7.3特殊角的三角函數蘇科版初中數學九年級下冊同步練習第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12小題，共36分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.計算2cos30°的結果為(

)A.12 B.1 C.3 2.如圖1，是一種折疊桌子，它是由下面的支架AD、BC與桌面構成，如圖2，已知OA=OB=OC=OD=203cm，∠COD=60°，則點A到地面(CD所在的平面)的距離是(

)A.303cm

B.603cm3.如圖，在平面直角坐標系中，正八邊形ABCDEFGH的中心與原點O重合，頂點A，E在y軸上，頂點G，C在x軸上，連接OB，過點A作OB的垂線，垂足為P，將△APB繞點O順時針旋轉，每次拋轉45°，已知OA=3，則第82次旋轉結束時，點P的坐標為(

)

A.(32,32) B.(?4.已知α為銳角，tan(90°?α)=33，則αA.30° B.45° C.60° D.75°5.計算：2cos60°的值是

(

)A.3 B.1 C.2 6.下列不等式不成立的是

(

)A.sin20°<sin40°<sin707.如圖，兩根木條釘成一個角形框架∠AOB，且∠AOB=120°，AO=BO=4cm，將一根橡皮筋兩端固定在點A，B處，拉展成線段AB，在平面內，拉動橡皮筋上的一點C，當四邊形OACB是菱形時，橡皮筋再次被拉長了(

)

A.2cm B.4cm C.(43?4)cm8.如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△OBA的頂點A(3,1)，直角頂點B在一次函數y=3x的圖象上，分別以點O、A為圓心，以大于12OA的長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N，直線MN與OB交于點PA.(34,1) B.(239.如圖，△OAC按順時針方向旋轉，點O在坐標原點上，OA邊在x軸上，OA=8，AC=4，把△OAC繞點A按順時針方向旋轉得到△O′AC′，使得點O′的坐標是(4,43)，則在這次旋轉過程中線段OC掃過部分(陰影部分)的面積為

(

)

A.8π B.2π3 C.2π D.10.若α，β是一個三角形的兩個銳角，且滿足|sinα?32|+(A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形11.已知a=3，且(4tan45°?b)2+3+12b?c=0，以A.6 B.7 C.8 D.912.若(tanA?1)2+|2cosB?3A.直角三角形 B.等邊三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，共12分）13.在△ABC中，若|sinA?12|+214.如圖，在菱形ABCD中，AC=2cm，BD=23cm，分別以A、C為圓心，AC為半徑作弧，則圖中陰影部分面積等于___________cm215.如圖，在正方形網格中，△ABC的三個頂點都在格點上，則sin(∠CAB+∠ABC)=___．16.在△ABC中，已知∠A、∠B都是銳角，|sinA?12|+1?tan三、解答題（本大題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題8分)

(1)2(x?3)2=x2?918.(本小題8分)

(1)計算：(π?3)0+(1319.(本小題8分)

(1)計算：2sin45°+|2?1|?(12)?2+23?2．

(2)解不等式組：3x?3>4x1?2x2<?20.(本小題8分)

先化簡，再求值：a2?4a+4a?1÷(a+1?21.(本小題8分)

(1)計算：(π?2023)0?2cos30°?25+|1?322.(本小題8分)

閱讀下列材料，并完成相應的任務．初中階段，我們所學的銳角三角函數反映了直角三角形中的邊角關系：

sinα=BCAC，cosα=ABAC，tanα=BCAB

一般地，當α、β為任意角時，sin(α+β)與sin(α?β)的值可以用下面的公式求得：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ

例如sin15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°

=22×32?22×123.(本小題8分)

計算：(1)計算：|?3|+(15)?1?27+2cos30°24.(本小題8分)

(1)計算：(π?1)0+4sin45°?8+|?2|25.(本小題8分)

先化簡，再求代數式的值：(3a+1?a+1)÷a2+4a+4答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵cos30°=32，

