第一講集合的性質及其運算

1、研究集合問題，一定要抓住集合的代表元素，如：

{xly=lgx}={x/x>0},3y=lgx}={y/ywR}{(x,y)\y=\gx］各不相同。

元素與集合的關系用“6或仁”，集合與集合的關系用u,8n”

2、任何一個集合是它本身的一個子集，即A±A。規定空集是任何集合的子集，即“三A,"三"。如果

人口8,且8工人，則A=B。如果A^B且B中至少有一個元素不在A中，則A叫B的真子集，記作AuB。

空集是任何非空集合的真子集。

3、含n個元素的集合A的子集有2"個，非空子集有2"—1個，非空真子集有2"—2個。

集合A有m個元素，集合B有n個元素，則從A到B的映射有〃'”個。

4、重要性質：(1)AUA=A,APIA=A,AA0=0,AUa=A,API=0,AU=U

(2)AClB=A,A=AUB,B=AUB,(3)。(AAB)=(A)U(Cb'B)

,5(AUB)=(c(yA)nB)(4)ACB=AOANB,AUB=A=B^A

第二講映射與函數概念、函數的定義域和圖象

一、映射、函數的有關概念：

1、映射的定義：設A,B是兩個集合，如果按照某種對應關系f,對集合A中的任何一個元素，在集合B

中都有唯一的元素和它對應，那么，這樣的對應叫做集合A到集合B的映射，記作：f：A-B,

2、像與原像：如果給定一個集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a對應的集合B中的b叫做a

的像，a叫做b的原像。

3、映射f：ATB的特征：(1)存在性：集合A中任一元素在集合B中都有像，(2)惟?性：集合A中的

任一元素在集合B中的像只有?個，(3)方向性：從A到B的映射與從B到A的映射?般是不一樣的(4)

集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

4、函數：(1)定義(傳統)：如果在某變化過程中有兩個變量x,y并且對于x在某個范圍內的每一個確定

的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數，x叫做自變量，x的取值

范圍叫做函數的定義域，和x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。(2)函數的

集合定義：設A,B都是非空的數的集合，f：x—y是從A到B的映射，那么，從A到B的f：A-B,叫

做A到B的函數，y=f(x),其中xGA,yWB,原像集合A叫做函數f(x)的定義域，像集合C叫做函數f(x)的值

域。像集合C±B

5、構成函數的三要素：定義域，值域，對應法則。值域可由定義域唯一確定，因此當兩個函數的定義域

和對應法則相同時，值域一定相同，它們可以視為同一函數。

二、求函數定義域的方法

1、求函數定義域的常用方法有：(1)根據解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零等。(2)

根據實際問題的要求確定自變量的范圍。(3)根據相關解析式的定義域來確定所求函數自變量的范圍。(4)

復合函數的定義域：如果y是u的函數，而u是x的函數，即y=f(u),u=g(x),那么y=f［g(x)］叫做函數f與g

的復合函數，u叫做中間變量，設f(x)的定義域是xWM,g(x)的定義域是xGN,求產f［g(x)］的定義域時，

<

則只需求滿足〔xeN的x的集合。設產f［g(x)］的定義域為P,則P=N。

第三講函數的單調性、周期性、奇偶性、反函數

一、函數的單調性：

1、定義：對于給定區間D上的函數f(x),若對于任意xi,x2CD,當xYx2時，都有f(xi)vf(x2),則稱f(x)

是區間上的增函數，當XYX2時，都有f(xl)>f(x2),則稱出X)是區間上的減函數。如果函數產f(x)在區間

上是增函數或減函數，就說函數產f(x)在區間D上具有(嚴格的)單調性，區間D稱為函數f(x)的單調區

/⑻二/㈤.>0(<0).增(減)

間。斗一々任意Xl,x2ED

2、函數單調性的證明方法：通常根據定義，其步驟是：1)任取Xi,X26D,且xi<x22)作差f(xi)

4M(/(xjwo)

-氏x2)或作商/("J,并變形，(4)判定f(xl)—f(x2)的符號，或比較/("J與1的大小，

4)根據定義作出結論。

有時也根據導數。=在D上遞增，r(x)<0n〃x)在D上遞減。(濟逆命

題不成立)

