1第三章代數式3.1列代數式表示數量關系第1課時：代數式【素養目標】借助現實情境了解代數式，進一步理解用字母表示數的意義，體驗用數學符號表達數量關系的過程，發展學生的抽象能力與符號意識，感受數學與生活的密切聯系.【教學重點】代數式的概念及意義，用代數式表示實際問題中的數量和數量關系.【教學難點】相同代數式在不同實際問題中的意義不同.【教學過程】[設計意圖]設置具體的問題情境使學生思考，在解決問題的過程中接觸代數式.[情境導入]在小學，我們學過用字母表示數，知道可以用字母或含有字母的式子表示數和數量關系.我們來看下面的問題.表中的這些式子，每個只能表示某一年爸爸的年齡，你能用一個式子簡明地表示任何一年爸爸的年齡嗎?若趙紅的年齡為a歲，則爸爸的年齡為(a+30)歲.可以看到，這樣的式子在數學中有重要作用，并在解決實際問題中有著廣泛的應用.今天我們一起來學習下![教學提示]教師先引導學生回憶小學時學過的用字母表示數的方法，然后結合后面的實際問題使學生自行思考，調動學生學習的主動性與積極性.通過用含字母的式子表示實際問題中的數量和數量關系，歸納引入代數式的概念，并明確代數式的書寫規范.探究點1代數式的概念問題1(教材P68引言)智能機器人的廣泛應用是智慧農業的發展趨勢之一.某品牌蘋果采摘機器人平均每秒可以完成5m2范圍內蘋果的識別，并自動對成熟的蘋果進行采摘，它的一個機械手平均8s可以采摘一個蘋果.根據這些數據回答下列問題：(1)①你知道本題中工作量、工作效率、工作時間之間的關系嗎?工作量=工作效率×工作時間.啟示：用字母代替數使我們的表達從一個具體問題推廣到一類問題，更具有一般性.(2)該機器人識別nm2范圍內的蘋果需要多少秒?(3)若該機器人搭載了m個機械手(m>1),它與采摘工人同時工作1h,已知工人平均5s可以采摘一個蘋果，則機器人可比工人多采摘多少個蘋果?分析提問：根據上面的分析，最終我們可以列出如下的式子：問題2(1)某工程隊負責鋪設一條長2km的地下管道，經過d天完成，用式子表示這支工程隊每天鋪設的管道長度.(2)一個正方形的邊長是a,這個正方形的周長1是多少?面積S呢?上述問題中列出的式子5t,n5,450m-720,2d,4a,a2,它們都是用運算符號把數或表示數的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數式.注意：單獨的一個數或字母也是代數式，例如，5,t都是代數式.【對應訓練】2x×y,256ab,-1n,x3,m÷3.解：均不符合，改正如下：[教學提示]步引導學生歸納寫出的式子的共性.“≥”“≤”“≠”這些符號連接而成的式子不是代數式.有關代數式書寫的具體要求教師可參[設計意圖]代數式在不同實際問題中的含義不同.探究點2用代數式表示數量關系例1(教材P70例1)(2)一個長方形的長是0.9m,寬是pm,用代數式表示這個長方形的面積；(3)某產品前年的產量是n件，去年的產量比前年產量的2倍少10件，用代數式表示去年的產(4)一個長方體水池底面的長和寬都是am,高是hm,池內水的體積占水池容積的三分之一，用代數式表示池內水的體積.(2)這個長方形的面積是0.9pm2;(3)去年的產量是(2n-10)件；的體積為13a2hm3.追問(1)觀察(1)(2)小題的結果，你有什么發現?它說明了什么問題?(2)0.9p還可以表示什么?請你再舉出一個例子.某人走路的速度為0.9m/s,若他行走ps,則走了0.9pm.(答案不唯一)【對應訓練】教材P71練習第1題.[教學提示](1)教師提問，學生自主作答，在經歷上一環節的學習后，學生不難得出這些問題的答案，目的感受數學建模的過程.設計意圖使學生能透過代數式了解到其中所蘊含的運算，明確數學意義，并能發揮想象給代數式賦予實際意義.例2(教材P71例2)說出下列代數式的意義：解：(1)2a+3的意義是a的2倍與3的和；(2)2(a+3)的意義是a與3的和的2倍；3(4)x2+2x+8的意義是x的平方，x的2倍，與8的和.