二次函數的圖象和性質

一、選擇題

A組

1、(中江縣2011年初中畢業生診斷考試)小李從如圖所示的二次函數+/ZK+C?的圖

象中，觀察得出了下面四條信息：(1)b-4ac>0；(2)C>1；(3)ab>0；(4)a—b+cV

0.你認為其中塔送的有()

A.2個B.3個C.4個D.1個

答案：A

2、(2011年江陰市周莊中學九年級期末考)在平面直角坐標系中，如果拋物線y=2f不動,

而把x軸I、y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標系下拋物線的解析式是

)

A.y=2(x+2尸一2B.尸25—2y+2

C.尸2(才一2)2—2D.y=2{x+2y+2

答案：A

3、(2011淮北市第二次月考五校聯考)下列函數中，不是二次函數的是()

A、y=1—\!2x2B、y=2(xl)2+4

C、y=-(x-l)(x+4)D、y=(x2)2x2

2

答案D

4、(2011淮北市第二次月考五校聯考)根據下列表格的對應值，判斷方程ax，bx+c=0(aX

0)一個解x的取值范圍1)

X

y=ax2+bx+c

A、3<x<3.23B、3.23<x<3.24<x<3.25

答案c

5、（2011淮北市第二次月考五校聯考）把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向

下平移2個單位，所得函數的解析式是y=x23x+5,

則有（）

A、b=3,c=7B、b=—9,c=—15

C、b=3,c=3D、b=—9,c=21

答案A

6、（2011淮北市第二次月考五校聯考）生產季

節性產品的企業，當它的產品無利潤時，就會停

產，現有一生產季節性產品的企業，其中一年中

獲得的利潤y與月份n之間的函數關系式為y=-

n2+14n24,則該企業一年中停產的月份是（）

A、1月，2月，3月

B、2月，3月，4月

C、1月，2月，12月

D、1月，11月，12月

答案C

7、（2011淮北市第二次月考五校聯考）函數圖象y=ax2+（a-3）x+1與x軸只有一個交點則

a的值為（）

A、0,1B、0,9C、1,9D、0,1,9

答案I）

8.（2011年浙江省杭州市高橋初中中考數學模擬試卷）對于每個非零自然數拋物線

了=丁-衛士'工+—!—與彳軸交于4、氏兩點，以4,紇表示這兩點間的距離,

?!（,??+1）

則Ag+A?約H-----F&oi?4（）］］的值是（）

20112010°20122011

D.-------C.-------Dr.-------

2010201120112012

答案：D

9.（2011年上海市盧灣區初中畢業數學模擬試題）拋物線），=d-2x+l的頂點坐標是

()

A.(1,0)；B.(-1,0)；C.(-2,1)；D.(2,-1).

答案：A

10.（2010—2011學年度河北省三河市九年級數學第一次教學質量檢測試題）如圖，點4

〃的坐標分別為（1,4）和（4,4），拋物線），=a（x-〃?）2+〃的頂點在線段上運動,

與x軸交于C、〃兩點：C在〃的左側），點C的橫坐標最小值為一3,則點〃的橫坐標最

大值為（）

A.13B.1

C.5D.8

答案：D

11、（2011山西陽泉盂縣月考）二次函數尸ax2+bx+c（aW0）的圖像經過點（一1,2）,且與x

軸的交點的橫坐標分別為X1，X2,其中一2<^<—1,0<乂2<：1有下列結論：①abc>0,②4a

-2b+c<0,③2a—bV0,@b2+8a>4ac其中正確的結論有（）

13、（2011年北京四中中考模擬20）把拋物線y=x?向右平移2個單位得到的拋物線是

（）

A^y=x2+2B、y=x2-2C、y=（x+2）2D、y=（x-2）2

答案D

14、（北京四中模擬）已知拋物線y=-gf+4x+3,則該拋物線的頂點坐標為（）

A、（1,1）B、（4,11）C、（4,-5）D、（一4,11）

答案：B

15、（北京四中模擬）二次函數）'二欠?+2ca一（3一幻的圖象如圖所示,

則()