3、常見函數的單調性：

一次函數產kx+b(kWO)1)當k>0時，f(x)在R上是增函數。2)當k<0時，f(x)在R上是減函數。

b

二次函數產ax?+bx+c1)當a>。時，函數fi［x)的圖象開口向上，在(-8,-2a)上是減函數，在［一

bh

2。，+8)上是增函數，2)當a<0時，函數f(x)的圖象開口向下，在(一8,-2a)上是增函數，在［一

b

2。，+8)是減函數。

反比例函數產x1)當k>0時，f(x)在(-8,o)與(0,+8)上都是減函數，2)當k<0時,

f(x)在(一8,o)與(0,十8)上都是增函數但要注意在(一8,o)U(0,+8)上f(x)沒有單調性。

可采用導數法判斷。

(5)指數函數)，=相,。>1,單調遞增，0<a<l時，單調遞減

(6)對數函數y=log?XM>1時單調遞增,0<a<1時單調遞減。

(7)三角函數:

y=sinx的增區間是-工+2%萬二+2上乃，減區間是工+24肛包+2攵乃keZ

22J[22_

y=cosx的增區間是[-?r+2k兀,2%句的減區間是[2攵%,萬+2女句，攵eZ

y=tanx的增區間是1-^+k萬仁+上萬)，cotx的減區間是(k乃，乃+左乃)

二、函數的奇偶性與周期性：

1、函數的奇偶性定義：對于函數f(x)的定義域內的每一個值x,都有f(-x)=f(x),那么稱f(x)為

偶函數，如果對每一個值x都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數。

2、奇、偶函數的性質：(1)奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。(2)奇函數在關

于原點的對稱區間上的單調性相同，偶函數在關于原點的對稱區間上的單調性相反。

(3)若奇函數有對稱軸x=a,則它有周期T=4a,偶函數有對稱軸x=a,則它有周期T=2a,

(4)若奇函數在x=0處有定義則f(0)=0

3、函數的奇、偶性類型：

=kx,(2]y=-,(3)y=x2n+i(neN)(4)y=sinx,(5)y=tanx,

(1)奇函數：如x

(2)偶函數：如⑴y=/+c,⑵y=k|,(3)y=cosx,(4))，=xsinx,(5)y='(n€z)

SinX+

(l)y=Ax+c(&c=0)(2)y+bx(abw0)(3)y=(?l

(3)非奇非偶函數：如(4)y=k+i1，(5)yM，Sr，"i)

(4)既是奇函數又是偶函數：僅有一類：在定義域關于原點的對稱區間上恒有f(x)=0.

4、定義：對于函數f(x)的定義域內的每個值x都有f(x+T)=f(x)(TM)，則稱f(x)為周期函數，T

為它的一個周期。若T為f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期，k為任一非0整數。

5、若/(X)滿足/(x+")=/(x+b),那么/(X)是周期函數，一個周期是

T=Ia-b|.

三、反函數：

1、定義：設式子產f(x)表示y是x的函數，定義域為A,值域為C,從式子尸f(x)中解出X,得到式子x=e(y),

如果對于y在C中的任何一個值,通過式子x=°(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x=°(y)

就表示y是x的函數，這樣的函數，叫做y=f(x)的反函數，記作x=f?(y),即x=*(y)=f](y),--般對調x=f'(y)

中的字母x,y,把它改寫成y=f“(x)

2、求反函數的步驟是：(1)將尸f(x)看成方程，解出x=fT(y)(2)將x,y互換得y=fLx)

(3)寫出反函數的定義域，(可根據原函數的定義域或反函數的解析式確定)(4)分段函數的反函數可以

分別求出各段函數的反函數再合成。

3、反函數的一些性質：(1)反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域，稱為互調性，(2)定

義域上的單調函數必有反函數，且單調性相同(即函數與其反函數在各自的定義域上的單調性相同)，對

連續函數而言，只有單調函數才有反函數，但非連續的非單調函數也可能有反函數，(3)函數產f(x)的圖

象與其反函數y=f“(x)的圖象關于直線y=x對稱，(4)函數y=f(x)的圖象與其反函數y=fT(x)的圖象的交

點，當它們是遞增時，交點在直線產x上。當它們遞減時.，交點可以不在直線產x上，

y=f—與y=log|x互為反函數且有一個交點是它不在直線y=x上

第四講：函數圖象的對稱性與變換

兩個函數的圖象的對稱性：

1、y=f(x)與尸?f(x)關于x軸對稱。

2、y=f(x)與y=f(-x)關于y軸對稱。

3、y=f(x)與y=-f(—x)關于原點對稱。

4、y=f(x)與y=f?(x)關于直線y=x對稱，(或y=f(x)與x=f(y)關于直線廣乂對稱)。

5、y=f(x)與y=f(2a—x)｛注：y=f(a+x)與y=f(a—x)關于直線x=0對稱｝關于直線x=a對稱。

6、y=f(x)與y=-f(2a—x)+2b關于點(a,b)對稱.

