人教2019A版必修

第二冊第九章統計9.2.1總體取值規律的估計第1課時頻率分布直方圖教學目標1.結合實例，能用樣本估計總體的取值規律．2.會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖．3.能根據頻率分布表和頻率分布直方圖觀測數據的分布規律．面對一個統計問題，在隨機抽樣獲得觀測數據的基礎上，需要根據數據分析的需要，選擇適當的統計圖表描述和表示數據，獲得樣本的規律，并利用樣本的規律估計總體的規律，解決相應的實際問題.針對數據的處理，請看下面的問題。問題一：我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了減少水資源的浪費，計劃對居民生活用水費用實施階梯式水價制度，即確定一戶居民月均用水量標準a，用水量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費.如果希望確定一個比較合理的標準，以使大部分居民用戶的水費支出不受影響，你認為需要做哪些工作？標準如果定的太低，會影響很多居民的日常生活；標準如果太高，則不利于節水。為了確定一個較為合理的用水標準，必須先了解在全市所有居民用戶中，月用水量在不同范圍內的居民用戶所占的比例情況。問題導入在時間、經費允許的情況下，我們可以通過全面調查獲得過去一年全市所有居民用戶的月均用水量數據，進而得到月均用水量在不同范圍內的居民用戶所占的比例。由于全市居民很多，通常采用抽樣調查的方式，通過分析樣本觀測數據，來估計全市居民用戶月均用水量的分布情況。問題二：在這個問題中，總體、個體、調查變量分別是什么？假設通過簡單隨機抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數據（單位：t）9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6

總體是該市的全體居民用戶，個體是每戶居民，調查變量是居民用戶的月均用水量。問題三：從這組數據我們能發現什么信息呢？如果將這組數據按從小到大排序，發現這組數據的最小值是1.3t,最大值是28.0t，其他在1.3t和28.0t之間。為了更深入地挖掘數據蘊含的信息，需要對數據作進一步的整理與分析。為了探索一組數據的取值規律，一般先要用表格對數據進行整理，或者用圖將數據直觀表示出來。在初中，我們曾用頻數分布表和頻數分布圖來整理和表示這種數值型數據，由此能使我們清楚地知道數據分布在各個小組的個數。在這個實際問題中，因為我們更關心月均用水量在不同范圍內的居民占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖在整理和表示數據。思考四：什么是頻數？什么是頻率？

頻數：在總體(或樣本）中，某個個體出現的次數叫做這個個體的頻數。

頻率：某個個體的頻數與總體(或樣本）中所含個體的數量的比叫做這個個體的頻率。

與畫頻數分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖。1.求極差

極差為一組數據中最大值與最小值的差。

樣本觀測數據的最小值是1.3t，最大值是28.0t，則極差為28.0-1.3=26.7，這樣說明樣本觀測數據的變化范圍是26.7t.2.決定組距與組數組數太多或太少都會影響我們了解數據的分布情況。組距與組數的確定沒有固定的標準，常常需要一個嘗試和選擇的過程。數據分組的組數與數據的個數有關，一般數據的個數越多，所分組數也越多。當樣本容量不超過100時，常分成5~12組。數據分組可以是等距，也可以是不等距的。但為了方便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”。一、頻率分布表和頻率分布直方圖新知探究分組時可以先確定組距，也可以先確定組數。如果取組距為3，則極差/組距=26.7/3=8.9即可以將數據分為9組，這也說明這個組距是比較合適的。3.將數據分組由于組距為3，9個組距的長度超過極差，我們可以使第一組的左端點略小于數據中的最小值，最后一組的右斷點略大于數據中的最大值。例如，可以取區間為[1.2,28.2]，按如下方式把樣本觀測數據以組距為3分為9組：[1.2,4.2),[4.2,7.2),...,[25.2,28.2]一、頻率分布表和頻率分布直方圖新知探究4.列頻率分布表計算各小組的頻率，例如第一小組的頻率是：第一組頻數/樣本容量=23/100=0.23.由此方法作出頻率分布表。一、頻率分布表和頻率分布直方圖新知探究5.畫頻率分布直方圖根據頻率分布表可以得到如下的頻率分布直方圖。在頻率分布直方圖中，橫軸表示月均用水量，縱軸表示頻率/組距。在這里，我們發現，縱軸實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高，它反映了各組樣本觀測數據的疏密程度。因為小長方形面積=組距×（頻率/組距）=頻率，所以各小長方形的面積表示相應各組的頻率。一、頻率分布表和頻率分布直方圖新知探究一、頻率分布表和頻率分布直方圖新知探究頻率分布直方圖的縱軸是頻率/組距，而頻數分布直方圖的縱軸是頻數。思考一：頻率分布直方圖與頻數分布直方圖有什么區別？頻率分布直方圖中：小長方形的高=頻率/組距小長方形的面積表示該組的頻率。所有小長方形的面積和=1，即頻率之和為1.

