第一章隨機事件及其概率第一節隨機事件第二節隨機事件的概率第三節條件概率、全概率公式和貝葉斯公式第四節事件的獨立性與伯努利概型本章小結

第一節隨機事件

自然界與人類活動中普遍存在兩種情況。一種是條件完全可以決定結果的情況,稱之為確定性現象。另一種是條件不能完全決定結果的情況,稱之為非確定性現象或隨機現象。隨機事件都帶有不確定性,但隨機事件還有規律性。

一、隨機事件的基本概念

在一定條件下對自然現象或人類活動所進行的觀察或試驗,統稱為隨機試驗,簡稱“試驗”,常用大寫字母E表示。

“試驗”有三個特征:

(1)可以在相同的條件下重復地進行;

(2)每次試驗的可能結果不止一種,并且能事先明確試驗的所有可能結果;

(3)在進行試驗之前不能確定哪種結果會出現。

例如:

E1:拋一枚硬幣,觀察出現正面、反面的情況。

E2:觀察一射手直到射中目標之前的射擊點數。

E1、E2都是隨機試驗。

在一個試驗中,不論可能出現的結果有多少種,總可以找到一組基本結果,滿足:

(1)每進行一次試驗,必然出現且只能出現其中一種基本結果;

(2)任何結果都是由其中一些基本結果組成的。

隨機試驗中所有基本結果組成的集合稱為樣本空間,記為Ω。樣本空間的元素,即每種基本結果,稱為樣本點。

例如:投擲一顆均勻骰子一次。

樣本空間Ω包含所有的樣本點,它必然發生,是必然事件,因此必然事件也用Ω來表示;空集?代表不包含任何樣本點,在每次試驗中都不可能發生的事件,是不可能事件,因此不可能事件也用?來表示。

二、事件間的關系及運算

從集合論的角度講,隨機事件實際上是一種特殊的集合。必然事件Ω相當于全集,每個事件A都是Ω的子集。因此我們用集合的觀點來討論事件間的關系及運算。為直觀起見,

有時借助圖形,平面上的矩形區域表示必然事件Ω,該區域的一個子區域表示隨機事件A。

1.包含關系

如果事件A發生必然導致事件B發生,則稱事件A包含于事件B或稱事件B包含事件A,記為A?B或B?A,如圖1-1所示。圖1-1

2.相等關系

如果A?B、B?A同時成立,則稱事件A與事件B相等,記為A=B。

3.事件的積(交)

由事件A與事件B同時發生構成的事件,稱為事件A與事件B的積(交),記為AB或A∩B,如圖1-2陰影部分所示。

圖1-2

4.事件的和(并)

由事件A與事件B至少有一個發生構成的事件,稱為事件A與事件B的和(并),記作A+B或A∪B,如圖1-3陰影部分所示。對任意事件A,有A+A=A,A+Ω=Ω,A+?=A。

圖1-3

5.事件的差

由事件A發生而事件B不發生構成的事件,稱為事件A與事件B的差,記作A-B,如圖1-4陰影部分所示。圖1-4

6.互不相容事件(互斥事件)

若事件A與事件B不能同時發生,即AB=?,則稱事件A與事件B互不相容(或互斥),如圖1-5所示。圖1-5

圖1-6

例1-1-檢查產品質量時,從一批產品中任意抽取5件樣品進行檢查,則可能發生的結果有未發現次品,發現1件次品……發現5件次品。設事件Ai

(i=0,1,…,5)表示“發現i件次品”,請將下列復雜事件用A0,A1,…,A5表示出來:

(1)B={發現2件或3件次品};

(2)C={最多發現2件次品};

(3)D={至少發現1件次品}。

解(1)B={發現2件或3件次品}表示A2與A3中至少一個發生,于是B=A2+A3。

(2)C={最多發現2件次品}表示A0、A1、A2中至少一個發生,于是C=A0+A1+A2。

(3)D={至少發現1-件次品}表示A1、A2、A3、A4、A5

中至少一個發生,于是D=A1+A2+A3+A4+A5或者D=Ω-A0。

例1-2設A、B、C為3個事件,試用A、B、C的運算式表示下列事件:

(1)A發生而B與C不發生;

(2)A、B都發生而C不發生;

(3)A、B、C中至少有兩個事件發生;

(4)A、B、C中至多有兩個事件發生;

(5)A、B、C中恰有兩個事件發生;

