第5章一元一次方程5.1從實際問題到方程1．能通過對實際問題的分析，歸納并理解方程的概念．2．估算使方程左右兩邊相等的未知數的值．3．會根據簡單的實際問題列出方程．4．經歷把實際問題抽象為數學方程的過程，認識到方程是刻畫現實世界的一種有效的數學模型，初步體會建立數學模型的思想．重點：理解方程的概念及估算方程的解．難點：根據實際問題列方程．一、情境導入問題：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發沿同一公路同一方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經過B地，則A，B兩地間的路程是多少？1．若用算術方法解決應怎樣列算式？2．如果設A，B兩地相距xkm，那么客車從A地到B地的行駛時間為________，貨車從A地到B地的行駛時間為________．3．客車與貨車行駛時間的關系是________________．4．根據上述關系，可列方程為________________．5．對于上面的問題，你還能列出其他方程嗎？如果能，你依據的是哪個相等關系？二、合作探究探究點一：方程的概念下列各式中，是方程的是()A．4×5＝3×7－1B．9－4x＞0C．eq\f(x－3,2)＝eq\f(1,3)D．2x＋3解析：根據方程的定義對各選項進行逐一分析即可．A.不是，因為不含有未知數；B.不是，因為不是等式；C.是方程；D.不是，因為不是等式．故答案選C.方法總結：本題考查的是方程的概念，方程是含有未知數的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點：①等式；②含有未知數．探究點二：方程的解檢驗下列方程后面的數是否為相應方程的解．(1)2x＋5＝10x－3，x＝1；(2)2(x－1)－eq\f(1,2)(x＋1)＝3(x＋1)－eq\f(1,3)(x－1)，x＝0.解析：根據方程解的定義代入再判斷．解：(1)當x＝1時，左邊＝2×1＋5＝2＋5＝7，右邊＝10×1－3＝10－3＝7，左邊＝右邊，∴x＝1是方程的解．(2)當x＝0時，左邊＝2×(0－1)－eq\f(1,2)×(0＋1)＝－2－eq\f(1,2)＝－2.5，右邊＝3×(0＋1)－eq\f(1,3)×(0－1)＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)，左邊≠右邊，∴x＝0不是此方程的解．方法總結：檢驗一個數是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右兩邊相等．探究點三：列方程某文具店一支鉛筆的售價為1.2元，一支圓珠筆的售價為2元．該店在兒童節舉行文具優惠售賣活動，鉛筆按原價打8折出售，圓珠筆按原價打9折出售，結果兩種筆共賣出60支，賣得金額87元．若設鉛筆賣出x支，則依題意可列得方程為()A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87解析：設鉛筆賣出x支，根據“鉛筆按原價打8折出售，圓珠筆按原價打9折出售，結果兩種筆共賣出60支，賣得金額87元”，得出等量關系：x支鉛筆的售價＋(60－x)支圓珠筆的售價＝87，據此列出方程為1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87.故選B.方法總結：解題的關鍵是正確理解題意，設出未知數，找到題目當中的等量關系，列方程．三、板書設計1．方程的定義及方程的解；2．根據實際問題列方程的步驟：①設未知數(用字母)；②找等量關系(表示出相關的量)；③列出方程．本節首先用實際問題引入課題，然后運用算術的方法給出解答．在各環節的安排上都設計成一個個的問題，使學生能圍繞問題展開思考、討論．通過本節的教學，讓學生體會到從實際問題到方程是數學的進步，滲透化未知為已知的重要數學思想；使學生體會到數學與日常生活密切相關，認識到許多實際問題可以用數學方法解決，從而激發學生學習數學的熱情．第5章一元一次方程5.2.1解一元一次方程第1課時等式的性質1．理解等式的基本性質．2．能判斷等式變形是否正確，會用等式的基本性質進行變形．3．經歷應用等式基本性質的過程，培養觀察能力、分析能力、概括能力，滲透化歸思想．重點：會用等式的基本性質進行變形．難點：含有未知數的等式，其基本性質也成立的過程探索．一、情境導入同學們，你們認識天平嗎？它有什么特征？通過下面幾幅圖片你能說說當天平兩邊滿足怎樣的數量關系時，才能保持平衡？二、合作探究探究點一：等式的基本性質已知m＝n，則下列等式不成立的是()A．m－1＝n－1B．－2m－1＝－1－2nC．eq\f(m,3)＋1＝eq\f(n,3)＋1D．2－3m＝3n－2解析：由等式的基本性質1，在等式兩邊同時減去1，結果仍相等，A成立；在等式兩邊同時乘以－2，得－2m＝－2n，兩邊再同時加上－1，結果仍相等，B成立；在等式兩邊同時除以3，得eq\f(m,3)＝eq\f(n,3)，兩邊再同時加上1，結果仍相等，C成立；只有D不成立．故選D.方法總結：對等式進行變形，必須在等式的兩邊同時進行，即同加或同減，同乘或同除，不能漏掉一邊，且同加或同減，同乘或同除的數必須相同．閱讀理解題：下面是小明將等式x－4＝3x－4進行變形的過程：x－4＋4＝3x－4＋4，①x＝3x，②1＝3.③(1)小明①的依據是________________________________________________；(2)小明出錯的步驟是________，錯誤的原因是__________________________；(3)寫出正確的變形．解析：根據等式的性質解答即可．解：(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(或整式)，所得結果仍是等式(2)③等式兩邊都除以x，x可能為0(3)x－4＝3x－4，x－4＋4＝3x－4＋4，x＝3x，x－3x＝0，－2x＝0，x＝0.方法總結：本題主要考查等式的基本性質．在等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式，等式仍成立，這里的數或整式沒有條件限制，但是在等式的兩邊同時乘以或除以同一個數或整式時，這里的數或整式必須不為0.探究點二：等式基本性質的應用【類型一】應用等式的性質對等式進行變形用適當的數或整式填空，使所得結果仍是等式．(1)如果2x＋7＝10，那么2x＝10－________；(2)如果－3x＝8，那么x＝________；解析：(1)根據等式的基本性質1，在等式兩邊同時減去7可得2x＝10－7；(2)根據等式的基本性質2，在等式兩邊同時除以－3可得x＝－eq\f(8,3).故答案為(1)7；(2)－eq\f(8,3).方法總結：運用等式的性質，可以將等式進行變形，變形時等式兩邊必須同時進行完全相同的四則運算，否則就會破壞原來的相等關系．【類型二】利用等式的基本性質變形求代數式的值求下列代數式的值．(1)若5m－5n＝1，則m－n＝________；(2)若2x－y－1＝0，則y－2x＝________．解析：(1)根據等式的基本性質2，在等式兩邊同時除以5，可得m－n＝eq\f(1,5)；(2)根據等式的基本性質1，在等式兩邊同時加上1，可得2x－y＝1；再根據等式的基本性質2，在等式兩邊同時乘以－1，可得y－2x＝－1.故答案為(1)eq\f(1,5)；(2)－1.方法總結：運用等式的性質，可以將等式進行變形，變形時找出所求代數式與已知代數式之間的關系，再根據等式的性質求代數式的值．三、板書設計1．等式的性質1：等式的兩邊都加上(或都減去)同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式．即如果a＝b，那么a±c＝b±c.2．等式的性質2：等式兩邊都乘以(或都除以)同一個數(除數不能為0)，所得結果仍是等式．即如果a＝b，那么ac＝bc，eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)(c≠0).3．利用等式的基本性質對等式進行變形．本節課采用從了解天平入手，激發學生學習興趣，采用類比等式性質創設問題情景的方法，引導學生的自主探究活動，教給學生類比、猜想、驗證等研究問題的方法，培養學生善于動手、善于觀察、善于思考的學習習慣．利用學生的好奇心設疑、解疑，組織活潑互動、有效的教學活動，學生積極參與，大膽猜想，使學生在自主探索和合作交流中理解和掌握本節課的內容．