A、〃<°B、

C、a>0D、0<?<3

答案：A

16、(2011杭州模擬)已知二次函數y=ax2+bx+c(a>0)經過點M(1,2)和點N(L2),

交x軸于A,B兩點，交y軸于C則……(▲)

@Z?=-2；

②該一次函數圖像與y軸交與負半軸

③存在這樣一個a,使得M、A、C三點在同一條直線上

④若。=1,則3?。6=寵2

以上說法正確的有：

A.?@??B.②③④C.①②④D.?@?

答案：C

17(2011杭州模擬26)己知二次函數y=y=adc的圖像如圖所示，令M=|4&2b+c

I+Ia+b+c||2a+b|+|2ab|,則以下結論正確的是..........()

A.M<0B.il>0C

(第10題)

答案：A

18.(2011年北京四中中考全真模擬15)二次函數y=2(xl)2+3的圖象如何移動就得到尸2-

的圖象（）

A.向左移動1個單位，向上移動3個單位。B.向右移動1個單位，向上移動3個單位。

C.向左移動1個單位，向下移動3個單位。D.向右移動1個單位，向下移動3個單位。

答案：C

19.（2011.河北廊坊安次區一模）拋物線），=Y+x+p（〃00）的圖象與*軸一個交點的

橫坐標是P,那么該拋物線的頂點坐標是

門9、（19}（19、

（24）I24）I24）

答案:D

20.（2011湖北省天門市一模）已知二次函數），=,戊2+a+。（。/0）的圖象如圖所示，有下

列結論：?Z?2-4ac>0；②Hc>0；③&z+c>0；④9々+勸+c<0.其中，正確結論的

個數是（)

A.1B.2

答案:D

21.（2011年浙江仙居）向空中發射一枚炮彈，經x秒后的高度為y米，且時間與高度的關

系為y=ax2+bx4-c（aWO）.若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列時間

中炮彈所在高度最高的是（）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

答案：B

22.（2011年江蘇鹽城）已知拋物線夕=/沈2+公+。的開口向下，頂點坐標為（3,-2）,那

么該拋物線有（）

A.最小值3B.最大值3C.最小值一2D.最大值一2

答案D

23、（2011年浙江杭州五模）已知二次函數丫=B2IbxIc的圖像如圖，則下列5個代數

式：。。,4+〃+。,4。一2力+。,2。+0,2々一〃，其值大于0的個數為（）

A、3D、4

答案：B

24、（2011年浙江杭州六模）拋物線片一/子然一2經過平移得到y=一丸平移方法是（）

A.向右平移1個單位，再向下平移1個單位

B.向右平移1個單位，再向上平移1個單位

C.向左平移1個單位，再向下平移1個單位

D.向左平移1個單位，內向上平移1個單位

答案：D

25.（浙江省杭州市瓜瀝鎮初級中學2011年中考數學模擬試卷）

已知二次函數y=y=ad+"+c的圖像如圖所示，令M=

I4a2b+c|+|a+b+c|

I2a+b|+|2ab|,則以下結論正確的

是......................................()

A.M<0B.M>0C.M=0

答案：A

B組

\.（2011天一實驗學校二模）已知），關干x的函數圖象如圖所示，則當y<0時,自變量

x的取值范圍是()

A.x<0

B.一l<xvl或x>2

C.x>—1

（第I題圖）

D.xv-1或l〈x<2

答案：B

2.（2011年杭州三月月考）已知二次函數尸的圖

象如圖所示，給出以下結論：@abc<0②當x=l時，函數有

最大值。③當x=-l或r=3時，函數y的值都等于0.

