2024年湖南省郴州市中考數學試卷

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（3.00分）下列實數：3,0,1,一反0.35,其中最小的實數是（）

2

A.3B.0C.他。.0.35

2.（3.00分）郴州市人民政府提出：在2024年接著辦好一批民生實事，加快補

齊影響群眾生活品質的短板，推動扶貧惠民工程，實現12.5萬人脫貧，請用科

學記數法表示125000（）

A.1.25X105B.0.125X106C.12.5X104.D.1.25X106

3.（3.00分）下列運算正確的是（）

A.a3*a2=a6B.a2=--yC.3立-2近二加D.（a+2）（a-2）=a2+4

a

4.（3.00分）如圖，直線a,b被直線c所截，下列條件中，不能判定a〃b（）

A.Z2=Z4B.Zl+Z4=180°C.Z5=Z4D.Z1=Z3

5.（3.00分）如圖是由四個相同的小正方體搭成的立體圖形，它的主視圖是（）

6.（3.00分）甲、乙兩超市在1月至8月間的盈利狀況統計圖如圖所示，下面結

論不正確的是（）

利潤萬元

50

40

30

20

10

A.甲超市的利潤逐月削減

B.乙超市的利潤在1月至4月間逐月增加

C.8月份兩家超市利潤相同

D.乙超市在9月份的利潤必超過甲超市

7.（3.00分）如圖，ZAOB=60°,以點0為圓心，以隨意長為半徑作弧交OA,

OB于C,D兩點；分別以C,D為圓心，以大于LCD的長為半徑作弧，兩弧相交

2

于點P;以0為端點作射線OP，在射線OP上截取線段OM=6,則M點到OB的

A.6B.2C.3D.3A/3

8.（3.00分）如圖，A,B是反比例函數y二9在第一象限內的圖象上的兩點，且

x

A,B兩點的橫坐標分別是2和4,則4OAB的面積是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空題（每題3分，滿分24分，將答案填在答題紙上）

9.（3.00分）計算：（S）2=.

10.（3.00分）因式分解：a3-2a2b+ab2=.

11.（3.00分）一個正多邊形的每個外角為60。，那么這個正多邊形的內魚和

是.

12.（3.00分）在創建“平安校內〃活動中，郴州市某中學組織學生干部在校門口

值日，其中八位同學3月份值日的次數分別是：5,8,7,7,8,6,8,9,則這

組數據的眾數是.

13.（3.00分）己知關于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一個根為-3,則方程

的另一個根為.

14.（3.00分）某瓷磚廠在相同條件下抽取部分瓷磚做耐磨試驗，結果如下表所

示：

抽取瓷磚數n100300400600100020003000

合格品數m9628238257094919062850

合格品頻率且0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950

n

則這個廠生產的瓷磚是合格品的概率估計值是.（精確到0.01）

15.（3.00分）如圖,圓錐的母線長為10cm,高為8cm,則該圓錐的側面綻開圖

（扇形）的弧長為cm.（結果用Ji表示）

16.（3.00分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的一個頂點在原點。處,

且NAOC=60。，A點的坐標是（0,4）,則直線AC的表達式是.

三、解答題（本大題共10小題，共82分.解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟

17.（6.00分）計算|1-&-2sin45°+21-（-1）2024.

18.（6.00分）解不等式組：]3X+2]2（X-1）,?并把解集在數軸上表示出來.

[4x-2<3x-2②

19.（6.00分）如圖，在口ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF,垂足為0,

分別交AD,BC于E,F,連接BE,DF.求證：四邊形BFDE是菱形.

20.（8.00分）6月14日是〃世界獻血日〃，某市實行自愿報名的方式組織市民義

務獻血.獻血時要對獻血者的血型進行檢測，檢測.結果有“A型〃、"B型〃、"AB型"、

“0型〃4種類型.在獻血者人群中，隨機抽取了部分獻血者的血型結果進行統計,

并依據這個統計結果制作了兩幅不完整的圖表：

血型ABABO

人數—105―

（1）這次隨機抽取的獻血者人數為人，m=；

（2）補全上表中的數據；

（3）若這次活動中該市有3000人義務獻血，請你依據抽樣結果回答：

從獻血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估計這3000人中

大約有多少人是A型血？

21.（8.00分）郴州市正在創建〃全國文明城市〃，某校擬舉辦〃創文學問〃搶答賽,

欲購買A、B兩種獎品以激勵搶答者.假如購買A種20件，B種15件，共需380

元：假如購買A種15件,B種10件，共需280元.

