第三章動態(tài)電路

許多實際電路，除了電源和電阻外，還常包含電容和電感元件。這類元件的VCR是微分或積分關(guān)系，故稱其為動態(tài)元件。含有動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路，描述動態(tài)電路的方程是微分方程。

3.1動態(tài)元件一、電容

電容元件(capacitor)是一種儲存電能的元件,它是實際電容器的理想化模型。其電路符號如圖所示。1、電容的一般定義

一個二端元件，若在任一時刻t，其電荷q(t)與電壓u(t)之間的關(guān)系能用q~u平面上的曲線表征，即具有代數(shù)關(guān)系f(u，q)=0則稱該元件為電容元件，簡稱電容。

3.1動態(tài)元件

電容也分：時變和時不變的，線性的和非線性的。線性時不變電容的外特性(庫伏特性)是q~u平面上一條過原點的直線，且其斜率C不隨時間變化，如圖(a)所示。其表達式可寫為：一、電容

q(t)=Cu(t)2、電容的VAR(或VCR)

若電容上電壓與電流參考方向關(guān)聯(lián)，如圖(b)，考慮到i=dq/dt，q=Cu(t)，有稱電容VAR的微分形式

3.1動態(tài)元件

對電容伏安關(guān)系的微分形式從-∞到t進行積分，并設(shè)u(-∞)=0，可得一、電容稱電容VAR的積分形式

設(shè)t=t0為初始觀察時刻，上式可改寫為稱為電容電壓在t0時刻的初始值,或初始狀態(tài)。

若電容電壓、電流的參考方向非關(guān)聯(lián)，如右圖所示。電容VAR表達式可改為u與i非關(guān)聯(lián)3.1動態(tài)元件當(dāng)電容電壓和電流為關(guān)聯(lián)方向時，電容吸收的瞬時功率為：一、電容3、電容的功率與儲能

對上式從-∞到

t

進行積分，即得t時刻電容上的儲能為：若u(-∞)=0。于是，電容在時刻t

的儲能可簡化為：二、電感3.1動態(tài)元件

將導(dǎo)線繞在骨架上就構(gòu)成一個實際電感線圈（也稱電感器），如圖(a)。1、電感的一般定義

一個二端元件，若在任一時刻t，其磁鏈Ψ(t)與電流i(t)之間的關(guān)系能用Ψ

~i平面上的曲線表征，即具有代數(shù)關(guān)系f(Ψ

，i)=0，則稱該元件為電感元件，簡稱電感。

電感元件(inductor)是一種儲存磁能的元件。它是實際電感線圈的理想化模型，其電路符號如圖(b)所示。

3.1動態(tài)元件二、電感

線性時不變電感的外特性(韋安特性)是Ψ~i平面上一條過原點的直線，且其斜率L不隨時間變化，如圖(a)所示。其表達式可寫為：

Ψ(t)=Li(t)2、電感的VAR(或VCR)對線性電感，由于Ψ(t)=Li(t)，故有稱電感VAR的微分形式電感也分：時變和時不變的，線性的和非線性的。

3.1動態(tài)元件二、電感稱電感VAR的積分形式

設(shè)t=t0為初始觀察時刻，上式可改寫為稱為電感電流在t0時刻的初始值,或初始狀態(tài)

。

若電感電壓、電流的參考方向非關(guān)聯(lián)，如右圖所示。電感VAR表達式可改為u與i非關(guān)聯(lián)對電感伏安關(guān)系的微分形式從-∞到t進行積分，并設(shè)i(-∞)=0，可得3、電感的功率與儲能

3.1動態(tài)元件二、電感當(dāng)電感電壓和電流為關(guān)聯(lián)方向時，電感吸收的瞬時功率為：

對上式從-∞到

t

進行積分，即得t時刻電感上的儲能為：若i(-∞)=0。于是，電感在時刻t

的儲能可簡化為：

可見：電感在某一時刻t

的儲能僅取決于此時刻的電流，而與電壓無關(guān)，且儲能≥0。

1、電容串聯(lián)：三、電容電感的串聯(lián)和并聯(lián)3.1動態(tài)元件分壓公式特例：兩個電容串聯(lián)，三、電容電感的串聯(lián)和并聯(lián)

3.1動態(tài)元件2、電容并聯(lián)：∴Ceq=C1+C2+…+Cn分流公式3、電感串聯(lián)：三、電容電感的串聯(lián)和并聯(lián)

3.1動態(tài)元件∴Leq=L1+L2+…+Ln分壓公式三、電容電感的串聯(lián)和并聯(lián)

3.1動態(tài)元件分流公式特例：兩個電感并聯(lián)，4、電感并聯(lián)：第三章動態(tài)電路3.2動態(tài)電路的方程及其解一、動態(tài)電路方程列寫1、一階電路舉例：

若描述電路的方程是一階微分方程，相應(yīng)的電路稱為一階電路。

例1：圖RC電路，t=0時開關(guān)S閉合，討論t>0時的電容電壓uC(t)。t>0時，根據(jù)KVL方程列出回路電壓方程為uR+uC–uS=0代入上式，整理得令τ=RC，其單位是秒。故τ稱為時間常數(shù)。例2：圖RL電路，t=0時開關(guān)S閉合，討論t>0時的電感電流iL(t)。一、動態(tài)電路方程列寫