④4a+?+cv0其中正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

3.（2011年三門峽實驗中學3月模擬）拋物線）'=改2+版+0圖像如圖所示，則一次函數

_a+b+c

y=-"X-4QC+〃與反比例函數,一X在同一坐標系內的圖像大致為

（）

答案：D

4.（2011杭州上城區一模）。下列函數的圖象，經過原點的是（）

2

A.y=5x2-3xB.y=x2-1C.y=—［）.y=-3x4-7

x

答案：A

5.（2011杭州市模擬）已知二次函數丁=。/+/?+。中，其函數y與自變量工之間的部

分對應值如下表所示：

工―0123…

y-5212…

點AC*,y\B（x2,y2）在函數的圖象上，則當0<%<1，2</<3時，）\與必

的大小關系正確的是（）

A.y2%B.%>必C.y,<y2D.耳W%

答案：B

6.（2011年杭州市西湖區模擬）二次函數），=ar+及+c的圖象如圖所示，則一次函數

），=法+從-4"與反比例函數）=勿吆2￡在同一坐標系內的圖象大致為（）

x

第6題

答案：D

7.（浙江杭州金山學校2011模擬）（引九年級模擬試題卷）函數），=必+b^y=cix2+bx+c

在同一直角坐標系內的圖象大致是（▲）

答案：0

8.（2011灌南縣新集中學一模）下列函數的圖象中，有最高點的函數是【】

1,。

A.y=3x+5B.y=-2x+3C.y=-x~D.y=-4x~

答案：D

9.（2011廣東南塘二模）.二次函數丫=南一1人心.+4*—5加的圖象的對稱軸方程是

A、x=lB、x=-1C、x=2D、x=—2

答案：A

10.（2011深圳巾中考模擬五）.已知如圖，拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于點A（—1,

0）和點B,化簡J（a+c）2+yl（c—b）2的結果為①c②b③b—a④a—b+

2c,其中正確的有（）

A.一個B.兩個C.三個D.四個

答案：C

11.（安徽蕪湖2011模擬）拋物線yuRZ+,.+c圖像向右平移2個單位再向下平移3個

單位，所得圖像的解析式為y=，_2x_3,貝I」b、C的值為（）

A.b=2,c=2B.b=2,c=0

C.b=2,c=lD.b=3,c=2

答案：B

12.（河南新鄉2011模擬）在同一直角坐標系中，二次函數），=1+2與一次函數）,=2工的

圖象大致是（）

13.（2011年黃岡市流水縣）如圖，二次函數），=QY+bx+c{a

W0）的圖象經過點（1,2）且與x軸交點的橫坐標分別為小，工2,

其中一IVxiVO,1<X2<2,下列結論：①4a+2Z?+c<0②

2〃+/?V。③〃+8。④。V1其中結論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個I).4個

答案：D

14.（江西省九校2010—2011第一次聯考）下列函數中，其圖象與x軸有兩個交點的是（）

A.y=8（x+2009）2+2010B.y=8（^-2009）>2010

C.y=-8（^-2009）-2010D.y=-8（^+2009）+2010

答案：D

15.（北京四中2011中考模擬14）二次函數y=ax?+bx+c的圖象如圖所示,則下列結論正確

的是（）|y

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<o

C.a<o,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>o

答案：D

16.（2011北京四中模擬）己知二次函數），=以2+法+且/;+c>0則一定

有（）.

A：Z?2-4ac>0B：b2-4ac=（）

C：b2-4ac<0D：b2-4ac?0

答案：A

17.（2011年北京四中34模）已知拋物線y=x2-2x+m,若點P（-2,5）與點Q關于

該拋物線的對稱軸對稱，則點Q的坐標是（）

A.（0,5）B.（2,5）C.（3,5）

答案：D

18.（2011年北京四中34模）已知二次函數

y=以2+/加+°（〃W0）的圖象如右圖所示，下列結論:

①

?b<a+c

@2a+b=0

④4+〃>m（。〃2+份（/"1的實數），其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：B

19.（2011年杭州市上城區一模）下列函數的圖象，經過原點的是（）

2

A.y=5x2-3xB.y=x2C.y=—D.y=-3x4-7

答案：A

20.（2011年杭州市模擬）二次函數），=a/+樂+c?的圖象如圖所示，則一次函數

）,二〃x+從-4ac與反比例函數>二"也在同一坐標系內的圖象大致為

第7題

答案：D

21.（2011年杭州市模擬）如圖，在直角梯形A5CD中,AD//BC,ZC=90,CD=6cm,

AD=2cm,動點P,Q同時從點3出發，點尸沿HA、AD.DC運

動到點。停止，點。沿6C運動到C點停止，兩點運動時的速度都

是lcm/s,而當點尸到達點A時，點。正好到達點C.設尸點運動

笫9題

的時間為Ks），△BPQ的面積為y（cm?）.則能正確表示整個運動

答案：B

22.（2011年海寧市鹽官片一模）已知二次函數），=3x'-12x+13,則函數值y的最小值

是（▲）

A.3B.2C.1D.-1

答案：D

23.（趙州二中九年七班模擬）點少為正方形力灰力的比、邊的中點，動點〃在對角線〃上運

動，連接BF、EF.設"三*,△必廠的周長為必那么能表示y與*的函數關系的圖象大致

答案：By

24.（趙州二中九年七班模擬）二次函數丁=。/+人式+。的圖像如圖所

示，則下列結論正確的是（）。

N.a>0,b<0,c>0B.a<0,Z?<0,c=0

C.a<0,b>0,c<01).a<0,b>0,c.>0

答案：I)

二填空題

A組

1、（2011重慶市纂江縣趕水鎮）在正方形的網格中，拋物線y產x?+bx+c與直線y2=kx+m的圖

象如圖所示，請你觀察圖象并回答：當一l<x<2時，y.—y2（填或“<”或“二”

號）.

答案：V

2、（重慶一中初2011級10-11學年度下期3月月考）小穎同學想用“描點法”畫二次函數

），=辦2+法+c（a=0）的圖象，取自變量x的5個值，分別計算出對應的y值，如下表：

x…-2-1012…

y…112-125…

由于粗心，小穎算錯了其中的一個y值，請你指出這個算錯的y值所對應的x=.

答案：2

3、（2011年北京四中四模）拋物線），=4/一3的頂點絲標是_____.

答案：（0,-3）

4、（2011年江陰市周莊中學九年級期末考）拋物線y=f-6x+3的頂點坐標是________.

答案：（3,-6）

5、（2011北京四中模擬6）把拋物線），=-，向上平移2個單位，那么所得拋物線與x軸

的兩個交點之間的距離是.

答案：4

6、（2011淮北市第二次月考五校聯考）拋物線y=ax2+bx+c（aWO）上兩點，當x取1與3

時，y值相同，拋物線的對稱軸是__________.

答案X=1

7.（淮安市啟明外國語學校2010—2011學年度第二學期初三數學期中試卷）如圖，菱形ABCD

的三個頂點在二次函數片&/一2&境（a<0）的圖象上，點A、B分別是該拋物線的頂

點和拋物線與y軸的交點，則點D的坐標為.

答案：（2,匚）

8、（2011年北京四中模擬28）拋物線y=2f—i的頂點坐標是.

答案：（0,1）

9、（2011浙江杭州模擬M）老師給出一個y關于x的函數，甲、乙、丙、丁四位同學各指出

這個函數的一個性質：甲：函數圖象不經過第三象限；乙：函數圖象經過第一象限；區：當

x<2時，y隨x的增大而減小；丁：當x<2時y>0.已知這四位同學敘述都正確。請寫出滿足

上述所有性質的一個函數.

答案：答案不唯一.例如：y=*-2）2+1

10、（2011浙江杭州模擬15）甲、乙兩位同學對問題“求函數），=爐+'-的最小值”提出

x2

各H的想法c甲說：“可以用配方法,把它配成y=（K+L）2-2.所以函數的最小值為-2L

X

乙說：“我也用配方法，但我配成），=（工一工）2+2,最小值為2"。你認為__________（填

X

寫“甲對”、“乙對”、“甲、乙都對”或“甲乙都不對"）的。你還可以用________法等方

法來解決.