（I）A、B兩種獎品每件各多少元？

（2）現要購買A、B兩種獎品共100件，總費用不超過900元，那么A種獎品

最多購買多少件？

22.（8.00分）小亮在某橋旁邊試飛無人機，如圖，為了測量無人機飛行的高度

AD,小亮通過操控器指令無人機測得橋頭B,C的俯角分別為NEAB=60。，Z

EAC=30°,且D,B,C在同一水平線上.已知橋BC=30米，求無人機飛行的高度

AD.（精確到0.01米.參考數據:加一1.414,筋=1.732）

A無人機

2a.（800分）已知BC是0。的直徑，點D是BC延長線上一點，AR=AD.AF是

。。的弦，ZAEC=30°.

（1）求證：直線AD是。。的切線；

（2）若AE_LBC,垂足為M,。。的半徑為4,求AE的長.

24.（10.00分）參照學習函數的過程與方法，探究函數y=&2（x聲0）的圖象與

性質.

因為尸工2口工，即產-2+1,所以我們對比函數尸-2來探究.

XXXX

列表：

x...-4-3-2-1-1.1,1234

v=-2....1.2124-4-11--2-1...

x2332

v=^z2...11235-3-1011...

2332

描點：在平面直角坐標系中，以自變量X的取值為橫坐標，以戶三2相應的函數

值為縱坐標，描出相應的點，如圖所示：

（1）請把y軸左邊各點和右邊各點，分別用一條光滑曲線順次連接起來；

（2）視察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當xVO時，y隨x的增大而；（填"增大〃或"減小〃）

②的圖象是由y=-2的圖象向平移個單位而得到；

xx

③圖象關于點中心對稱.（填點的坐標）

（3）設A（xi，力），B（x2,y2）是函數戶上必的圖象上的兩點，且x1+x2=O,試

求yi+yz+3的值.

環

$-

25.(10.00分)如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,

0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內的一個動點，且點P

的橫坐標為t.

（1）求拋物線的表達式；

（2）設拋物線的對稱軸為I,I與x軸的交點為D.在直線I上是否存在點M,使

得I四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明

理由.

（3）如圖2,連接BC,PB,PC,設APBC的面積為S.

①求S關于t的函數表達式；

②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標.

26.（12.00分）在矩形ABCD中，AD>AB,點P是CD邊上的隨意一點（不含C,

D兩端點），過點P作PF〃BC,交對角線BD于點F.

（1）如圖1,將APDF沿對角線BD翻折得到△QDF,QF交AD于點E.

求證：4DEF是等腰三角形；

（2）如圖2,將4PDF繞點D逆時針方向旋轉得到△PDF,連接PC,F'B.設旋

轉角為a（0°<a<180°）.

①若（TVaVNBDC,即DF'在NBDC的內部時，求證：△DP'CSADFB.

②如圖3,若點P是CD的中點，△DFB能否為直角三角形？假如能，試求出此

時tan/DBF的值，假如不能，請說明理由.

2024年湖南省郴州市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（3.00分）下列實數：3,0,1,一反0.35,其中最小的實數是（）

2

A.3B.0C.他D.0.35

【分析】正實數都大于0,負實數都小于0,正實數大于一切負實數，兩個負實

數肯定值大的反而小，據此推斷即可.

【解答】解：依據實數比較大小的方法，可得

-72<0<0.35<1<3,

2

所以最小的實數是-的.

故選：C.

【點評】此題主要考查了實數大小比較的方法，要嫻熟駕馭，解答此題的關鍵是

要明確：正實數>0>負實數，兩個負實數肯定值大的反而小.

2.（3.00分）郴州市人民政府提出：在2024年接著辦好一批民生實事，加快補

齊影響群眾生活品質的短板，推動扶貧惠民工程，實現12.5萬人脫貧，請用科

學記數法表示125000.（）

A.1.25X105B.0.125X106C.12.5X104D.1.25X106

【分析】依據科學記數法的表示方法可以將題目中的數據用科學記數法表示，本

題得以解決.

