專題09不等式、方程與函數的綜合討論題型選題介紹本題型是河南省中招試卷的重點考試題型，該題型與一次函數的圖象應用題型交替考查。該題型2022年第20題，2021年第21題，2019年第20題。該題一般位于中招數學解答題的第20題，分值9分，難度系數中等，得分率較高。試題一般包含兩問，第一問根據題意列方程，一般是列二元一次方程組或者分式方程。第二問不等式與函數相結合得討論題型。所涉及得函數主要是一次函數，要求學生對函數的性質要真正理解。應用題型解題思路：①第一問：根據題意列方程，注意區分二元一次方程組和分式方程；②第二問：設未知量，注意只設一個未知量，另一個量用該未知量表示；③列不等式，求未知量的取值范圍；④列關系式（一般是一次函數）。⑤討論真題展現2022年河南中招解答題第20題（9分）近日，教育部印發《義務教育課程方案》和課程標準（2022版），將勞動從原來的綜合實踐活動課程中獨立出來，某中學為了讓學生體驗農耕勞動，開辟了一處耕種園，需采購一批菜苗開展種植活動。據了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的54求菜苗基地每捆A種菜苗的價格。菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元，學校決定在菜苗基地購買AB兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數不超過B種菜苗的捆數，菜苗基地為支持該校活動，對AB兩種菜苗均提供9折優惠，求本此購買最少花費多少錢？【答案】（1）20元（2）2250元【解析】（1）設菜苗基地每捆A種菜苗的價格為x元，根據題意列出方程，解方程即可；（2）設：購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100-m）捆，花費為y元，根據A種菜苗的捆數不超過B種菜苗的捆數，解出m的取值范圍，列出花費y與A種菜苗m捆之間的關系式，根據關系式求出最少花費多少錢即可。【詳解】（1）解：設菜苗基地每捆A種菜苗的價格為x元，則300解得;x=20經檢驗：x=20是原方程得解。∴菜苗基地每捆A種菜苗的價格為20元。解：設購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100-m）捆，花費為y元。由題意得：m≦100-m解得：m≦50又∵y=[20m+30×（100-m）]×0.9∴y=-9m+2700（m≦50）∵y隨x的增大而減小∴當m=50時，花費最少。此時y=-9×50+2700=2250∴本次購買的最少花費為2250元。【總結】本題考查分式方程與一次函數表達式求最小值，根據題意列出方程并檢驗是解答本題的關鍵。2021年河南中招解答題第21題21．（9分）獼猴嬉戲是王屋山景區的一大特色，獼猴玩偶非常暢銷．小李在某網店選中A，B兩款獼猴玩偶，決定從該網店進貨并銷售．兩款玩偶的進貨價和銷售價如下表：類別價格A款玩偶B款玩偶進貨價（元/個）4030銷售價（元/個）5645（1）第一次小李用1100元購進了A，B兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進多少個．（2）第二次小李進貨時，網店規定A款玩偶進貨數量不得超過B款玩偶進貨數量的一半．小李計劃購進兩款玩偶共30個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（3）小李第二次進貨時采取了（2）中設計的方案，并且兩次購進的玩偶全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？（注：利潤率＝×100%）【答案】（1）A款玩偶購進20個，B款玩偶購進10個；（2）按照A款玩偶購進10個、B款玩偶購進20個的方案進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是460元；（3）對于小李來說第二次的進貨方案更合算．【解析】（1）設A款玩偶購進x個，B款玩偶購進（30﹣x）個，由用1100元購進了A，B兩款玩偶建立方程求出其解即可；（2）設A款玩偶購進a個，B款玩偶購進（30﹣a）個，獲利y元，根據題意可以得到利潤與A款玩偶數量的函數關系，然后根據A款玩偶進貨數量不得超過B款玩偶進貨數量的一半，可以求得A款玩偶數量的取值范圍，再根據一次函數的性質，即可求得應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤元；（3）分別求出兩次進貨的利潤率，比較即可得出結論．【詳解】解：（1）設A款玩偶購進x個，B款玩偶購進（30﹣x）個，由題意，得40x+30（30﹣x）＝1100，解得：x＝20．