問題舉例說明2a+3,2(a+3)所表示的實際問題中的數量關系.在相同情境下：李明買了一些水果，其中橘子有a個，李子的數量比橘子的2倍還多3,則李子買了(2a+3)個；若再多買3個橘子，買到橙子的數量就剛好是橘子數量的2倍，則橙子買了2(a+3)在不同情境下：李明買了一些橘子和李子，其中橘子有a個，李子的數量比橘子的2倍還多3,則李子買了(2a+3)個；小寶今年3歲，爸爸今年a歲，爺爺的年齡是小寶和爸爸的年齡和的2倍，則爺爺今年的年齡是2(a+3)歲.(答案不唯一)【對應訓練】教材P71練習第2,3題.【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是代數式?你能用代數式表示簡單實際問題中的數量或數量關系嗎?2.同一個代數式在不同實際問題中表示的數量或數量關系相同嗎?舉例說明.3.你能說出某個代數式的數學意義嗎?能賦予它實際意義嗎?【作業布置】1.教材P76習題3.1第2,6,7,8題.[教學提示]教師引導學生自主探究，可選取學生代表回答代數式的數學意義，重點在于對代數式用運算符號連接的各部分進行“拆解”,從而明確采用的是何種運算，比如分數線所代表的除法意義等.在探究代數式的實際意義時，注意若兩個式子在同一個情境下，則相同字母必須代表同一個量.【教學后記】【素養目標】1.能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示.2.初步培養學生的觀察、分析能力，發展學生的抽象能力與符號意識，感受數學與實際生活的密切聯系.【教學重點】列代數式.【教學難點】根據稍復雜實際問題中的數量關系列代數式.【教學過程】[設計意圖]設計真實情境讓學生回答，既能回顧上節課所學，也為更深入地探討列代數式做鋪墊.【情境引入】在解決一些數學問題與實際問題時，往往需要先把問題中的數量關系用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，也就是要列代數式.回憶上節課所學內容，解答下面的問題：如圖，在國慶閱兵式上，有女民兵和三軍女兵兩種特殊方隊.(1)若女民兵方隊有a人，三軍女兵方隊有b人，則兩種方隊共有(a+b)人；(2)若三軍女兵方隊的平均年齡為m歲，比女民兵方隊的平均年齡大n歲，則女民兵方隊的平均年齡為(m-n)歲；(3)若三軍女兵方隊共有m排，且每排有25人，則三軍女兵方隊的人數為25m;(4)女民兵方隊用ts走了sm,則她們的平均速度可以表示為stm/s.這就是列代數式，這節課我們將更深入地對這方面進行探究，讓我們準備好一起進入今天的探4索之旅吧![教學提示]答案的4個式子包含有+,-,×,÷這四種運算，學生口答過程中，教師順勢板書好答案，為下一步學生觀察、理解和更深入地探究列代數式埋下伏筆.探究列代數式表示數學運算，以及用代數式表示運算律或公式等.探究點1列代數式表示數學運算中的數量關系思考我們在上一節課曾探討過代數式的意義，如2a+3的意義是a的2倍與3的和.反過來，如果已知某種數學運算，如a,b兩數的和與差的積，那么該如何用代數式表示呢?可以按下面的步驟列代數式：所以a,b兩數的和與差的積為(a+b)(a-b).(1)比m的3倍小3的數；(2)m的平方的3倍與5的和；(3)m的倒數與n的積.【對應訓練】教材P73練習第1題.[教學提示]這一環節教學時教師以引導為主，不要直接明晰結論，應先鼓勵學生盡可能回憶以前學過的運學生強調：一個代數式中可能會有多個字母，它們代表的量各不相同.[設計意圖]通過例題使學生明確如何將實際背景中的數量關系轉化成數學語言進行描述，再進一步列出代數式.探究點2列代數式表示實際情境中的數量關系例2((教材P72例3)用代數式表示：(1)購買2個單價為a元的面包和3瓶單價為b元的飲料所需的錢數(2)把a元錢存入銀行，存期3年，年利率為2.75%,到期時的利息是多少元?(3)某商品的進價為x元，先按進價的1.1倍標價，后又降價80元出售，現在的售價是多少元?