題型七函數的基本性質類型三二次函數（專題訓練）1.將拋物線向下平移兩個單位，以下說法錯誤的是（）A．開口方向不變 B．對稱軸不變C．y隨x的變化情況不變 D．與y軸的交點不變【答案】D【分析】根據二次函數的平移特點即可求解．【詳解】將拋物線向下平移兩個單位，開口方向不變、對稱軸不變、故y隨x的變化情況不變；與y軸的交點改變故選D．【點睛】此題主要考查二次函數的函數與圖象，解題的關鍵是熟知二次函數圖象平移的特點．2.拋物線上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表：x-2-106y0461下列結論不正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸為直線C．拋物線與x軸的一個交點坐標為 D．函數的最大值為【答案】C【分析】利用待定系數法求出拋物線解析式，由此逐一判斷各選項即可【詳解】解：由題意得，解得，∴拋物線解析式為，∴拋物線開口向下，拋物線對稱軸為直線，該函數的最大值為，故A、B、D說法正確，不符合題意；令，則，解得或，∴拋物線與x軸的交點坐標為（-2，0），（3，0），故C說法錯誤，符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，正確求出二次函數解析式是解題的關鍵．3.已知拋物線，下列結論錯誤的是（

）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線 C．拋物線的頂點坐標為 D．當時，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】根據二次函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標以及增減性對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：拋物線中，a＞0，拋物線開口向上，因此A選項正確，不符合題意；由解析式得，對稱軸為直線，因此B選項正確，不符合題意；由解析式得，當時，y取最小值，最小值為1，所以拋物線的頂點坐標為，因此C選項正確，不符合題意；因為拋物線開口向上，對稱軸為直線，因此當時，y隨x的增大而減小，因此D選項錯誤，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在中，對稱軸為，頂點坐標為．4.已知拋物線（是常數，）經過點，當時，與其對應的函數值．有下列結論：①；②關于x的方程有兩個不等的實數根；③．其中，正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據函數與點的關系,一元二次方程根的判別式,不等式的性質，逐一計算判斷即可【詳解】∵拋物線（是常數，）經過點，當時，與其對應的函數值．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵,∴△==＞0,∴有兩個不等的實數根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故選D．【點睛】本題考查了二次函數的性質，一元二次方程根的判別式，不等式的基本性質，熟練掌握二次函數的性質，靈活使用根的判別式，準確掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．5.如圖，二次函數的圖象的對稱軸是直線，則以下四個結論中：①，②，③，④．正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】由開口方向，對稱軸方程，與軸的交點坐標判斷的符號，從而可判斷①②，利用與軸的交點位置得到＞，結合＜可判斷③，利用當結合圖像與對稱軸可判斷④．【詳解】解：由函數圖像的開口向下得＜由對稱軸為＞所以＞由函數與軸交于正半軸，所以＞＜故①錯誤；，故②正確；由交點位置可得：＞，＜＞，＜＜故③錯誤；由圖像知：當此時點在第三象限，＜＜故④正確；綜上：正確的有：②④，故選B．【點睛】本題考查的是二次函數的圖像與系數的關系，同時考查利用二次函數的圖像判斷代數式的符號，掌握以上知識是解題的關鍵．6.已知二次函數y=x2?2x?3的自變量x1，x2，x3對應的函數值分別為y1，y2，y3．當?1<x1<0，1<x2<2，x3>3時，y1，y2，y3三者之間的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的交點坐標，畫出草圖，利用數形結合，即可求解．【詳解】解：y=x2?2x?3=(x-1)2-4，∴對稱軸為直線x=1，令y=0，則(x-1)2-4=0，解得x1=-1，x2=3，∴拋物線與x軸的交點坐標為(-1，0)，(3，0)，二次函數y=x2?2x?3的圖象如圖：由圖象知．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．利用數形結合解題是關鍵．7.如圖，已知拋物線（，，為常數，）經過點，且對稱軸為直線，有下列結論：①；②；③；④無論，，取何值，拋物線一定經過；⑤．