專題14二次函數(shù)與菱形存在性問題解題點(diǎn)撥【基本概念】菱形作為一種特殊的平行四邊形，可以從以下幾種方式得到：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊都相等的四邊形是菱形．【解題技巧】坐標(biāo)系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的3個(gè)等式，故菱形存在性問題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同．【基本題型】因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動點(diǎn)，多則有3個(gè)動點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動點(diǎn)+1個(gè)全動點(diǎn)（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動點(diǎn)【解題思路】解決問題的方法也可有如下兩種：思路1：先平四，再菱形設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．思路2：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．

【例題解析】如圖，在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5,4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，求D點(diǎn)坐標(biāo)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．思路1：先平四，再菱形設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（p，q）．（1）當(dāng)AB為對角線時(shí)，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）當(dāng)AC為對角線時(shí)，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）當(dāng)AD為對角線時(shí)，由題意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求點(diǎn)C，點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C，再確定D點(diǎn)．（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，對應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為；C點(diǎn)坐標(biāo)為，對應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）當(dāng)BA=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），對應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）．（3）AC=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為．以上只是兩種簡單的處理方法，對于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法．直擊中考1．（四川德陽模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求線段長度的最大值．(3)動點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，(3)存在，或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再令，可得，求解即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的解析式，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）要使點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，只需為等腰三角形，所以，或，結(jié)合圖形得到答案即可．【詳解】（1）解：由題意，將點(diǎn)、代入，可得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，可有，解得，，∴；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、代入，可得，解得，∴，設(shè)點(diǎn)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，有；（3）如圖1，∵，，∴，∴，作軸于，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，由得，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，作軸于，作軸于，∴，可得四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴．綜上所述：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握先關(guān)知識，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想分析問題，并畫出符合條件的圖形．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，其中，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P，Q為直線下方拋物線上任意兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別作y軸的平行線交直線于C點(diǎn)和D點(diǎn)，連接，求四邊形面積的最大值；(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移2個(gè)單位，得到新的拋物線，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為的對稱軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)G為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)構(gòu)成以為邊的菱形時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)、、．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意，求得直線解析式，以及四點(diǎn)坐標(biāo)，得到、長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得的表達(dá)式，分兩種情況，討論求解即可．【詳解】（1）解：將，代入二次函數(shù)解析式，可得，解得即；（2）設(shè)直線解析式，代入，，可得，解得即，則，，，，，，即當(dāng)時(shí)，最大，為；（3）由（2）可知，直線為與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，兩點(diǎn)之間的距離為，沿射線平移個(gè)單位，可看成向右移動了4個(gè)單位，向下移動了2個(gè)單位，∴，則平移后，拋物線的對稱軸為，設(shè)，當(dāng)時(shí)，如圖：則，解得，∴或，當(dāng)時(shí)，平移到，平移到，∴，當(dāng)時(shí)，平移到，平移到，∴，當(dāng)時(shí)，如下圖：，解得，平移到，平移到，可得，綜上點(diǎn)的坐標(biāo)為、、．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，四邊形面積、菱形的性質(zhì)及應(yīng)用等知識解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．3．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對稱軸為直線x＝﹣1．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4(2)S最大＝，D（﹣，5）(3)存在，Q（﹣2，）【分析】（1）先求得A，C，B三點(diǎn)的坐標(biāo)，將拋物線設(shè)為交點(diǎn)式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)E坐標(biāo)可表示出DE的長，進(jìn)而表示出三角形ADC的面積，進(jìn)而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（3）根據(jù)菱形性質(zhì)可得PA＝PC，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進(jìn)一步求得點(diǎn)Q坐標(biāo)．【詳解】（1）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），當(dāng)y＝0時(shí)，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵對稱軸為直線x＝﹣1，∴B（1，0），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式：y＝a（x﹣1）?（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如圖1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S最大＝，當(dāng)m＝﹣時(shí)，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；（3）設(shè)P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對角線的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，∴P（﹣1，），∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q（﹣2，）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，勾股定理，菱形性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)二次函數(shù)和菱形性質(zhì)4．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，直線與該拋物線交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)D，連接．當(dāng)時(shí)，求線段的長；（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線上，點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、、【分析】（1）分別令x=0、y=0即可求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐標(biāo)，最后根據(jù)求出m的值即可；（3）分三種情況：對角線或?yàn)閷蔷€或?yàn)閷蔷€，①當(dāng)為對角線時(shí)，，，可得出，根據(jù)，即可求出答案；②當(dāng)為對角線時(shí)，，，設(shè)，則，，建立方程求解即可；③當(dāng)對角線時(shí)，與互相垂直平分，設(shè)，則，，根據(jù)在直線上，即可求得答案．【詳解】解：（1）令x=0得，∴C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-8）令y=0得：，解得：，∴A（-4,0），B（2,0）；（2）設(shè)DE交x軸于F，設(shè)AC解析式為，代入AC坐標(biāo)得：，解得∴AC解析式為，∵直線與該拋物線交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)D，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得，∴；（3）存在，如圖2，，拋物線對稱軸為直線，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分三種情況：對角線或?yàn)閷蔷€或?yàn)閷蔷€，①當(dāng)為對角線時(shí)，，，點(diǎn)為直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，即，，，，；②當(dāng)為對角線時(shí)，，，設(shè)，則，，，解得：，，③當(dāng)對角線時(shí)，與互相垂直平分，設(shè)，則，，在直線上，，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)；會利用相似三角形處理垂直．5．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求的值；（2）點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，過P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)Q．①當(dāng)時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)m的值；②是否存在m，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由見解析【分析】（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）①設(shè)點(diǎn)P（m，m2-2m-3），則點(diǎn)Q（m，m），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，利用菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b=，c=；（2）①由（1）得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2，設(shè)點(diǎn)P（m，m2-2m-3），則點(diǎn)Q（m，m），∵0<m<3，∴PQ=m-(m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，∵-1<0，∴當(dāng)時(shí)，PQ有最大值，最大值為；②∵拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-2x-3，∴C（0，-3），∴OB=OC=3，由題意，點(diǎn)P（m，m2-2m-3），則點(diǎn)Q（m，m），∵PQ∥OC，當(dāng)OC為菱形的邊，則PQ=OC=3，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，∴PQ=，即，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，菱形不存在，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)BC=，菱形也不存在；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P下方時(shí)，若點(diǎn)Q在第三象限，如圖，∵∠COQ=45°，根據(jù)菱形的性質(zhì)∠COQ=∠POQ=45°，則點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，此時(shí)OA=1OC=3，菱形不存在，若點(diǎn)Q在第一象限，如圖，同理，菱形不存在，綜上，不存在以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，其中，熟練掌握方程的思想方法和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．6．（2020·遼寧阜新·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一動點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)P僅在線段上運(yùn)動，如圖1．求線段的最大值；②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）①由點(diǎn)得，從而得，整理，化為頂點(diǎn)式即可得到結(jié)論；②分MN=MC和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可．【詳解】解：（1）把代入中，得解得∴．（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入．得，解這個(gè)方程組，得∴．