力求在整個探究學習的過程中充滿師生之間、生生之間的交流和互動，體現教師是教學活動的組織者、引導者、合作者，學生才是學習的主體．第5章一元一次方程5.2.1解一元一次方程第2課時利用去分母解一元一次方程1．掌握含有以常數為分母的一元一次方程的解法．2．經歷去分母解方程的過程，進一步體會數學中的“化歸思想”．3．通過解一元一次方程的過程，增強對數字和符號的敏感度，提高運算能力和符號運用能力．重點：熟練、正確地解一元一次方程．難點：規避解方程中的易錯點．一、問題引入1．等式的基本性質2是怎樣敘述的呢？2．求下列幾組數的最小公倍數：(1)2，3；(2)2，4，5.3．通過上幾節課的探討，總結一下解一元一次方程的一般步驟是什么？4．如果未知數的系數是分數，那么該怎樣來解這種類型的方程呢？這一節課我們來共同解決這樣的問題.二、合作探究探究點一：用去分母解一元一次方程解方程：(1)eq\f(x－3,2)－x＝eq\f(1,3)；(2)x－eq\f(x－2,5)＝eq\f(2x－5,3)－3.解析：(1)先在方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數6，方程變為3(x－3)－6x＝2，然后去括號、移項、合并同類項、系數化為1求出方程的解．(2)先在方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數15，方程變為15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，然后去括號、移項、合并同類項、系數化為1求出方程的解.解：(1)eq\f(x－3,2)－x＝eq\f(1,3)，去分母得3(x－3)－6x＝2，去括號得3x－9－6x＝2，移項得3x－6x＝2＋9，合并同類項得－3x＝11，系數化為1得x＝－eq\f(11,3).(2)x－eq\f(x－2,5)＝eq\f(2x－5,3)－3，去分母得15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，去括號得15x－3x＋6＝10x－25－45，移項得15x－3x－10x＝－25－45－6，合并同類項得2x＝－76，系數化為1得x＝－38.方法總結：解方程應注意以下兩點：①去分母，方程兩邊同乘各分母的最小公倍數時，不要漏乘沒有分母的項，同時要把分子(如果是一個多項式)作為一個整體加上括號．②去括號、移項時要注意符號的變化．探究點二：去分母解一元一次方程的應用【類型一】列方程求解(1)當k取何值時，代數式eq\f(k＋1,3)的值比eq\f(3k＋1,2)的值小1?(2)當k取何值時，代數式eq\f(k＋1,3)與eq\f(3k＋1,2)的值互為相反數？解析：根據題意列出方程，然后解方程即可．解：(1)根據題意可得eq\f(3k＋1,2)－eq\f(k＋1,3)＝1，去分母得3(3k＋1)－2(k＋1)＝6，去括號得9k＋3－2k－2＝6，移項得9k－2k＝6＋2－3，合并同類項得7k＝5，系數化為1得k＝eq\f(5,7).(2)根據題意可得eq\f(k＋1,3)＋eq\f(3k＋1,2)＝0，去分母得2(k＋1)＋3(3k＋1)＝0，去括號得2k＋2＋9k＋3＝0，移項得2k＋9k＝－3－2，合并同類項得11k＝－5，系數化為1得k＝－eq\f(5,11).方法總結：先按要求列出方程，然后去分母、去括號、移項、合并同類項，最后把未知數的系數化為1得到原方程的解．【類型二】求字母參數的值已知方程eq\f(1－2x,6)＋eq\f(x＋1,3)＝1－eq\f(2x－1,4)與關于x的方程x＋eq\f(6x－a,3)＝eq\f(a,6)－3x的解相同，求a的值．解析：求出第一個方程的解，把求出的x的值代入第二個方程，求出所得關于a的方程的解即可．解：eq\f(1－2x,6)＋eq\f(x＋1,3)＝1－eq\f(2x－1,4)，去分母得2(1－2x)＋4(x＋1)＝12－3(2x－1)，去括號得2－4x＋4x＋4＝12－6x＋3，移項、合并同類項得6x＝9，系數化為1得x＝eq\f(3,2).把x＝eq\f(3,2)代入x＋eq\f(6x－a,3)＝eq\f(a,6)－3x，得eq\f(3,2)＋eq\f(9－a,3)＝eq\f(a,6)－eq\f(9,2)，去分母得9＋18－2a＝a－27，移項、合并同類項得－3a＝－54，系數化為1得a＝18.方法總結：此類問題的思路是根據某數是方程的解，把已知解代入方程的未知數中，使未知數轉化為已知數，從而建立起未知系數的方程求解．三、板書設計解含有分母的一元一次方程(1)去分母；(2)去括號；(3)移項、合并同類項；(4)系數化為1.本節課采用的教學方法是講練結合，通過一個簡單的實例讓學生明白去分母是解一元一次方程的重要步驟，通過去分母可以把系數是分數的方程轉化為系數是整數的方程，進而使方程的計算更加簡便．在解方程去分母的過程中，發現學生還存在以下問題：①部分學生不會找各分母的最小公倍數，這點要適當指導；②用各分母的最小公倍數乘以方程兩邊的項時，漏乘不含分母的項；③當分子是多項式時，要把分子作為一個整體加上括號后去分母，分子沒有作為一個整體加上括號，容易弄錯符號；④去括號、移項時要注意符號的變化．第5章一元一次方程5.2.2．解一元一次方程第1課時解含有括號的一元一次方程1．理解一元一次方程的概念．2．探索把含有括號的一元一次方程化為x＝a的形式，掌握解含括號的一元一次方程的方法，體會方程變形中的化歸思想．重點：解含括號的一元一次方程的方法．難點：括號前是“－”的，去括號時，括號內各項要改變符號．一、情境導入1．“移項”“合并同類項”“系數化為1”要注意什么？2．一艘船從甲碼頭到乙碼頭順水行駛用了2小時，從乙碼頭返回甲碼頭逆水行駛用了2.5小時，水流速度是3千米/時，求船在靜水中的速度．(1)題目中的等量關系是____________________．(2)根據題意可列方程為____________________．你能解這個方程嗎？二、合作探究探究點一：一元一次方程的概念【類型一】一元一次方程的辨別下列方程中是一元一次方程的有()A．x＋3＝y＋2B．1－3(1－2x)＝－2(5－3x)C.x－1＝eq\f(1,x)D．eq\f(y,3)－2＝2y－7解析：A.含有兩個未知數，不是一元一次方程，錯誤；B.化簡后含有未知數項可以消去，不是方程，錯誤；C.分母中含有未知數，不是一元一次方程，錯誤；D.符合一元一次方程的定義，正確．故選D.方法總結：判斷一元一次方程需滿足三個條件：(1)只含有一個未知數；(2)未知數的次數是1；(3)是整式方程．【類型二】利用一元一次方程的概念求字母參數的值方程(m＋1)x|m|＋1＝0是關于x的一元一次方程，則()A．m＝±1B．m＝1C．m＝－1D．m≠－1解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必須滿足含有1個未知數，未知數的次數為1且系數不等于0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|m|＝1，,m＋1≠0，))解得m＝1.故選B.方法總結：解決此類問題要明確：若一個整式方程經過化簡變形后，只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1且系數不為0，則這個方程是一元一次方程．據此可求方程中相關字母的值．探究點二：利用去括號解一元一次方程【類型一】用去括號的方法解方程解下列方程：(1)4x－3(5－x)＝6；(2)5(x＋8)－5＝6(2x－7).解析：先去括號，再移項，合并同類項，系數化為1即可求得答案．解：(1)去括號得4x－15＋3x＝6，移項、合并同類項得7x＝21，系數化為1得x＝3.(2)去括號得5x＋40－5＝12x－42，移項、合并同類項得－7x＝－77，系數化為1得x＝11.方法總結：解一元一次方程的步驟是去括號、移項、合并同類項、系數化為1.在具體解方程時，不論進行到哪一步，只要得出方程的解，下面的步驟就不用再進行了.【類型二】應用方程思想求值當x為何值時，代數式2(x2－1)－x2的值比代數式x2＋3x－2的值大6.解析：先列出方程，然后根據一元一次方程的解法，去括號，移項，合并同類項，系數化為1即可得解．解：依題意得2(x2－1)－x2－(x2＋3x－2)＝6，去括號得2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，移項、合并同類項得－3x＝6，系數化為1得x＝－2.