其中正確結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①根據圖像開口向上，對稱軸位置，與y軸交點分別判斷出a,b,c的正負②根據對稱軸公式，判斷的大小關系③根據時，，比較與0的大小；④根據拋物線的對稱性，得到與時的函數值相等結合②的結論判斷即可⑤根據拋物線對稱軸找到頂點坐標的縱坐標，比較任意一點與頂點的縱坐標值，即比較函數值的大小即可判斷結論．【詳解】①圖像開口朝上，故，根據對稱軸“左同右異”可知，圖像與y軸交點位于x軸下方，可知c<0故①正確；②得故②錯誤；③經過又由①得c<0故③正確；④根據拋物線的對稱性，得到與時的函數值相等當時，即即經過，即經過故④正確；⑤當時,,當時,函數有最小值化簡得，故⑤正確．綜上所述：①③④⑤正確．故選D．【點睛】本題考查二次函數圖象與性質，二次函數解析式中系數與圖像的關系，結合圖像逐項分析,結已知條件得出結論是解題的關鍵．8.點P(m，n)在以y軸為對稱軸的二次函數y＝x2+ax+4的圖象上．則m﹣n的最大值等于（）A． B．4 C．﹣ D．﹣【答案】C【解析】【分析】根據題意，可以得到a的值以及m和n的關系，然后將m、n作差，利用二次函數的性質，即可求出m﹣n的最大值．【詳解】解：∵點P（m，n）在以y軸為對稱軸的二次函數y＝x2+ax+4的圖象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴當m＝時，m﹣n取得最大值，此時m﹣n＝﹣，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．9.如圖，二次函數的圖像與軸相交于，兩點，對稱軸是直線，下列說法正確的是（

）A． B．當時，的值隨值的增大而增大C．點的坐標為 D．【答案】D【分析】結合二次函數圖像與性質，根據條件與圖像，逐項判定即可．【詳解】解：A、根據圖像可知拋物線開口向下，即，故該選項不符合題意；B、根據圖像開口向下，對稱軸為，當，隨的增大而減小；當，隨的增大而增大，故當時，隨的增大而增大；當，隨的增大而減小，故該選項不符合題意；C、根據二次函數的圖像與軸相交于，兩點，對稱軸是直線，可得對稱軸，解得，即，故該選項不符合題意；D、根據可知，當時，，故該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查二次函數的圖像與性質，根據圖像得到拋物線開口向下，根據對稱軸以及拋物線與軸交點得到是解決問題的關鍵．10.拋物線經平移后，不可能得到的拋物線是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】通過了解平移過程，得到二次函數平移過程中不改變開口大小和開口方向，所以a不變，選出答案即可．【詳解】解：拋物線經平移后，不改變開口大小和開口方向，所以a不變，而D選項中a=-1，不可能是經過平移得到，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數平移的知識點，上加下減，左加右減，熟練掌握方法是解題關鍵，還要掌握通過平移不能改變開口大小和開口方向，即不改變a的大小．11.已知二次函數的圖像如圖所示，有下列結論：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結論個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據拋物線的開口方向、于x軸的交點情況、對稱軸的知識可判①②③的正誤，再根據函數圖象的特征確定出函數的解析式，進而確定不等式，最后求解不等式即可判定④．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故①正確；∵拋物線與x軸沒有交點∴＜0，故②錯誤∵由拋物線可知圖象過（1,1），且過點（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③錯誤；由拋物線可知頂點坐標為（1,1），且過點（3,3）則拋物線與直線y=x交于這兩點∴＜0可化為，根據圖象，解得：1＜x＜3故④錯誤．故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的特征以及解不等式的相關知識，靈活運用二次函數圖象的特征成為解答本題的關鍵．12.如圖，已知拋物線的圖象與軸交于兩點，其對稱軸與軸交于點其中兩點的橫坐標分別為和下列說法錯誤的是（）A． B．C． D．當時，隨的增大而減小【答案】B【解析】【分析】根據開口方向、對稱軸、與軸交點即可分別判斷符號，進而判斷A選項；由兩點的橫坐標分別為和可得兩個方程，判斷B選項；由當時判斷C選項；由二次函數對稱軸及增減性判斷D選項.【詳解】∵開口向下，與軸交點在正半軸∴∵兩點的橫坐標分別為和∴∴∴，故A選項正確，B選項錯誤∵兩點的橫坐標分別為和∴B點橫坐標為3∴當時，故C選項正確∵當時，隨的增大而減小∴當時，隨的增大而減小，故D選項正確故選：B.【點睛】本題考查二次函數的圖像和性質，重點考查二次函數系數符號與圖象的關系，熟記二次函數圖象性質是解題的關鍵.13.如圖,函數和(是常數,且)在同一平面直角坐標系的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：可先根據一次函數的圖象判斷a的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤即可．詳解：A．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向下．故選項錯誤；B．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣＞0．故選項正確；C．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣＞0，和x軸的正半軸相交．故選項錯誤；D．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上．故選項錯誤．

