2024—2025學年全國中學生標準學術能力診斷性測試高三上學期12月測試數學試卷

一、單選題(★)1.已知集合，，下列結論成立的是（）

A．B．C．D．(★)2.已知，為虛數單位，若復數的實部與虛部相等，則（）

A．B．C．D．(★★)3.已知，，則（）

A．B．C．D．(★★★)4.斜率為的直線經過點，且與拋物線交于A，B兩點，則（）

A．B．C．D．(★★)5.已知分別表示隨機事件發生的概率，那么是下列哪個事件的概率（）

A．事件同時發生B．事件至少有一個發生C．事件都不發生D．事件至多有一個發生(★★)6.已知，設，，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．(★★★)7.設，若方程（）有個不同的根，，，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．(★★★★)8.已知雙曲線的左、右焦點為，，的一條漸近線為，點位于第一象限且在雙曲線上，點滿足：，，則的最大值為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.已知直線：與圓：，，則下列判斷正確的是（）

A．若點在圓上，且直線與圓相切，則B．若點在圓內，且，則直線與圓相交C．若，，則直線與圓相交D．若，則直線截圓所得弦長為(★★)10.我們熟知的五面體有三棱柱、三棱臺、四棱錐等．《九章算術》中將有三條棱互相平行且不全相等，有一個面為矩形的五面體稱之為“芻甍”，對于“芻甍”下列判斷正確的是（）

A．三棱臺體不是“芻甍”B．“芻甍”有且僅有兩個面為三角形C．存在有兩個面為平行四邊形的“芻甍”D．“芻甍”存在兩個互相平行的面(★★★★)11.已知等差數列的公差為，，數列的前項和為，，若存在，使得，則可能的取值為（）

A．B．C．D．三、填空題(★★)12.如圖所示，在正方形中，是的中點，在上且，與交于點，則________．(★★★)13.已知，記函數在閉區間上的最大值為，若正數滿足，則________．(★★★★)14.已知，，若對任意，都存在，使得，則實數的取值范圍為________．四、解答題(★★)15.設等差數列的前項和為，已知．(1)若，求的通項公式；(2)若對于任意，都有，求公差的取值范圍．(★★)16.如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點為棱的中點．(1)設平面與直線相交于點，求證：平面；(2)若平面，，，，求直線與平面所成角的大?。?★★★)17.某校高一學生共有人，年級組長利用數字化學習軟件記錄每位學生每日課后作業完成的時長，期中考試之后統計得到了如下平均作業時長與學業成績的數據表：

平均作業時長（單位：小時）學業成績優秀：學業成績不優秀：(1)試判斷：是否有的把握認為學業成績優秀與日均作業時長不小于小時且小于小時有關？(2)常用表示在事件發生的條件下事件發生的優勢，在統計中稱為似然比．已知該校高一學生女生中成績優秀的學生占比，現從所有高一學生中任選一人，表示“選到的是男生”，表示“選到的學生成績優秀”，若，求．附：，．(★★★★)18.設．(1)當，求函數的遞減區間；(2)求證：函數的圖象關于對稱；(3)若當且僅當時，，求實數的取值范圍．(★★★★)19.在直角坐標平面內