一個函數的圖象的對稱性：

1>關于直線x=a對稱時,f(x)=f(2a—x)或f(a—x)=f(a+x)，特例:a=0時，關于y軸對稱,此時f

(x)=f(-x)為偶函數。

2、y=f(x)關于(a,b)對稱時,f(x)=2b—f(2a—x),特別a=b=O時，f(x)=—f(—x),即f(x)關

于原點對稱，f(x)為奇函數。

3、y=f(x)關于直線y=x+b對稱時，由上面知y=f(x)關于直線y=x+b對稱的函數的解析式是y=f(x+b)

+b。它與產f(X)應是同一函數，所以：f(x)=fT(x+b)+b。特別當b=0時，f(x)=r(x),即

一個函數關于直線產x對稱時，它的反函數就是它本身。

4、類似4有產f(x)關于直線產一x+b對稱時,f(x)=b—fT(b-x)o特別當b=0時，f(x)=一/

(—x),f(x)關于直線y=-x對稱.

a+b

x-

5、若f(a+x)=f(b-x),則f(x)的圖像關于直線2對稱，

三：圖象平移與伸縮變換、翻折變換。

1、平移變換(向量平移法則):y=f(x)按。=(h,k)平移得y=f(x—h)+k,即F(x,y)=0按"=(h,k)

平移得F(x—h,y—k)=0,當m>0時晌右平移，m<0時，向左平移。當n>0時，向上平移，n<0時向下平移。

對于“從產f(x)至Uy=f(x-h)+k”是“左加右減，上加下減”，對于平移向量“a=(h,k)”是“左負

右正，上正下負”。

2、伸縮變換：將尸f(x)的橫坐標變為原來的a倍，縱坐標變為原來的m倍，得到⑺

x=ax

y=f(x)<y=mf—

[y=，/yVaJ

即一

3、翻折變換：(1)由y=f(x)得到y=|f(x)|,就是把y=f(x)的圖象在x軸下方的部分作關于x軸對稱

的圖象，即把x軸下方的部分翻到x軸上方，而原來x軸上方的部分不變。

(2)由產f(x)得到尸f(|x|),就是把尸f(x)的圖象在y軸右邊的部分作關于y軸對稱的圖象，即把y

軸右邊的部分翻到y軸的左邊，而原來y軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變。

第五講指數函數、對數函數與基函數

一、指數：

1、n次方根的定義：如果一個數的n次方a(n>l,nWN*)那么這個數叫做a的n次方根，即x"=a，則x叫做

a的n次方根(n>l,nEN*)。

2、n次方根的性質：(1)0的門次方根是0。即々歷=0(n>l,ndN*),(2)(④')"=a(ndN*)

(3)當n為奇數時，聲a,當n為偶數時，J7=|a|

m____

3、分數指數毒的定義：(1)a"=巧卜>0小〃€曠,41

m1

neN",〃A

aniaA0,m,n

(2),(3)0的正分數指數幕等于0,0的負分數指數幕沒有意

義。

二、指數函數:

1、定義：形如產a'(a>0,且a/l)的函數叫做指數函數。

2、指數函數產a*(a>0,且aWl)的圖象和性質:

0<a<l

圖象

性質(1)定義域：R值域：(0,+°°)

都

點

z

A1fAo

1lX

\Y1(XA0)

/

X1>XoX

a-;-

1L

\=1(X=0)

X

z

1O

Y1lY

\A1(XY0)

(4)|在R上是增函數|在R上是減函數__________________________

三、對右

1、對數的定義：如果""1),那么b叫做以a為底N的對數，記做10g?'="a>0,a。1),

山定義知負數和0沒有對數。通常以10為底的對數叫做常用對數，記做lgN=logu）N。以無理數e=

2.71828…為底的對數叫做自然對數。記做帖N=log,N。

2、對數的運算性質：

M

⑴log“MN=log,,M+log”M⑵log“—=log”M-log“N.

n

（3）log“AT=〃?logaA/,（4）log,,,b=—logab,（M,N,a,b,n,m>-0,a*1）

3、對數的恒等式：

1O8w10foJViogka

（l）loga1=0,（2）logaa=l,（3）a?=N,（4）a=N

10g;,N

（5）log“N=,lognb'—』og“c=log.c,（a,b,c,Na0,a,bH1）

log/,alog,a

四、對數函數：

1、定義：形如y=log"x（a>0,a#l）的函數叫做對數函數。

2、對數函數的圖象與性質:

a>l0<a<l

圖

象J

J.

