第三章一元函數的導數及其應用補上一課極值點偏移(無偏移，左右對稱，如二次函數)若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝2x0.(左陡右緩，極值點向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2>2x0；(左緩右陡，極值點向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2<2x0.題型一對稱化構造輔助函數例1(2024·青島調研)已知函數f(x)＝xe－x.(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值；解

f′(x)＝(1－x)e－x，則由f′(x)<0，得x>1；由f′(x)>0，得x<1，所以f(x)在(－∞，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>2.證明

不妨設x1<x2，由(1)知x1<1，x2>1，要證x1＋x2>2，即證x2>2－x1，即證f(x1)＝f(x2)<f(2－x1).構造F(x)＝f(2－x)－f(x)＝(2－x)ex－2－xe－x，x<1，則F′(x)＝(1－x)(ex－2－e－x)<0，所以F(x)在(－∞，1)上單調遞減，所以F(x)＝f(2－x)－f(x)>F(1)＝0，故F(x1)＝f(2－x1)－f(x1)>0，x1<1，可得f(2－x1)>f(x1)＝f(x2)，又x1<1，2－x1>1，x2>1，且f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，所以2－x1<x2，故x1＋x2>2.感悟提升訓練1

已知函數f(x)＝x(1－lnx)，若f(x)＝m有兩個根x1，x2(x1≠x2)，求證：x1＋x2>2.當x∈(0，1)時，f′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減.不妨設0<x1<1<x2，要證x1＋x2>2，即證x2>2－x1.因為0<x1<1<x2，所以x2>1，2－x1>1，又f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，所以即證f(x2)<f(2－x1)，又f(x1)＝f(x2)，所以即證f(x1)<f(2－x1)，即證當x∈(0，1)時，f(x)－f(2－x)<0.構造函數F(x)＝f(x)－f(2－x)，則F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)].當0<x<1時，x(2－x)<1，則－ln[x(2－x)]>0，即當0<x<1時，F′(x)>0，所以F(x)在(0，1)上單調遞增，所以當0<x<1時，F(x)<F(1)＝0，所以當0<x1<1時，f(x1)－f(2－x1)<0成立，可得f(2－x1)>f(x1)＝f(x2)，又x1<1，則2－x1>1，x2>1，且f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，所以2－x1<x2，所以x1＋x2>2.題型二比、差值換元構造輔助函數例2

已知函數f(x)＝lnx－ax(x>0)，a為常數，若函數f(x)有兩個零點x1，x2(x1≠x2)，求證：x1x2>e2.證明法一不妨設x1>x2，因為lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，所以lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，欲證x1x2>e2，即證lnx1＋lnx2>2.因為lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，法二由題意，函數f(x)有兩個零點x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0，易知lnx1，lnx2是方程x＝aex的兩個根，設t1＝lnx1，t2＝lnx2，g(x)＝xe－x，則g(t1)＝g(t2)，從而x1x2>e2?lnx1＋lnx2>2?t1＋t2>2.下證：t1＋t2>2.g′(x)＝(1－x)e－x，易得g(x)在(－∞，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，當x→－∞時，g(x)→－∞；當x→＋∞時，g(x)→0且g(x)>0，由g(t1)＝g(t2)，t1≠t2，不妨設t1<t2，作出函數g(x)的圖象如圖所示，由圖知必有0<t1<1<t2.令F(x)＝g(1＋x)－g(1－x)，x∈(0，1]，所以F(x)在(0，1]上單調遞增，所以F(x)>F(0)＝0對任意的x∈(0，1]恒成立，即g(1＋x)>g(1－x)對任意的x∈(0，1]恒成立.由0<t1<1<t2，得1－t1∈(0，1)，所以g[1＋(1－t1)]＝g(2－t1)>g[1－(1－t1)]＝g(t1)＝g(t2)，即g(2－t1)>g(t2).又2－t1，t2∈(1，＋∞)，且g(x)在(1，＋∞)上單調遞減，所以2－t1<t2，所以t1＋t2>2，即x1x2>e2.感悟提升訓練2(2024·南通模擬改編)已知函數f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1＋x2＞2.所以g(x)在(－∞，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，由于x1，x2是方程g(x)＝0的實根，不妨設x1＜1＜x2.設0＜x1＜1＜x2，由g(x1)＝g(x2)，得x1e－x1＝x2e－x2，等式兩邊取對數得lnx1－x1＝lnx2－x2.課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN當0<x<1時，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上單調遞減；當x>1時，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上單調遞增.不妨設x1<x2，則0<x1<1<x2.則2－x1>1，要證x1＋x2>2，即證x2>2－x1>1，即證g(x2)＝g(x1)>g(2－x1)，所以h(x)在(0，1)上單調遞減，于是h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g(2－x).當0<x1<1時，g(x1)>g(2－x1)，又g(x1)＝g(x2)，所以g(x2)>g(2－x1)，又x2>1，2－x1>1，且g(x)在(1，＋∞)上單調遞增，所以x2>2－x1，即x1＋x2>2得證.證明要證x1x2>e2，只需證lnx1＋lnx2>2，若f(x)有兩個極值點x1，x2，即f′(x)有兩個變號零點，又f′(x)＝lnx－mx，所以x1，x2是方程f′(x)＝0的兩個不同的實根，所以h(t)在(1，＋∞)上單調遞增.又h(1)＝0，因此h(t)>h(1)＝0.3.(2024·杭州調研)已知函數f(x)＝x－lnx－a有兩個不同的零點x1，x2.(1)求實數a的取值范圍；解

∵函數f(x)＝x－lnx－a，當x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增.故當x＝1時，函數f(x)＝x－lnx－a取最小值f(1)＝1－a，若函數f(x)＝x－lnx－a有兩個不同的零點x1，x2，則1－a<0，即a>1.故實數a的取值范圍為(1，＋∞).(2)證明：x1＋x2>a＋1.證明

由(1)可設0<x1<1<x2，則x1－lnx1＝a，且x2－lnx2＝a，若證x1＋x2>a＋1，即證x2>1－lnx1，構造函數g(x)＝f(x)－f(1－lnx)，0<x<1，所以g(x)＝x－lnx－(1－lnx)＋ln(1－lnx)＝x－1＋ln(1－lnx)，令h(x)＝x(1－lnx)，則h′(x)＝－lnx>0，所以h(x)單調遞增，所以0<h(x)<h(1)＝1.所以g′(x)<0，所以g(x)>g(1)＝0，即f(x)>f(1－lnx)，0<x<1，又0<x1<1<x2，所以f(x2)＝f(x1)>f(1－lnx1).因為f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增，所以x2>1－lnx1，即x1＋x2>a＋1，故原不等式得證.證明由題意知f′(x)＝ex－ex，令g(x)＝ex－ex，則g′(x)＝ex－e.令g′(x)＝0，得x＝1，當x∈(－∞，1)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，