從頻率分布表中可以看出，樣本觀測數據落在各個小組的比例大小。例如，月均用水量在區間[4.2，7.2)內的居民用戶最多，在區間[1.2，4.2)內的次之，而月均用水量超過16.2的各區間內數據所占比例較小，等等。從頻率分布直方圖可以看出，居民用戶月均用水量的樣本觀測數據的分布是不對稱的，圖形的左邊高、右邊低，右邊有一個較長的“尾巴”。這表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區域，尤其在[1.2，7.2)最為集中，少數用戶居民的月均用水量偏多，而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數呈現降低趨勢。二、根據樣本數據估計總體情況新知探究思考二：觀察上述頻率分布表和頻率分布直方圖，你覺得這組數據中蘊含了哪些有用的信息？你能發現居民用戶月均用水量的那些分布規律？你能給出適當的語言描述嗎？有了樣本觀測數據的頻率分布，我們可以用它估計總體的取值規律。根據100戶居民用戶的月均用水量的頻率分布，可以推測該市全體居民用戶月均用水量也會有類似的分布，即大部分居民用戶月均用水量集中在較低值區域。這使我們確定用水量標準時，可以定一個合適的值，以達到既不影響大多數居民用戶的水費支出，又能節水的目的。需要注意的是，由于樣本的隨機性，這種估計可能會存在一定誤差，但這一誤差一般不會影響我們對總體分布情況的大致了解。二、根據樣本數據估計總體情況新知探究思考三：分別以3和27為組數，對數據進行等距分組，畫出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖。觀察圖形，你發現不同的組數對于直方圖呈現數據分布規律有什么影響？二、根據樣本數據估計總體情況新知探究圖（1）中直方圖的組數少、組距大，從圖中容易看出，數據分布的整體規律是隨著月均用水量的增加，居民用戶數的頻率在降低，而且月均用水量在區間[1.2，10.2)內的居民用戶數的頻率，遠大于在另兩個區間[10.2，19.2)和[19.2，28.2)內的頻率，這說明大部分居民用戶的月均用水量都少于10.2t。二、根據樣本數據估計總體情況新知探究圖（2）中直方圖的組數多、組距小，從圖中可以看出，數據主要集中在低值區，尤其在區間[5.2，6.2)內最為集中，從總體上看，隨著月均用水量的增加，居民用戶數的頻率呈下降趨勢，但存在個別區間頻率變大或者缺少的現象。從上圖可以看出，同一組數據，組數不同，得到的直方圖形狀也不盡相同。從上述分析可見，當頻率分布直方圖的組數少、組距大時，容易從中看出數據整體的分布特點，但由于無法看出每組內的數據分布情況，損失了較多的原始數據信息；當頻率分布直方圖的組數多、組距小時，保留了較多的原始數據信息，但由于小長方形較多，有時圖形會變得非常不規則，不容易從中看出總體數據的分布特點。同時，對于同一組數據，因為組距、組數不同而得到不同形狀的直方圖，會給人以不同的頻率分布印象，這種印象有時會影響人們對總體的判斷。因此，我們要注意積累數據分組、合理使用圖表的經驗。思考四：根據上圖你能發現組數少與組數大各有什么優缺點？1、求極差：即數據中最大值與最小值的差；2、決定組距和組數：組數=極差/組距；注意：①一般樣本容量越大，所分組數越多；②為方便起見，組距的選擇應力求“取整”；③當樣本容量不超過100時，按照數據的多少，通常分成5～12組．3、將數據分組：通常對組內數值所在區間，取左閉右開區間,最后一組取閉區間；4、登記頻數,計算頻率和頻率／組距,列頻率分布表；一般分四列：分組、頻數累計、頻數、頻率，最后一行是合計．其中頻率合計應是樣本容量，頻率合計是1.5、畫頻率分布直方圖。畫圖時，應以橫軸表示分組，縱軸表示頻率/組距．其相應組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積．思考五：畫頻率分布直方圖有哪幾個步驟？1.在某次數學測驗后,將參加考試的500名學生的數學成績制成頻率分布直方圖(如圖),則在該次測驗中成績不低于100分的學生人數是()練習A.210 B.205 C.200 D.195解析

由頻率分布直方圖,得在該次測驗中成績不低于100分的學生的頻率為1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,∴在該次測驗中成績不低于100分的學生人數為500×0.4=200.故選C.2.某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組一次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人數是15人，則該班的學生人數是（）人解：∵成績低于60分有第一、二組數據，在頻率分布直方圖中，對應矩形的高分別為0.005，0.01，每組數據的組距為20，則成績低于60分的頻率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人數是15人，則該班的學生人數是15/0.3=50人。3.如圖所示是一個容量為1000的樣本頻率分布直方圖，請根據圖形中的數據填空．(1)樣本數據落在范圍[5,9)的頻率為________；(2)樣本數據落在范圍[9,13)的頻數為________．答案(1)0.32(2)3604.如圖，從參加環保知識競賽的學生中抽出60名，將其成績（均為整數）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：（1）求：79.5-89.5這一組數據的頻數、頻率；（2）求：本次競賽的及格率（60分及以上為及格）。解：（1）頻率為：0.025×10=0.25，頻數：60×0.25=15；（2）0.015×10+0.03×10+0.025×10+0.005×10=0.75。5.從某