/''

性（1）定義域：（0,+°°）,值域為R

質（2）過點（1,0）與（a,l）

（3）A0（XA1）Y0（XA1）

<=0（X=1）=0（X=1）

Y0（XY1）A0（XY1）

log"Xlog"X

（4）在（0,+°°）上是增函數在（0,+°°）上是減函數

3、對數函數y=log"x值>0聲/1）與指數函數y=a"（a>0,aN1）互為反函數，它們的定義域與值域正好互換，

它們的對應法則是互逆的，其圖象關于y=x對稱。

4、對數有關的大小比較：（1）類似指數函數分為四類：1）同底且大于1,真數大的對數大。2）同底且

小于1,真數大的對數小。3）同真數且大于1,在x軸同側時，底大圖低，（這一點與指數函數相反）4）

同真數且小于1,在x軸同側時，底大圖高。（2）基本思路：1）利用函數的單調性，2）作差或作商法，3）

利用中間量。4）化同底或化同指數。5）放縮法。

五、募函數

1、幕函數的定義

形如：），=/（￡€/?,a為常數）的函數叫基函數。

2、基函數的圖象與性質

⑴圖象過點（1』），（2）當a為奇數時，是奇函數，當a為偶數時，是偶函數，

（3）圖象不經過第四象限。（4）掌握8類常見的事函數的圖象：y=x°,y=x,y=x2,

22

y=x3,y=x°-,y=x3w,y=x—1,y=x-2,

（5）當a>0時，還經過點（0,0）,在第一象限內函數值隨冊增大而增大，

且過點（1,1）后圖象向上方無限伸展。在第一象限內，當a>l時，圖象

是向下凸的，當0<a<l時，圖象是向上凸的。

（6）當a<0時，在第一象限內函數值隨耶J增大而減少，且向上與y軸

無限接近，向右與x軸無限接近。即以坐標軸為漸近線。

第六講函數與方程、零點與二分法

1、函數y=的零點就是方程/（制=°實數根，亦即函數>=/（制的圖象與x軸交點的橫坐標.即:

方程/（幻=o有實數根o函數y=/a）的圖象與x軸有交點o函數y=/a）有零點.

注意：（1）兩個相同的根只能算一個零點,（2）零點的表示方法不能用有序實數對（x,0）.,

/（x）在［a,3上連續（即圖象不間斷），段（。）/伍）<0,則/（x）在卜//］上至少有一個零點，

可能有無數個零點?！╝）〃6）〉0,/（x）在［a,可上可能無零點也可能有無數個零點。.

■J、

用二分法求零點只適用于零點左右附近的函數值異號的情況。

下圖的圖象所對應的函數就無法通過“二分法”來求零點.

4、指數函數y="'（?>i）的增長》幕函數（〃>o）的增長>對數函數y=i°g〃x（。>1）在

區間（0,+8）上的增長。

第七講空間幾何體

棱柱、圓柱，棱錐、圓錐，棱臺、圓臺，球的概念與分類及性質。它們的表面積與體積的計算。

棱柱：（1）棱柱的概念：如果一個多面體有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線互相平行。這樣的

多面體叫做棱柱。

（2）、棱柱的分類：1）按側棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱和直棱柱。側棱不垂直于底面的棱柱叫斜

棱柱。側棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱，2）按底面邊數的多少分類:

底面分別為三角形，四邊形，五邊形分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、3）底面是平行四邊形

的四棱柱叫平行六面體，側棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體。底面為矩形的直平行六面體叫長

方體，各棱長相等的長方體叫正方體。注正四棱柱一定是長方體，但長方體不一定是正四棱柱，直平行六

面體一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面體。

（3）、棱柱的性質：1）棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等，直棱柱的各個側面都是矩形,

正棱柱的各個側面都是全等的矩形。2）與底面平行的截面是與底面對應邊互相平行的全等多邊形。3）過

棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形。4）棱柱的側面積=直截面（垂直于側棱的截面）的周長X側棱

長，棱柱的體積=底面積又高。

（4）、平行六面體ABCD-AiBiOa的性質：1）平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分，2）

AC,=AC.=AB+AD+AA.