【解答】解：125000=1.25X105,

故選：A.

【點評】本題考查科學記數法-表示較大的數，解答本題的關鍵是明確科學記數

法的表示方法.

3.(3.00分)下列運算正確的是()

A.a3*a2=a6B.a2=--yC.3近?2近=近D.(a+2)(a-2)=a2+4

a

［分析］干脆利用同底數幕的乘除運算法則以及負指數幕的性質以及二次根式的

加減運算法則、平方差公式分別計算得出答案.

【解答】解:A、a3*a2=a5,故此選項錯誤;

B、a2;吃，故此選項錯誤；

C、3V3-2V3=V3＞故此選項正確;

D^(a+2)(a?-2)=a2-4,故此選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題主要考查了同底數累的乘除運算以及負指數幕的性質以及二次根式

的加減運算、平方差公式，正確駕馭相關運算法則是解題關鍵.

4.(3.00分)如圖，直線a,b被直線c所截，下列條件中，不能判定a〃b()

A.Z2=Z4B.Zl+Z4=180°C.Z5=Z4D.Z1=Z3

【分析】依據同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；內錯角相

等，兩直線平行，進行推斷即可.

【解答】解：由N2=/4或Nl+N4=180。或N5=/4,可得a〃b；

由N1=N3,不能得到2〃多

故選：D.

【點評】本題主要考查了平行線的判定，解題時留意：同位角相等，兩直線平行;

同旁內角互補，兩直線平行.

5.(3.00分)如圖是由四個相同的小正方體搭成的立體圖形，它的主視圖是()

0

【分析】找到幾何體的」一面看所得到的圖形即可.

【解答】解：從幾何體的上面看可得

故選：B.

【點評】此題主要考查了簡潔幾何體的三視圖，關鍵是駕馭主視圖所看的位置.

6.（3.00分）甲、乙兩超市在1月至8月間的盈利狀況統計圖如圖所示，下面結

論不正確的是（）

A.甲超市的利潤逐月削減

B.乙超市的利潤在1月至4月間逐月增加

C.&月份兩家超市利潤相同

D.乙超市在9月份的利潤必超過甲超市

【分析】依據折線圖中各月的詳細數據對四個選項逐一分析可得.

【解答】解：A、甲超市的利潤逐月削減，此選項正確；

B、乙超市的利潤在1月至4月間逐月增加，此選項正確；

C、8月份兩家超市利潤相同，此選項正確；

D、乙超市在9月份的利潤不肯定超過甲超市，此選項錯誤；

故選：D.

【點評】本題主要考查折線統計圖，折線圖是用一個單位表示肯定的數量，依據

數量的多少描出各點，然后把各點用線段依次連接起來.以折線的上升或下降來

表示統計數量增減改變.

7.（3.00分）如圖，ZAOB=60°,以點。為圓心，以隨意長為半徑作弧交OA,

OB于C,D兩點：分別以C,D為圓心，以大于kD的長為半徑作弧，兩弧相交

2

于點P;以O為端點作射線OP,在射線OP上截取線段OM=6,則M點到OB的

距離為（）

A.6B.2C.3D.3yJ~3

【分析】干脆利用角平分線的作法得出0P是NAOB的角平分線，再利用直角三

角形的性質得出答案.

【解答】解：過點M作ME_LOB于點E,

由題意可得：OP是NAOB的角平分線，

則NPOB,X60°=30°,

2

/,ME=i0M=3.

2

故選：C.

【點評】此題主要考查了基本作圖以及含30度角的直角三角形，正確得出0P

是NAOB的角平分線是解題關鍵.

8.(3.00分)如圖，A,B是反比例函數y=_l在第一象限內的圖象上的兩點，且

x

A,B兩點的橫坐標分別是2和4,則AOAB的面積是()

A.4B.3C.2D.1

【分析】先依據反比例函數圖象上點的坐標特征及A,B兩點的橫坐標，求出A

(2,2),B(4,1).再過A,B兩點分別作AC_Lx軸于C,BD_Lx軸于D,依據

反比例函數系數k的幾何意乂得出?S△AOC=SZSBOD=—4=2.依據S四邊形AODB=S4AOB+S

2

△BOD=S,、,AOC+S梯形ABDC，得出SAAOB=S櫛形ABDC，利用梯形面積公式求出S梯形ABDC二工

2

(BD+AC)*CD=1(.1+2)X2=3,從而得出S,、AOB=3.