答案：乙圖象（答案不唯一）

11、（2011年黃岡中考調研六）拋物線尸7/+28X+30的頂點坐標為

答案(—2,2)

12^已知關于x的函數y=（m—1）x^+Zx+m圖像與坐標軸有且只有2個交點，則m=

1±A/5

1或。或

答案:

13.（河北省中考模擬試卷）拋物線y=（x+i）?2的頂點坐標是

答案：（1,2）

B組

1.（2011年三門峽實驗中學3月模擬）拋物線y=向上平移2個單位，再向右平移1

個單位后，得到的拋物線的解析式為一

I13

答案：一一（工一1）2+2或一一x2+x+-

222

2.（2011年三門峽實驗中學3月模擬）如圖，已知。〃的半徑為2,圓

心〃在拋物線上運動，當。夕與x軸相切時，圓心戶的坐標

為?

答案：（6,2）或（―幾⑵

3.（2011年杭州三月月考）將二次函數y=/的圖象向右平移1個單位，再向上平移2

個單位后，所得圖象的函數表達式是^o

答案：y=（x-l）2+2

4.（2011天一實驗學校二模）.如圖，在第一象限內作射

線式;與x軸的夾角為30；在射線弦上取一點力,過點A作

月憶才軸于點〃在拋物線片V（?o）上取點只在y軸上取

A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，點D的坐標為（0,3）AB為半圓直徑，半圓

圓心M（1,0）,半徑為2,則“蛋圓”的拋物線部分的解析式為o經過

點C的“蛋圓”的切線的解析式為0（08年益陽第20題）

答案：y=x'2x3,y=2x3

6.（2011年浙江杭州27模）我們知道，根據二次函數的平移規律，可以由簡單的函數通過

平移后得到較復雜的函數，事實上，對于其他函數也是如此。如一次函數，反比例函數等。

3?21

請問y=-―-可以由y=—通過__________________________平移得到。

X-1X

答案：向右平移1個單位，再向上平移3個單位

7.（2011年浙江省杭州市模2）如圖，在第一象限內作

射線OC,與x軸的夾角為30°,在射線OC上取一點

A,過點A作AH_Lx軸于點H.在拋物線y=x?（x>0）

上取點P,在y軸上取點Q,使得以P,0,Q為頂點的

三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標

是.

答案：（^^,-）（丁,一）（3,V3）（2>/3?2）

3333y

8.（安徽蕪湖2011模擬）如圖，是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一

部分,其對稱軸為直線x=L若其與x軸一交點為A（3,0）,

則由圖象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集

是.

答案：x<l或x〉3

9.（河南新鄉2011模擬）已知拋物線y=與3軸的一個交點為（〃2,0）,則代數

式加2一帆+2008的值為.

答案：2009

10.（浙江杭州進化2011一模）老師給出一個y關于x的函數，甲、乙、丙、丁四位同學各

指出這個函數的一個性質：甲：函數圖象不經過第三象限；乙：函數圖象經過第一象限：丙：

當x<2時。，y隨x的增大而減小；丁：當x<2時y>0.已知這四位同學敘述都正確。請寫出滿

足上述所有性質的一個函數.

答案：答案不唯一.例如：），=（戈-2）2+1

G

11.（2011北京四中模擬）如圖示：己知拋物線C1,C2

關于x軸對稱，拋物線C：,G關于y軸對稱。如果拋

物線C?的解析式是y=-O2）2+1,那么拋物線C3

的解析式是___________________

第II題圖

12.（江西省九校2010-2011第一次聯考）將拋物線），=2/向下平移1個單位，得到的拋

物線是.

答案：y=2/l

13.（北京四中2011中考模擬12）一個函數具有下列性質：①它的圖象不經過第三象限；

②圖象經過點（一1,1）；③當X>-1時函數值），隨自變量x。

答案：）,=x+2（x，-2）,y=—,。<0）,），=*+2）2等（寫一個即可）

x

14.（北京四中2011中考模擬13）把拋物線），=--向上平移2個單位，那么所得拋物線與

x軸的兩個交點之間的距離是.