平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和。?“1V'>,3）長方體的一

條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和。4）若長方體的一條對角線與過這一條對角線的一端

的三個相鄰面所成的角分別為二，B,Y,則Sin?a+sin?〃+sin27=1,5）長方體的體對角線與共頂點

的三條棱所成的角分別為a,B,7,則Sin?a+sin?,+sii？7=2,6）長方體的對角線等于它的外接球

的直徑。7）正方體的內切球的直徑等于正方形的邊長。和正方體各棱切的球的直徑等于正方形的面對角

線。8）｛平行六面體｝崔｛直平行六面體｝?｛長方體｝要｛正四棱柱｝9｛正方體｝;

直棱柱的側面積$=底面周長x側棱長，直棱柱的體積V=底面積x高。

圓柱：一個矩形繞著一邊旋轉一周所得的幾何體。

$表=S底+S側=2萬廠+?！澳妇€，v=兀/h

棱錐：（1）棱錐的概念：如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各個面是有一個公共頂點的三角形，那么

這個多面體叫棱錐。在棱錐中有公共頂點的各三角形叫做棱錐的側面。過棱錐不相鄰的兩條側棱的截面叫

棱錐的對角面。

（2）、錐的分類：按照棱錐底面多邊形的邊數可將棱錐分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐…

（3）、棱錐的性質：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積

的比等于頂點至截面距離與棱錐高的平方比。經過棱錐的高的中點且平行于底面的截面叫中截面，中截面

的面積是底面面積的1/4。

（4）、正棱錐的概念與性質：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的

棱錐叫正棱錐。性質：1）正棱錐的各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的

高（叫側高）也相等。2）正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影、側棱、底面的外接圓的半徑R、底面

的半邊長可組成四個直角三角形。

2

(5)、棱錐的體積公式：V=§Sh(S是棱錐的底面積，h是棱錐的高)

提醒：全面枳(也稱表面積)是各個表面面枳之和，故棱柱的全血積=側面枳+2X底面枳；棱錐的全面

積=側面積+底面積。

圓錐：一個直角三角形繞著一邊旋轉一周所得的幾何體。它的側面展開圖是一個扇形。扇形的弧長是底面

圓的周長。扇形的半徑等于母線長。

N=-jrr2h

,表=S底+S則=nr'+%”母線,3

棱臺：?個棱錐被平行于底面的平面所截，夾在底面與截面間的幾何體叫棱臺。

圓臺：一個直角梯形繞著垂直于底邊的腰旋轉一周所得的幾何體。

；乃卜：+代+片)〃

+弓"母線，V=；（S|：+JSM+SJ/Z=

球：(1)、球的概念：與定點的距離等于或小于定長的點的集合叫做球體，簡稱球。定點叫做球心。定長叫

做球的半徑。球面：與定點的距離等于定長的點的集合叫做球面。

(2)、球的截面：用一個平面去截球，截面是圓面。球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之

間的關系：r=^R~~d'。

大圓：球面被經過球心的平面截得的圓叫做大圓。小圓：球面被不經過球心的平面截得的圓叫做小圓。經

過球面上兩點的大圓，當這兩點與球心不共線時，有且只有個。當這兩點與球心共線時有無數個。

(3)球面距離：球面上經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，叫做這兩點的球面距離。它等于球心

角X半徑。

4,,

_欣3s=4位2

(4)球的體積和表面積公式：V=3

(5)正四面體的邊長為a,則它的外接球的半徑、內切球的半徑、棱切球的半徑分別為

正四面體的高為體積為

41241312J

正方體的邊長為a,則它的外接球的半徑、內切球的半徑、棱切球的半徑分別為

也(各面的中心為頂點的八面體的邊長為變出對角線為a

222\2)