方法總結：先按要求列出方程，然后去括號、移項，把含未知數的項移到方程左邊，不含未知數的項移到方程右邊，再合并同類項，最后把未知數的系數化為1得到原方程的解．三、板書設計解一元一次方程——去括號去括號的規律：(1)將括號外的因數連同它前面的符號看成一個整體，利用分配律將它與括號內的每一項相乘，即a(b＋c)＝ab＋ac；(2)如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反．本節課的教學先讓學生回顧上一節所學的知識，復習鞏固方程的解法，讓學生進一步明白解方程的步驟是逐漸發展的，后面的步驟是在前面步驟的基礎上發展而成．然后通過一個實際問題，列出一個有括號的方程，大膽放手讓學生去探索、猜想各種方法，去嘗試各種解題的途徑，啟發學生探索新的解題方法．第5章一元一次方程5.2.2解一元一次方程第2課時方程的簡單變形1．經歷由等式的性質得到方程的變形規則的過程，體驗化歸思想．2．掌握方程的變形規則：移項和將未知數的系數化為1，并會用方程的變形規則解簡單的方程．重點：能靈活運用方程的變形規則：移項、系數化為1.難點：利用方程的變形規則解簡單的方程．一、復習導入馬小虎解方程2x＋7＝－2x＋7按如下步驟：第一步：兩邊都減去7，得2x＝－2x.第二步：兩邊都除以x，得2＝－2.你認為他解得對嗎？如果錯了，那么錯在哪里呢？二、合作探究探究點一：方程的變形規則通過類比等式的基本性質，結合下面的實例，用自己的話說一說方程的變形方法：(1)x－2＝0?x＝2(2)x＋2＝3?x＝1(3)3x＝2?x＝eq\f(2,3)(4)eq\f(1,2)x＝5?x＝10解：(1)在方程的兩邊都加上2.(2)在方程的兩邊都減去2.(3)在方程的兩邊都除以3.(4)在方程的兩邊都乘以2.方法總結：通過適當變形將方程轉化為x＝a(a為常數)的形式．探究點二：移項法則解下列方程：(1)3x＝7＋2x；(2)8x－3＝7x＋3.解析：通過方程的簡單變形，歸納出移項的法則．解：(1)兩邊都減去2x，得3x－2x＝7，即x＝7；(2)兩邊都減去7x，得8x－7x－3＝3，即x－3＝3.兩邊都加上3，得x＝3＋3，即x＝6.方法總結：移動方程中的項，并且是從方程的一邊移到另一邊，注意移項要變號．通過移項將下列方程變形，正確的是()A．由5x－7＝2，得5x＝2－7B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9解析：A中由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故選項A錯誤；B中由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故選項B錯誤；C中由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8，故選項C正確；D中由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故選項D錯誤．故選C.方法總結：(1)所移動的是方程中的項，并且是從方程的一邊移到另一邊，而不是在這個方程的一邊變換兩項的位置．(2)移項時要變號，不變號不能移項．探究點三：系數化為1解下列方程：(1)－6y＝12；(2)eq\f(1,4)x＝－7.解析：(1)在方程的兩邊都除以－6，可得答案；(2)在方程的兩邊都乘以4，可得答案．解：(1)方程的兩邊都除以－6，得y＝－2；(2)方程的兩邊都乘以4，得x＝－28.方法總結：通過適當變形將方程轉化為x＝a(a為常數)的形式，像這樣的變形通常稱為“將系數化為1”．探究點四：利用方程變形解方程解下列方程：(1)－x－4＝3x；(2)5x－1＝9；(3)－4x－8＝4；(4)0.5x－0.7＝6.5－1.3x.解析：通過移項、合并同類項、系數化為1的方法解答即可．解：(1)移項得－x－3x＝4，合并同類項得－4x＝4，系數化成1得x＝－1.(2)移項得5x＝9＋1，合并同類項得5x＝10，系數化成1得x＝2.(3)移項得－4x＝4＋8，合并同類項得－4x＝12，系數化成1得x＝－3.(4)移項得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，合并同類項得1.8x＝7.2，系數化成1得x＝4.方法總結：將所有含未知數的項移到方程的左邊，常數項移到方程的右邊，然后合并同類項，最后將未知數的系數化為1.特別注意移項要變號．三、板書設計eq\a\vs4\al(方程的變,形規則)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(移項：把含有未知數的項移到方程的一邊，,其他項移到方程的另一邊,合并同類項：合并同類項把方程整理為ax＝,b（a≠0）的形式,系數化為1))教學過程中，應引導學生由等式的基本性質得到方程的變形規則，在歸納方程的變形規則時，感悟方程變形中的轉化思想，逐漸體會移項、系數化為1在方程變形中的作用．掌握方程解法的一般步驟，為后面解一元一次方程打下基礎．第5章一元一次方程5.2.2解一元一次方程第3課時實際問題與一元一次方程1．分析實際問題中的數量關系，建立方程模型，解決實際問題．2．領悟數學來源于生活，服務于生活，會用方程的思想解決實際生活中的問題．重點：找出等量關系，解決實際問題．難點：根據等量關系列出正確的一元一次方程．一、情境導入在中國古代問題中，有一個非常有趣的“雞兔同籠”問題：今有雞兔同籠，上有頭三十五，下有足九十四，問雞兔各多少？二、合作探究探究點一：根據“表示同一個量的兩個不同的式子相等”列方程解決問題某單位計劃“五一”期間組織職工到西湖旅游，如果單獨租用40座的客車若干輛剛好坐滿；如果租用50座的客車則可以少租一輛，并且有40個剩余座位．(1)該單位參加旅游的職工有多少人？(2)如果同時租用這兩種客車若干輛，有無可能使每輛車剛好坐滿？如有可能，兩種車各租多少輛？(此問可只寫結果，不寫分析過程)解析：(1)先設單獨租用40座的客車x輛剛好坐滿，利用人數不變，車的輛數相差1，可列出一元一次方程求解；(2)可根據租用兩種汽車時，利用假設一種車的數量，進而得出另一種車的數量求出即可．解：(1)設單獨租用40座的客車x輛剛好坐滿，由題意得方程：40x＝50(x－1)－40，解得x＝9.故該單位參加旅游的職工有：40×9＝360(人).答：該單位參加旅游的職工有360人．(2)有可能，因為租用4輛40座的客車、4輛50座的客車剛好可以坐360人，正好坐滿．方法總結：解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程再求解．探究點二：根據“各部分量的和＝總量”列方程解決問題某羽毛球協會組織一些會員到現場觀看某場羽毛球比賽．已知該協會購買了每張300元和每張400元的兩種門票共8張，總費用為2700元．請問該協會購買了這兩種門票各多少張？解析：設每張300元的門票買了x張，則每張400元的門票買了(8－x)張，根據題意建立方程，求出方程的解就可以得出結論．解：設每張300元的門票買了x張，則每張400元的門票買了(8－x)張，由題意得300x＋400×(8－x)＝2700，解得x＝5，∴8－x＝3.答：每張300元的門票買了5張，每張400元的門票買了3張．方法總結：解題的關鍵是熟練掌握列方程解應用題的一般步驟：①根據題意找出等量關系；②列出方程；③解方程；④作答．三、板書設計eq\a\vs4\al(列一元一次方,程解應用題)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(設未知數,根據等量關系列一元一次方程,解一元一次方程,檢驗解的合理性,寫出答案))本節課以生活中常見的一個問題展開，提高學生的興趣，讓學生們認識到數學知識與我們的實際生活息息相關．然后通過例題教學，為學生提供了探索空間，通過猜測、驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動，充分調動學生學習的積極性．讓學生在實踐中獲得解決問題的方法，得到學習的樂趣．第5章一元一次方程5．3實踐與探索第1課時幾何相關問題1．分析圖形問題中的基本等量關系，運用方程解決問題．2．經歷尋找等量關系，恰當地轉化和分析量與量之間的關系的過程，體會一元一次方程在解決實際問題中的應用，理解和體會數學建模思想在解決實際問題中的作用．