答案：2叵;

15.（北京四中2011中考模擬14）拋物線y=（k+l）x2+W9開口向下，且經過原點，則k=__,

答案：3;

三解答題

A組

1、（衢山初中2011年中考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,C的坐標分別

為（0,2）,（3,2）,（2,3）.

（1）請在圖中畫出△ABC向下平移3個單位的像△AQC；

（2）若一個二次函數的圖象經過（1）中△AB'C的三個頂點，

求此二次函數的關系式.

答案：20、(1)

(2)由題意得A,的坐標分別是(0,1),(3,1),(2,0)

設過點A,B；C’的二次函數的關系式為)，=af+bx+c，則有

9a+3〃+c=-l

4。+2b+c=0

解得tz=--,/?=—,c=-l

22

，二次函數的關系式為一產+步】

2、(中江縣20n年初中畢業生診斷考試)如圖，在平面直角坐標系中，開口向下的拋物線與

x軸交于A、B兩點，D是拋物線的頂點，0為坐標原點.A、B兩點的橫坐標分別是方程

(3)在(2)的條件下，在X軸上方的拋物線上是否存在一點P,使AAPC的面積最大？如

果存在，請求出點P的坐標和△APC的最大面積：如果不存在，請說明理由.

答案：(】()分)解：(1)解方程/一4犬—12=0得％=6,X2=-2.

AA(-2,0),B(6,0).

過D作DElx軸于E,VD是頂點，

???點E是AB的中點,.??E(2,0).

在RtZ\DAE中，???cosNDAB=交，/.ZDAE=45°,

2

???AE=DE=4,AD(2,4)

(由A、B、D三點坐標解出二次函數解析式，不論用頂點式、兩根式還是一般式均可)

???拋物線的解析式為》二一4*一2)2+4(或寫成y=一工f+x+3).

44

(2)VACXAD,由⑴ZDAE=450得：

ZBAC=45°,Z\ACG是等腰直角三角形.

工設C(a,b)(顯然a>0,b<0),

則6=一@一2,即C(a,-a-2)

???點C在拋物線上，???一a—2=-L(a-2)2+4

4

a-8a-20=0

解N得：ai=10,a2=-2(舍去)

AC(10,-12)

設直線AC的方程為>a+〃，代入A、C的坐標，得

0=-2m+/?,[tn=

解之得：\

-12=10/7/+n.[n=-2.

???直線AC的解析式為y=-x-2.

(3)存在點P(4,3),使SAAPC量大=54.

理由如下：

作CG_Lx軸于G,PF〃y軸交x軸于Q,交AC于F.設點P的橫坐標是h,

1)

則G(10,0),P(h,一一(〃一2廠+4),F(h,-h-2)

4

1,1,

???PF=——(〃-2f+4-(-〃-2)=——/?2+2/2+5

44

△PCF的高等于QG.

SAAPC=SA>WF+SAKF

=-PF-AQ+-PF?QG

22

=-PF(AQ+QG)=-PF-AG

22

=-(--/22+2/74-5)x12

3、

=-1(/Z-4)2+54

3、（2011年北京四中四模）已知二次函數的圖象經過點（-1,-5）,（0,-4）和（1,1）.

求這個二次函數的解析式.

答案：設所求函數的解析式為），=〃/+加+c,把（一1,-5）,（0,一4）,（1,1）分

別代入，得

-5=a-b+c,4=2,

解這個方程組，得卜二3,所求的函數的解析式為y=2/十3.1-4

，-4二c,

}=a+b+c.c=-4.

4、（2011北京四中模擬7）已知二次函數），=ad+法+。，其中。>0,h2-4a2c2=0,

它的圖象與x軸只有一個交點，交點為A,與y軸交于點B,且AB=2.

