高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學年高二上學期1月期末數(shù)學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】復數(shù)，其對應(yīng)的點在第二象限，則，解得．故選：A3.在梯形中，滿足，則（）A.4 B.6 C.10 D.12【答案】C【解析】∵，∴，，故選：C．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，則，即，即，即，所以.故選：C.5.圓臺的高為2，體積為，兩底面圓的半徑比為，則母線和軸的夾角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓臺上底半徑為，則下底半徑為，由題意：.所以圓臺母線和軸的夾角的正切值為：.故選：B6.已知球的半徑為,是球表面上的定點,是球表面上的動點,且滿足，則線段軌跡的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以球的球心為坐標原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，因為球的半徑為，則，設(shè)，則，，所以，又，，則，得到，如圖，在線段取點，使，所以線段軌跡為圓錐的側(cè)面，又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，所以線段軌跡的面積為，故選：C.7.在平面直角坐標系中，，點在直線上，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)點，則，則在上的投影向量為.故選：C8.已知兩個不同的圓，均過定點，且圓，均與軸、軸相切，則圓與圓的半徑之積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當點在第一象限時，圓，的方程為的形式，代入點的坐標，可得關(guān)于的方程，圓，的半徑，是該方程的兩個不同實根，所以，同理，當點在第二、三、四象限時也可得．當點在軸上時，，此時圓，的圓心分別位于第一、二象限（或第三、四象限），兩圓在點處相切，且，滿足．同理，當點在軸上時，，同樣滿足．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法不正確的是（）A.至少有一個實數(shù)x，使B.若定義域為，則的定義域是C.命題p：，，則，D.“集合中只有一個元素”是“”的必要不充分條件【答案】ABC【解析】對于A，在實數(shù)范圍內(nèi)，，則，故A不正確；對于B，因為的定義域為，所以，即，所以對于，，解得，所以的定義域是，故B不正確；對于C，命題p：，，則，，故C不正確；對于D，若集合中只有一個元素，當時，，符合題意；當時，由題意可得，即，綜上或，所以必要性成立，故D正確；故選：ABC10.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，設(shè)隨機變量．記A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，則（）A.和互為對立事件 B.事件和不互斥C.事件和相互獨立 D.事件和相互獨立【答案】BC【解析】根據(jù)題意，表示事件“”，即前兩次拋擲中，一次正面，一次反面，則，表示事件“”，即第二次拋擲中，正面向上，則，表示事件“”，即前三次拋擲中，一次正面，兩次反面，，依次分析選項：對于A，事件、可能同時發(fā)生，則事件、不是對立事件，A錯誤；對于B，事件、可能同時發(fā)生，則事件和不互斥，B正確；對于C，事件，即前兩次拋擲中，第一次反面，第二次正面，，由于，則事件和相互獨立，C正確；對于D，事件，即三次拋擲中，第一次和第三次反面，第二次正面，，，事件、不是相互獨立事件，D錯誤．故選：BC．11.已知兩定點，，動點M滿足條件，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線C于P，Q兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.取值范圍是B.當點A，B，P，Q不共線時，面積的最大值為6C.當直線l斜率時，AB平分D.最大值為【答案】ACD【解析】設(shè)Mx,y因為，即，整理可得，可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.對于選項A：因為，可知點B在曲線C內(nèi)，且直線l與曲線C必相交，且，則的最大值為，最小值為，所以取值范圍是，故A正確；設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則.對于選項B：可得，令，則，可得，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為，即，則，可得的面積，所以面積的最大值為，故B錯誤；對于選項C：因為，又因為，則，即，可知，所以AB平分，故C正確；對于選項D：因為AB平分，則，可知當與曲線C相切時，取到最大值，此時，且為銳角，則，即的最大值為，則的最大值為，所以最大值為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，若，則的值為__________．【答案】【解析】，若，，，，，．故答案為：.13.已知三棱臺上、下底面均為正三角形，且平面平面，，為的中點，則直線與夾角的余弦值為______．【答案】【解析】如圖所示，因為，所以直線與的夾角即為直線與的夾角，取的中點為，由題知和為等邊三角形，則，又，則也是等邊三角形，故，設(shè)為在平面上的投影，則平面，因為平面平面，交線為，因為為的中點，所以又平面，所以平面，則，且，故四邊形為矩形，故，且，則，又，所以，則，又，所以，又，則，所以在中，由余弦定理得，所以直線與夾角的余弦值為．