3.2動態(tài)電路的方程及其解t>0時，根據(jù)KCL有iR+iL–iS=0根據(jù)元件的VAR，有代入，整理得y’(t)+ay(t)=bf(t)，式中y(t)為響應(yīng)，f(t)為激勵。令τ=L/R，其單位是秒。故τ稱為時間常數(shù)。3、二階電路舉例：一、動態(tài)電路方程列寫

3.2動態(tài)電路的方程及其解例：圖RLC串聯(lián)電路，仍以電容電壓uC(t)作為電路的響應(yīng)。根據(jù)KVL方程有uR+uL+uC–uS=0根據(jù)元件的VAR，代入，整理得y”(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b0f(t)1、微分方程的經(jīng)典解法二、微分方程的解

3.2動態(tài)電路的方程及其解一階和二階微分方程一般形式為y’(t)+ay(t)=bf(t)（1），y”(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b0f(t)（2）對于線性時不變動態(tài)電路，上式中的系數(shù)都是常數(shù)。

y(t)=yh(t)+yp(t)即：完全解=齊次解（通解）+特解齊次解yh(t)

：它的函數(shù)形式取決于微分方程的特征根。對于一階微分方程，特征根為s=-a，故yh(t)=Kest=Ke-at式中K為待定常數(shù)。

對于二階微分方程，特征根為s1

和s2

，當(dāng)s1≠s2

時，yh(t)=K1es1t+K2es2t

式中待定常數(shù)K1、K2將在完全解中由初始條件確定。特解yh(t)：特解具有與激勵f(t)相同的函數(shù)形式。列表如下：(P99表3-2)二、微分方程的解

3.2動態(tài)電路的方程及其解激勵f(t)函數(shù)形式特解yp(t)直流常數(shù)AtmAmtm+Am-1tm-1+…+A1t+A0eαtAeαt

當(dāng)α不是特征根時(A1t+A0)eαt

當(dāng)α是特征單根時(A2t2+A1t+A0)eαt

當(dāng)α是二階特征根(二階電路）cosβt或sinβtA1cosβt+A2sinβt當(dāng)特解yp(t)的函數(shù)形式確定后，將其代入原微分方程中，來求待定常數(shù)Ai2、舉例二、微分方程的解

3.2動態(tài)電路的方程及其解

如圖RC電路，Us為直流電壓源，當(dāng)t=0時開關(guān)閉合，電容的初始電壓uC(0)=U0，求t≥0時的uC(t)。解（1）建立電路方程。前面已得（2）求齊次解uCh(t)。故（3）求特解uCp(t)。令uCp(t)=A，將它代入上面微分方程，得

uCp(t)=A=Us（4）求完全解uC(t)。uC(t)=uCh(t)+uCp(t)=uC(0)=K+Us=U0,解得K=U0

-Us，故一、換路定律3.3電路的初始值

其中電容電壓uC和電感電流iL的初始值uC(t0)、iL(t0)由電路的初始儲能決定，稱為獨立初始值或初始狀態(tài)。其余電壓電流的初始值稱為非獨立初始值，它們將由電路激勵和初始狀態(tài)來確定。1、換路現(xiàn)象*

開關(guān)的閉或開動作；*

元件參數(shù)突變；*電源數(shù)值突變；統(tǒng)稱為“換路”我們解微分方程所需要的初始值實際上是指在t0+時刻的值。2、換路定律(SwitchingLaw)若電容電流iC和電感電壓uL在t=t0時為有限值，則換路前后瞬間電容電壓uC和電感電流iL是連續(xù)的（不發(fā)生躍變），即有

uC(t0+)=uC(t0-) iL(t0+)=iL(t0-)1、獨立初始值（初始狀態(tài)）的求解二、初始值的求解

3.3電路的初始值例：電路如圖所示，已知t<0時，開關(guān)S是閉合的，電路已處于穩(wěn)定。在t=0時，開關(guān)S打開，求初始值uC(0+)和iL(0+)。解：t=0-時的等效電路如圖(b)。由圖(b)電路容易求得：

iL(0-)=8/(2+6)=1A

uC(0-)=6iL(0-)=6V由換路定律得：uC(0+)=uC(0-)=6ViL(0+)=iL(0-)=1A基本思路先求出獨立初始值，然后再由獨立初始值求出非獨立初始值。2、非獨立初始值的求解二、初始值的求解

3.3電路的初始值

當(dāng)初始狀態(tài)求出后，根據(jù)替代定理，在t=0+時刻，將電容用電壓等于uC(0+)的電壓源替代[若uC(0+)=0時用短路替代]，電感用電流等于iL(0+)的電流源替代[若iL(0+)=0時用開路替代]，獨立源均取t=0+時刻的值。此時得到的電路是一個直流電源作用下的電阻電路，稱為0+等效電路,如圖(b)。由該電路求得各電流、電壓就是非獨立初始值。一、零輸入響應(yīng)3.4一階動態(tài)電路的響應(yīng)