30﹣20＝10（個）．答：A款玩偶購進20個，B款玩偶購進10個；（2）設A款玩偶購進a個，B款玩偶購進（30﹣a）個，獲利y元，由題意，得y＝（56﹣40）a+（45﹣30）（30﹣a）＝a+450．∵A款玩偶進貨數量不得超過B款玩偶進貨數量的一半．∴a≤（30﹣a），∴a≤10，∵y＝a+450．∴k＝1＞0，∴y隨a的增大而增大．∴a＝10時，y最大＝460元．∴B款玩偶為：30﹣10＝20（個）．答：按照A款玩偶購進10個、B款玩偶購進20個的方案進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是460元；（3）第一次的利潤率＝×100%≈42.7%，第二次的利潤率＝×100%＝46%，∵46%＞42.7%，∴對于小李來說第二次的進貨方案更合算．【總結】本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一次函數的運用，解答時由銷售問題的數量關系求出一次函數的解析式是關鍵．2019年河南中招解答題第20題20．（9分）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數量不少于B獎品數量的．請設計出最省錢的購買方案，并說明理由．【答案】（1）A的單價30元，B的單價15元；（2）購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少；【解析】（1）設A的單價為x元，B的單價為y元，根據題意列出方程組，即可求解；（2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費為W元，根據題意得到由題意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根據一次函數的性質，即可求解；【詳解】解：（1）設A的單價為x元，B的單價為y元，根據題意，得，∴，∴A的單價30元，B的單價15元；（2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費為W元，由題意可知，z≥（30﹣z），∴z≥，W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，當z＝8時，W有最小值為570元，即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少；【總結】本題考查二元一次方程組的應用，一次函數的應用；能夠根據條件列出方程組，將最優方案轉化為一次函數性質解題是關鍵．模擬演練1．某商店計劃購進甲、乙兩種商品，已知購進2件甲商品和1件乙商品共需100元，購進3件甲商品和2件乙商品共需180元．（1）求甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？（2）若商店以40元每件出售甲商品，90元每件出售乙商品，現購進甲、乙兩種商品共100件，且甲商品的數量不少于乙商品數量的3倍，請你求出獲利最大的進貨方案，并求出最大利潤．【答案】（1）甲、乙兩種商品進價分別為20元件，60元件；（2）購進甲、乙兩種商品分別為75件、25件時，獲得利潤最大，最大利潤為2250元．【解析】（1）設甲、乙兩種商品進價分別為元件，元件，構造方程，求解即可得到結果；（2）設購進甲種商品件非負為整數），則購進乙種商品件，總利潤為元，構造y關于x的函數，根據函數的性質進行討論，即可解得。【詳解】解：（1）設甲、乙兩種商品進價分別為元件，元件，，解得，答：甲、乙兩種商品進價分別為20元件，60元件．（2）設購進甲種商品件非負為整數），則購進乙種商品件，總利潤為元，，，，且為整數，，隨的增大而減小，當時，取得最大值2250，即購進甲、乙兩種商品分別為75件、25件時，獲得利潤最大，最大利潤為2250元．【總結】本題考查二元一次方程組的應用，一次函數的應用；能夠根據條件列出方程組，將最優方案轉化為一次函數性質解題是關鍵．2．某班級為了獎勵知識競賽的優勝者，派小明和小亮去超市買鋼筆和筆記本作為獎品．該超市某品牌的鋼筆每支元，筆記本每本元．若購買鋼筆2支，筆記本5本，需要20元；若購買鋼筆1支，筆記本10本，需要25元．（1）求、的值．（2）根據競賽活動的設獎情況，他們決定購買該品牌的鋼筆和筆記本共40件．如果設買鋼筆支，買這兩種東西共花費元．①請寫出（元關于（支的函數關系式；②如果所購買鋼筆的數量不少于筆記本數量的，請你幫他們計算應如何購買，才能使所花的錢最少，此時的花費是多少元？【答案】（1）a=5，b=2；（2）①y關于x的函數關系式為；②購買8支鋼筆和32本筆記本，所花的錢最少，此時花了104元．