（1）求二次函數解析式；

（2）當b<0時，過A的直線y=x+m與二次函數的圖象交于點C,在線段BC上依次取【）、

E兩點，若DE?=BD?+EC?,試確定NDAE的度數，并簡述求解過程。

答案解法一：（1）???y=奴2+〃工+。的圖象與x軸只有一個交點

???一元二次方程ar?+瓜+c=0有兩個相等的實數根-4ac=()

又vZ?2-4a2c2=0「.4。2c2=4ac>0

由AB=2,得A與B不重合，又a>0/.c>0/.ac=l

???二次函數與x軸，y軸交點坐標為44，0),B(0,c)或4(—工，0),8(0,c)

aa

222

在RtAABO中，OA+OB=AB,OA=±—=-fOB=c,AB=2

aa

(—)2+c2=4,整理得l+a>2=4/(2)

a

把(1)代入(2),解得。二軍或。二一乎(舍)把。二￡代入(1)得c=V2

222

二次函數解析式為y=^x2+2x+五或)，=^x2-2X+41

(2)當b<0時，由二次函數的解析式

>■=—A2-2A+V2=—(A-V2)2,得4vL0),6(0,V2)

22

又;直線y=x+過點4后,0)

/.m=-V2

/.y=x-V2

V2,「

?y=—x—2x+V2.,

由f2解7得

y=X-42

直線與二次函數圖象交點C的坐標為(2JLy[2)

過C點作CF—X軸，垂足為F,可推得AB二AC,NBAO90。(如圖所示)

CE2+BD2=DE2

可證AABD絲AACM從而可證ADAEgAMAE

...EM=DE

.'.Z1=Z2,ZDAE=ZEAMAZDAM=ZBAC=90°AZDAE=45°

5、(2011北京四中模擬8)如圖，在直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm,點A、

C分別在x軸、y軸的正半軸上。拋物線y=+/以斗。經過點B、C。

(1)求拋物線的解析式;

(2)點D、E分別是AB、BC上的動點，且點D從點A

開始，以lcm/s的速度沿AB向點B移動，問時點E從

點B開始，以lcm/s的速度沿BC向點C移動。運動t

秒(tW2)后，能否在拋物線上找到一點P,使得四

邊形BEDP為平行四邊形。如果能，請求出t值和點P

的坐標；如果不能，請說明理由。

答案

2。-匕-3+VT7(V17+1&

)，=一廠+2x+2;能，1=---------,P--------,-------

2\22/

6、(2011淮北市第二次月考五校聯考)已知，二次函數y=x?+bx+c的圖象過點A(—1,0)

和點B(3,0)兩點，且與y軸交于點C,

(1)求拋物線的解析式；

(2)求aABC的面積。

答案解：(I)y=(x+l)(x3)=x22x3............2分

(2)AB=3(1)=4............4分

SAABC=-X4X3=6............8分

2

7、(2011淮北市第二次月考五校聯考)丁丁推鉛球的出手高度為，在如圖所示的直角坐標

系中，鉛球運動路線是拋物線y=-0.1(x-k)2+2.5,求鉛球的落點與丁丁的距離。

答案y=0.1x"+2.5............2分

2+2.5=1.6k=±3k=3............4分

2

0.1(x-3)+2.5=0x產一2(舍去)X2=8

所以，鉛球的落點與丁丁的距離為8cm.............8分

8.（淮安市啟明外國語學校2010—2011學年度第二學期初三數學期中試卷）如圖所示，在

平面直角坐標系中，拋物線片一+以出（吊0）經過4-1,0）、4（3。）兩點，拋物線與

y軸交點為3其頂點為D,連接BD,點P是線段BD上一個動點（不與B、D重合），過

點P作y軸的垂線，垂足為E,連接BE.

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如果P點的坐標為（x,y）,APBE的面積為s,求s與x的函數關系式，寫出自變

量x的取值范圍，并求出s的最大值；

（3）在（2）的條件下，當s取得最大值時，過點P作x的垂線，垂足為F,連接EF,把

△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為P',請直接寫出P'點坐標，并判斷點P'是

答案：（1）拋物線解析式為：y=-x2+2x+3.頂點。的坐標為（1,4）.