故答案為：．14.點為圓上一點，過作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是________.【答案】【解析】由題意可得圓的圓心，半徑為，則，所以過的切線斜率為，所以直線的方程為，即，又直線與直線平行，所以，則與之間的距離是.故答案為：.15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求.解：（1）因為，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，則，因為，所以，又因為，所以；（2），由余弦定理可得，，又，，，，即，.16.已知圓過，兩點，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線過點且被圓截得的線段長為，求的方程．解：（1）設(shè)圓的一般方程為，圓心，根據(jù)題意有，解得，故所求圓的一般方程為，（2）如圖所示，，設(shè)是線段的中點，則，，又，∴在中，得，當直線的斜率不存在時，滿足題意，此時方程為．當直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為，即，由點到直線的距離公式，得，此時直線的方程為．綜上，所求直線的方程為或．17.課外閱讀對于培養(yǎng)學生的閱讀興趣、拓寬知識視野、提高閱讀能力具有重要作用．某市為了解中學生的課外閱讀情況，從該市全體中學生中隨機抽取了500名學生，調(diào)查他們在寒假期間每天課外閱讀平均時長（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學生中寒假期間每天課外閱讀平均時長均不超過100分鐘．時長學生人數(shù)5010020012525（1）估計這500名學生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時長在和的兩組中共抽取6人進行問卷調(diào)查，并從6人中隨機選取2人進行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時長在的概率．解：（1）依題意，樣本中500名學生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)，所以估計這500名學生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)為49．（2）抽取的6人中寒假期間每天課外閱讀平均時長在內(nèi)有：人，在內(nèi)有4人，記內(nèi)的2人為A，B，記內(nèi)的4人為，從這6人中隨機選2人基本事件有：，共15種，其中至少有一人每天課外閱讀平均時長在的基本事件有，共9種，設(shè)“選取的2人中至少有一人每天課外閱讀平均時長在”，則．18.如圖，三棱錐中，平面，，為中點，為中點，為中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）連，由為中點，為中點，得，又平面，平面，所以平面.（2）設(shè)，由平面，平面，得，則，取中點，則，又平面，則平面，又平面，于是平面平面，又平面面，過點在平面內(nèi)作于，于是平面，連，則為直線與平面所成的角，在中，，，，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值.19.已知為圓上任意一點，點，線段的垂直平分線與交于點，記點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點作直線（與軸不重合）與相交于點，，直線與軸交于點，，求的方程.解：（1）由題意可知：的圓心為，半徑為4，且，則，可知點的軌跡是以為焦點的橢圓，則，所以的方程為.（2）因為點在橢圓內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，設(shè)直線，，則，聯(lián)立方程，消去x可得，則，又因為，若，則，即，可得，解得，所以的方程為，即.廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學年高二上學期1月期末數(shù)學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】復數(shù)，其對應(yīng)的點在第二象限，則，解得．故選：A3.在梯形中，滿足，則（）A.4 B.6 C.10 D.12【答案】C【解析】∵，∴，，故選：C．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，則，即，即，即，所以.故選：C.5.圓臺的高為2，體積為，兩底面圓的半徑比為，則母線和軸的夾角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓臺上底半徑為，則下底半徑為，由題意：.所以圓臺母線和軸的夾角的正切值為：.故選：B6.已知球的半徑為,是球表面上的定點,是球表面上的動點,且滿足，則線段軌跡的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以球的球心為坐標原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，因為球的半徑為，則，設(shè)，則，，所以，又，，則，得到，如圖，在線段取點，使，所以線段軌跡為圓錐的側(cè)面，又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，所以線段軌跡的面積為，故選：C.7.在平面直角坐標系中，，點在直線上，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)點，則，則在上的投影向量為.故選：C8.