∴2cos30°=2×32=3．

故選：C2.【答案】D

【解析】解：如圖，連接CD，過點O作OF⊥CD交于點F，延長FO交AB于點E，

由題意可知AB/?/CD，

∴OE⊥AB，

∵OA=OB=OC=OD=203，∠COD=∠AOB=60°，

∴△COD、△AOB為等邊三角形，△COD≌△AOB，

∴∠COF=30°，OF=OE，

∴OF=OC?cos∠COF=203×32=30cm，

∴EF=2OF=60cm，

即點A到地面的距離為60cm．

故選：D．

連接CD，過點O作OF⊥CD交于點F，延長FO交3.【答案】A

【解析】【分析】由ABCDEFGH是正八邊形，得∠AOB為45°，利用勾股定理求出OP，過點P作x軸的垂線，垂足Q，在Rt△OPQ中，求出OQ=32，又因為∠BOC=∠AOB=45°，得出PQ=0Q=32，求出點P的坐標為(32,32)，將△APB繞點O順時針旋轉，每次旋轉45°，則每旋轉8次回到初始位置，則第80次旋轉結束時，△APB回到初始位置，此時點P的坐標為(32,32)，連接OD，第82【解答】解∵ABCDEFGH是正八邊形，∴∠AOB=360°÷8=45°，在Rt△APO

中，OP=OAcos如圖，過點P作x軸的垂線，垂足Q，在Rt△OPQ中，OQ=OP?∵∠BOC=∠AOB=45°，∴PQ=0Q=3∴點P的坐標為(3將△APB繞點O順時針旋轉，每次旋轉45°，則每旋轉8次回到初始位置，∴第80次旋轉結束時，△APB回到初始位置，此時點P的坐標為(3連接OD，第82次旋轉結束時點P′位于OD上，得OP?=OP，∠P′OQ=∠POQ=45°，∴點

P″與點P關于x軸對稱，∴P′(3∴第82次旋轉結束時，點P的坐標為(3故選：A．【點評】本題考查正多邊形和圓、坐標與圖形變化—旋轉，解題的關鍵是掌握相關知識點．4.【答案】C

【解析】解：∵α為銳角，tan(90°?α)=33，

∴90°?α=30°，

∴α=60°．

故選：C．

先根據α為銳角及5.【答案】B

【解析】【分析】

此題考查了特殊角三角函數值，掌握特殊角三角函數值是關鍵．

【解答】

解：2cos60°=2×126.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了特殊角的三角函數值，銳角三角函數的增減性，熟記公式是解題的關鍵，屬于基礎題.

直接根據兩角和與差的正弦和余弦公式解答即可．

【解答】

A.sin?20°<sin?40°<sin?70°，故本選項正確；

B.cos?20°>cos?40°>cos?70°

，故本選項不成立；

C.tan?20°<7.【答案】D

【解析】如圖，連接OC，交AB于點E．∵四邊形OACB是菱形，∴BC=AC=AO=4cm，OC⊥AB，BE=12AB，∠BOE=12∠AOB=60°.在Rt△BOE中∵BO=4cm，∠BOE=60°，sin8.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查坐標與圖形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，線段垂直平分線的作法及性質，一次函數的性質，銳角三角函數定義等知識．

作AQ⊥OQ，垂足為Q，作PD⊥x軸，垂足為D，先求出∠AOQ=30°，∠BOQ=60°，求出OA，∠AOB=30°，再根據垂直平分線的作法可得OC=1，再用直角三角形的性質和勾股定理求出OP，OD，PD，即可解答．

【解答】

解：如圖：作AQ⊥OQ，垂足為Q，作PD⊥x軸，垂足為D，

∵A(3,1)

∴tan∠AOQ=13=33，

∴∠AOQ=30°，

在一次函數y=3x取點(1,3)，

則tan∠BOQ=3，

∴∠BOQ=60°，

∴∠AOB=30°，OA=32+12=2，

設OA與MN9.【答案】A

【解析】解：作O′M⊥OA于M，

則∠O′MA=90°，

∵點O′的坐標是(4,43)，

∴O′M=43，OM=4，

∵AO=8，

∴AM=8?4=4，

∴tan∠O′AM=434=3，

∴∠O′AM=60°，即旋轉角為60°，

∴∠CAC′=∠OAO′=60°，

∵△OAC繞點A按順時針方向旋轉得到△O′AC′，

∴S△OAC=S△O′AC′，

∴10.【答案】C

【解析】解：∵|sinα?32|+(3?tanβ)2=0，

∴sinα?32=0，3?tan?β=0，

∴sinα=32，tanβ=3，

又∵α，β都是銳角，

∴α=60°，β=60°，11.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了非負性的性質及勾股定理逆定理的應用，先根據非負數的性質及特殊教的三角函數值求出c，b的值，再根據勾股定理的逆定理判斷出其形狀，從而求解面積．