重點：尋找圖形問題中的等量關系，建立方程．難點：學會借助圖形分析復雜問題中的數量關系和等量關系，使實際問題數學化．一、情境導入一種牙膏出口處直徑為5mm，小明每次刷牙都擠出1cm長的牙膏，這樣一支牙膏可以用36次．該品牌牙膏現推出新包裝，只是將出口處直徑改為6mm，小明還是按習慣每次擠出1cm的牙膏，這支牙膏能用多少次呢？二、合作探究探究點一：等長變形問題用兩根等長的鐵絲分別繞成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長比圓的半徑長2(π－2)m，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計算說明誰的面積大．解析：本題的等量關系為正方形的周長＝圓的周長.解：設圓的半徑為rm，則正方形的邊長為[r＋2(π－2)]m．則有2πr＝4(r＋2π－4).解得r＝4.所以鐵絲的長為2πr＝8π(m)；圓的面積是π×42＝16π(m2)；正方形的面積為[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2).因為16π>4π2，所以圓的面積大．答：鐵絲的長為8πm，圓的面積較大．方法總結：形狀、面積不同，而周長相同可根據題意列出關于周長的等量關系式．解決問題的關鍵是通過分析變化過程，挖掘其等量關系，從而列出方程．探究點二：等體積變形問題用直徑為90mm的圓鋼，鑄造一個底面長和寬都是131mm，高度是81mm的長方體鋼錠．問需要截取多長的一段圓鋼？(結果保留π)解析：圓鋼由圓柱形變為長方體，形狀變了，但體積不變．解：設截取圓鋼的長度為xmm.根據題意，得π(eq\f(90,2))2x＝131×131×81，解方程，得x＝eq\f(686.44,π).答：截取圓鋼的長度為eq\f(686.44,π)mm.方法總結：圓鋼由圓柱形變成了長方體，形狀發生了變化，但是體積保持不變．“變形之前圓鋼的體積＝變形之后長方體的體積”就是我們所要尋找的等量關系.將一個長、寬、高分別為15cm，12cm和8cm的長方體鋼坯鍛造成一個底面是邊長為12cm的正方形的長方體鋼坯．試問：是鍛造前的長方體鋼坯的表面積大，還是鍛造后的長方體鋼坯的表面積大？請你計算比較.解析：由鍛造前后兩長方體鋼坯體積相等，可求出鍛造后長方體鋼坯的高．再計算鍛造前后兩長方體鋼坯的表面積，最后比較大小即可．解析：設鍛造后長方體的高為xcm，依題意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.鍛造前長方體鋼坯的表面積為2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(cm2)，鍛造后長方體鋼坯的表面積為2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768(cm2).因為792>768，所以鍛造前的長方體鋼坯的表面積較大．方法總結：長方體的表面積為六個面的面積之和，其中上下、左右、前后面積分別相等．三、板書設計eq\a\vs4\al(列一元一,次方程解,應用題)→eq\a\vs4\al(幾何,相關,問題)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(設未知數,根據等量關系列一元一次方程,解一元一次方程,檢驗解的合理性,寫出答案))教學過程中，通過對問題的探討，使學生在動手、獨立思考的過程中，進一步體會方程模型的作用，鼓勵學生大膽質疑，激發學生的好奇心和主動學習的熱情．第5章一元一次方程5．3實踐與探索第2課時銷售問題及變化率問題1．理解商品銷售中所涉及的進價、原價、售價、利潤、打折、利潤率等基本量之間的關系．2．會用一元一次方程解決商品銷售中的實際問題，再次體會數學的實用價值．重點：能根據銷售問題中的數量關系列出一元一次方程，運用方程解決實際問題．難點：將實際問題轉化為數學問題，找出等量關系，正確列出方程．一、情境導入1．展現日常生活中的銷售實例，學生回憶知識．打折后的商品售價＝商品的原標價×打折率．2．展示常用數量關系：①利潤＝售價－進價；②利潤率＝利潤/進價×100%；③利潤＝進價×利潤率；④售價＝進價＋利潤＝進價＋進價×利潤率．二、合作探究探究點一：打折銷售問題【類型一】求原價某商場節日酬賓：全場8折．一種電器在這次酬賓活動中的利潤率為10%，它的進價為2000元，那么它的原價為多少元？解析：本題中的利潤為(2000×10%)元，銷售價為(原價×80%)元，根據公式建立起方程即可．解：設原價為x元，根據題意，得80%x－2000＝2000×10%.解得x＝2750.答：它的原價為2750元．方法總結：典例關系：售價＝進價＋利潤，售價＝原價×打折數×0.1，售價＝進價×(1＋利潤率)【類型二】求成本價某商品的零售價是900元，為適應競爭，商店按零售價打9折(即原價的90%)，并再讓利40元銷售，仍可獲利10%，求該商品的進價．解析：實際售價是(900×90%－40)元，設該商品進價為每件x元，根據實際售價(不同表示法)相等列方程求解．解：設該商品的進價為每件x元，依題意，得900×0.9－40＝10%x＋x，解得x＝700.答：該商品的進價為700元．方法總結：(1)在解決實際問題時，要認真審題，如不打折時，售價＝標價，打折時，售價＝標價×打折率；(2)在以上公式中，只要知道其中的兩個量，便能求出另一個量．【類型三】求折扣書店里每本定價10元的書，成本是8元．為了促銷，書店決定讓利10%給讀者，問該書應打多少折？解析：本題中的利潤為10－8＝2(元)，因為讓利10%給讀者，所以書店的利潤為[(1－10%)×2](元)，此時的售價為(10×折扣)元．根據商品利潤＝商品售價－商品進價，就能建立起方程．解：設該書應打x折，根據題意，得10×eq\f(x,10)－8＝(10－8)×(1－10%).解得x＝9.8.答：該書應打九八折．方法總結：讓利10%，即利潤為原來的90%.探究點二：變化率問題我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調藥品的價格，某種藥品在漲價30%后，又降價70%至39元，則這種藥品在漲價前價格為多少元？解析：根據題意表示出漲價后以及降價后的價格進而得出等式求出即可．解：設這種藥品在漲價前價格為x元，根據題意可得：(1＋30%)×(1－70%)x＝39，解得x＝100.答：這種藥品在漲價前價格為100元．方法總結：根據題意得出正確的等量關系是解題關鍵．三、板書設計1．銷售問題中的兩個基本關系式：(1)利潤＝售價－進價；(2)利潤率＝eq\f(利潤,商品進價)×100%.注意：(1)式中等式左邊的“利潤”若為正，就是盈利；若為負，就是虧損．(2)式還可以變形為利潤率×進價＝售價－進價．2．百分率問題：增長率問題．本節課從和我們的生活息息相關的利潤問題入手，讓學生在具體情境中感受到數學在生活實際中的應用，從而激發他們學習數學的興趣．根據“實際售價＝進價＋利潤”等數量關系列一元一次方程解決與打折銷售有關的實際問題．審清題意，找出等量關系是解決問題的關鍵．另外，商品經濟問題的題型很多，讓學生觸類旁通，達到舉一反三，靈活運用有關公式解決實際問題，提高學生的解題能力．第5章一元一次方程5．3實踐與探索第3課時工程問題及路程問題1．經歷建立一元一次方程模型解決實際問題的過程，培養學生解決實際問題的基本技能．2．能借助圖表分析復雜問題中的數量關系，從而列出方程，解決問題，直觀感受方程模型的作用．重點：分析工程問題、行程問題中的數量關系，找等量關系．難點：建立實際問題的方程模型，解決實際問題．一、情境導入親愛的同學們，你們讀過名著《西游記》嗎？關于孫悟空的故事你一定知道很多吧．有這樣一首描述孫悟空捉妖的詩：悟空順風探妖蹤，千里只用四分鐘；歸時四分行六百，風速多少才算準．請你幫孫悟空算算當時的風速每分鐘是多少里？二、合作探究探究點一：工程問題一個道路工程，甲隊單獨施工9天完成，乙隊單獨施工24天完成．現在甲、乙兩隊共同施工3天，因甲另有任務，剩下的工程由乙隊完成，問乙隊還需幾天才能完成？解析：首先設乙隊還需x天才能完成，由題意可得等量關系：甲隊干三天的工作量＋乙隊干(x＋3)天的工作量＝1，根據等量關系列出方程，求解即可．解：設乙隊還需x天才能完成，由題意得eq\f(1,9)×3＋eq\f(1,24)(3＋x)＝1，解得x＝13.答：乙隊還需13天才能完成．方法總結：找到等量關系是解決問題的關鍵．本題主要考查的等量關系為：工作效率×工作時間＝工作總量，當題中沒有一些必須的量時，為了簡便，應設其為1.