新知一覽等腰三角形三角形的證明線段的垂直平分線角平分線直角三角形三角形三邊的垂直平分線與作圖線段的垂直平分線的性質與判定1.3線段的垂直平分線第一章三角形的證明第1課時線段的垂直平分線的性質與判定如圖，畫一條線段AB

，然后對折

AB，使

A，B

兩點重合，設折痕與

AB

的交點為

O.

你發現了什么?

我們把垂直且平分一條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線.

A(B)BOAB線段垂直平分線的性質1如圖，點P是線段AB垂直平分線上的一點，AB和PC相等嗎?改變點P的位置，結論還成立嗎?APBC線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.你能證明這一結論嗎？已知：如圖，直線

l⊥AB，垂足為

C，AC=CB，

點

P

在

l上.求證：PA=PB．證明：∵

l⊥AB，PABlC驗證結論∴PA=PB．∴△PCA≌△PCB(SAS)．又AC=CB，PC=PC，∴∠PCA=∠PCB．線段垂直平分線的性質定理：歸納總結線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.例1

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分

AB，垂足為

E，交

AC于

D，若△DBC的周長為35cm，則

BC的長為(

)A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cmC典例精析解析：∵△DBC的周長為

BC＋BD＋CD＝35cm，又

DE垂直平分

AB，∴AD＝BD，故

BC＋AD＋CD＝35

cm.∵AC＝AD＋DC＝20

cm，∴BC＝35－20＝15(cm).

故選

C.方法歸納：利用線段垂直平分線的性質，實現線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．練一練：

1.如圖①所示，直線

CD是線段

AB

的垂直平分線，點

P

為直線

CD

上的一點，且

PA

=

5，則線段

PB

的長為(

)A.6B.5C.4D.32.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm，邊

AB的垂直平分線交

AB于點

D，交邊

AC于點

E，△BCE的周長等于

18cm，則

AC的長是

.B10cmPABCD圖①ABCDE圖②它是真命題嗎？你能證明嗎？線段垂直平分線的判定定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.2到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.逆命題想一想：如果

PA=PB，那么點

P是否在線段

AB的垂直平分線上呢？記得要分點

P在線段

AB上及線段

AB外兩種情況來討論①

當點

P在線段

AB上時，∵PA=PB，∴點

P為線段

AB的中點，顯然此時點

P在線段

AB的垂直平分線上；②

當點

P在線段

AB外時，如右圖所示.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.過頂點

P作

PC⊥AB，垂足為點

C.∴底邊

AB上的高

PC也是底邊

AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.∴直線

PC是線段

AB的垂直平分線，此時點

P也在線段

AB的垂直平分線上.線段垂直平分線的性質定理的逆定理：應用格式：∵PA=PB，∴

點

P

在

AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.歸納總結例2

已知：如圖，在

△ABC

中，AB

=

AC，O

是△ABC內一點，且

OB

=

OC.

求證：直線

AO

垂直平分線段

BC.證明：∵AB

=

AC，你還有其他證明方法嗎？CABO∴直線

AO

是線段

BC

的垂直平分線(兩點確定一條直線).同理，點

O

在線段

BC

的垂直平分線.∴A

在線段

BC

的垂直平分線上(到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上).證明：延長

AO

交

BC

于點

D.∵

AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO

(SSS).∴∠BAO

＝

∠CAO.∵

AB＝AC，∴

AO⊥BC.∵

OB＝OC，OD＝OD，∴

Rt△DBO≌Rt△DCO

(HL).∴BD＝CD.∴直線

AO

垂直平分線段

BC.CABOD試一試：已知：如圖，點

E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為

C，D，連接

CD.求證：OE是

CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵

OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴

DE=CE(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等).∴

OE是

CD的垂直平分線.線段的垂直平分線的性質和判定性質到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上內容判定內容作用線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個點是否在線段的垂直平分線上1.如圖所示，AC=AD，BC=BD，則下列說法正確的是

(

)A.AB垂直平分

CDB.CD垂直平分

ABC.AB與

CD互相垂直平分D.CD平分∠ACBＡＢＣＤA3.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交

AC于

E，連接

BE，AB+BC=16cm，則△BCE的周長是

cm.ABCDE162.已知線段

AB，在平面上找到三個點

D、E、F，使

DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，這樣的點的組合共有

種.無數4.已知：如圖，點C，D是線段AB外的兩點，且

AC=BC，AD=BD，