2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-11.2-二項(xiàng)式定理-專項(xiàng)訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單項(xiàng)選擇題1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開式中x的系數(shù)為()A．－80 B．－40C．40 D．802．若(1＋2x)3(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則a0＋a2＋a4＋a6＝()A．27 B．－27C．54 D．－543．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展開式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是()A．eq\f(55,2) B．－eq\f(55,2)C．－28 D．284.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－x))eq\s\up12(5)的展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為()A．5 B．－5C．15 D．－155．5050＋9被7除的余數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．36．利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是()A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.347．設(shè)復(fù)數(shù)x＝eq\f(2i,1－i)(i是虛數(shù)單位)，則Ceq\o\al(1,2024)x＋Ceq\o\al(2,2024)x2＋Ceq\o\al(3,2024)x3＋…＋Ceq\o\al(2024,2024)x2024＝()A．0 B．－2C．－1＋i D．－1－i8．已知在(2x－1)n的二項(xiàng)展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)的值為()A．28 B．28－1C．27 D．27－1二、多項(xiàng)選擇題9．在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))eq\s\up12(5)的展開式中，有()A．含x的項(xiàng) B．含eq\f(1,x2)的項(xiàng)C．含x4的項(xiàng) D．含eq\f(1,x4)的項(xiàng)10．已知二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式中共有8項(xiàng)，則下列說法正確的是()A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C．第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．有理項(xiàng)共3項(xiàng)11．若(1－2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)0＋a1＋a2＋…＋a2024＝1B．a(chǎn)0＋a2＋a4＋…＋a2024＝eq\f(1＋32024,2)C．eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2024,22024)＝0D．a(chǎn)1＋2a2＋3a3＋…＋2024a2024＝4048三、填空題12．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x2)))eq\s\up12(5)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．13．(1＋2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為________；系數(shù)最大的項(xiàng)為________．14．已知多項(xiàng)式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】15．(多選)為引導(dǎo)游客領(lǐng)略傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究的精彩并傳播中國傳統(tǒng)文化，某景點(diǎn)推出了“解數(shù)學(xué)題獲取名勝古跡入場碼”的活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：如圖所示，將楊輝三角第p行第q個(gè)數(shù)記為ap，q(p，q∈N*)，并從左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行的斜線，記第n條斜線上所有數(shù)字之和為Sn(S1＝S2＝1，S3＝2)，入場碼由兩段數(shù)字組成，前段的數(shù)字是eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do8(i＝1))a4，i104－i的值，后段的數(shù)字是S2023－eq\o(∑,\s\up8(2021),\s\do8(i＝1))Si的值，則()A．a(chǎn)2023，2＝2023B．eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do8(i＝1))a4，i104－i＝1331C．S9＝34D．該景點(diǎn)的入場碼為1331116．(多選)下列關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的等式或說法正確的是()A．Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝330B．已知n>m，則等式eq\f(Ceq\o\al(m,n),m＋1)＝eq\f(Ceq\o\al(m＋1,n＋1),n＋1)對任意正整數(shù)n，m都成立C．設(shè)x＝Aeq\o\al(90,90)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,Aeq\o\al(3,3))＋\f(3,Aeq\o\al(4,4))＋\f(4,Aeq\o\al(5,5))＋…＋\f(89,Aeq\o\al(90,90))))，則x的個(gè)位數(shù)字是6D．等式(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2＝Ceq\o\al(n,2n)對任意正整數(shù)n都成立17．若(x2－x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．18．楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載，它的開頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開始的每一個(gè)數(shù)Ceq\o\al(r,n)都換成分?jǐn)?shù)eq\f(1,（n＋1）Ceq\o\al(r,n))，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，則“萊布尼茨三角形”第8行第5個(gè)數(shù)是________；若Sn＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,20)＋eq\f(1,60)＋eq\f(1,140)＋…＋eq\f(1,nCeq\o\al(n－4,n－1))＋eq\f(1,（n＋1）Ceq\o\al(n－3,n))(n≥3)，則Sn＝________(用含n的代數(shù)式作答)．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單項(xiàng)選擇題1．