∵點(diǎn)是x軸上的一動點(diǎn)，且軸．∴．

∴．

∵，∴此函數(shù)有最大值．又∵點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，且∴當(dāng)時(shí)，有最大值．

②∵點(diǎn)是x軸上的一動點(diǎn)，且軸．∴．

∴（i）當(dāng)以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）∴MC=∴整理得，∵，∴，解得，，∴當(dāng)時(shí)，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；當(dāng)m=時(shí)，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；(ii)若，如圖，則有整理得，∵，∴，解得，，當(dāng)m=-1時(shí)，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），當(dāng)m=-5時(shí)，MN=-10＜0（不符合實(shí)際，舍去）綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用線段的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．7．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式和對稱軸；(2)設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，請用含t的式子表示線段的長，并求出線段的最大值；(3)已知點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)線段取得最大值時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，直線(2)，最大值為4(3)，或，【分析】（1）根據(jù)與x軸交點(diǎn)可得頂點(diǎn)式，化簡即可求解；（2）由，即可求解；（3）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，則，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，即，則拋物線的對稱軸為直線；（2）設(shè)直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，故直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，，故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為4；（3）存在，理由：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，而點(diǎn)；四邊形是菱形，則，即，解得：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于，頂點(diǎn)為，對稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸的左側(cè)．(1)求的值及點(diǎn)，的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線將四邊形分為面積比為的兩部分時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)點(diǎn)位于第一象限時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則以為對角線的四邊形能否為菱形？若能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．【答案】(1)，，(2)或(3)【分析】（1）把點(diǎn)代入拋物線解析式即可求出，令，列方程即可求出點(diǎn)、坐標(biāo)；（2）先求出四邊形面積，根據(jù)，分兩種情形：①當(dāng)直線與邊相交于點(diǎn)時(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．②當(dāng)直線與邊相交于點(diǎn)時(shí)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）設(shè)且過點(diǎn)的直線的解析式為，得到，利用方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線解析式，再利用方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程求出，即可解決問題．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，有，解得，，，；（2）解：拋物線的頂點(diǎn)為，則如圖，連接，，設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，，，，，直線將四邊形分為面積比為的兩部分時(shí)，則，，、縱坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，，，，∴，解得：，∴直線的解析式為，直線的解析式為，∴令，解得：，∴,令，解得：，∴,設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，，∴，解得：，，∴直線的解析式為，直線的解析式為（3）存在．理由如下：如圖，設(shè)、且過點(diǎn)的直線的解析式為，，，．由，∴，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，直線，設(shè)直線的解析式為，由，解得：，，，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，∵，，，，解得，，，，，∴直線的解析式為，，解得：，；，∵，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，以為對角線的四邊形為菱形時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，用方程的思想思考問題．9．綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸，與直線BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N．(1)求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)①若點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動，求線段MN的最大值；②若點(diǎn)P在x軸的正半軸上運(yùn)動，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①的最大值為；②存在這樣的Q點(diǎn)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】（1）將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，從而求出函數(shù)解析式．（2）①，先求出過的直線的解析式為的長度為，的長度為二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，的值的絕對值，可以得出關(guān)于的二次函數(shù)解析式，求出這個(gè)函數(shù)的最大值即可求解．②組成菱形時(shí)，分三種情況，第一種情況，當(dāng)作為菱形對角線；第二種情況，當(dāng)作為菱形的一條邊時(shí)；第三種情況，當(dāng)作為菱形的一條邊且P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如下圖:第一種情況，對角線，因?yàn)榈男甭蕿?，，而菱形的對角線平分角，可得到，所以菱形為正方形，N點(diǎn)縱坐標(biāo)與C點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，即可求解m的值，然后可以求出Q點(diǎn)坐標(biāo);第二種情況，當(dāng)作為菱形的一條邊時(shí)，有，聯(lián)立出關(guān)于m的方程，求解即可得到答案;第三種情況，當(dāng)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，只能是菱形的邊，同樣有，可以聯(lián)立出關(guān)于m的方程，求解即可得到答案．【詳解】（1）解：把代入中，得解得∴．（2）解：①設(shè)直線的表達(dá)式為，把，代入．得，解這個(gè)方程組，得∴．