分析提問：想一想各小題中的數量關系是怎樣的?試著填寫下表：解：(1)購買2個單價為a元的面包和3瓶單價為b元的飲料所需的錢數為(2a+3b)元.(2)根據題意，得a×2.75%×3=8.25%a,因此到期時的利息為8.25%a元.(3)現在的售價為(1.1x-80)元.量或數量關系簡明地表示出來，更具有一般性.【對應訓練】教材P73練習第2,3,4題.[教學提示](1)(2)中的字母a;2.某些代數式中有些部分可以適當化簡，如(3)中2.75%與3相乘得到8.25%.[設計意圖]設計稍復雜的實際問題中的行程問題，以考查學生列代數式的能力，既強化了學生的應用能力，提高了學生對知識的掌握程度，也為后面學習方程、不等式等相關實際問題背景進行熟悉和預熱.活動四：隨堂訓練，課堂總結探究點3代數式的意義例3(教材P72例4)甲、乙兩地之間公路全長240km,汽車從甲地開往乙地，行駛速度為vkm/h.(1)汽車從甲地到乙地需要行駛多少小時?(2)如果汽車的行駛速度增加3km/h,那么汽車從甲地到乙地需要行駛多少小時?汽車加快速度后可以早到多少小時?5分析提問：(1)本題包含了幾個量?它們之間有什么關系?本題包含路程、速度和時間三個量.它們之間具有關系：時間=路程速度.(2)早到的時間與原來需要行駛的時間和加快速度后需要行駛的時間有什么聯系?早到的時間=原來需要行駛的時間-加快速度后需要行駛的時間.解：(1)汽車從甲地到乙地需要行駛240vh.(2)如果汽車的行駛速度增加3km/h,那么汽車從甲地到乙地需要行駛240v+3h.汽車加快速度后可以早到(240v-240v)h.【對應訓練】張華同學報名參加了某市越野賽10km體驗組的比賽，計劃以xkm/h的平均速度跑完全程，為了取得更好的成績，實際比賽時他以計劃平均速度的1.2倍跑完了全程.(1)用代數式表示張華同學實際跑完全程所用的時間：101.2xh;(2)王老師也報名參加了此次越野賽10km體驗組的比賽，他計劃一半路程以akm/h的平均速度前進，而另一半路程以bkm/h(a≠b)的平均速度前進，用代數式表示王老師跑完全程所用的時間.解：一半路程以akm/h的平均速度前進，用時5ah,另一半路程以bkm/h的平均速度前進，用時5bh,故王老師跑完全程所用的時間為(5a+5b)h.【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：你能分析實際問題中的數量關系，并列出代數式嗎?【作業布置】1.教材P75習題3.1第1,3,10,11題.[教學提示]例題和練習題都屬于行程問題，解決這類問題必須掌握行程問題的公式，即時間、路程、速度之間的關系.需要注意跟學生強調，列出的代數式如果形式比較復雜，出現不止一個運算符號，只要不出現關系符號(如“=”“<”),無論用多少個運算符號連接都屬于代數式的范疇；同時在相同的問題背景下，相同的字母表示相同的量，不同的量是用不同的字母來表示的.【教學后記】第3課時反比例關系【素養目標】2.初步了解反比例關系的表現形式，并能在實際問題中識別反比例關系，發展學生的抽象能力和應用意識.【教學重點】反比例關系的概念及識別.【教學難點】在實際問題中識別反比例關系.【教學過程】[設計意圖]類比正比例關系，對實例進行演變，引發學生思考，為引入反比例關系的概念做鋪墊.【類比引入】如果兩個變化的量的比值保持不變，或用符號表示為yx=k(k是一個確定的值，且k≠0),這時稱這兩個量y和x為成正比例的量.2.復習：第1課時活動二中的問題1:我們不難回答上面“猜想”中的特點，但該怎樣進一步表述這兩個量之間的關系呢?讓我們趕快進入新的學習吧!6[教學提示]進入本節課之前先引導學生回顧正比例關系，再通過對問題進行演變使學生對反比例關系有一個初步感知，重點在于類比正比例關系使學生發現新問題中量和量之間存在共性(乘積為定值).通過實例引入反比例關系的概念，并與正比例關系進行比較，幫助學生更深刻地理解.