PAGE1微專題11導數解答題之極最值問題【秒殺總結】1、利用導數求函數的極最值問題．解題方法是利用導函數與單調性關系確定單調區間，從而求得極最值．只是對含有參數的極最值問題，需要對導函數進行二次討論，對導函數或其中部分函數再一次求導，確定單調性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數有關，因此對函數的極最值又需引入新函數，對新函數再用導數進行求值、證明等操作．【典型例題】例1．（2024·山東濟南·一模）已知函數.(1)當時，求的單調區間；(2)討論極值點的個數.【解析】（1）當時，定義域為，又，所以，由，解得，此時單調遞增；由，解得，此時單調遞減，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）函數的定義域為，由題意知，，當時，，所以在上單調遞增，即極值點的個數為個；當時，易知，故解關于的方程得，，，所以，又，，所以當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，即極值點的個數為個.綜上，當時，極值點的個數為個；當時，極值點的個數為個.例2．（2024·湖南邵陽·二模）設函數.(1)求的極值；(2)若對任意，有恒成立，求的最大值.【解析】（1）.令，得，令，得.故在單調遞減，在單調遞增.在處取得極小值，無極大值.（2）對恒成立，即對恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調遞增，故在上單調遞增且.當時，單調遞減；當時，單調遞增..故，故的最大值為.例3．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數，其中．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數．【解析】（1），當時，，，又，故曲線在處的切線方程為；（2），解得知，，若，當或時，，當時，，所以在，遞減，遞增，故極大值為；若，則，所以函數單調遞減，無極大值；若，當或時，，當時，，所以在，遞減，遞增，故極大值，綜上，的極大值恒為正數．例4．（2024·遼寧·一模）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線的方程；(2)討論的極值.【解析】（1）當時，，求導得，則，而，所以的方程為，即.（2）函數的定義域為，求導得，而，則當時，，當時，，因此在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極大值，無極小值.例5．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數．(1)求函數在處的切線方程；(2)當時，求函數的最小值．【解析】（1）由，得，所以，，函數在處的切線方程（2）令，當時，，則，所以，所以，所以在單調遞減；當時，，則，此時，所以在單調遞增，所以當時，函數取得最小值；所以當時，函數的最小值為例6．（2024·高三·浙江·階段練習）已知函數，其中.(1)若曲線在處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求的值;(2)是否存在實數，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說明理由.【解析】（1），則，故曲線在處的切線為，即，當時，此時切線為，不符合要求當時，令，有，令，有，故，即，故（2），①當時，在上單調遞增，的最大值是，解得，舍去;②當時，由，得，當，即時，時，時，，的單調遞增區間是，單調遞減區間是，又在上的最大值為;當，即時，在上單調遞增，，解得，舍去.綜上所述，存在符合題意，此時例7．（2024·北京·模擬預測）已知函數.(1)求的圖象在點處的切線方程；(2)討論的單調區間；(3)若對任意，都有，求的最大值.（參考數據：）【解析】（1），，又，，故的圖象在點處的切線方程為，即.（2），又，，則時，當，，單調遞增；當，，單調遞減；時，當，，單調遞減；當，，單調遞增；當，，單調遞減；時，當，，在單調遞減；時，當，，單調遞減；當，，單調遞增；當，，單調遞減.綜上所述：當，的單調增區間為，單調減區間為；當，的單調減區間為，單調增區間為；當，的單調減區間為，沒有單調增區間；當，的單調減區間為，單調增區間為.（3）若對任意，都有，則在上的最大值；由（2）可知，當，在單調遞增，在單調遞減，故；令，則，故在單調遞增，又，則；故當時，，也即當時，對任意，都有.故的最大值為.例8．（2024·天津河東·一模）已知函數．(1)求函數在點處的切線方程；(2)求函數的最小值；(3)函數，證明：．【解析】（1），，切線斜率為故切線方程為，即.（2），令，可得，當，；，，故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，故函數的最小值.（3），由①欲證明，只需要，令，令在區間上單調遞增，則，故；則在區間上單調遞增，只需證明，由①可知，由（2）可知，只需證明，化簡為：成立即可，令，則在區間上單調遞增，故，所以得證.例9．（2024·北京石景山·一模）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區間上的最大值與最小值；(3)當時，求證：．【解析】（1），，，所以曲線在點處的切線方程為；（2），當時，在區間上恒成立，在區間上單調遞增，所以函數的最小值為，最大值為，當時，，得，在區間小于0，函數單調遞減，在區間大于0，函數單調遞增，所以函數的最小值為，，，顯然，所以函數的最大值為，綜上可知，當時，函數的最小值為，最大值為，當時，函數的最小值為，最大值為；（3）當時，，即證明不等式，設，，，設，，，所以在單調遞增，并且，，所以函數在上存在唯一零點，使，即，則在區間，，單調遞減，在區間，，單調遞增，所以的最小值為，由，得，且，所以，所以，即.【過關測試】1．（2024·廣東汕頭·一模）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實數的取值范圍.