故選B．點睛：本題考查了二次函數以及一次函數的圖象，解題的關鍵是熟記一次函數y=ax﹣a在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．14.一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐一分析四個選項，根據二次函數圖象的開口方向以及對稱軸與y軸的位置關系，即可得出a、b的正負性，由此即可得出一次函數圖象經過的象限，即可得出結論．【詳解】A.∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，∴a<0，b<0，∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項錯誤；B.∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，∴a>0，b<0，∴一次函數圖象應該過第一、三、四象限，故本選項錯誤；C.∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，∴a<0，b<0，∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項正確；D.∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，∴a<0，b<0，∴一次函數圖象應該過第二、三、四象限，故本選項錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查二次函數圖象與一次函數圖象的綜合，掌握二次函數與一次函數系數與圖象的關系，是解題的關鍵．15.對于一個函數，自變量取時，函數值等于0，則稱為這個函數的零點．若關于的二次函數有兩個不相等的零點，關于的方程有兩個不相等的非零實數根，則下列關系式一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據根與系數的關系可以求出，的值，用作差法比較的大小關系，的大小關系，根據可求出m的取值范圍，結合的大小關系，的大小關系從而得出選項．【詳解】解：∵是的兩個不相等的零點即是的兩個不相等的實數根∴∵解得∵方程有兩個不相等的非零實數根∴∵解得∴＞0∴∵，∴∴∴而由題意知解得當時，，；當時，，；當m=-2時，無意義；當時，，∴取值范圍不確定，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，判別式與根的關系及一元二次方程與二次函數的關系．解題的關鍵是熟記根與系數的關系，對于（a≠0）的兩根為，則．16.拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數）的部分圖象如圖所示，設m=a-b+c，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置及拋物線經過（1，0）可得a，b，c的等量關系，然后將x=-1代入解析式求解．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸左側，∴-＜0，∴b＞0，∵拋物線經過（0，-2），∴c=-2，∵拋物線經過（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，當x=-1時，y=a+a-2-2=2a-4，∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案為：-4＜m＜0．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數與方程的關系．17.在平面直角坐標系中，若拋物線與x軸只有一個交點，則_______．【答案】1【分析】根據拋物線與x軸只有一個交點可知方程=0根的判別式△=0，解方程求出k值即可得答案．【詳解】∵拋物線與x軸只有一個交點，∴方程=0根的判別式△=0，即22-4k=0，解得：k=1，故答案為：1【點睛】本題考查二次函數與x軸的交點問題，對于二次函數（k≠0），當判別式△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點；當k=0時，拋物線與x軸有一個交點；當x＜0時，拋物線與x軸沒有交點；熟練掌握相關知識是解題關鍵．18.已知拋物線（，，是常數），，下列四個結論：①若拋物線經過點，則；②若，則方程一定有根；③拋物線與軸一定有兩個不同的公共點；④點，在拋物線上，若，則當時，．其中正確的是__________（填寫序號）．