二、幾個初等函數麥克勞林公式第三節一、泰勒公式建立三、泰勒公式應用目標－用多項式近似表示函數.泰勒公式

第三章第1頁一、問題提出(matlab)第2頁6422464224O第3頁642246O4224第4頁問題:不足:1、準確度不高；2、誤差不能預計。第5頁分析:2.若有相同切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交第6頁第7頁三、泰勒(Taylor)中值定理第8頁證實:第9頁第10頁第11頁拉格朗日形式余項佩亞諾形式余項第12頁第13頁第14頁第15頁第16頁第17頁第18頁第19頁第20頁第21頁第22頁第23頁第24頁第25頁第26頁第27頁第28頁第29頁第30頁麥克勞林(Maclaurin)公式第31頁泰勒

(1685–1731)英國數學家,他早期是牛頓學派最優異代表人物之一,主要著作有:《正和反增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了當代形式泰勒公式.他是有限差分理論奠基人.第32頁麥克勞林(1698–1746)英國數學家,著作有:《流數論》(1742)《有機幾何學》(1720)《代數論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他名字命名麥克勞林級數.第33頁符號邏輯先驅和公理化方法推行人撰寫《數學百科全書》國際語創建者佩亞諾(1858–1932)意大利數學家,主要著作有:《幾何原理邏輯表述》(1898)創建了《數學雜志》

（1891）《無窮小分析教程》（1893）第34頁解：代入公式,得例1

求n階麥克勞林公式第35頁

慣用函數麥克勞林公式回想:歐拉公式第36頁1.在近似計算中應用誤差M

為在包含0,x

某區間上上界.需解問題類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數n;2)已知項數

n

和x,計算近似值并預計誤差;3)已知項數

n和誤差限,確定公式中x

適用范圍.四、泰勒公式應用第37頁例2.

計算無理數e近似值,使誤差不超出解:已知令x=1,得因為欲使由計算可知當n=9

時上式成立,所以麥克勞林公式為第38頁說明:注意舍入誤差對計算結果影響.本例若每項四舍五入到小數點后6位,則各項舍入誤差之和不超出總誤差限為這時得到近似值不能確保誤差不超出所以計算時中間結果應比精度要求多取一位.第39頁例3.

用近似公式計算cosx

近似值,使其準確到0.005,試確定x

適用范圍.解:近似公式誤差令解得即當時,由給定近似公式計算結果能準確到0.005.第40頁2.利用泰勒公式求極限例4.

求解:因為用洛必達法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項,第41頁3.利用泰勒公式證實不等式例5.

證實證:+第42頁2025/2/18434.利用泰勒公式建立一維波動方程第43頁均勻柔軟細弦，在平衡位置附近產生振幅極小橫振動。第44頁確定弦運動方程(2)被研究物理量遵照哪些物理定理？牛頓第二定律.

(3)

按物理定律寫出數學物理方程（即建立泛定方程）

(1)要研究物理量是什么？弦沿垂直方向位移

一根柔軟均勻張緊細弦，求它在平衡位置附近作微小橫向振動規律。假設這運動發生在同一平面內且與方向垂直于平衡位置，求弦振動規律。第45頁弦特點：勻、細、軟、緊一根彈性細線。振動特征：微小、橫向振動：振動幅度很小，弦在任意位置處切線傾斜角很小。考慮一根拉緊長為

弦，線密度為,以弦平衡位置所在直線為

軸，并以弦左端點為坐標原點。求它在平衡位置附近作微小橫向振動規律。遵照牛頓第二定律：作用在物體上力=該物體質量×該物體加速度第46頁取弦平衡位置為軸，運動平面為在時刻

，弦在點位移為上圖中放大圖示第47頁由微小振動假設知傾斜角很小，從而：1.弧段在振動過程中長度近似不變由牛頓第二定律有：橫向：縱向：第48頁其中：兩端除以dx,

令,第49頁………一維波動方程令：------非齊次方程自由項------齊次方程忽略重力作用：第50頁注意：

物理問題包括原因較多，往往還需要引入適當假設才能使方程簡化．

數學物理方程必須反應弦上任一位置上垂直位移所遵照普遍規律，所以考查點不能取在端點上，但能夠取除端點之外任何位置作為考查點．第51頁內容小結1.泰勒公式其中余項當時為麥克勞林公式.第52頁2.慣用函數麥克勞林公式(P142~P144)3.泰勒公式應用(1)近似計算(3)其它應用求極限,證實不等式等.(2)利用多項式迫近函數第53頁兩邊同乘n!=整數+假設e