第八章平面解析幾何補上一課圓錐曲線中的軌跡問題方法一直接法B解析設P(x，y)，感悟提升直接法求軌跡方程時，最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯成代數方程，再建系、設點、列式、代換、化簡、證明.最后的證明這一步驟可以省略，求出軌跡的方程后還需注意檢驗方程的“純粹性”和“完備性”.兩種常見的題型及解題策略為：(1)題目給出等量關系，求軌跡方程，直接代入即可得出方程.(2)題中未明確給出等量關系，求軌跡方程，可利用已知條件尋找等量關系，得出方程.但要注意“完備性”.y2＝4x(x≠0且x≠1)化簡可得y2＝4x(x≠0，x≠1)，故曲線E的方程為y2＝4x(x≠0，x≠1).方法二定義法例2(多選)(2024·泰安模擬)已知圓O的半徑為定長r，A是圓O所在平面內一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q.當點P在圓上運動時，下列說法正確的是(

) A.當點A在圓O內(不與圓心重合)時，點Q的軌跡是橢圓 B.點Q的軌跡可能是一個定點 C.當點A在圓O外時，點Q的軌跡是雙曲線的一支 D.點Q的軌跡可能是拋物線AB解析對于A，連接QA，OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因為點A在圓內，所以|OA|<|OP|，根據橢圓的定義，得點Q的軌跡是以O，A為焦點，r為長軸長的橢圓，A正確.對于B，當點A在圓上時，點Q與圓心O重合，點Q的軌跡為定點，故B正確.對于C，連接QA，OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以||QO|－|QA||＝||QO|－|QP||＝|OP|＝r.又因為點A在圓外，所以|OA|>|OP|，根據雙曲線的定義，點Q的軌跡是以O，A為焦點，r為實軸長的雙曲線，C錯誤.對于D，由于當點A與圓心O重合時，點Q的軌跡為圓，所以點Q的軌跡不可能為拋物線，D錯誤.感悟提升利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制.訓練2

若動圓與兩定圓(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，則動圓圓心的軌跡方程是___________________.解析設圓C1為(x＋5)2＋y2＝1，可得圓心C1(－5，0)，半徑r1＝1，設圓C2為(x－5)2＋y2＝49，可得圓心C2(5，0)，半徑r2＝7，且|C1C2|＝10.設動圓圓心為C，半徑為r，因為動圓C同時與圓C1和圓C2外切，所以|CC1|＝r＋1，|CC2|＝7＋r，所以|CC2|－|CC1|＝6<|C1C2|＝10，所以點C的軌跡是以C1(－5，0)，C2(5，0)為焦點的雙曲線的左支，方法三代入法(相關點法)例3

已知曲線C0：y＝3x2＋1和點A(－2，0)，動點C在曲線C0上.(1)若線段AC的中點為M，求動點M的軌跡方程；解設動點M的坐標為(x，y)，C(x0，y0)，解設動點P的坐標為(x，y)，C(x0，y0)，感悟提升A解析設M(x，y)，由M為線段OP的中點，得P(2x，2y)，方法四參數法例4

已知點A和點B是拋物線y2＝4px(p>0)上除原點以外的兩個動點，若OA⊥OB，OM⊥AB于點M，求點M的軌跡方程.解當AB所在直線的斜率不存在時，M為一定點，坐標為(4p，0).當AB所在直線的斜率存在時，設其方程為y＝kx＋b(k≠0).由題可知，k2≠0，Δ>0.設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，則b＝－4pk.①設點M(x，y)(x≠0，y≠0)，由①②及y＝kx＋b消去k，b，得x2＋y2－4px＝0(y≠0).又點(4p，0)滿足x2＋y2－4px＝0，所以點M的軌跡方程為x2＋y2－4px＝0.感悟提升1.參數法求動點軌跡方程的一般步驟(1)選擇坐標系，設動點坐標P(x，y)；(2)分析軌跡的已知條件，選定參數(選擇參數時要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數)；(3)建立參數方程；(4)消去參數得到普通方程；(5)討論并判斷軌跡.2.常用的消參方法有：代入消參，加減消參，整體代換法，三角消參法(sin2θ＋cos2θ＝1)等，要特別注意：消參前后變量x，y的取值范圍不能改變.方法五交軌法解法一設直線MB1：y＝kx－3(k≠0)，法二設N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0).由題意知B1(0，－3)，B2(0，3)，感悟提升1.求兩條動直線交點軌跡方程一般用交軌法.2.運用交軌法探求軌跡方程問題，主要是把選取的參數看成已知數，寫出兩條動曲線方程；如果動點(x0，y0)影響動點P(x，y)的軌跡，那么就選取動點(x0，y0)為參數.如果動直線的斜率k影響動點P(x，y)的軌跡，那么就選取動直線的斜率k為參數.如果動直線在y軸上的截矩b影響動點P(x，y)的軌跡，那么就選取動直線在y軸上的截距b為參數.如果動直線的傾斜角α影響動點P(x，y)軌跡，那么就選取動直線的傾斜角α為參數.解設A(x1，y1)，B(x1，－y1).因為A1(－a，0)，A2(a，0)，課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN1.在平面內，到直線x＝－2與到定點P(2，0)的距離相等的點的軌跡是(