探究點反比例關系問題(教材P73問題)北京是全球首個既舉辦過夏季奧運會又舉辦過冬季奧運會的城市.在冬季奧運會前，某賽場計劃造雪260000m3.解答下列問題：(2)每天造雪量和造雪天數這兩個量是怎樣變化的?它們之間有什么關系?(續表)量就叫作成反比例的量，它們之間的關系叫作反比例關系.如果用字母x和y表示兩個相關聯的量，用k表示它們的積(k是一個確定的值，且k≠0),反比例關系可以用xy=k來表示.想一想：正比例關系與反比例關系有什么區別和聯系?數量與商品的單價成反比例關系.你還能舉出一些例子嗎?度與行完全程所需時間成反比例關系等.【對應訓練】教材P75練習第1,2題.[教學提示]導學生通過觀察和對問題的探究，說出工作時間與工作效率的乘積為定值，再一次印證學生在活動一中已經得出的結論.教師提醒學生特別注意比例系數k在當前學情下雖不做過多探討，但k≠0仍需明確知曉，必要時可適當解釋不為0的原因.[教學提示]將反比例關系與正比例關系進行對比，分析它們的異同點，這比例關系的探究方法進行參照學習，有助于學生更好地理解反比例關系的實質.以后這樣的類比學習會經常出現，學生初學會比較困難，教師可直接講述.而后面的“思考”是為了幫助學生更進一步鞏固對反比例關系的認識.[設計意圖]設計實際問題引導學生解決，進一步強化學生對于反比例關系的理解，并培養學生的應用能力和一定的計算能力.例(教材P74例5)如圖，四個圓柱形容器內部的底面積分別為10cm2,20cm2,30cm2,60cm2.分別往這四個容器中注入300cm3的水.(1)四個容器中水的高度分別是多少厘米?高=圓柱的體積底面積.解：(1)四個容器中水的高度分別為30010=30(cm),30020=15(cm),30030=10(cm),30060=5(cm).【對應訓練】7(1)這間教室的地面面積是多少平方米?(2)所需地磚的數量是怎樣隨著每塊地磚的面積的變化而變化的?(3)若用n表示所需地磚的數量，m表示每塊地磚的面積，用式子表示n與m的關系.n與m成什么比例關系?解：(1)這間教室的地面面積是300×1600=480000(cm2)=48m2.(2)由表可知所需地磚的數量隨著每塊地磚的面積的增大而減小，但它們的乘積一定，都為2.教材P75練習第3題.[教學提示]這里涉及的運算要讓學生自主動手進行，一方面是加強理解，另一方面也是為后面學習代數式求值進行預演.可倡導按照自己所想的方法進行求值(不必硬套公式),學力稍強的學生可能已經運用代值求解的方法去解決問題了，應對這種思維超前、靈活運用的學生予以認可，對于其他學生也應當鼓勵，營造積極的學習氛圍，使學生在自主學習中獲得成就感.【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：什么是反比例關系?兩個相關聯的量何時滿足反比例關系，你能舉例說明嗎?【作業布置】1.教材P76習題3.1第4,5,9題.【教學后記】第1課時：求代數式的值【素養目標】1.了解代數式的值的概念，會把具體數代入代數式進行計算.2.感受代數式求值是一個轉換過程或某種算法，鍛煉學生的計算能力和解題能力.【教學重點】求代數式的值.【教學難點】較復雜的代數式求值，理解代數式的值與字母的取值間的對應關系.【教學過程】[設計意圖]設計實例引出代數求值的需求，為進入新課做鋪墊.【情境引入】誰說數學學不好?這不，先前數學成績很差的劉偉，經過不斷努力，不但成績直線上升，而且現在還能設計程序計算呢!如圖就是劉偉設計的一個程序.當輸入x的值為3時，你能求出輸出的y的值嗎?y的值為-3.像上面這樣，我們在列出代數式的情況后，往往還需要求出所需的數值.怎么求呢?這就是本課時需要解決的問題.[教學提示]學生獨立完成說出答案，讓其在按照程序探索求值的過程中感受代數式求值的必要性.[設計意圖]通過實際問題引入代數式的值的概念，并通過例題引導學生學會求代數式的值，并歸納求代數式的值的步驟.探究點求代數式的值8問題為了開展體育活動，學校要購置一批排球，每班配5個，學校另外留20個.