2、三視圖與直觀圖的畫法。

1）、直觀圖的畫法（斜二側畫法規則）：己知圖形中平行于橫軸和豎軸的線段，在直觀圖中保持長度不變,

平行于縱軸的線段，在直觀圖中其長度為原來的一半。原來平行的線段仍然平行，原來相交的線段仍然相

交，但角度可能發生變化。把直觀圖還原成原來水平放置的圖形時，應先把與橫軸成45°的線段還原成與

橫軸成直角的線段。

2）、三視圖的畫法：正視圖（從前向后看）、俯視圖（從上往下看）、側視圖（從左往右看，也叫左視圖）。

正視圖和側視圖的高度?樣，俯視圖和正視圖的長度一樣，俯視圖與側視圖的寬度一樣。即正、側一樣高,

正、俯一樣長，俯、側一樣寬。

第八講點、直線、平面的位置關系。

1、確定平面的4個公理或定理，（1）不共線的3點確定一個平面，（2）兩條相交直線確定個平面，（3）兩條

平行直線確定一個平面，（4）一條直線和直線外一點確定一個平面。

確定直線在平面內的定理：如果直線上有兩個點在平面內，則直線在平面內。

兩個平面的公共點的個數定理：如果兩個平面有一個公共點，則必有無數個公共點，且這些公共點的個數

在同一條直線上。此定理常用來判斷空間三線共點。

2、點、線、面的位置關系的表示方法。

3、平行公理：平行于同一直線的兩直線互相平行，它反應了平行線的傳遞性。注意：相交線和異面直線

沒有傳遞性。

4、等角定理：如果?個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。當一邊

平行且方向相同而另一邊的方向相反時，這兩個角互補?？赏茝V到空間：如果一個二面角的兩個半平面和

另一個二面角的兩個半平面分別平行并且方向相同，那么這兩個二面角相等。當一個半平面平行且方向相

同而另一個半平面的方向相反時，這兩個二面角互補。

但注意：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補。不可推廣到空間：如

果一個二面角的兩個半平面和另一個二面角的兩個半平面分別垂直，那么這兩個二面角相等或互補。

5、空間直線的位置關系：（1）相交直線：有且只有一個公共點。（2）平行直線：在同一平面內，沒有公

共點。（3）異面直線：不在任何一個平面內，也沒有公共點。兩條異面直線的作圖，常借助于輔助平面。

異面直線的判定：過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線。

異面直線所成的角（或夾角）的定義與求法：直線a,b是異面直線，經過空間一點0,分別引直線a'//

a,bz//b,相交直線a，，b'所成的銳角（直角）叫異面直線a,b所成的角62」，求異面直線的夾

角常用平移法和向量法。

6、異面直線的距離：（1）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線

的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無數條。（2）求異面直線的距離的常用方法有:

1）直接找公垂線段而求之。2）轉化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和平行另一條直線。

3）利用向量法：常利用端點在兩條異面直線上的有向線段在公垂線的方向向量上的投影。如圖：

異面直線上兩點的距離公式：已知兩條異面直線a,b所成的角為6,在a,b上分別取點E,F,已知AB為

…Jd2+m2+n2+2mnCos6

公垂線段，長度為d,BE=m,AF=n,EF=l貝I」1=、（同側為減，異側為加）

7、（1）直線與平面的位置關系：1）直線在平面內，2）直線與平面相交，3）直線與平面平行，其中直

線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。

（2）直線與平面平行的判定：如果平面內一條直線和這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行。簡

稱為“線線平行，則線面平行

判定直線與平面平行的方法還有：］）面〃/面由ajana//B，2）bA.a,aLb,a（ta=>a//a

直線與平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，那么經過這條直線的平面和這個平面相交，

交線和這條直線平行，簡稱為“線面平行，則線線平行”。

（3）直線與平面垂直的概念：如果一條直線和平平面內任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂

直。公理：過一點有且只有一條直線和已知平面垂直。

直線和平面垂直的判定：1）一個平面內兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。2）兩條平

行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。

直線和平面垂直的性質定理：（1）如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內所有直線都

垂直。（2）如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。

8、（1）平面與平面的位置關系：1）平行—沒有公共點，2）相交—有且只有一條公共直線。兩個平面

的公共點都在同一條直線上。

（2）兩個平面平行的判定：1）一個如果平面內有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡稱

為“線面平行，則面面平行"，2）推論：如果平面內一個有兩條相交直線和另一個平面內兩條相交直線平行,

那么這兩個平面平行。3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

兩個平面平行的性質定理：1）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

2）兩個平行平面之間的距離處處相等，夾在兩個平行平面之間的平行線段也相等。

3）如果兩個平面平行，那么一個平面內的所有直線都平行于另?個平面。

（3）兩個平面垂直的判定：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

兩個平面垂直的性質定理：1）如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個

平面。2）如果兩個平面垂直，那么從一個平面內一點作另一個平面的垂線必在第一個平面內。

9、三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線

垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這

條斜線在平面內的射影垂直。

10、直線和平面所成的角：平面的?條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成

的角。特別當一條直線和平面垂直時，就說直線與平面所成的角是直角，當一條直線在平面內或和這個平

面平行時，我們規定直線和平面所成的角為0°,所以直線和平面所成的角的范圍是L2」

利用法向量可處理線面角問題

設6為直線”與平面a所成的角，夕為直線”的方向向量y與平面a的法向量〃之間的夾角，則有

(p=-----0(p=—I-U

2(圖1)或2(圖2)