【解答】

解：∵(4tan45°?b)2+3+12b?c=0，

∴4tan45°?b=0，3+12b?c=0，

∴b=4，3+12b?c=0，∴c=5．

又∵12.【答案】C

【解析】解：∵(tanA?1)2+|2cosB?3|=0，

∴tanA=1，2cosB=3，

則tanA=1，cosB=32，

故∠A=45°，∠B=30°，

則∠C=105°，

故△ABC的形狀是鈍角三角形．

13.【答案】105°

【解析】【分析】

本題考查的是非負數的性質的應用、特殊角的三角函數值的計算和三角形內角和定理的應用，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．

根據非負數的性質列出關系式，根據特殊角的三角函數值求出∠A、∠B的度數，根據三角形內角和定理計算即可．

【解答】

解：由題意得，sinA?12=0，22?cosB=0，

即sinA=12，2214.【答案】

【解析】【分析】

本題考查菱形的性質，特殊角的函數值，扇形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識屬于中考常考題型．

在菱形ABCD中，AC⊥BD于O，得出則OA=1cm，OB=3cm，得出∠CAB=60°，再用割補法求面積．

【解答】

解：如圖：

在菱形ABCD中，AC⊥BD于O，

則OA=12AC=1cm，OB=115.【答案】2【解析】【分析】

本題考查了三角形外角性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，特殊角的三角函數值，正確作出圖形是解題的關鍵．根據三角形外角的性質得到∠DCB=∠CAB+∠ABC，推出△CDB是等腰直角三角形，得到∠DCB=45°，即可解答．

【解答】

解：如圖，

∵∠D=90°，

CD=BD=22+42=25，

∴△CDB是等腰直角三角形，

∴∠DCB=45°，

∵∠DCB=∠CAB+∠ABC，

∴∠CAB+∠ABC=45°16.【答案】105

【解析】∵|sin∴|sinA?12|=0，1?tanB2=0，∴sin17.【答案】解：(1)2(x?3)2=x2?9，

2(x?3)2?(x+3)(x?3)=0，

(x?3)(x?9)=0，

∴x?3=0或x?9=0，

∴x1=3，x2=9；

【解析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)將特殊銳角的三角函數值代入，再計算乘方和后面的乘法，繼而進一步計算即可．

本題主要考查解一元二次方程的能力及實數的運算能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．18.【答案】解：(1)原式=1+1(13)2+33?9×33=1+9+33?33=10；【解析】(1)先按照零指數冪、負整數指數冪的意義、二次根式的性質、特殊角的三角函數值逐項化簡，再算加減即可；

(2)分別求出兩個不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小找不到”的原則即可獲得答案．

本題主要考查了零指數冪、負整數指數冪的意義、二次根式的性質、特殊角的三角函數值以及解一元一次不等式組等知識，熟練掌握相關知識和運算法則是解題關鍵．19.【答案】解：(1)原式=2×22+2?1?4+2(3+2)

=2+2?1?4+23+22

=42+23?5；

(2)解不等式3x?3>4x，得：x<?3，

解不等式1?2x2<?x2，得：x>1【解析】(1)分別根據特殊角的三角函數值，絕對值的性質及負整數指數冪的運算法則，分母有理化計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可；

(2)分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集；

(3)先將小括號內的式子進行通分計算，然后算括號外面的，最后結合分式有意義的條件選取合適的x的值代入求值．

本題主要考查分式的化簡求值，解一元一次不等式組，實數的運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．20.【答案】解：a2?4a+4a?1÷(a+1?3a?1)?1

=(a?2)2a?1÷(a+1)(a?1)?3a?1?1

=(a?2)2a?1÷a2【解析】先關鍵分式的減法法則進行計算，再根據分式的除法法則進行計算，再算減法，求出a的值后代入，即可求出答案．

本題考查了分式的化簡求值和特殊角的三角函數值，能正確根據分式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．21.【答案】解：(1)原式=1?2×32?5+3?1

=1?3?5+3?1

=?5；

(2)解不等式①得：【解析】(1)原式第一項利用零指數冪的意義化簡，第二項利用特殊角的三角函數值化簡，第三項利用平方根的意義計算，最后一項利用絕對值的代數意義化簡，即可得到結果．

(2)先求出每個不等式的解集，再根據找不等式組解集的規律找出不等式組的解集即可．

本題考查了實數的運算，解一元一次不等式組，能根據找不等式組解集的規律找出不等式組的解集是解此題的關鍵．22.【答案】解：(1)2+64；

(2)Rt△ABC中，∵sin∠A=sin75°=BCAB=2+64【解析】解：(1)sin75°=sin(30°+45°)

=sin30°cos45°+cos30°sin45°

=12×22+32×22

=2+23.【答案】解：(1)原式=3+5?33+2×32

=5?23+3

=5?3；

(2)原式=