學?？偣残枰徶枚嗌賯€排球?記全校的班級數是n,則需要購置的排球總數是5n+20如果班級數是15,用15代替字母n,那么需要購置的排球總數是5n+20=5×15+20=95.(2)如果班級數是20呢?同上，如果班級數是20,用20代替字母n,那么需要購置的排球總數是5n+20=5×20+20=120.概念引入：歸納總結：求代數式的值的步驟：(1)代入，即用具體數值代替代數式中的字母；(2)計算，即按照代數式指明的運算順序計算得出結果.【對應訓練】教材P80練習第1,2題.[教學提示]求代數式的值的注意事項：(1)代數式中的運算符號和具體數字都不能改變，代入數值以后原來省略的乘號一定要還原，如例1;(2)字母在代數式中所處的位置必須搞清楚；(3)若字母取值是分數，做乘方運算時必須加上括號，若字母取值是負數也必須加上括號；(4)代數式若有現實背景，也不可取不符合實際意義的值，如李明買了n個足球，這里的n就不能取正整數以外的值.[設計意圖]通過解決實際問題提高學生對代數式求值的掌握程度.例3科技改變生活.劉偉是一名攝影愛好者，他最近新入手了一臺如圖所示的無人機進行航拍，劉偉將這臺無人機放在距離地面進行第二次拍照.(1)用代數式表示無人機兩次拍照時距地面的高度；(2)當a=12,b=10時，求無人機第二次拍照時距地面的高度.解：(1)第一次拍照時距地面的高度是(1.5+40a)m,第二次拍照時距地面的高度是(2)當a=12,b=10時，(1.5+40a)-25(b-2)=(1.5+40×12)-25×(10-2)=281.5.因此，無人機第二次拍照時距地面的高度為281.5m.【對應訓練】教材P80練習第3題.[教學提示]教師鼓勵學生獨立完成，潛移默化地提高學生觀察、分析、解決問題的能力，并在這一過程中將列代數式與求代數式的值融會貫通，提高應用能力，體驗克服困難的過程，樹立學習數學的信心.【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是代數式的值?你會把具體數代入某個代數式進行求值嗎?2.代數式求值時要注意運算符號和運算順序，你能舉例說明嗎?3.字母的取值和代數式的值之間有何聯系?你能對特定問題下某個字母的值和對應代數式的值的實際意義進行解釋嗎?【作業布置】1.教材P82習題3.2第1,2,3,4,7,8題.【教學后記】9第2課時：幾何中的代數式求值【素養目標】1.能運用公式列出幾何圖形問題中的代數式，并把具體數代入求值.2.掌握代數式在幾何問題中的運用，發展學生的幾何直觀感知能力與計算能力.【教學重點】幾何中的代數式求值.【教學難點】幾何中的代數式求值.【教學過程】[設計意圖]通過回憶小學時學過的幾何問題中的一些公式，并說明將利用這些公式進行代數式求值的探究，從而銜接新課的學習.【問題引入】這節課我們將繼續代數式求值的探究，這次要探究的是利用幾何公式進行代數式求值.[教學提示]教師跟學生說明這節課是上節課的延續，在上節課已經涉及一些實際問題(如行程問題)中的程問題公式，運用幾何公式來進行代數式求值這一數學活動，從而將教學氣氛調動起來.活動二交流合作，探究新知[設計意圖]通過例題使學生學會運用公式進行幾何中的代數式求值.探究點幾何中的代數式求值我們剛剛在活動一中回憶了一些幾何相關公式，在解決有關問題時，經常用這些公式進行計算.我們來看下面兩個例題：例1(教材P80例3)如圖，某學校操場最內側的跑道由兩段直道和兩段半圓形的彎道組成，其中直道的長為a,半圓形彎道的直徑為b.(1)用代數式表示這條跑道的周長；(2)當a=67.3m,b=52.6m時，求這條跑道的周長(π取3.14,結果取整數).引導提問：①跑道的周長是由哪些部分組成的?跑道的周長是兩段直道和兩段彎道的長度組成的.②如何求出兩段彎道的長度和?兩段彎道的長度和即為圓的周長，由圓的周長公式即可求得結果.解：(1)兩段直道的長為2a;兩段彎道組成一個圓，它的直徑為b,周長為πb.因此，這條跑道的周長為2a+