【解析】（1）根據題意列方程組，求解即可得到答案；（2）買鋼筆支，由題意列不等式與關系式，根據一次函數的性質進行討論，求得結果。【詳解】解：（1）由題意得：，解次方程組得：，，；（2）①設買鋼筆支，由題意得：，關于的函數關系式為；②設買鋼筆支，由題意得：，解得，，，，隨增大而增大，當時，，答：購買8支鋼筆和32本筆記本，所花的錢最少，此時花了104元．【總結】本題考查二元一次方程組的應用，一次函數的應用；能夠根據條件列出不等式、方程組，將最優方案轉化為一次函數性質解題是關鍵．3.為慶祝“六一兒童節”，某幼兒園計劃購買A、B兩種玩具若干件，已知1件A種玩具的進價比1件B種玩具的進價貴2元，6件A種玩具的進價與7件B種玩具的進價和為350元．⑴每件A種、B種玩具的進價分別是多少元？⑵若該幼兒園計劃購買這兩種玩具共240件，且總費用不超過6600元，那么B種玩具最少可以買多少件？【答案】(1)B種玩具的進價為26元，則A種玩具的進價為28元;(2)60件.【解析】(1)設B玩具的進價為x元，則A種玩具的進價為（x＋2）元，根據6件A種玩具的進價與7件B種玩具的進價和為350元，列方程求解即可;(2)【詳解】解：⑴設B種玩具的進價為x元，則A種玩具的進價為（x＋2）元由題意，得：6（x＋2）＋7x=350,解得：x=26,26＋2=28元,答：B種玩具的進價為26元，則A種玩具的進價為28元,(2)購進B種玩具x件，則購進A種玩具（240－x）件；由題意可得：26x＋28（240－x）≤6600.解得：x≥60,答：B種玩具最少可以買60件【總結】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程組求解即可.3.某商店銷售A、B兩種品牌的書包，已知購買1個A品牌書包和2個B品牌書包共需550元；購買2個A品牌書包和1個B品牌書包共需500元．（1）求這兩種品牌書包的單價；（2）某商店對這兩種品牌的書包給出優惠活動：A種品牌的書包按原價的八折銷售，B種品牌的書包10個以上超出部分按原價的五折銷售．①設購買x個A品牌書包的費用為y1元，購買x個B品牌書包的費用為y2元，請分別求出y1，y2與x的函數關系式；②學校準備購買同一種品牌的書包，如何選擇購買更省錢？【答案】（1）A品牌書包單價為150元，B品牌書包單價為200元；（2）①，；③當0＜x≤10時，y1＜y2，即選A品牌省錢，當10＜x＜50時，y1＜y2，即選A品牌省錢，當x=50時，y1=y2，即選A、B品牌一樣省錢，當x＞50時，y1＞y2，即選B品牌省錢．【解析】（1）設A品牌書包單價為a元，B品牌書包單價為b元，根據題意，列出二元一次方程組，即可求解；（2）①根據題意直接列出函數解析式，即可；②分4鐘情況，比較y1和y2的大小關系，即可．【詳解】解：（1）設A品牌書包單價為a元，B品牌書包單價為b元，根據題意得：，解得：，答：A品牌書包單價為150元，B品牌書包單價為200元；（2）①根據題意得：，；②當0＜x≤10時，y1＜y2，即選A品牌省錢，當10＜x＜50時，y1＜y2，即選A品牌省錢，當x=50時，y1=y2，即選A、B品牌一樣省錢，當x＞50時，y1＞y2，即選B品牌省錢．【總結】本題主要考查二元一次方程組以及一次函數的實際應用，找出等量關系，列出方程組和函數解析式，是解題的關鍵．4.中考體育考試在即，某校準備新購買50個籃球和若干個足球．已知甲、乙兩家體育用品店的籃球和足球品牌與質量完全相同，且報價都是80元/個．經協商，甲體育用品店給出的優惠是足球和籃球都按八折收費；乙體育用品店給出的優惠是籃球全額收費，足球按七五折收費．（1）設本次購買足球x個，，（單位：元）分別表示選擇甲、乙兩家體育用品店所支付的購買費用，求，分別關于x的函數解析式；（2）該校選擇哪家體育用品店支付的購買費用較少？【答案】（1），；（2）當購買足球數量超過200個時，選擇乙體育用品店支付的購買費用較少；當購買足球數量等于200個時，選擇甲、乙體育用品店支付的購買費用相同；當購買足球數量少于200個時，選擇甲體育用品店支付的購買費用較少．【解析】（1）根據題意直接寫出、關于x的函數解析式即可；（2）根據、、列出x的不等式，解不等式，最后寫出結論即可．【小問1詳解】解：，．【小問2詳解】①，，解得，②，，解得，③，，解得，答：當購買足球數量超過200個時，選擇乙體育用品店支付的購買費用較少；當購買足球數量等于200個時，選擇甲、乙體育用品店支付的購買費用相同；當購買足球數量少于200個時，選擇甲體育用品店支付的購買費用較少．【總結】本題主要考查了一次函數的應用，根據題意求出一次函數的解析式，是解題的關鍵．5.某初級中學為了提高教職工身體素質，舉辦了“堅持鍛煉，活力無限”的健身活動，并準備購買一些體育器材為活動做準備．