】（1）設正項等差數列的公差為，由成等比數列，得，則，又，即，解得或，當時，當時，所以數列的通項公式為或.（2）由題意得，當時，，則，所以數列的前項和；當時，，則，且，故是以2為首項，4為公比的等比數列，則，.故數列的前項和或.

實戰演練五：奇偶數列問題實戰演練五：奇偶數列問題【知識點解析】1.奇偶數列求和：已知，其中的前項和為，的前項和為，的前項和為.思路一：分類討論(1)(2)若為偶數，則(3)若為奇數，則思路二：并項求和(1)記(2)(3)若為偶數，則(4)若為奇數，則2.常見奇偶數列模型(1)若，則，相減得.當為奇數時，數列為以為首項，為公差得等差數列.當為偶數時，數列為以為首項，為公差得等差數列.(2)若，則，相除得.當為奇數時，數列為以為首項，為公差得等比數列.當為偶數時，數列為以為首項，為公差得等比數列.(3)若，則直接按奇偶分開討論.

【實戰演練】1．（24-25高三上·江西·階段練習）已知是等差數列的前項和，且，.(1)求的通項公式；(2)記，求數列的前100項和.【答案】(1)(2)200【詳解】（1）設等差數列的公差為d，由，，得，解得，則所以的通項公式為.（2）由（1）得，所以.2．（24-25高三上·內蒙古包頭·期末）已知為數列的前項和，滿足.數列是等差數列，且.(1)求數列和的通項公式；(2)設求數列的前20項和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為，①所以有.②②-①得.所以數列成以1為首項，以2為公比的等比數列.所以.又數列是等差數列，且.所以.所以.（2）因為設數列的前項和為，所以.故.3．（24-25高三上·湖北·期末）已知數列的前n項和為，若，(1)求(2)若，為數列的前n項和，求【答案】(1)；(2)【詳解】（1），當時，，當時，，，，，又，是以為首項，2為公比的等比數列，，，又時也滿足上式，；（2），，，4．（24-25高三上·河南·期末）已知是各項均為正數的數列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)設求數列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以.因為，所以，即，由，解得.由，所以是首項為1，公比為3的等比數列.所以.（2）當為奇數時，；當為偶數時，，所以.

實戰演練六：數列插項問題實戰演練六：數列插項問題【知識點解析】1.插項的核心：插入的項數與插入的數據類型.2.常見插項問題（1）在和之間插入個數，使這個數構成等差數列，記這個等差數列的公差為，則，整理的.（2）在和之間插入個數，使這個數構成等比數列，記這個等比數列的公比為，則，整理的.（3）在和之間插入個，組成新數列求這個數列的前項和，需分清和各有多少項，分組求和.【實戰演練】1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習）已知數列，數列的前n項和為，且.(1)令，求數列的前n項和.(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在3項，，，（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的3項，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）因為故數列為等差數列，公差為2，又，所以.所以數列的通項公式.因為①②①-②可得，當n=1時，，故是首項為2，公比為3的等比數列，所以數列的通項公式.因為所以化簡得：.（2）由（1）知，.所以.所以.設數列中存在3項，，，（其中m，k，p成等差數列）成等比數列.則，所以，即.又因為m，k，p成等差數列，所以，所以，化簡得，所以，又，所以與已知矛盾.所以在數列中不存在3項，，成等比數列.2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）設數列的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)在數列的和項之間插入個數，使得這個數成等差數列，其中，將所有插入的數組成新數列，設為數列的前項和，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，所以，當時，，即，所以，當時，符合，所以；（2）依題意，，，，?．所以，即，①則，②由①②可得，，所以．3．（23-24高三上·河南南陽·期中）已知數列滿足．(1)求的通項公式；(2)在和之間插入個數，使得這個數依次構成一個等差數列，設此等差數列的公差為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，解得．因為，所以當時，，兩式相減得，即．因為滿足上式，所以．（2）由題意可得，，．4．（22-23高三上·河北唐山·期中）已知正項等差數列滿足，且是與的等比中項.(1)求數列的通項公式及前項和；(2)保持中各項的先后順序不變，在與之間插入個，構成新數列，求數列的前24項和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：設等差數列的公差為，因為，且是與的等比中項，所以，解得或（舍去），所以，，所以；（2）解：由題意可知，新數列為，，，，，，，，，，…按照此規律，假設第24項在與之間，則，解得當時，.

實戰演練七：數列最值問題實戰演練七：數列最值問題【知識點解析】1.求最值的常見方法（1）二次函數法.（2）基本不等式法.（3）三角函數法.（4）函數單調性法.2.求數列單調性的方法：（1）作差法（與“0”比較大小）（2）作商法（與“1”比較大小）※雖然數列可近似視為函數（定義域為正整數），但是一般不會用導數討論單調性，因為求導太復雜.【實戰演練】1．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）記為等差數列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，求使取得最大值時的值．【答案】(1)；(2)3.【詳解】（1）解：因為為等差數列，且，，所以當時，則有，兩式相減，得（為等差數列的公差），解得；當時，則有，即，，解得，所以；（2）由（1）知，所以，所以，當取得最大值時，則有，即，整理得，解得，所以又因為，解得，所以最大，且.所以當取得最大值時，.2．（24-25高三上·江蘇宿遷·階段練習）已知數列的前項之積為，且．(1)求數列和的通項公式；(2)求的最大值．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當時，①，則②，①②可得，也滿足上式，所以，③．因為數列的前項之積為，則當時，，代入③可得，所以，，則.（2），所以，，則，即，即單調遞減，故的最大值為．3．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習）已知數列的首項為，且滿足(1)求證為等差數列，并求出數列的