a內的射影。,為AB和m所成的角，目為AB和射影所成的角，％射影AB'和m所成的角，則

Q6.仇

COSu=COS1COS2

7T

重要應用：空間兩條異面直線L1與L2所成的角為ar2,過空間一定點［7第L與LI,L2所成的角

///

都是這樣的直線L可作多少條？

分析：(1)若(0,1/2),則這樣的直線L有。條

(2)若°=5則這樣的直線有1條

K-a

(3)若力G(a/2,2),則這樣的直線L有2條

7i-a

⑷若°=2，則這樣的直線L有3條

n-a7t

(5)若夕G(2,2),則這樣的直線L有4條

7C

(6)若A=',則這樣的直線L有1條

12、二面角：平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，

從?條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱，

每個半平面叫做二面角的面，棱為I，兩個面分別為a,〃的二面角記為

一個平面垂直于二面角a一1一￡的棱，且與兩個半平面的交線分別是射線OA,0B,0為垂足，則NAOB

叫做二面角的平面角。

一個二面角的大小可用它的平面角的大小來衡量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。

二面角大小的取值范圍是[0,180°[

計算二面角的方法：（1）定義法（常根據三垂線定理先作平面角即自二面角的一個面上一點向另一個面引垂

線，再由垂足向棱作垂線，，再解直角三角形）。（2）射影面積法，（3）有平面角向量法（常用基向量法），（4）

法向量法（常用坐標法）：a或萬一a

利用法向量可處理二面角問題

設〃尸〃2分別為平面如’的法向量，二面角a-'―/7的大小為°,向量

的夾角為8,則有夕+8="（圖3）或9=甲（圖4）

圖3X/圖4\^I7n

第九講直線與方程

1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線1,如果把x軸繞著交點

按逆時針方向轉到和直線1重合時所轉的最小正角記為a,那么a就叫做直線的傾斜角。當直線1與X軸

重合或平行時，規定傾斜角為0。（2）直線的傾斜角的范圍[°，"）。（3）在直線的傾斜角的定義中抓住三個

重要條件：“逆時針旋轉、與直線1重合、最小正角

2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率。直線的斜率

常用k表示,即k=tan示。片90。）.（2）傾斜角為90。的直線沒有斜率。（3）經過兩點Pi（xi,x2）,P2（yi,y2）

k=————（X]x2）

的直線的斜率公式為七一“2

3、直線方程的五種形式:（1）點斜式:已知直線過點（X。,。）斜率為k,則直線方程為：y-y"=k（x-x。），

它不包括垂直于x軸的直線。（2）斜截式：已知直線在y軸上的截距為b和斜率k,則直線方程為：y=kx+b,

它不包括垂直于x軸的直線。（3）兩點式：已知直線經過（xi,yi）,（x2,y2）兩點，則直線方程為：

y一月_Xi

乃-必々一再，它不包括垂直于坐標軸（包括x,y軸|）的直線。（4）截距式：已知直線在X軸和y

"=1

軸上的截距為a,b,則直線方程為：?b,它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。

（5）一般式：任何直線均可寫成：Ax+By+C=O（A,B不同時為0）的形式。

在求直線方程時，要注意斜率是否存在，利用截距式時，不能忽視截距為0的情形，同時要區分“截距”

和''距離"。“截距”不是距離，可正可負可為0。

4、點與直線的位置關系：（1）若點P（X。,。）在直線上，則Axo+Byo+C=0.（2）若點P（x。,。）不在直

版0+為0+C|

線上，則Axo+Byo+CWO,此時點P（x。,。）直線的距離d=+B',

|G-

（3）由此可得，兩平行線”:Aix+Biy+Ci=0,12：A2x+B2y+C2=0,間的距離為d="丁記

5、直線與直線的位置關系：（1）斜率存在的兩直線：”:y=k1x+b1,12：y=k2x+b2,有若U〃12<=>k1—

k2,且blWb2,若||JJ2,=k'k2=-l,若11與12相交=k】Wk2,若「與12重合0H=k2,

b=b2。（2）一般的兩直線：「:Aix+Biy+Ci=0,12：A2x+B2y+C2=0,有若「〃12OA'B2-A2B'

=0,BK2-B2OWO,（或A】C2-A2ONO）,若H_L12,OA'2+B'B2=0,若U與12相交0

A'B2-A2Bi#0,若li與12重合=AiB2-A2B>=0,且B（2-B20=0,且A^C2—A2C'