)A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓

D.直線A解析由動點M到點P(2，0)的距離與到直線x＝－2的距離相等，則動點M的軌跡是以點P為焦點，直線x＝－2為準線的拋物線，故選A.2.動點A在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B(3，0)連線的中點的軌跡方程是(

) A.x2＋y2＋3x＋2＝0 B.x2＋y2－3x＋2＝0 C.x2＋y2＋3y＋2＝0 D.x2＋y2－3y＋2＝0B解析設動點A(xA，yA)與定點B(3，0)連線的中點為P(x，y)，因為點A在圓x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，即4x2－12x＋9＋4y2＝1，整理得x2＋y2－3x＋2＝0.C解析設A(－10，0)，B(10，0)，P(x，y)，則|PA|－|PB|＝12，故點P到定點A(－10，0)與到定點B(10，0)的距離差為12，則動點P(x，y)的軌跡是以(±10，0)為焦點，以12為實軸長的雙曲線的右支，由于2a＝12，c＝10，則b2＝c2－a2＝100－36＝64，B解析設P(x，y)，不妨令A(x1，0)，B(0，y2)，正方形ABCD的面積為16，C解析∵|PA|－|PB|＝6<10＝|AB|，|QB|－|QA|＝6<10＝|AB|，B解析如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，垂足為Q，過Q作QR⊥A1D1，R為垂足，則PR為點P到直線A1D1的距離，由題意得PR2－PQ2＝RQ2＝1，由已知得PR2－PM2＝1，所以PQ＝PM，即P到點M的距離等于P到AD的距離，所以根據拋物線的定義可得，點P的軌跡是拋物線，故選B.BD9.動圓經過點A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，則動圓圓心M的軌跡方程是______________.y2＝12x解析設動點M(x，y)，設⊙M與直線l：x＝－3的切點為N，則|MA|＝|MN|，即動點M到定點A和定直線l：x＝－3的距離相等，所以點M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點，以直線l：x＝－3為準線，所以p＝6，所以動圓圓心的軌跡方程為y2＝12x.10.已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓M在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為______________.解析設圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16，2c＝8，解設動圓P的半徑為R，圓心P的坐標為(x，y)，兩式相加得|PC1|＋|PC2|＝4>|C1C2|＝2，所以動圓P的圓心的軌跡E是以C1，C2為焦點的橢圓，解設點P(x1，y1)，N(x，y)，則點M的坐標為(x1，0)，且x＝x1，(2)當點N的軌跡為圓時，求λ的值.BCD解析平面上點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則點P到點M的距離與它到直線y＝－2的距離相等，因此其軌跡是以M為焦點，直線y＝－2為準線的拋物線，其軌跡方程是x2＝8y，A錯誤；此拋物線與直線y＝－1一定無交點，B正確；即x2－16x＋24＝0，Δ＝162－4×24＝160>0，方程組有實數解，因此此拋物線與直線y＝2x－3有交點，即直線y＝2x－3上存在點P滿足題意，C正確；A解析設點P坐標為(x，y)，即點P的軌跡為以A，B為頂點的雙曲線的左支(除A點)，因為D(3，0)，設F(－3，0)，由雙曲線的定義可知|PD|＝|PF|＋4，所以|PD|＋|PC|＝|PF|＋|PC|＋4≥|FC|＋4，當且僅當F，P，C三點共線時|PF|＋|PC|取得最小值|FC|，15.(2024·南京調研)已知圓C：x2＋y2－4x＋3＝0，定點F(2，0)，動點Q滿足以FQ為直徑的圓與y軸相切.過點F的直線l與動點Q的軌跡E，圓C順次交于A，M，N，B四點，則|AN|＋4|BM|的最小值為________.