【答案】①②④【分析】①將代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，則原方程可化為x2+x-2=0，則一定有根x=-2；③當b2-4ac≤0時，圖像與x軸少于兩個公共點，只有一個關于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③錯誤；④若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對稱軸，因為a>0在對稱軸左側，函數單調遞減，所以當x1<x2<1時，y1>y2，故④正確．【詳解】解：∵拋物線經過點∴，即9a-3b+c=0∵∴b=2a故①正確；∵b=c，∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正確；當b2-4ac≤0時，圖像與x軸少于兩個公共點，只有一個關于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③錯誤；若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對稱軸，因為a>0在對稱軸左側，函數單調遞減，所以當x1<x2<1時，y1>y2，故④正確．故填：①②④．【點睛】本題主要考查二次函數的圖像與性質以及二元一次方程，靈活運用二次函數的圖像與性質成為解答本題的關鍵．19.已知拋物線L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）經過點A(1，0)．(1)求拋物線L1的函數表達式．(2)將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關于坐標原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．(3)把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，若點B(1，y1)，C(3，y2)在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．【答案】(1)(2)的值為4(3)【分析】（1）把代入即可解得拋物線的函數表達式為；（2）將拋物線向上平移個單位得到拋物線，頂點為，關于原點的對稱點為，代入可解得的值為4；（3）把拋物線向右平移個單位得拋物線為，根據點B(1，y1)，C(3，y2)都在拋物線上，當y1＞y2時，可得，即可解得的取值范圍是．(1)解：把代入得：，解得，；答：拋物線的函數表達式為；(2)解：拋物線的頂點為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，則拋物線的頂點為，而關于原點的對稱點為，把代入得：，解得，答：的值為4；(3)解：把拋物線向右平移個單位得到拋物線，拋物線解析式為，點，都在拋物線上，，，y1＞y2，，整理變形得：，，解得，的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，對稱及平移變換等知識，解題的關鍵是能得出含字母的式子表達拋物線平移后的解析式．20.設二次函數（b，c是常數）的圖像與x軸交于A，B兩點．(1)若A，B兩點的坐標分別為(1，0)，(2，0)，求函數的表達式及其圖像的對稱軸．(2)若函數的表達式可以寫成（h是常數）的形式，求的最小值．(3)設一次函數（m是常數）．若函數的表達式還可以寫成的形式，當函數的圖像經過點時，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數法計算即可．（2）根據等式的性質，構造以b+c為函數的二次函數，求函數最值即可．（3）先構造y的函數，把點代入解析式，轉化為的一元二次方程，解方程變形即可．(1)由題意，二次函數（b，c是常數）經過(1，0)，(2，0)，∴，解得，∴拋物線的解析式．∴圖像的對稱軸是直線．(2)由題意，得，∵，∴b=-4h，c=∴，∴當時，的最小值是．(3)由題意，得因為函數y的圖像經過點，所以，所以，或．【點睛】本題考查了二次函數的待定系數法，二次函數的最值，對稱性，熟練掌握二次函數的最值，對稱性是解題的關鍵．21.在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A（－1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°，點C落在拋物線上的點P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點P的坐標；(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據點的坐標，利用待定系數法即可得；（2）先求出拋物線的對稱軸，再設點的坐標為，則，根據旋轉的性質可得，從而可得，將點代入拋物線的解析式求出的值，由此即可得；（3）先根據點坐標的平移規律求出點，作點關于軸的對稱點，連接，從而可得與軸的交點即為所求的點，再利用待定系數法求出直線的解析式，由此即可得出答案．(1)解：將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為．(2)解：