（2）設直線8。解析式為：y=kx+b（女工0）,把8、。兩點坐標代入,

3左+6=0,

得卜+人4解得％=-2,8=6..??直線AD解析式為y=-2x+6.

,s=^-PE,0E=—=—^(―2x+6)=—x2+3xs=—x2+3x(1<x<3)

22-2y

9

產-4+2+—=—

I44

???當x=2時，s取得最大值,

2

3

（3）當s取得最大值，x=-

2

???四邊形PEOb是矩形.

作點尸關于直線環的對稱點P,連接PE、PF.

過P'作P7/_Ly軸于〃，PF交），軸于點

設=則P'M=3—m,PrE=~.

2

在Rt△尸MC中，由勾股定理,

—+(3-/n)2=m2.解得m=—.

8

9

,/CM?P'H=PM?PE、：.P'H=—.

10

FHFP'6

由,可得一=一，EH=-.

EP'EM5

OH=3--=-..??。‘坐標(-2,2].不在拋物線上。

55I105)

9.（2011年浙江省杭州市戒南初級中學中考數學模擬試題）已知二次函數y=aF+8x+c的

圖象Q與x軸有且只有一個交點P,與y軸的交點為B（0,4）,且ac=b,

（1）求這個二次函數的解析式。

（2）將一次函數y=-3x的圖象作適當平移，使它經過點P,記所得的圖象為L,圖象L

與Q的另一個交點為C,請在y軸上找一點D,使得4CDP的周長最短.

答案：（1）由B（0,4）得，c=4.

。與x軸的交點P（-2.0）,

2a

I

bc

山條件ac=〃，得一=c：所以2,即外

a2a2

b=4a,

所以解得＜

4。-2/?+4=0.人=4.

所求二次函數的解析式為y=/+4x+4.

（2）設圖象L的函數解析式為尸-3戶4因圖象L過

點夕（一2,0）,

所以〃=-6,即平移后所得一次函數的解析式為

y=-3x-6.

令一3x-6=f+4.V+4,

解得$=-2,x2=-5.

將它們分別代入尸一3x-6,

得y=0，y2=9.

所以圖象上與。的另一個交點為。（一5,9）.

???點尸（一2,0）關于y軸的對稱點為點尸'（2,0）

Q1Q1Q

則直線夕'的解析式為y=,且與y軸的交點為。（（），—）

777

即在y軸上使得C、c以最小的點是。（0，y）

10.（2011年上海市盧灣區初中畢業數學模擬試題）已知：拋物線），=a/+/”.+。經過點

0（0,0）,4（7,4）,且對稱軸/與x軸交于點8（5,。）.

（1）求拋物線的表達式：

（5

（2）如圖，點E、/分別是），軸、對稱軸/上的點，且四邊形EC厲尸是矩形，點C5,-是

BF上一點、,將&5OC沿著直線OC翻折，8點與線段所上的。點重合，求。點的坐標;

（3）在（2）的條件下，點G是對稱軸/上的點，直線DG交CO于點H,S^H:=\:4,

求G點坐標.

答案：（1）由題意得＜c=0,

49?I7Z?Ic=4

4

21

解，得件不??.y=--x2

21

c=().

(2)???MOC與ADOC重合，O8=5,BC=|,；?B0=D0=5,CD=BC=3

/OBC=NODC=X)。,:?NEDO+NFDC=9(中,又N￡W+NE8=90°,

/.ZEOD=ZFDC,?：NOED=/DFC=W,/.AEODAFDC\

4.4EDHE()二,OD-M5、.

~FC~~DF~~CD~~5

2

???四邊形。比3是矩形，，族=08,EO=FB,

設FC=x,貝ij￡D=2x,。產=5-2x,AEO=\0-4x,

53,、

A10-4x