答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝(－1)r25－rCeq\o\al(r,5)x5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開式中x的系數(shù)為(－1)2×25－2×Ceq\o\al(2,5)＝80.故選D.2．答案B解析(1＋2x)3(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1＋2)3(1－2)4＝27，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a7＝(1－2)3(－1－2)4＝－81，兩式相加，可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－54，所以a0＋a2＋a4＋a6＝－27.故選B.3．答案B解析展開式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得展開式有13項(xiàng)，所以n＝12，展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(12－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,12)(－1)k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(12－k)xeq\s\up7(12-\f(3,4)k)12－eq\f(4,3)k，若為常數(shù)項(xiàng)，則12－eq\f(4,3)k＝0，所以k＝9，得常數(shù)項(xiàng)為T10＝Ceq\o\al(9,12)(－1)9·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(12－9)＝－eq\f(220,8)＝－eq\f(55,2).4.答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－x))eq\s\up12(5)＝(1＋x－1－x)5，(1＋x－1－x)5表示5個(gè)(1＋x－1－x)相乘，展開式中出現(xiàn)x3有兩種情況，第一種是(1＋x－1－x)5中選出3個(gè)－x和2個(gè)1，第二種是(1＋x－1－x)5中選出4個(gè)－x和1個(gè)x－1，所以展開式中含有x3的項(xiàng)為Ceq\o\al(3,5)(－x)3×12＋Ceq\o\al(4,5)(－x)4·(x－1)1＝－10x3＋5x3＝－5x3，所以x3項(xiàng)的系數(shù)為－5.5．答案D解析5050＝(49＋1)50＝4950＋Ceq\o\al(1,50)·4949＋Ceq\o\al(2,50)·4948＋…＋Ceq\o\al(49,50)·49＋1，展開式中除最后一項(xiàng)外，其他各項(xiàng)都是7的整數(shù)倍，所以5050＋9被7除的余數(shù)等于1＋9＝10被7除的余數(shù)，結(jié)果為3.故選D.6．答案D解析1.056＝(1＋0.05)6＝Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)×0.05＋Ceq\o\al(2,6)×0.052＋Ceq\o\al(3,6)×0.053＋…＋Ceq\o\al(6,6)×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.7．答案A解析因?yàn)閤＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1＋i，所以Ceq\o\al(1,2024)x＋Ceq\o\al(2,2024)x2＋Ceq\o\al(3,2024)x3＋…＋Ceq\o\al(2024,2024)·x2024＝(1＋x)2024－1＝i2024－1＝1－1＝0.8．答案B解析設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)系數(shù)的和為A，偶次項(xiàng)系數(shù)的和為B，則A＝a1＋a3＋a5＋a7＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知得，B－A＝38，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝(－3)8，∴n＝8，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－Ceq\o\al(0,n)＝28－1.故選B.二、多項(xiàng)選擇題9．答案ABC解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))eq\s\up12(5)的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，結(jié)合所給的選項(xiàng)，知A，B，C的項(xiàng)都含有．10．答案ABC解析由題知n＝7，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)(2x)7－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)k27－kCeq\o\al(k,7)xeq\s\up7(7-\f(3k,2))，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為27＝128，A正確；令x＝1，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為(2－1)7＝1，B正確；對于二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,7)，顯然第4，5項(xiàng)對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(3,7)＝Ceq\o\al(4,7)最大，C正確；有理項(xiàng)為7－eq\f(3k,2)∈Z時(shí)，即k＝0，2，4，6，共4項(xiàng)，D錯(cuò)誤．11．答案ABD解析令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝(－1)2024＝1①，故A正確；令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2024＝32024②，①＋②可得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2024)＝1＋32024，故a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝eq\f(1＋32024,2)，故B正確；令x＝0可得a0＝12024＝1③，令x＝eq\f(1,2)可得a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2024,22024)＝0④，把③代入④，可得eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2024,22024)＝－1，故C錯(cuò)誤；兩邊對x求導(dǎo)得－4048(1－2x)2023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2024a2024x2023.令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2024a2024＝4048，故D正確．三、填空題12．答案15解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x2)))eq\s\up12(5)的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(eq\r(x))5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x2)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,5)·3k·xeq\f(5－5k,2)，令eq\f(5－5k,2)＝0，得k＝1，則Ceq\o\al(k,5)·3k＝Ceq\o\al(1,5)·3＝15，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x2)))eq\s\up12(5)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15.13．