探究點二：行程問題【類型一】用一元一次方程解決相遇問題小明家離學校2.9千米，一天小明放學走了5分鐘之后，他爸爸開始從家出發騎自行車去接小明，已知小明每分鐘走60米，爸爸騎自行車每分鐘騎行200米，請問小明爸爸從家出發幾分鐘后接到小明？解析：本題等量關系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分鐘，另外也要注意本題單位的統一．解：設小明爸爸出發x分鐘后接到小明，由題意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解得x＝10.答：小明爸爸從家出發10分鐘后接到小明．方法總結：找出問題中的等量關系是列方程解應用題的關鍵，對于行程問題，通常借助“線段圖”來分析問題中的數量關系．這樣可以比較直觀地反映出方程中的等量關系．【類型二】用一元一次方程解決追及問題小剛每天早晨要在7：40之前趕到距家1100m的學校上學，小剛以60m/min的速度出發，5min后，小剛的爸爸發現他忘了帶數學書，于是爸爸立即以180m/min的速度去追小剛，并且在途中追上了他．(1)爸爸追上小剛用了多長時間？(2)追上小剛時，距離學校還有多遠？解析：本題等量關系：爸爸所走的路程－小剛所走的路程＝追趕時相距的路程．解：(1)設爸爸追上小剛用了xmin，依題意有180x－60x＝60×5，解得x＝2.5.答：爸爸追上小剛用了2.5min.(2)1100－180×2.5＝1100－450＝650(m).答：追上小剛時，距離學校還有650m遠．【類型三】用一元一次方程解決環形問題甲、乙兩人在一條長400米的環形跑道上跑步，甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分．(1)兩人同時同地反向跑，問幾秒后兩人第一次相遇？(2)兩人同時同地同向跑，問第一次相遇時，兩人一共跑了多少圈？解析：(1)題實質上是相遇問題，兩人第一次相遇就是兩人所走的路程之和為環行跑道一圈的長，其等量關系是相遇時，甲走的路程＋乙走的路程＝400米．(2)題實質上是追及問題，兩人第一次相遇，實際上就是快者追上慢者一圈，其等量關系是追上時，甲走的路程－乙走的路程＝400米．解：(1)設x分鐘后兩人第一次相遇，由題意，得360x＋240x＝400.解得x＝eq\f(2,3).eq\f(2,3)分鐘＝40秒．答：40秒后兩人第一次相遇．(2)設x分鐘后兩人第一次相遇，由題意，得360x－240x＝400.解得x＝eq\f(10,3).(eq\f(10,3)×360＋eq\f(10,3)×240)÷400＝5(圈).答：兩人一共跑了5圈．方法總結：環形問題中的等量關系：兩個人同地背向而行：相遇問題(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周長；兩個人同地同向而行：追及問題(首次追上)，甲的行程－乙的行程＝一圈周長．三、板書設計1．工程問題：(1)工程總量＝效率×時間．(2)各部分的工程和＝工作總量＝1.2．行程問題→eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相遇問題,追及問題,環形問題))教學過程中，通過對熟悉的神話故事中人物問題的探討與交流，提高學生的興趣，體驗生活中數學的應用與價值，感受數學與人類生活的密切聯系，為學生提供了探索空間，通過猜測、驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動，充分調動學生學習的積極性．讓學生在實踐中獲得解決問題的方法，找到學習的樂趣．第6章一次方程組6.1二元一次方程組和它的解1．了解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義．2．能根據簡單的實際問題列二元一次方程組，會檢驗一對數是不是某個二元一次方程(組)的解．3．通過問題情境得出二元一次方程(組)，體會方程(組)是刻畫現實世界的一個有效模型，同時培養學生探究創新的精神，增強合作交流的意識．重點：二元一次方程組及其解的含義．難點：理解二元一次方程組的解的含義．一、情境導入籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．某隊在全部22場比賽中得到40分，那么這個隊勝負場數分別是多少？這個問題中有幾個未知數，能列一元一次方程求解嗎？二、合作探究探究點一：二元一次方程(組)的定義【類型一】識別二元一次方程組有下列方程組：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,x＋y＝2；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,\f(1,x)＋y＝1；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋z＝0，,3x－y＝\f(1,5)；))④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,\f(x,2)＋\f(y,3)＝7；))⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋π＝3，,x－y＝1，))其中二元一次方程組有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：①方程組中第一個方程含未知數的項xy的次數不是1；②方程組中第二個方程不是整式方程；③方程組中共有3個未知數．只有④⑤滿足，其中⑤方程組中的π是常數．故選B.方法總結：識別一個方程組是否為二元一次方程組的方法：一看方程組中的方程是否都是整式方程；二看方程組中是不是只含兩個未知數；三看含未知數的項的次數是不是都為1.【類型二】利用二元一次方程的定義求參數的值已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，則m＋n＝________．解析：根據二元一次方程滿足的條件，得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.故填0.方法總結：二元一次方程必須符合以下三個條件：(1)方程中只含有2個未知數；(2)含未知數的項的最高次數均為一次；(3)方程是整式方程．探究點二：二元一次方程(組)的解【類型一】二元一次方程的解已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))是方程2x－ay＝3的一個解，那么a的值是()A．1B．3C．－3D．－1解析：將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.故選A.方法總結：根據方程的解的定義，將x，y的值代入方程中，方程左右兩邊相等，即可求解．【類型二】利用二元一次方程組的解求參數的值甲、乙兩人共同解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋5y＝15，①,4x－by＝－2.②))由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4.))試計算a2020＋(－eq\f(1,10)b)2021的值．解析：由方程組解的定義知：甲看錯了方程①中的a得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))說明eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))是方程②的解；同樣eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))是方程①的解．解：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10.把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1.所以a2020＋(－eq\f(1,10)b)2021＝(－1)2020＋(－eq\f(1,10)×10)2021＝1－1＝0.方法總結：利用方程組的解確定字母參數的方法是將方程組的解代入它適合的方程中，得到關于字母參數的新方程，從而求解．