∵點(diǎn)是x軸上的一動點(diǎn)，且軸．∴．

∴．

∵P在上運(yùn)動，∴當(dāng)時(shí)，有最大值．

②第一種情況，對角線，因?yàn)榈男甭蕿?，，而菱形的對角線平分角，可得到，所以菱形為正方形；則此時(shí)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，有解得或(舍去)，則，，∴Q第二種情況：當(dāng)作為菱形的一條邊時(shí)，有，，所以解得或0(舍去)，∴∴此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為．第三種情況：當(dāng)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如下圖，有，，，∴，解得或0(舍去)，∴∴此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、二次函數(shù)性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，并用分類討論的思想思考問題．10．（2022秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市廣全學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，，．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；拋物線的函數(shù)表達(dá)式為______；(2)點(diǎn)D是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的對稱軸l交x軸于點(diǎn)G，在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在：，，【分析】（1）證明，得到，求出，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式即可；（2）待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)，分別表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，利用，列式計(jì)算即可；（3）分是邊和是對角線兩種情況，進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）解：由題意，，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，分別把，，代入，得解得，∴；故答案為：，；（2）解：設(shè)直線函數(shù)關(guān)系式為，代入，得，，解得，∴，設(shè)，則：，∴，，由題意，解得，或（舍去），將代入得；∴；（3）解：存在，理由如下：當(dāng)以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，是等腰三角形．由題意，，，對稱軸為：，在中，由勾股定理得：，①當(dāng)是邊時(shí)：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線l的距離是：，∴此時(shí)點(diǎn)M不存在．當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)菱形為：，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，，，在中，由勾股定理得，，∴或，∴；當(dāng)點(diǎn)時(shí)：由得：，即：，解得：，同理可得：，故點(diǎn)；同理可得：；②當(dāng)為對角線時(shí)，此時(shí)，即，此時(shí)菱形為，即，設(shè)，則：，解得，∴，即點(diǎn)在軸上，則：，解得：，，∴；綜上：，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，線段，二次函數(shù)與y軸交于A點(diǎn)，與x軸分別交于B點(diǎn)、E點(diǎn)（B點(diǎn)在E點(diǎn)的左側(cè)）(1)分別求A、B、E點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接、，請判斷與是否相似并說明理由；(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，；(2)與相似，理由見解析；(3)F點(diǎn)的坐標(biāo)為：、、、．【分析】（1）分別求出時(shí)y的值，時(shí)x的值，即可得到點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)；（2）根據(jù)坐標(biāo)可得和的長，求出，，可得，然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得出結(jié)論；（3）只需要滿足為等腰三角形，即可找到對應(yīng)的菱形，所以構(gòu)建等腰有四種情況：①當(dāng)F與B重合時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③作的中垂線l，交直線于，則時(shí)，④以C為圓心，以為半徑畫圓交直線于，則時(shí)，分別列出方程求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，即，解得：，，∴，；（2）解：與相似，理由：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖2，∵，∴，∴，∵