已知購買1副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需要175元，購買2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需要140元．（1）購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知該中學需要購買兩種球拍共40副，羽毛球拍的數量不超過20副．現商店推出兩種購買方案，方案A：購買一副羽毛球拍贈送一副乒乓球拍；方案B：按總價的八折付款試說明選擇哪種購買方案更實惠．【答案】（1）購買一副乒乓球拍需35元，購買一副羽毛球拍需70元（2）當時，選擇購買方案A更實惠；當時，選擇購買方案A、購買方案B一樣實惠；當時，選擇購買方案B更實惠【解析】（1）設購買一副乒乓球拍需x元，購買一副羽毛球拍需y元，根據題意列二元一次方程組，解方程求解即可；（2）設購買羽毛球拍a副，則購買乒乓球拍副，按方案A購買，總費用為元，按方案B購買，總費用為元，分別列出，根據題意分別列出不等式求解即可．【小問1詳解】設購買一副乒乓球拍需x元，購買一副羽毛球拍需y元．由題意．得解得答：購買一副乒乓球拍需35元，購買一副羽毛球拍需70元．【小問2詳解】設購買羽毛球拍a副，則購買乒乓球拍副，按方案A購買，總費用為元，按方案B購買，總費用為元．根據題意，得，．當時，有，解得．∴．當時，有，解得．當時，有，解得．∴．綜上所述，當時，選擇購買方案A更實惠；當時，選擇購買方案A、購買方案B一樣實惠；當時，選擇購買方案B更實惠．【總結】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，找到等量關系是解題的關鍵．6.為綠化校園，我校決定購買甲、乙兩種樹苗對校園環境進行改善．已知每棵甲種樹苗的價格是乙種樹苗價格的1.5倍；購買甲種樹苗2棵，乙種樹苗3棵，共需24元．（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？（2）若學校計劃購買甲、乙兩種樹苗共240棵，設購買甲種樹苗的數量為棵，購買樹苗的總費用為元，求關于的函數表達式；（3）在（2）的情況下，廠家對甲種樹苗打9折優惠，乙種樹苗的價格不變，且購買總費用不超過1200元．則最多能購買甲種樹苗多少棵？【答案】（1）甲種樹苗價格是6元，乙種樹苗價格是4元（2）W=960+2m（3）171棵【解析】（1）設甲種樹苗的價格為x元，乙種樹苗的價格為y元，根據題意列出二元一次方程組即可求解；（2）甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗(240-m)棵，依據題意列出函數關系式即可；（3）先求出甲種樹苗的現價，再依據題意列出W關于m的函數表達式，根據列出關于m的不等式，即可求解．【小問1詳解】設甲種樹苗的價格為x元，乙種樹苗的價格為y元，根據題意有：，解得：，即甲種樹苗價格是6元，乙種樹苗價格是4元；【小問2詳解】甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗(240-m)棵，則總費用W=6m+4×(240-m)=960+2m，即W關于m的函數表達式為：W=960+2m；【小問3詳解】甲種樹苗價格打九折，則現價為：6×90%=5.4元，則有W=5.4m+4×(240-m)=960+1.4m，∵，∴，解得：，根據m為整數，可知m最大為171，即最多可以購買171棵甲種樹苗．【總結】本題主要考查了二元一次方程組以及一元一次不等式的應用，明確題意列出二元一次方程組以及一元一次不等式是解答本題的關鍵．7.2021年9月8日教育部發布了2021年全國教書育人楷模名單．河南省某市中心幼兒園園長、教師郭文艷成功入選．以她為核心創辦的鄉村社區大學——川中社區大學，為村民提供社區教育空間，為助力鄉村振興貢獻教育人的力量．某企業積極響應黨的號召，助力鄉村振興，決定向鄉村幼兒園捐贈一批彩筆和圖畫本．已知購買1000盒彩筆和5000本圖畫本共需29000元，購買1500盒彩筆和6000本圖畫本共需40800元．（1）求購買一盒彩筆和一本圖畫本各需多少元．（2）若該企業決定購買彩筆和圖畫本共3000件，且購買彩筆的數量不少于圖畫本的2倍，請你設計一種購買方案使花費最少，并求出最少花費為多少元．【答案】（1）購買一盒彩筆需要20元，一本圖畫本需要1.8元（2）購買彩筆2000盒，圖畫本1000本，最少花費為41800元【解析】（1）設購買一盒彩筆需要x元，一本圖畫本需要y元，根據“購買1000盒彩筆和5000本圖畫本共需29000元，購買1500盒彩筆和6000本圖畫本共需40800元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買彩筆m盒，則購買圖畫本（3000?m）本，根據購買彩筆的數量不少于圖畫本的2倍，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設購買彩筆和圖畫本所需總費用為w元，利用總價＝單價×數量，即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．