動態(tài)電路能量來源于兩部分：一是外加激勵，另一是電路的初始儲能(初始狀態(tài))。例：電路如圖(a)所示，已知t<0時，開關(guān)S是處于位置1，電路已達穩(wěn)態(tài)。在t=0時，開關(guān)S切換至位置2，求t≥0時，uC(t),i(t)(零輸入響應(yīng))。解：首先計算初始狀態(tài)，容易得到t≥0時，或?qū)憺槭街校?RC為時常數(shù)。一、零輸入響應(yīng)

3.4一階動態(tài)電路的響應(yīng)將初始值uC(0+)代入，可得常數(shù)K=uC(0+)，最后得，t≥0

在換路前后，電容電壓是連續(xù)的；而電流i(0-)=0，i(0+)=uC(0+)/R，發(fā)生躍變。二、零狀態(tài)響應(yīng)

3.4一階動態(tài)電路的響應(yīng)例：電路如圖(a)所示，已知t<0時，開關(guān)S是閉合，電路已達穩(wěn)態(tài)。在t=0時，開關(guān)S斷開，求t≥0時，電容電壓uC(t)。解：t<0時開關(guān)閉合，uC(0+)=uC(0-)=0，故所求響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。t≥0時，根據(jù)KCL有iC+iR=Is或?qū)憺槭街笑?RC，初始值uC(0+)=0uC(t)=uCh(t)+uCp(t)其特解為常數(shù)，令uCp(t)=A，將其代入微分方程得

3.4一階動態(tài)電路的響應(yīng)二、零狀態(tài)響應(yīng)故得特解uCp(t)=RIS將初始狀態(tài)uC(0+)=0代入確定K，有uC(0+)=K+RIS，解得K=-RIS于是得電路的零狀態(tài)響應(yīng)電容電流三、全響應(yīng)

3.4一階動態(tài)電路的響應(yīng)定義：電路在外加激勵和初始狀態(tài)共同作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)。我們可以將初始狀態(tài)（初始儲能）看作電路的內(nèi)部激勵。對于線性電路，根據(jù)疊加定理，全響應(yīng)又可以分解為全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)，即y(t)=yzi(t)+yzs(t)3.5一階電路的三要素公式一、三要素公式的推出將任何一階電路簡化為如圖(a)(b)兩種形式之一。式中，b為常數(shù)；τ為時常數(shù)，對RC電路，τ=RC；對RL電路，τ=L/R。3.5一階電路的三要素公式y(tǒng)(t)=yh(t)+yp(t)

yh(t)=Ke-t/τ

，因此y(t)=Ke-t/τ+yp(t)y(0+)=K+yp(0+)，K=y(0+)-yp(0+)

得全響應(yīng)y(t)=[y(0+)-y

(∞)]e-t/τ

+y(∞)=y(0+)e-t/τ+y(∞)(1-e-t/τ

)，t≥0當(dāng)激勵f(t)為直流時，yp(t)=A代入上式，有y(t)=[y(0+)-A]e-t/τ+A當(dāng)t→∞時，電路穩(wěn)態(tài)，A=y(∞)穩(wěn)態(tài)值。直流激勵時一階電路的響應(yīng)為三要素公式y(tǒng)(t)=[y(0+)-yp

(0+)]e-t/τ

+yp

(t)二、三要素的計算（歸納）3.5一階電路的三要素公式1、初始值y(0+)步驟（1）先計算uC(0-)和iL(0-)，然后由換路定律得

uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)

（2）畫0+等效電路，求其它電壓、電流的初始值。2、穩(wěn)態(tài)值y(∞)換路后t→∞時，電路進入直流穩(wěn)態(tài)，此時，電容開路，電感短路。步驟：（1）換路后，電容開路，電感短路，畫出穩(wěn)態(tài)等效電阻電路。（2）求解該電路得穩(wěn)態(tài)(或虛平衡）值y(∞)

。3、時常數(shù)τ對于一階RC電路，τ=R0C；對于一階RL電路，τ=L/R0；這里R0就是換路后從動態(tài)元件C或L看進去的戴維南等效內(nèi)阻。四、舉例3.5一階電路的三要素公式例1如圖(a)所示電路，IS=3A，

US=18V，

R1=3Ω，

R2=6Ω，L=2H，在t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，當(dāng)t=0時開關(guān)S閉合，求t≥0時的iL(t)、uL(t)和i

(t)。解（1）求iL(0+)=iL(0-)=US/R1=6A（2）畫0+等效電路，如圖(b)。列節(jié)點方程得uL(0+)=6V，i(0+)=uL(0+)/6=1A（3）畫∞等效電路，如圖(c)。顯然有uL(∞)=0，

i(∞)=0，

iL(∞)=18/3+3=9A（4）計算時常數(shù)τ。R0=3//6=2Ωτ=2/2=1sτ=L/R0，3.5一階電路的三要素公式（5）代入三要素公式得。一、單位階躍函數(shù)3.6階躍函數(shù)和階躍響應(yīng)單位階躍函數(shù)用ε(t)表示，其定