探究點三：列二元一次方程組小劉同學用10元錢購買了兩種不同的賀卡共8張，單價分別是1元與2元．設他購買了1元的賀卡x張，2元的賀卡y張，那么可列方程組()A．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝10，,x＋y＝8))B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,10)＝8，,x＋2y＝10))C．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,x＋2y＝8))D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,x＋2y＝10))解析：根據題意可得到兩個相等關系：(1)1元賀卡張數＋2元賀卡張數＝8(張)；(2)1元賀卡錢數＋2元賀卡錢數＝10(元).設他購買了1元的賀卡x張，2元的賀卡y張，可列方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,x＋2y＝10.))故選D.方法總結：要判斷哪個方程組符合題意，可從題目中找出兩個相等關系，然后代入未知數，即可得到方程組，進而得到正確答案．三、板書設計二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(二元一次方程（組）的定義,二元一次方程（組）的解,列二元一次方程組))通過自主探究和合作交流，建立二元一次方程組的數學模型，學會逐步掌握基本的數學知識和方法，形成良好的數學思維習慣和應用意識，提高解決問題的能力，感受數學創造的樂趣，增進學好數學的信心，增加對數學較全面的體驗和理解．第6章一次方程組6.2二元一次方程組的解法第1課時代入法(1)1．了解解二元一次方程組的基本思想是消元，會用代入消元法解二元一次方程組．2．通過探索二元一次方程組的解法，經歷化“二元”為“一元”的過程，初步體會消元的思想以及把復雜問題轉化為簡單問題的化歸思想．重點：用代入消元法解二元一次方程組．難點：熟練、正確地用代入消元法解二元一次方程組．一、情境導入十一假期，有8個人去紅山公園玩，他們買門票共花了34元．每張成人票5元，每張兒童票3元．那么他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢？同學們，你們能否用所學的方程知識解決呢？二、合作探究探究點一：代入消元法【類型一】用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數把下列方程寫成用含x的式子表示y的形式：(1)x－3y＝13;(2)3x＋2y＝5；(3)5x－10y＋15＝0.(4)4x－5y＋6＝x＋3y－4.解析：把x看做已知數求出y即可．解：(1)y＝eq\f(x－13,3).(2)y＝eq\f(5－3x,2).(3)整理得－10y＝－5x－15，解得y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2).(4)整理得3x－8y＝－10，解得y＝eq\f(3x＋10,8).方法總結：此題解題的關鍵是將一個未知數看做已知數求出另一個未知數．【類型二】用代入法解二元一次方程組用代入法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－6，①,2x＋3y＝15；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝19，①,x－y＝4；②))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＝1，①,x＋2y＝6；②))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝5，①,2x－y＝4.②))解析：方程組利用代入消元法求出解即可．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－6，①,2x＋3y＝15；②))把①代入②，得2x＋3(3x－6)＝15，解得x＝3.把x＝3代入①，得y＝9－6＝3，所以方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝19，①,x－y＝4；②))由②得x＝4＋y③.把③代入①得3(4＋y)＋4y＝19，解得y＝1.把y＝1代入③得x＝4＋1＝5.所以方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＝1，①,x＋2y＝6；②))由①得x＝1＋3y③，把③代入②得1＋3y＋2y＝6，解得y＝1.把y＝1代入③得x＝4，所以方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝5，①,2x－y＝4.②))由①得x＝2y＋5③，把③代入②得4y＋10－y＝4，解得y＝－2.把y＝－2代入③得x＝1，則方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))方法總結：用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數，再利用代入法將二元一次方程轉化成一元一次方程，從而求出方程的解．探究點二：求待定系數的值已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝7，,ax－by＝1))的解，則a－b的值為()A.1B．－1C．2D．3解析：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))代入原方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝7，,2a－b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))所以a－b＝－1.故選B.方法總結：解這類題就是根據方程組解的定義求，將解代入方程組，得到關于字母系數的方程組，解方程組即可．三、板書設計1．二元一次方程組eq\o(→,\s\up7(代入消元法))一元一次方程2．代入消元法的一般步驟：變→代→求→寫3．思想方法：轉化思想、代入消元思想、方程(組)思想．回顧一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程組的解法，使得學生的探究有很好的認知基礎，探究顯得十分自然流暢．引導學生充分思考和體驗轉化與化歸思想，增強學生的觀察歸納能力，提高學生的學習能力．第6章一次方程組6.2二元一次方程組的解法第2課時代入法(2)1．會用代入消元法解較復雜的二元一次方程組．2．探索代入消元法解二元一次方程組的過程，感受“消元”思想，進一步加深對二元一次方程組的解法——代入法的理解．重點：用代入消元法解較復雜的二元一次方程組．難點：掌握代入消元法解二元一次方程組的過程．一、情境導入甲、乙兩人從相距36千米的兩地相向而行．如果甲比乙先走2小時，那么在乙出發后3小時相遇；如果乙比甲先走2小時，那么在甲出發后2.5小時相遇．甲、乙兩人每小時各走多少千米？我們可以設甲、乙速度分別為x，y千米/時，得到方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3＋2）x＋3y＝36，,2.5x＋（2＋2.5）y＝36.))可是這個方程組怎么解呢？有幾種解法？二、合作探究探究點一：用代入法解二元一次方程組用代入法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－19，①,x＋5y＝1；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，①,3x－2y＝5；②))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－9y＝6，①,4x－7y＝13；②))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，①,\f(y＋1,4)＝\f(x＋2,3)．