(6)A、B中至少有一個發生而C不發生。

第二節隨機事件的概率

頻率具有以下3條基本性質:

性質1-0≤fn(A)≤1。

性質2fn(Ω)=1,fn(?)=0。

性質3若A1,A2,…,Ak是兩兩互不相容的事件,則

例1-3考慮“拋硬幣,觀察出現正面H的情況”這個試驗,我們將一枚硬幣拋擲5次、50次,各做5遍,得到數據如表1-1所示(其中nH

表示H發生的頻數,fn(H)表示H發生的頻率)。

這種試驗歷史上有人做過,得到如表1-2所示的數據。

由上述數據可知,拋硬幣次數n較小時,頻率fn(H)在0與1之間隨機波動,其幅度較大,但隨著n的增大,頻率fn(H))呈現出穩定性,即當n逐漸增大時,fn(H)總在0.5附近擺動,并且逐漸穩定于0.5。

此例表明,隨著n的增大,事件A發生的頻率的波動會越來越小,呈現出一種穩定性。這是隨機事件一個極其重要的特性:頻率的穩定性。這就啟發我們用一個數來表征隨機事件A發生的可能性的大小,我們將這個數稱為概率。

二、概率公理化定義

定義1-2設E是隨機試驗,Ω是它的樣本空間。如果對于E的每個事件A,都有一個實數P(A)與它對應,并且滿足以下條件:

(1)非負性,即對于每個事件A,有P(A)≥0;

(2)規范性,即對于必然事件Ω,有P(Ω)=1;

(3)可列可加性,即設A1,A2,…是兩兩互不相容的事件,對于AiAj=?,i≠j,i,j=1,2,…,有

則稱P(A)為事件A的概率。

隨機事件的概率具有以下性質:

例1-4在所有的兩位數10~99中任取一個數,求這個數能被2或者3整除的概率。

解設事件A表示取出的兩位數能被2整除,事件B表示取出的兩位數能被3整除,則事件A∪B表示取出的兩位數能被2或3整除,事件AB表示取出的兩位數能同時被2與3整除(即能被6整除)。因為所有的90個兩位數中,能被2整除的數有45個,能被3整除的數有30個,而能被6整除的數有15個,所以

從而

三、古典概型

古典概型具有下列特點:

(1)試驗的個數是有限的;

(2)每次試驗結果等可能出現;

(3)每次試驗只出一種結果。

定義1-3如果古典概型中的基本事件總數為n,事件A包含的基本事件數為m,則事件A的概率為

概率的這種定義,稱為概率的古典定義。

古典概型具有下列性質:

性質1-非負性:0≤P(A)≤1。

性質2規范性:P(Ω)=1,P(?)=0。

性質3可加性:若A∩B=?,則P(A∪B)=P(A)+P(B)。

例1-5擲一枚質地均勻的骰子,求:出現偶數點的概率和出現點數大于4的概率。

解設A={出現偶數點},B={出現點數大于4}。本試驗為古典概型,基本事件總數n=6,“出現偶數點”的事件含有“出現2點、4點、6點”3個基本事件,“出現點數大于4”的事件含有“出現5點、6點”2個基本事件。利用古典概型概率公式可求得

例1-6袋中有10件產品,其中7件正品、3件次品,從中取兩次每次取1件,求:

(1)第一次取到1件產品后不放回,第二次再取1件,且第一次取到正品、第二次取到次品的事件A的概率;

(2)第一次取到1件產品后放回,第二次再取1件,且第一次取到正品、第二次取到次品的事件B的概率。

解(1)此為不放回抽樣。第一次取1件產品的方法有10種。因為不放回,所以第二次取1件產品的方法有9種。由乘法原則知,取兩次的方法共有10×9種,即基本事件總數為n=10×9。第一次取到正品、第二次取到次品的方法有7×3種,即事件A包含的基本事件數為m1=7×3。故P(A)為

(2)此為放回抽樣。由于有放回,因此第一次、第二次取1件產品的方法都是10種。由乘法原則知,取兩次的方法共有10×10種,即基本事件總數為n=10×10。第一次取到正品的方法有7種,第二次取到次品的方法有3種,由乘法原則知,事件B包含的基本事件數為m2=7×3。故P(B)為

例1-7袋中裝有10個球,其中6個白球、4個紅球。從袋中任取3個球,求:

(1)所取的3個球都是白球的事件A的概率;