2

【解答】解：:A,B是反比例函數y=9在第一象限內的圖象上的兩點，且A,B

x

兩點的橫坐標分別是2和4,

???當x=2時，y=2,即A(2,2),

當x=4時，y=l,即B(4,1)..

如圖，過A,B兩點分別作ACJ_x軸于C,BDJ_x軸于D,則S"OC=SMOD=LX4=2.

2

>?*S四邊形AODB=S△AOB+S^BCD=S△AOc+S梯形ABDC，

SAAOB=S梯形ABDC，

TS梯形ABDC二工(BD+AC)<0=1(1+2)X2=3,

22

,?SAAOB=3.

故選：B.

【點評】一本題考查了反比例函數尸K中k的幾何意義，即圖象上的點與原點所連

X

的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積s的關系即s=L|k|.也

2

考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，梯形的面積.

二、填空題(每題3分，滿分24分，將答案填在答題紙上)

9.(3.00分)計算：百)2=3.

【分析】原式利用平方根的定義化簡即可得到結果.

【解答】解:原式=3.

故答案為：3

【點評】此題考查了二次根式的乘除法，嫻熟駕馭平方根的定義是解本題的關鍵.

10.(3.00分)因式分解：a3-2a2b+ab2=a(a-b)2.

【分析】原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解:原式二a(a2-2ab+b2)

=a(a-b)2.

故答案為：a(a-b)，

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，嫻熟駕馭因式分解的方法

是解本題的關鍵.

11.(3.00分)一個正多邊形的每個外角為60。，那么這個正多邊形的內角和是

720°.

【分析】先利用多邊形的外角和為360。計算出這個正多邊形的邊數，然后依據

內角和公式求解.

【解答】解：這個正多邊形的邊數為變二二6,

60°

所以這個正多邊形的內角和=(6-2)X180°=720°.

故答案為720。.

【點評】本題考查了多邊形內角與外角：內角和定理：(n-2)?180(n23)且

n為整數)；多邊形的外角和等于360度.

12.（3.00分）在創建〃平安校內〃活動中，郴州市某中學組織學生干部在校門口

值日，其中八位同學3月份值日的次數分別是：5,8,7,7,8,6,8,9,則這

組數據的眾數是一8.

【分析】依據眾數的定義即可推斷.

【解答】解：這組數據8出現的次數最多，所以眾數為8,

故答案為8.

【點評】本題考查眾數的定義，記住在一組數據中次數出現最多的數是這組數據

的眾數.

13.（3.00分）已知關于x的一元二次方程x?+kx-6=0有一個根為-3,則方程

的另一個根為2.

【分析】依據根與系數的關系得出a+（-3）=-匕-3a=-6,求出即可.

【解答】解：設方程的另一個根為a,

則依據根與系數的關系得：a+（-3）=-k,-3a=-6,

解得：a=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了根與系數的關系和一元二次方程的解，能熟記根與系數為關

系的內容是解此題的關鍵.

14.（3.00分）某瓷磚廠在相同條件下抽取部分瓷瓶做耐磨試驗，結果如下表所

示：

抽取瓷磚數n100300400600100020003000

合格品數m9628238257094919062850

合格品頻率且0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950

n

則這個廠生產的瓷磚是合格品的概率估計值是一0.95.（精確到0.01）

【分析】依據表格中試驗的頻率，然后依據頻率即可估計概率.

【解答】解：由擊中靶心頻率都在0.95上下波動，.

所以這個廠生產的瓷磚是合格品的概率估計值是0.95,

故答案為：0.95.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率的思想，解題的關鍵是求出每一次事務的

頻率，然后即可估計概率解決問題.

15.（3.00分）如圖，圓錐的母線長為10cm,高為8cm,則該圓錐的側面綻開圖

（扇形）的弧長為12ncm.（結果用rt表示）

【分析】依據圓錐的綻開圖為扇形，結合圓周長公式的求解.

【解答】解：設底面圓的半徑為rem,

由勾股定理得：

r=^1Q2_82=6,

/.2nr=2HX6=12n,

故答案為：12n.