②))解析：對于方程組(1)，比較兩個方程系數的特點可知應將方程②變形為x＝1－5y，然后代入①求解；對于方程組(2)可將方程①變形為x＝eq\f(3,2)y，然后代入②求解；對于方程組(3)，比較兩個方程系數的特點可知應將方程①變形為x＝3y＋2，然后代入②求解；對于方程組(4)，應將方程組變形為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，③,4x－3y＝－5，④))觀察③和④中未知數的系數，絕對值最小的是2，一般應選取方程③變形，得x＝eq\f(3y＋1,2).解：(1)由②，得x＝1－5y③，把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.把y＝3代入③，得x＝－14.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－14，,y＝3.))(2)由①，得x＝eq\f(3,2)y③，把③代入②，得3×eq\f(3,2)y－2y＝5，eq\f(5,2)y＝5，得y＝2.把y＝2代入③得x＝3.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))(3)由①，得x＝3y＋2③，把③代入②，得4(3y＋2)－7y＝13，12y＋8－7y＝13，5y＝5，y＝1.把y＝1代入③得x＝5.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.))(4)將原方程組整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，③,4x－3y＝－5.④))由③，得x＝eq\f(3y＋1,2)⑤.把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，3y＝－7，y＝－eq\f(7,3).把y＝－eq\f(7,3)代入⑤，得x＝－3.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－\f(7,3)．))方法總結：用代入法解二元一次方程組，關鍵是觀察方程組中未知數的系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單的或代入后容易消元的方程進行變形．探究點二：整體代入法解二元一次方程組解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝y－1，①,2（x－2）＋（y－1）＝5；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,3)＝2y，①,2（x＋1）－y＝11.②))解析：分別把(x－2)，(x＋1)看作一個整體代入求解．解：(1)把(x－2)看作一個整體代入②，得2(y－1)＋(y－1)＝5，解得y＝eq\f(8,3).把y＝eq\f(8,3)代入①得x－2＝eq\f(8,3)－1，解得x＝eq\f(11,3).所以方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,3)，,y＝\f(8,3)．))(2)由①，得x＋1＝6y.把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.解得y＝1.把y＝1代入①，得eq\f(x＋1,3)＝2×1，x＝5.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.))方法總結：當所給的方程組比較復雜時，應先化簡，但若兩方程中含有未知數的部分相等時，可把這一部分看作一個整體求解．三、板書設計eq\a\vs4\al(解二元一次,方程組)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(基本思路是“消元”,代入法解二元一次方程組的一般步驟))回顧代入法解二元一次方程組的解法，借此探索系數不為±1的二元一次方程組的解法，使得學生的探究有很好的認知基礎，探究顯得十分自然流暢．引導學生充分思考，體驗并掌握整體代入的思想，增強學生的觀察歸納能力，提高學生的學習能力．第6章一次方程組6.2二元一次方程組的解法第3課時加減法(1)1．進一步理解解二元一次方程組的基本思想是消元．2．會用加減消元法解二元一次方程組，進一步體會“轉化”“消元”思想．重點：用加減消元法解二元一次方程組．難點：熟練、正確地用適當方法解二元一次方程組．一、問題引入上節課我們學習了用代入消元法解二元一次方程組，那么如何解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，①,2x－3y＝5②))呢？1．用代入法(消x)解方程組．2．解完后思考：用“整體代換”的思想把2x作為一個整體代入消元求解．3．還有沒有更簡單的解法？由x的系數相等，是否可以考慮①－②，從而消去x求解？4．思考：(1)兩方程相減的依據是什么？(2)目的是什么？(3)相減時要特別注意什么？二、合作探究探究點一：用加減消元法解二元一次方程組用加減消元法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝7，①,2x－3y＝－1；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝6，①,5x＋2y＝10；②))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋2y＝8，①,－\f(1,3)x＋6y＝16.②))解析：觀察(1)中兩式x的系數相同，則①－②可消去x；(2)中兩式y的系數互為相反數，則①＋②可消去y；(3)中兩式x的系數互為相反數，則①＋②可消去x.解：(1)由①－②得8y＝8，解得y＝1.將y＝1代入①式得x＝1.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))(2)由①＋②得8x＝16，解得x＝2.將x＝2代入①式得y＝0.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))(3)由①＋②得8y＝24，解得y＝3.將y＝3代入①式得x＝6.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3.))方法總結：用加減消元法解二元一次方程組時，決定消去哪個未知數很重要，解題的關鍵是觀察兩個方程相同未知數的系數關系，利用加減消元法求解．探究點二：已知方程的解，求方程的系數已知關于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,2)by＝2，,－ax＋by＝－11.))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，))求a，b的值．解：把解代入原方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b＝2①，,－2a－3b＝－11②，))由①＋②得－eq\f(3,2)b＝－9.解得b＝6.將b＝6代入①式得a＝－eq\f(7,2).所以a＝－eq\f(7,2)，b＝6.方法總結：解這類題就是根據方程組解的定義求，將解代入方程組，得到關于字母系數的方程組，解方程組即可．探究點三：同解方程組已知關于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝－6，,ax－by＝4))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5y＝16，,bx＋ay＝－8))的解相同，求(a＋b)2的值．解析：根據同解方程組的概念，將第一個方程組中2x＋5y＝－6與第二個方程組中的3x－5y＝16重新組合，解出方程組；再代入另外兩個方程，組合成方程組，求出相應的字母a，b的值，從而解決問題．解：聯立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝－6，①,3x－5y＝16.②))①＋②得5x＝10.解得x＝2.把x＝2代入①得y＝－2.把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2))代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－by＝4，,bx＋ay＝－8))并整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,b－a＝－4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1.))