答案1120x41792x5和1792x6解析T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依題意有Ceq\o\al(5,n)·25＝Ceq\o\al(6,n)·26，得n＝8，∴在(1＋2x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5＝Ceq\o\al(4,8)·(2x)4＝1120x4，設(shè)第k＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,8)·2k≥Ceq\o\al(k－1,8)·2k－1，,Ceq\o\al(k,8)·2k≥Ceq\o\al(k＋1,8)·2k＋1，))解得5≤k≤6.又k∈N*，∴k＝5或k＝6，又Ceq\o\al(0,8)20<1792，Ceq\o\al(8,8)28<1792，∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6＝1792x5，T7＝1792x6.14．答案8－2解析含x2的項(xiàng)為x·Ceq\o\al(3,4)x(－1)3＋2·Ceq\o\al(2,4)x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8.令x＝0，即2＝a0，令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】15．答案BCD解析由題意得ap，q＝Ceq\o\al(q－1,p－1)，對于A，a2023，2即為第2023行第2個(gè)數(shù)，則a2023，2＝Ceq\o\al(1,2022)＝2022，故A錯(cuò)誤；對于B，(10＋x)3展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,3)103－kxk(k＝0，1，2，3)，其中Ceq\o\al(0,3)＝a4，1，Ceq\o\al(1,3)＝a4，2，Ceq\o\al(2,3)＝a4，3，Ceq\o\al(3,3)＝a4，4，所以eq\o(∑,\s\up8(4),\s\do8(i＝1))a4，i104－i＝Ceq\o\al(0,3)·103＋Ceq\o\al(1,3)·102＋Ceq\o\al(2,3)·101＋Ceq\o\al(3,3)·100＝(10＋1)3＝1331，故B正確；對于C，S1＝S2＝1，S3＝2，S4＝3，S5＝5，…，歸納可得Sn＋2－Sn＋1＝Sn，即Sn＋2＝Sn＋1＋Sn，所以S6＝S5＋S4＝5＋3＝8，S7＝S6＋S5＝8＋5＝13，S8＝S7＋S6＝13＋8＝21，S9＝S8＋S7＝21＋13＝34，故C正確；對于D，eq\o(∑,\s\up8(2021),\s\do8(i＝1))Si＝S3－S2＋S4－S3＋S5－S4＋…＋S2023－S2022＝S2023－S2，故S2023－eq\o(∑,\s\up8(2021),\s\do8(i＝1))Si＝1，該景點(diǎn)的入場碼為13311，故D正確．故選BCD.16．答案ABD解析對于A，由Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)可知，Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝…＝Ceq\o\al(4,11)＝330，A正確；對于B，若n>m，則eq\f(Ceq\o\al(m,n),m＋1)＝eq\f(n！,（m＋1）×m！（n－m）！)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1）×（m＋1）！[（n＋1）－（m＋1）]！)＝eq\f(Ceq\o\al(m＋1,n＋1),n＋1)，B正確；對于C，∵eq\f(n－1,Aeq\o\al(n,n))＝eq\f(n－1,n！)＝eq\f(1,（n－1）！)－eq\f(1,n！)＝eq\f(1,Aeq\o\al(n－1,n－1))－eq\f(1,Aeq\o\al(n,n))，n≥3，n∈N*，則eq\f(2,Aeq\o\al(3,3))＋eq\f(3,Aeq\o\al(4,4))＋eq\f(4,Aeq\o\al(5,5))＋…＋eq\f(89,Aeq\o\al(90,90))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,Aeq\o\al(2,2))－\f(1,Aeq\o\al(3,3))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,Aeq\o\al(3,3))－\f(1,Aeq\o\al(4,4))))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,Aeq\o\al(89,89))－\f(1,Aeq\o\al(90,90))))＝eq\f(1,Aeq\o\al(2,2))－eq\f(1,Aeq\o\al(90,90))，故x＝Aeq\o\al(90,90)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,Aeq\o\al(3,3))＋\f(3,Aeq\o\al(4,4))＋\f(4,Aeq\o\al(5,5))＋…＋\f(89,Aeq\o\al(90,90))))＝Aeq\o\al(90,90)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,Aeq\o\al(2,2))－\f(1,Aeq\o\al(90,90))))＝eq\f(Aeq\o\al(90,90),2)－1，∵eq\f(Aeq\o\al(90,90),2)＝eq\f(90！,2)＝45×89！，其個(gè)位數(shù)字是0，故x＝eq\f(Aeq\o\al(90,90),2)－1的個(gè)位數(shù)字是9，C錯(cuò)誤；對于D，∵(1＋x)n展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)·1n－k·xk＝Ceq\o\al(k,n)·xk，k＝0，1，2，…，n，∴(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn，故(x＋1)n·(x＋1)n展開式的xn的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(n－1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)Ceq\o\al(0,n)，又Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，則Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(n－1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)Ceq\o\al(0,n)＝(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2，同理可得(1＋x)2n展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2n)·12n－r·xr＝Ceq\o\al(r,2n)·xr，r＝0，1，2，…，2n，即展開式的xn的系數(shù)為Ceq\o\al(n,2n)，由于(x＋1)n(x＋1)n＝(1＋x)2n，故(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2＝Ceq\o\al(n,2n)，D正確．故選ABD.17．答案－46解析由題意，(x2－x－3)5中含x的項(xiàng)為Ceq\o\al(1,5)(－x)1(－3)4＝－405x；含x2的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,5)(－x)2(－3)3＋Ceq\o\al(1,5)(x2)1(－3)4＝135x2；含x3的項(xiàng)為Ceq\o\al(1,5)(x2)1Ceq\o\al(1,4)(－x)1(－3)3＋Ceq\o\al(3,5)(