【點評】此題考查了圓錐的計算，解答本題的關鍵是駕馭圓錐側面綻開圖是個扇

形，要嫻熟駕馭扇形與圓錐之間的聯系，難度一般.

16.（3.00分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的一個頂點在原點。處,

且NAOC=60。，A點的坐標是（0,4）,則直線AC的表達式是y=-△叵x+4.

【分析】依據菱形的性質，可得OC的長，依據三角函數，可得OD與CD,依據

待定系數法，可得答案.

【解答】解：

由菱形OABC的一個頂點在原點。處，A點的坐標是（0,4）,得

0C=0A=4.

XVZ1=6O0,

.'.Z2=30°.

sinN2二里L

0C2

ACD=2.

cosZ2=COS300=-5P.=^-^,

OC2

0D=2近，

AC（2立，2）.

設AC的解析式為y=kx+b,

將A,C點坐標代入函數解析式，得

（2V5k+b=2,

lb=4

fV3.

解得『v下，

b=4

直線AC的表達式是y=-返x+4,

3

故答案為:y=-&4.

3

【點評】本題考查了待定系數法求次函數解析式，利用銳角三角函數得出C

點坐標是解題關鍵，又利用了菱形的性質及待定系數法求函數解析式.

三、解答題（本大題共10小題，共82分.解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.）

17.（6.00分）計算|1-加|-2sin45°+2i-（-1）2024.

【分析】首先計算乘方，然后計算乘法，最終從左向右依次計算，求出算式的值

是多少即可.

【解答】解：|1?亞I-2sin45°+2i-（-1）2024

=V2-1-2X2^2+0.5,i

2

=-1.5

【點評】此題主要考查了實數的運算，要嫻熟駕馭，解答此題的關鍵是要明確：

在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，

再算乘除，最終算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要依據從左到右

的依次進行.另外，有理數的運算律在實數范圍內仍舊適用.

18.（6.00分）解不等式組：PX+2^2（X-1），?并把解集在數軸上表示出來.

（4x-2<3x-2②

【分析】首先解出兩個不等式的解集，再依據大小小大中間找確定不等式組的解

集.

【解答】解：解不等式①，得：x>-4,

解不等式②，得：xWO,

則不等式組的解集為-4Vx<0,

將解集表示在數軸上如下：

L6?1??A

-5-4-3-2-101

【點評】此題主要考查了解一元一次不等式組，關鍵是.駕馭解集的規律：司大

取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到.

19.（6.00分）如圖，在口ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF,垂足為0,

分別交AD,BC于E,F,連接BE,DF.求證：四邊形BFDE是菱形.

【分析】依據平行四功形的性質以及全等三角形的判定方法訐明出△DOEZa

BOF,得到OE=OF,利月對角線相互平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD

是平行四邊形，進而利用對角線相互垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE

為菱形.

【解答】證明：???在口ABCD中，。為對角線BD的中點，

/.BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在aEOD和aFOB中，

rZED0=ZFB0

,0D=0B，

NEOD二NFOB

AADOE^ABOF（ASA）；

AOE=OF,

XVOB=OD,

???四邊形FBFD是平行四邊形，

VEF1BD,

???四邊形BFDE為菱形.

【點評】此題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質以及全等三角形的判定

與性質等學問，得出OE=OF是解題關鍵.

20.（8.00分）6月14日是〃世界獻血日〃，某市實行自愿報名的方式組織市民義

務獻血.獻血時要對獻血者的血型進行檢測，檢測結果有〃A型〃、〃B型〃、伙B型〃、

〃0型〃4種類型.在獻血者人群中，隨機抽取了部分獻血者的血型結果進行統計,

并依據這個統計結果制作了兩幅不完整的圖表：

血型ABAB0

人數1210523

（1）這次隨機抽取的獻血者人數為50人,m=20；

（2）補全上表中的數據；

（3）若這次活動中該市有3000人義務獻血，請你依據抽樣結果回答：

從獻血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估計這3000人中

大約有多少人是A型血？

0型

46%

A型廣』

【分析】（1）用AB型的人數除以它所占的百分比得到隨機抽取的獻血者的總人

數，然后計第m的值；

（2）先計算出。型的人數，再計算出A型人數，從而可補全上表中的數據；

（3）用樣本中A型的人數除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此

概率可估計這3000人中是A型血的人數.