【小問1詳解】解：設購買一盒彩筆需要元，一本圖畫本需要元，依題意得：，解得：，答：購買一盒彩筆需要20元，一本圖畫本需要1.8元；【小問2詳解】設購買彩筆盒，則購買圖畫本本，依題意得：，解得：，設購買彩筆和圖畫本所需總費用為元，則，∵，∴隨的增大而增大，又∵，∴當時，取得最小值，最小值為，此時，∴花費最少的購買方案為：購買彩筆2000盒，圖畫本1000本，最少花費為41800元．【總結】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式．8.某市為鼓勵各家庭或企業合理安排用電時間，避免尖峰、高峰時段，以便降低費用，現有兩種用電收費方法：分時電表普通電表峰時谷時電價0.53元/kW?h電價0.55元/kW?h電價0.35元/kW?h若某家庭某月用電量為akW?h（a為常數），其中谷時用電為xkW?h．（1）請表示出分時計價時，總價y與x之間的函數關系式；（2）請判斷使用分時電表是不是一定比普通電表合算？（注：高峰時段（簡稱“峰時”）：8：00﹣21：00；低谷時段（簡稱“谷時”）：21：00到次日8：00）．【答案】（1）y＝﹣0.2x+0.55a（2）當x=0.1a時，兩種方式費用相同；當x＜0.1a時，普通電表合算；x＞0.1a時，分時計價合算．【解析】（1）根據題意，列函數關系式總價=峰時費用+谷時費用；（2）利用不等式進行討論比較即可.【小問1詳解】根據題意得：y＝0.35x+0.55（a﹣x），＝﹣0.2x+0.55a，【小問2詳解】①當兩種方式費用相同時：0.35x+0.55（a﹣x）＝0.53a，解得，x=0.1a，②分時計價電費用高于普通電費時，0.35x+0.55（a﹣x）＞0.53a，x＜0.1a，③分時計價電費用低于普通電費時，0.35x+0.55（a﹣x）＜0.53a，x＞0.1a，綜上所述，當x=0.1a時，兩種方式費用相同；當x＜0.1a時，普通電表合算；x＞0.1a時，分時計價合算．【總結】本題考查了一次函數、一元一次不等式的應用，掌握兩個知識點的應用，分情況分析費用是解題關鍵．9.世間立足實不易，唯有真情暖人心．“地攤經濟”搞活以來，王林決定購買A型和B型兩款玩具擺攤出售，經詢問知購三個A型玩具和兩個B型玩具共需190元，購進兩個A型玩具和三個B型玩具共需210元．（1）一個A型玩具和一個B型玩具的售價分別是多少元？（2）王林預備首批購進玩具30個，手頭本錢僅為1000元，為了不超出預算，王林最多可購進B型玩具多少個？【答案】（1）A型玩具每個30元，B型玩具每個50元（2）B型玩具最多可購進5個【解析】（1）設A型玩具每個x元，B型玩具每個y元，根據“購三個A型玩具和兩個B型玩具共需190元，購進兩個A型玩具和三個B型玩具共需210元”，可得關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購進B型玩具a個，則購進A型玩具個，根據總價=單價×數量，結合購買總金額不超過1000元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，結合實際情況即可求解．【小問1詳解】設A型玩具每個x元，B型玩具每個y元，由題意，得，解得：，答：A型玩具每個30元，B型玩具每個50元；【小問2詳解】設購進B型玩具a個，則購進A型玩具個，依題意，得：，解得：，答：B型玩具最多可購進5個．【總結】本題考查二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．10.某商場計劃購進甲、乙兩種運動鞋，其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如表（進價大于50元）運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣4售價（元/雙）160150已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量比用2400元購進乙種運動鞋的數量多5．（1）求m的值；（2）設該商場應購進甲種運動鞋t雙，兩種鞋共200雙，商場銷售完這批鞋可獲利y元，請求出y關于t的函數解析式；（3）商場計劃在（2）的條件下，總進價不低于19520元，且不超過19532元，問該專賣店有哪幾種進貨方案？（4）求該專賣店要獲得最大利潤的進貨方案及最大利潤．【答