=0

6、到角和夾角公式：（i）11到12：指直線ii繞著交點按逆時針方向轉到和直線12重合所轉的角e,ee（0,萬）

k,—3（jr~\h_k[

■-2-10,00,-21

且taneJ+匕七（kik2W-l）.⑵I與12的夾角I2」且fan%|1+桃2|（qk2￥-1）。

7、直線方程的參數形式：

過點P（x。,%）且傾斜角為a的直線的參數方程是「=x°+'8sa

[y=yo+fsma

卜|表示點Q（x,y）與點P（%,%）間的距離,即M=|PQ|。

過點P（x0,y。）的直線的參數方程是力為常數，f為參數），

卜|表示點Q（x,y）與點P（x。,光）間的距離的必萬倍，即卜|=Ja2+/|pQ卜

直線的參數方程常用來解決過定點的直線與圓錐曲線相交的問題。

8、直線的極坐標方程。

⑴過極點且傾斜角為4的直線方程：0=00,

(2)過點(a,0)且垂直于極軸的直線方程：2cos6=a,

(3)過點，,且平行于極軸的直線方程：psin"b,

(4)過點3,〃)且與極軸成a角的直線方程：x?sin(a-6>)=posin(a-65)}

9、直線的方向向量：

⑴直線Ax+By+C=0的一個方向向量為Z=(-5,A),

(2)直線丫=1?+13的一個方向向量為￡=(1,4)，

過A點且以3為方向向量的直線L為麗=況+式(向量式)P為直線L上任意一點。

第十講圓與方程

1、圓的方程的四種形式：⑴圓的標準方程：(a")+(>叫=匕圓心是("⑼泮徑是"特別當

圓心是(0,0),半徑為r時，X+)'=',(2)圓的一般方程：

x2+y2+Dv+Ey+1F=o,⑴當D2+E2—4F>O時，表示圓心在［一告，一日)

半徑為gJ。?+力一4尸的圓。(2)當。2+干一4尸=0時,表示點(一修，一向］

(3)當。2+七2-4尸<0時,不表示任何圖形。

-.(。為參數)

(3)圓的參數方程：圓心在(a,b),半徑為r的圓的參數方程是="+

為參數，，為半徑)

特別當圓心是原點時，〔》=〃sin,

(4)

以A(x”x),8(X2，y2)為直徑端點的圓的方程是：(x-%)(x-X2)+(y-必)(>-%)=0

2、

圓的切線方程：過圓/+>2=/上一點M(X0,%)的切線方程是XoX+yoy=r2,

過圓(x-a)’+(廠13丫=/上一點Mg,%)的切線方程是-a)(x—a)+(y()-b)(y-/?)=r2,

從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程，再根據相切的條件來求。過兩切點的直線方程的求

法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程。

3、

圓的弦長問題常用弦心距d,弦長的一半會及圓的半徑r所構成的直角三角形來解:

4、

圓與圓的位置關系：已知兩圓的圓心分別為0〃02,半徑分別為不6

（1）當0］。2＞八+2時，兩圓外離,（2）當0］。2=6+&時，兩圓外切，

（3）當斗一弓（OR＜6+弓時，兩圓相交,（4）當0Q2=｛一為時，兩圓內切

（5）當04002＜八一6時，兩圓內含。

公切線的條數分別為4,3,2,1。

5、

圓的公切線方程與公共弦所在的直線方程：

22

圓C［：x'+V+OiX+Eiy+F］=0,圓C2：x+y+D2x+E2y+F2-0

它們的內公切線方程或公共弦所在的直線方程為：

（D-D2）%+（￡,-E2）y+F1-F2=0

第十一講算法初步

算法的概念：在數學中，算法通常是指按照一定規則解決“某一類”問題的“明確”和“有限”的步驟。

它有下面的特點：通用性（適用于某一類問題的所有個體，而不是只用來解決一個具體問題），可行性（算法

應有明確的步驟一步一步地引導計算機進行并且能夠得到最終結果），明確性（算法的每一個步驟必須明確

—或者由規則直接確定，或者由上一步的結果確定），有限性（算法應由有限步組成）。

程序框圖又稱“流程圖”，是一種用程序框、流程線、及文字說明來表示算法的圖形。基本的程序框有：

終端框（起止框），輸入、輸出框，處理框（執行框），判斷框，其中起止框是任何程序框圖中不可缺少的。

算法的三種基本的邏輯結構。任何算法都是由順序結構、條件結構、循環結構三種基本的邏輯結構組成。

順序結構是由若干個依次執行的步驟所組成，是任何一個算法都離不開的基本結構。一個算法中，算法的

流程根據條件是否成立有不同的流向，條件結構就是處理這各過程的結構。一些算法中經常會出現從某處

開始，按照一定的條件反復執行某些步驟的情形，這就是循環結構，反復執行的步驟稱為循環體。循環結

構分為當型循環結構（滿足條件循環）和直到型循環結構（不滿足條件循環）。循環結構中一定包含條件結構。

任何一種程序都包含五種基本的算法語句，它們是輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句。

輸入語句的一般格式是INPUT"提示內容”，變量。其作用是實現算法的輸入信息功能，輸出語句的一般

格式是：PRINT"提示內容”，表達式。其作用是實現算法的輸出結果功能。賦值語句的一般格式是：變量

=表達式，其作用是將表達式所代表的值賦給變量。