【解答】解：（1）這次隨機抽取的獻血者人數為5:10%=50（人），

所以m=A^X100=20；

50

故答案為50,20；

（2）。型獻血的人數為46%X50=23（人），

A型獻血的人數為50-10-5-23=12（人），

如圖，

故答案為12,23；

（3）從獻血者人群中狂抽取一人，其血型是A型的概率;烏二，

5025

3000x6=720,

25

估計這3000人中大約有720人是A型血.

【點評】本題考查了概率公式：隨機事務A的概率P（A）;事務A可能出現的結

果數除以全部可能出現的結果數.也考查了統計圖.

21.（8.00分）郴州市工在創建“全國文明城市〃，某校擬舉辦“創文學問〃搶答賽,

欲購買A、B兩種獎品以激勵搶答者,假如購買A種20件，B種15件，共需380

元；假如購買A種15件，B種10件，共需280元.

（1）A、B兩種獎品每件各多少元？

（2）現要購買A、B兩種獎品共100件，總費用不超過900元，那么A種獎品

最多購買多少件？

【分析】（1）設A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，依據〃假如購買A種20

件，B種15件，共需380元;假如購買A種15件，B種10件，共需280元〃,

即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設A種獎品購買a件，則B種獎品購買（100-a）件，依據總價=單價X購

買數量結合總費用不超過900元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之取其

中最大的整數即可得出結論.

【解答】解：（1）設A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，

依據題意得:（20x+15尸380.

15x+10y=280

解得：產16.

Iy=4

答：A種獎品每件16元，B種獎品每件4元.

（2）設A種獎品購買a件，則B種獎品購買（100-a）件，

依據題意得：16a+4（100-a）W900,

解得：aW您.

3

Va為整數，

???aW41.

答：A種獎品最多購買41件.

【點評】本題考查了一元一次不等式的應用以及二元一次方程組的應用，解題的

關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）依據各數量間的關

系，找出關于a的一元一次不等式.

22.（8.00分）小亮在某橋旁邊試飛無人機，如圖，為了測量無人機飛行的高度

AD,小亮通過操控器指令無人機測得橋頭B,C的俯角分別為/EAB=60。，Z

EAC=30°,且D,B,C在同一水平線上.已知橋BC=30米，求無人機飛行的高度

AD.（精確到0.01米.參考數據：0=1.414,加一1.732）

【分析】由NEAB=60°、NEAC=30°可得出NCAD=60°、ZBAD=30°,進而可得出

CD=V3AD.BD=Y3AD,再結合BC=30即可求出AD的長度.

3

【解答】解：VZEAB=60°,ZEAC=30°,

AZCAD=60°,ZBAD=30°,

.*.CD=AD?tanZCAD』@D,BD=AD?tanZBAD=2^AD,

3

ABC=CD-BD=3巨AD=30,

3

?,.AD=15遂=25.98.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用中的仰角俯角問題，通過解直角三角形

找出CD二加AD、BD二1AD是解題的關鍵.

3

23.（8.00分）已知BC是。。的直徑，點D是BC延長線上一點，AB=AD,AE是

（DO的弦，ZAEC=30°.

（1）求證：直線AD是。。的切線；

（2）若AE_LBC,垂足為M,。。的半徑為4,求AE的長.

【分析】（1）先求出1ABC=3O。,進而求出NBAD二求出,即可求出NOAB二求。,

結論得證；

（2）先求出NAOC=60。，用三角函數求出AM,再用垂徑定理即可得出結論.

【解答】解：（1）如圖，

VZAEC=30°,

AZABC=30°,

TAB二AD,

AZD=ZABC=30°,

依據三角形的內角和定理得，ZBAD=120°,

連接OA,AOA=OB,

.\ZOAB=ZABC=30°,

ZOAD=ZBAD-ZOAB=90°,

AOA±AD,

??,點A在。。上，

?,?直線AD是。O的切線;

(2)連接OA,VZAEC=30°,

AZAOC=60°,

?.*BC1AE于M,

AAE=2AM,ZOMA=90°,

在RtAAOM中，AM=OA?sin/AOM=4Xsin6(r=2?,

，AE=2AM=4立.