已知兩個不同的圓，均過定點，且圓，均與軸、軸相切，則圓與圓的半徑之積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當點在第一象限時，圓，的方程為的形式，代入點的坐標，可得關(guān)于的方程，圓，的半徑，是該方程的兩個不同實根，所以，同理，當點在第二、三、四象限時也可得．當點在軸上時，，此時圓，的圓心分別位于第一、二象限（或第三、四象限），兩圓在點處相切，且，滿足．同理，當點在軸上時，，同樣滿足．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法不正確的是（）A.至少有一個實數(shù)x，使B.若定義域為，則的定義域是C.命題p：，，則，D.“集合中只有一個元素”是“”的必要不充分條件【答案】ABC【解析】對于A，在實數(shù)范圍內(nèi)，，則，故A不正確；對于B，因為的定義域為，所以，即，所以對于，，解得，所以的定義域是，故B不正確；對于C，命題p：，，則，，故C不正確；對于D，若集合中只有一個元素，當時，，符合題意；當時，由題意可得，即，綜上或，所以必要性成立，故D正確；故選：ABC10.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，設(shè)隨機變量．記A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，則（）A.和互為對立事件 B.事件和不互斥C.事件和相互獨立 D.事件和相互獨立【答案】BC【解析】根據(jù)題意，表示事件“”，即前兩次拋擲中，一次正面，一次反面，則，表示事件“”，即第二次拋擲中，正面向上，則，表示事件“”，即前三次拋擲中，一次正面，兩次反面，，依次分析選項：對于A，事件、可能同時發(fā)生，則事件、不是對立事件，A錯誤；對于B，事件、可能同時發(fā)生，則事件和不互斥，B正確；對于C，事件，即前兩次拋擲中，第一次反面，第二次正面，，由于，則事件和相互獨立，C正確；對于D，事件，即三次拋擲中，第一次和第三次反面，第二次正面，，，事件、不是相互獨立事件，D錯誤．故選：BC．11.已知兩定點，，動點M滿足條件，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線C于P，Q兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.取值范圍是B.當點A，B，P，Q不共線時，面積的最大值為6C.當直線l斜率時，AB平分D.最大值為【答案】ACD【解析】設(shè)Mx,y因為，即，整理可得，可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.對于選項A：因為，可知點B在曲線C內(nèi)，且直線l與曲線C必相交，且，則的最大值為，最小值為，所以取值范圍是，故A正確；設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則.對于選項B：可得，令，則，可得，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為，即，則，可得的面積，所以面積的最大值為，故B錯誤；對于選項C：因為，又因為，則，即，可知，所以AB平分，故C正確；對于選項D：因為AB平分，則，可知當與曲線C相切時，取到最大值，此時，且為銳角，則，即的最大值為，則的最大值為，所以最大值為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，若，則的值為__________．【答案】【解析】，若，，，，，．故答案為：.13.已知三棱臺上、下底面均為正三角形，且平面平面，，為的中點，則直線與夾角的余弦值為______．【答案】【解析】如圖所示，因為，所以直線與的夾角即為直線與的夾角，取的中點為，由題知和為等邊三角形，則，又，則也是等邊三角形，故，設(shè)為在平面上的投影，則平面，因為平面平面，交線為，因為為的中點，所以又平面，所以平面，則，且，故四邊形為矩形，故，且，則，又，所以，則，又，所以，又，則，所以在中，由余弦定理得，所以直線與夾角的余弦值為．故答案為：．14.點為圓上一點，過作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是________.【答案】【解析】由題意可得圓的圓心，半徑為，則，所以過的切線斜率為，所以直線的方程為，即，又直線與直線平行，所以，則與之間的距離是.故答案為：.15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求.解：（1）因為，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，則，因為，所以，又因為，所以；（2），由余弦定理可得，，又，，，，即，.16.已知圓過，兩點，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線過點且被圓截得的線段長為，求的方程．解：（1）設(shè)圓的一般方程為，圓心，根據(jù)題意有，解得，故所求圓的一般方程為，（2）如圖所示，，設(shè)是線段的中點，則，，又，∴在中，得，當直線的斜率不存在時，滿足題意，此時方程為．當直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為，即，由點到直線的距離公式，得，此時直線的方程為．綜上，所求直線的方程為或．17.課外閱讀對于培養(yǎng)學生的閱讀興趣、拓寬知識視野、提高閱讀能力具有重要作用．某市為了解中學生的課外閱讀情況，從該市全體中學生中隨機抽取了500名學生，調(diào)查他們在寒假期間每天課外閱讀平均時長（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學生中寒假期間每天課外閱讀平均