【解析】（1）當時，函數，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）函數的定義域為，求導得，當時，，由，得，由，得，則函數在上遞增，在上遞減，函數只有極大值，不合題意；當時，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數在上遞增，在上遞減，因此函數的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數在上遞增，在上遞減，因此函數的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數無極值，不合題意，所以的取值范圍為.2．（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習）已知函數有極值，與函數的極值點相同，其中是自然對數的底數.(1)直接寫出當時，函數在處的切線方程；(2)通過計算用表示；(3)當時，若函數的最小值為，證明：.【解析】（1）當時，，，從而，，所以函數在處的切線方程為；（2）因為，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故是函數的極小值點；又因為，所以，整理得，又當時，，若要使得函數有極值，則還需，即，綜上所述，，；（3）因為，且由（2）可知，所以，令，則，令，得到，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，從而令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，令，則，記，則，因為，所以，單調遞增，所以，即.3．（2024·內蒙古赤峰·一模）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數的單調遞增區間；(3)若函數在區間上只有一個極值點，求a的取值范圍.【解析】（1）當時，，則，所以，，，故當時，曲線在點處的切線方程為，即.（2）當時，，該函數的定義域為，，由，即，解得或，因此，當時，函數的單調遞增區間為，（3）法Ⅰ：因為，則，令，因為函數在上有且只有一個極值點，則函數在上有一個異號零點，當時，對任意的，恒成立，無零點，故不符合題意；當時，函數在上單調遞增，因為，只需，故符合題意；當時，函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，因為，只需，故不符合題意，舍去綜上所述，實數a的取值范圍是.法Ⅱ：令，則有根，令，設，，又函數對稱軸為，則時，單調遞增，所以，即，.4．（2024·四川成都·二模）已知函數的導函數為．(1)當時，求的最小值；(2)若存在兩個極值點，求a的取值范圍．【解析】（1）當時，，，，令函數，，則有，當時，，為減函數；當時，，為增函數，所以，即的最小值為2；（2）因為，有，令，有，①當時，因為，所以，即在上為增函數，所以至多存在一個，使得，故不存在兩個極值點，

②當時，解，得，故當時，，為減函數，當時，，為增函數，所以，（ⅰ）．當，即時，，在上為增函數，故不存在極值點，（ⅱ）．當，即時，

又因為，所以，又由第（1）問知，故，所以，又因為，又，所在，使得，

且在，上為增函數，在上為減函數，所以，分別是的極大值點和極小值點，綜上所述，的取值范圍為．5．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知函數.(1)是否存在實數，使得函數在定義域內單調遞增；(2)若函數存在極大值，極小值，證明：.（其中是自然對數的底數）【解析】（1）因為，則的定義域為，進一步化簡得：令，則在上單調遞增，且，所以時，時，要使得單調遞增，則在上恒成立當時，恒成立當時，，當時，，不合題意當時，，當時，，不合題意綜上：.（2）由（1）可得且，極值點為與1，所以令當時，單調遞增當時，單調遞減，所以，即成立.6．（2024·云南大理·模擬預測）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)設，且是的極值點，證明：（i）時，取得極小值；（ii）.【解析】（1）函數的定義域為，求導得，當時，恒成立，在上單調遞減，當時，由，得，由，得，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數在上單調遞減，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）函數的定義域為，求導得，由是的極值點，得，即，（i），而，則當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，取得極小值.（ii）設，求導得，當時，，當時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此，所以.7．（2024·高三·北京昌平·期末）已知函數．(1)求曲線在處的切線方程；(2)設函數，求的單調區間；(3)判斷極值點的個數，并說明理由．【解析】（1）由題意知，定義域為，所以，所以直線的斜率，，所以切線方程為，即.（2）由（1）知，所以，令，即，解得或，當，，當，，當，，所以在，單調遞增，在單調遞減.（3）個極值點，理由如下：由（2）知當時，在區間上單調遞增，，，所以存在唯一，使；當時，在區間上單調遞減，，，所以存在唯一，使；當時，，，所以所以在區間無零點；綜上，當，，當，，當，，所以當時，取到極小值；當時，取到極大值；故有個極值點.8．（2024·高三·北京房山·期末）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數的單調遞增區間；(3)若函數在區間上只有一個極值點，求的取值范圍.【解析】（1）當時，，則，所以，，，故當時，曲線在點處的切線方程為，即.（2）當時，，該函數的定義域為，，由，即，解得或，因此，當時，函數的單調遞增區間為、.（3）因為，則，令，因為函數在上有且只有一個極值點，則函數在上有一個異號零點，當時，對任意的，，不合乎題意；當時，函數在上單調遞增，因為，只需，合乎題意；當時，函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，因為，只需，不合乎題意，舍去.綜上所述，實數的取值范圍是.9．（2024·高三·全國·專題練習）已知，，(1)若在處取得極值，試求的值和的單調增區間；(2)如圖所示，若函數的圖象在連續光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質證明：函數圖象上任意兩點的連線斜率不小于．