(2)所取的3個球中恰有2個白球、1個紅球的事件B的概率;

(3)所取的3個球中最多有1個白球的事件C的概率;

(4)所取的3個球顏色相同的事件D的概率。

四、幾何概型

例如,設在平面上有一區域G,而區域g是它的某一部分,在區域G內任意投擲一點,求這點落在區域g內的概率。這里,“在區域G內任意投擲一點”應理解為:被投擲的點落在區域G內任一點處都是等可能的,并且落在區域G的任何部分的概率只與這部分的面積成比例,而與其位置和形狀無關。于是,在區域G內任意投擲一點而落在區域g內的概率可以定義為

幾何概型假設試驗的基本事件有無窮多個,但是可用某種幾何特征(如長度、面積、體積)來表示其總和,設為S,并且其中的一部分,即隨機事件A所包含的基本事件數,也可用同樣的幾何特征來表示,設為s,則隨機事件A的概率定義如下:

例1-8兩人約定于早上9點到10點在某地會面,要求先到者等待20分鐘,過時就離開,試求兩人能會面的概率。

圖1-7

例1-9有一根長為l的木棒,任意折成三段,問恰好能構成一個三角形的概率。

解設折得的三段木棒長度分別為x、y和l-x-y,則樣本空間為

而隨機事件A={三段構成三角形}相應的小區域g應滿足“兩邊之和大于第三邊”的條件,由此得到

即

則

第三節條件概率、全概率公式和貝葉斯公式

例1-10設100件某產品中有5件不合格品,而5件不合格品中又有3件次品、2件廢品。現在100件產品中任意抽取1件。

(1)求抽到廢品的概率;

(2)已知抽到不合格品,求它是廢品的概率。

例1-13某人壽命為70歲的概率為0.8,壽命為80歲的概率為0.7,若該人現已70歲,問他能活到80歲的概率是多少?

例1-14袋中有3件正品、2件次品,每次從中取1件(不放回)。若取三次,求第三次才取得次品的事件B的概率。

例1-16有10個袋子,各袋中裝球情況如下:

(1)2個袋子中各裝有2個白球與4個黑球;

(2)3個袋子中各裝有3個白球與3個黑球;

(3)5個袋子中各裝有4個白球與2個黑球。

任選一個袋子,并從中任取2個球,求取出的2個球都是白球的概率。

解設事件A表示取出的2個球都是白球,事件Bi表示所選袋子中裝球的情況屬于第i(i=1,2,3)種,易知

故

例1-17設某工廠有甲、乙、丙3個車間生產同一種產品,產量依次占全廠的45%、35%、20%,且各車間的次品率分別為4%、2%、5%。現在從一批產品中檢查出1個次品,問該次品由哪個車間生產的可能性最大?

例1-18根據以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗具有如下效果:對癌癥患者進行試驗,呈陽性反應者占95%;對非癌癥患者進行試驗,呈陰性反應者占96%。現用這種試驗對某市居民進行癌癥普查,如果該市癌癥患者數量約占居民總數的0.4%,求:

(1)試驗結果呈陽性反應的被檢查者確實患有癌癥的概率;

(2)試驗結果呈陰性反應的被檢查者確實未患癌癥的概率。

第四節事件的獨立性與伯努利概型

一、事件的獨立性定義1-5如果在兩個事件A、B中,任一事件的發生不影響另一事件發生的概率,即有P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),則稱事件A與事件B相互獨立;否則,稱事件A與事件B不獨立。

例1-19甲、乙兩人考大學,甲考上大學的概率為0.7,乙考上大學的概率為0.8,求:

(1)甲、乙兩人都考上大學的概率;

(2)甲、乙兩人中至少一人考上大學的概率。

例1-20設盒子中裝有6只球,其中4只白球、2只紅球,從盒子中任取兩次,取后放回,每次取1球,求:

(1)取到2只球都是白球的概率;

(2)取到2只球顏色相同的概率;

(3)取到2只球至少有1只是白球的概率。

二、伯努利概型

隨機現象的統計規律性只有在相同條件下,進行大量的重復試驗觀察才能呈現出來,假如這些重復試驗具有以下特點:

(1)每次試驗條件都一樣,但可能的結果為有限個;

(2)各次試驗的結果不相互影響,或稱為相互獨立,

定理1-4設在一次試驗中,事件A發生的概率為p(0<p<1),則在n重伯努利試驗中事件A恰好發生