則(a＋b)2＝(3－1)2＝4.方法總結：根據同解方程組的概念，將方程組重新分配，解出其中一個方程組后，再將解代入另外兩個方程，從而求出相應的字母值．三、板書設計用加減法解同一未知數系數絕對值相同的方程組步驟：①使同一個未知數的系數相等則兩式相減；使同一個未知數的系數互為相反數則兩式相加，從而達到消去一個未知數的目的，使方程變為一元一次方程；②解一元一次方程；③求另一個未知數的值，得方程組的解．進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數學研究中“化未知為已知”的化歸思想．選擇恰當的方法解二元一次方程組，培養學生的觀察、分析問題的能力．第6章一次方程組6．2二元一次方程組的解法第4課時加減法(2)1．會用加減法解未知數系數的絕對值不同的方程組．2．掌握用加減消元法解二元一次方程組的方法，經歷化二元一次方程組為一元一次方程的過程，理解加減消元法的基本思想，體會化未知為已知的化歸思想方法．重點：用加減消元法解二元一次方程組的基本步驟．難點：靈活選用適當的方法解二元一次方程組．一、情境導入一種飲料有兩種包裝，2大盒、4小盒共裝88瓶，3大盒、2小盒共裝84瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？(1)設大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組為________．(2)如何用加減消元法解上述方程組？二、合作探究探究點一：用加減消元法解二元一次方程組用加減消元法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－3，①,4x＋3y＝20；②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝3，①,3x－2y＝15；②))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2)＋\f(2y＋5,3)＝5，①,3x－4y＝－2；②))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－0.3（y－2）＝\f(x＋1,5)，①,\f(y－1,4)＝\f(4x＋9,20)－1.②))解析：(1)觀察x，y的兩組系數發現兩個方程中x的系數存在2倍關系，可以將方程①的兩邊同乘以2，與方程②中的x系數相同，兩式相減即可消去x；(2)觀察x，y的兩組系數，x的系數的最小公倍數是12，y的系數的最小公倍數是6，所以選擇消去y，把方程①的兩邊同乘以2，得8x＋6y＝6③，把方程②的兩邊同乘以3，得9x－6y＝45④，把③與④相加就可以消去y；(3)先化簡方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝14③，,3x－4y＝－2④，))再把方程③與方程④相減，就可以消去x；(4)先化簡方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝14，③,4x－5y＝6.④))觀察其系數，方程④中x的系數恰好是方程③中x的系數的2倍，所以應選擇消去x.把方程③兩邊都乘以2，得4x＋6y＝28⑤，再把方程⑤與方程④相減，就可以消去x.解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－3①，,4x＋3y＝20②，))由①×2得4x－10y＝－6③，將②－③，得13y＝26，即y＝2，將y＝2代入①，得x＝3.5，所以方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3.5，,y＝2.))(2)①×2，得8x＋6y＝6③，②×3，得9x－6y＝45④，③＋④，得17x＝51，x＝3.把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－3.))(3)化簡方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝14③，,3x－4y＝－2④，))③－④得8y＝16，y＝2，把y＝2代入③得x＝2.所以方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))(4)化簡方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝14，③,4x－5y＝6.④))③×2，得4x＋6y＝28⑤.⑤－④，得11y＝22，y＝2.把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2.))方法總結：用加減消元法解二元一次方程組時，決定消去哪個未知數很重要，一般選擇消去兩個方程中系數的最小公倍數的絕對值較小的未知數．復雜的方程組一定要先化簡，再觀察思考消元方案．探究點二：用加減法整體代入求值【類型一】由整體思想求代數式的值已知x，y滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝5，,3x＋y＝－1，))求代數式(x＋y)(x－y)的值．解析：觀察兩個方程的系數，可知兩方程相減得2x－2y＝－6，從而求出x－y的值；兩方程相加得4x＋4y＝4，從而求出x＋y＝1.解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝5，①,3x＋y＝－1，②))由②－①，得2x－2y＝－1－5，得x－y＝－3.由②＋①，得4x＋4y＝4，得x＋y＝1.所以代數式(x＋y)(x－y)＝1×(－3)＝－3.方法總結：解題的關鍵是觀察兩個方程相同未知數的系數關系，利用加減消元法求解．【類型二】由整體思想求參數字母的值已知關于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝3k＋1，,5x＋3y＝k＋1，))且x＋y＝2，求k的值．解析：觀察兩個方程的系數，可知兩方程相加得8x＋8y＝4k＋2，從而求出x＋y＝eq\f(2k＋1,4)，由x＋y＝2列出方程，從而求出k的值．解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝3k＋1①，,5x＋3y＝k＋1②，))由①＋②得8x＋8y＝4k＋2，即x＋y＝eq\f(2k＋1,4)，代入x＋y＝2，得eq\f(2k＋1,4)＝2.解得k＝eq\f(7,2).方法總結：利用整體思想用含參數的代數式表示出已知關系式，根據兩式相等得出方程，從而求出參數的值．探究點三：構造二元一次方程組求值已知xm－n＋1y與－2xn－1y3m－2n－5是同類項，求m和n的值．解析：根據同類項的概念，可列出含字母m和n的方程組，從而求出m和n.解：因為xm－n＋1y與－2xn－1y3m－2n－5是同類項，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＋1＝n－1，①,3m－2n－5＝1.②))整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2n＋2＝0，③,3m－2n－6＝0.④))④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以m＝4，n＝3.方法總結：解這類題，就是根據同類項的定義，利用相同字母的指數分別相等，列方程組求字母的值.三、板書設計用加減法解二元一次方程組的步驟：①變形，使某個未知數的系數絕對值相等；②加減消元；③解一元一次方程；④求另一個未知數的值，得方程組的解．進一步理解用加減法解二元一次方程組的“消元”思想，從系數絕對值相等的方程組，轉化為系數為任意數，進一步體會數學研究中“化未知為已知”的化歸思想．選擇恰當的方法解二元一次方程組，培養學生觀察、分析問題的能力．第6章一次方程組6．2二元一次方程組的解法第5課時二元一次方程組與實際問題1．會根據問題情境及條件列出二元一次方程組，正確解方程組并檢驗其解是否合理．2．體會運用二元一次方程組求多項式中的待定系