【解析】（1）因為，則，依題意，有，即．所以，，令，得或，令，得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以滿足題意，同時，的單調增區間為和；（2）猜想如下：因為表示的兩端點連線的斜率，而由題可知，上必然存在點，使得其切線的斜率為，即，所以一定定存在，使得；證明如下：因為，則．由猜想可知，對于函數圖象上任意兩點，在之間一定存在一點，使得，又，故有.10．（2024·高二·浙江溫州·階段練習）已知函數有兩個極值點為，.(1)當時，求的值；(2)若（為自然對數的底數），求的最大值.【解析】（1）易知函數的定義域為，則，當時可得，，因此可知當或時，；當時，；所以在和上單調遞增，在上單調遞減；可得和是函數的兩個極值點，又，所以；所以可得，即當時，；（2）易知，又，所以是方程的兩個實數根，由韋達定理可得，所以，設，由可得，令，則，所以在上單調遞減，可得，故可知的最大值為.11．（2024·高三·河南周口·階段練習）已知函數．(1)當時，證明：函數在上單調遞增；(2)若是函數的極大值點，求實數的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，且知，要證函數單調遞增，即證在上恒成立，設，則，注意，在上均為增函數，故在上單調遞增，且，于是在上單調遞減，在上單調遞增，，即，因此函數在上單調遞增；（2）由，有，令，所以，①當時，在上恒成立，因此在上單調遞減，注意到，故函數的增區間為，減區間為，此時是函數的極大值點；②當時，與在上均為單調增函數，故在上單調遞增，注意到，若，即時，此時存在，使，因此在上單調遞減，在上單調遞增，又知，則在上單調遞增，在上單調遞減，此時為函數的極大值點，若，即時，此時存在，使，因此在上單調遞減，在上單調遞增，又知，則在上單調遞減，在上單調遞增，此時為函數的極小值點．當時，由（1）可知單調遞增，因此非極大值點，綜上所述，實數的取值范圍為．12．（2024·高三·遼寧朝陽·階段練習）已知函數.(1)若，求函數的單調區間；(2)若對，，且在處取得極小值，求的取值范圍.【解析】（1）當時，，定義域為.，令，可得，當變化時，和的變化情況如下：0--0+單調遞減單調遞減單調遞增故函數的單調遞減區間為，；單調遞增區間為.（2）因為對恒成立，所以對恒成立，顯然不恒成立，不合題意，則，解得.令，可得或，當時，，因為，（當且僅當時，）所以函數在上單調遞增，無極值，不滿足題意；當時，，和的變化情況如下：0+0-0+單調遞增單調遞減單調遞增函數在處取得極小值，滿足題意；當時，，和的變化情況如下：0+0-0+單調遞增單調遞減單調遞增函數在處取得極大值，不滿足題意.綜上，實數的取值范圍為.13．（2024·海南·模擬預測）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若函數有最小值2，求的值.【解析】（1）當時，的定義域為，則，則，由于函數在點處切線方程為，即.（2）的定義域為，，當時，令，解得：；令，解得：，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，即則令，設，令，解得：；令，解得：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，解得：.14．（2024·高三·湖南岳陽·開學考試）已知，函數，.(1)判斷函數在上的單調性；(2)是否存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1），，①若，則，在上單調遞增；②若，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增；③若，則，函數在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；（2），，，由（1）易知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上的最小值為，即，，又，，曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解，而，即方程無實數解，故不存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直.15．（2024·貴州·三模）已知函數的圖象經過點，且是的極值點.(1)求函數的解析式；(2)求函數的單調區間和最值.【解析】（1）由函數，可得，因為函數過點，且是的極值點，可得，解得，所以函數的解析式為.（2）由（1）知，令，解；令，解，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，當時，函數取得最小值，最小值為，無最大值.即函數的增區間為，減區間為，最小值為，無最大值.16．（2024·高三·云南昆明·階段練習）已知，其中為自然對數底數．(1)討論的單調性；(2)已知有極值，求的所有極值之和的最大值．【解析】（1）函數的定義域為，又，令，解得或．①當時，，則當或時，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減；②當時，，則恒成立，所以在上單調遞增；③當時，，則當或時，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減．綜上可得：當時在和上單調遞增，在上單調遞減；當時在上單調遞增；當時在和上單調遞增，在上單調遞減．（2）由（1）可得，當時，無極值，故舍去；當時，有兩個極值，分別為，，則，令，，令，，則，令，得，所以當或時，當或時在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，，，即的所有極值之和的最大值為．17．（2024·陜西西安·一模）已知函數.(1)討論的單調性；(2)若存在兩個極值點，，證明：.【解析】（1）函數的定義域為，則函數的導數，設，注意到，①當時，恒成立，即恒成立，此時函數在上是減函數；②當時，判別式，（i）當時，，即，即恒成立，此時函數在上是減函數；（ii）當時，令，得：，令，得：或；所以當時，在區間單調遞增，在，單調遞減；綜上所述，當時，在上是減函數，當時，在，上是減函數，在區間上是增函數.（2）由（1）知，，，則，則，則問題轉為證明即可，即證明，則，即，即證在上恒成立，設，，其中，求導得，則在上單調遞減，所以，即，故，則成立.18．（