【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質，垂徑定理，切線的判定，銳角三角

函數，三角形內角和定理，圓周角定理，求出NAOC=60。是解本題的關鍵.

24.（10.00分）參照學習函數的過程與方法，探究函數尸工2襄產0）的圖象與

x

性質.

因為y二三2二1工，即尸-2+1,所以我們對比函數y=-2來探究.

XXXX

列表：

x...-4-3-2-1-111234...

22

Y=-1...11124-4-11-1-1...

x2332

y=zz2..._3_5235-3-1011...

x2332

描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數

x

值為縱坐標，描出相應的點，如圖所示：

（1）請把y軸左邊各點和右邊各點，分別用一條光滑曲線順次連接起來；

（2）視察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當xVO時，v隨x的增大而增大；（填"增大〃或"減小〃）

②的圖象是由y=-2的圖象向上平移1個單位而得到:

XX

③圖象關于點（0,1）中心對稱.（填點的坐標）

（3）設A（xi，yi）,B（x2,y2）是函數的圖象上的兩點，且xi+x2=0,試

求yi+yz+3的值.

環

$-

【分析】（1）用光滑曲線順次連接即可；

（2）利用圖象法即可解決問題；

（3）依據中心對稱的性質，可知A（xi，yi）,B（X2，y2）關于（0，1）對稱,

由此即可解決問題；

【解答】解：（1）函數圖象如圖所示：

(2)①當x<0時，y隨x的增大而增大；

②的圖象是由y=-2的圖象向上平移1個單位而得到;

XX

③圖象關于點(0,1)中心對稱.(填點的坐標)

故答案為增大，上，1,(0,1)

(3)Vxi+x2=0,

??Xi=-X29

.*.A(xi，yi),B(X2>y2)關于(0,1)對稱，

Ayi+y2=2,

yi+Y2+3=5.

【點評】本題考查反比例函數的性質、中心對稱的性質等學問，解題的關鍵是敏

捷運用所學學問解決問題，屬于中考常考題型.

25.(10.00分)如圖L已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,

0)兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內的一個動點，且點P

的橫坐標為t.

(1)求拋物線的表達式；

(2)設拋物線的對稱軸為I,I與x軸的交點為D.在直線I上是否存在點M,使

得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明

理由.

(3)如圖2,連接BC,PB,PC,設的面積為S.

①求S關于t的函數表達式；

②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標.

【分析】(1)由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

(?)連接PC,交拋物線對稱軸I于點F,由點A、B的坐標可得出對稱軸I為直

線x=l,分t=2和tW2兩種狀況考慮：當t=2時，由拋物線的對稱性可得出此時

存在點M,使得四邊形CDPM是平行四邊形，再依據點C的坐標利用平行四邊

形的性質可求出點P、M的坐標；當tW2時，不存在，利用平行四邊形對角線

相互平分結合CEWPE可得出此時不存在符合題意的點M；

(3)①過點P作PF〃y軸，交BC于點F,由點B、C的坐標利用待定系數法可

求出直線BC的解析式，依據點P的上標可得出點F的坐標，進而可得出PF狗長

度，再由三角形的面積公式即可求出S關于t的函數表達式；

②利用二次函數的性質找出S的最大值，利用勾股定理可求出線段BC的長度，

利用面積法可求出P點到直線BC的距離的最大值，再找出此時點P的坐標卻可

得出結論.

【解答】解：(1)將A(-1,0)、B(3,0)代入尸?x2+bx+c,

r-i-b+c=o,解得“b=2,

I-9+3b+c=0Ic=3

???拋物線的表達式為y=-x2+2x+3.

(2)在圖1中，連接PC,交拋物線對稱軸I于點E,

???拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點，

???拋物線的對稱軸為直線x=l.

當t=2時，點C、P關于直線I對稱，此時存在點M,使得四邊形CDPM是平行

四邊形.

???拋物線的表達式為y=-x2+2x+3,

，點C的坐標為（0,3）,點P的坐標為（2,3）.

，點M的坐標為（1,6）；

當tW2時，不存在，理由如下：

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE,

???點C的橫坐標為0,點E的橫坐標為0,

，點P的橫坐標t=lX2-0=2.

又：t#2,

，不存在.

（3）①在圖2中，過點P作PF〃y軸，交BC于點F.

設直線BC