6.1.4數乘向量6.1.5向量的線性運算TOC\o"13"\h\z\u題型1數乘向量的概念 ②點C在直線AB的內側（含點0的一側）的充要條件是x+y<1.題型1數乘向量的概念【方法總結】對于數乘運算，要認識到任意實數λ與任意向量a的乘積λa仍是向量，要明確兩向量的關系，應從兩方面入手，一是方向，二是大小.【例題1】（2022上·河南安陽·高二?？奸_學考試）若a，b，c是任意三個空間向量，λ∈R，則下列關系式中不成立的是（

）A．a+b=C．a+b+c=【答案】D【分析】根據向量加法的交換律、結合律，對數乘的分配律判斷ABC，由向量共線的條件判斷D.【詳解】對于A，根據向量加法的交換律知a+對于B，根據向量數乘的分配律知λa對于C，根據向量加法的結合律知a+對于D，當a→,b→共線，且b→故選：D【變式11】1．（2022上·遼寧錦州·高一校聯考期末）“實數λ=0”是“λaA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據“λ=0”與“λa【詳解】當λ=0時，λa當λa=0時，此時λ=0不一定成立，例如a所以“λ=0”是“λa故選：A.【變式11】2．（2022下·四川成都·高一校聯考期中）對于非零向量a,b，下列選項一定能使A．a=2022b B．a→//b?【答案】C【分析】首先判斷aa、bb的意義，依題意只需找到滿足a與【詳解】解：因為aa表示與a同向的單位向量，bb表示與要使aa+bb=則當a=?2022b時a與當a=2022b時a與當a//b時不一定滿足a與故選：C【變式11】3．（2023上·高二課時練習）已知λ∈R，則下列命題正確的是（

）A．λa=λaC．λa=λ【答案】C【分析】根據數乘向量的模的意義即可得解.【詳解】由數乘向量的模的意義可知λa當λ=0或a=0時，λ故選：C.【變式11】4.（2023·高一課時練習）已知m、n是實數，a、b是向量，對于命題：①m(a?b③若ma=mb，則a=b

其中正確命題的個數是：（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①和②屬于數乘對向量與實數的分配律，③中若m=0，結論不成立，④中若a=【詳解】①和②屬于數乘對向量與實數的分配律，正確；③中若m=0，a與b沒有確定關系，結論不成立，錯誤；④中若a=故①②兩個命題正確．故選：B題型2向量的數乘運算【例題2】（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡6aA．6a+2bC．?2a?14b【答案】D【分析】利用平面向量的數乘及加減運算即可求得結果.【詳解】根據向量的四則運算可知，6a故選：D【變式21】1．（2022·高一課時練習）若向量a=3i?4j，【答案】?16【分析】根據向量的加減與數乘，可得答案.【詳解】13a+2b1==?16i故答案為：?16i【變式21】2.（2023·全國·高一隨堂練習）求下列未知向x.(1)31(2)12(3)2x【答案】(1)x(2)x(3)x【分析】根據向量數乘運算求解.【詳解】（1）由313x所以x=3（2）由12a?2所以x=（3）由2x?1所以x=?【變式21】3.（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列各小題中的向量a，b是否共線：(1)a=3e，(2)a=?2e1?2e2，(3)a=23【答案】(1)共線；(2)共線；(3)共線.【分析】用向量共線定理判斷.【詳解】（1）a=3e，b=?所以a，b共線.（2）a=?2e1所以b=?2a，所以a，（3）因為a=23所以b=2所以a=?所以a，b共線.【變式21】4.（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學校校考期中）如圖，在矩形ABCD中，E為BC中點，那么向量12A．AB B．AC C．BC D．BE【答案】B【分析】根據平面向量的線性運算，結合圖形可得.【詳解】因為四邊形ABCD為矩形，E為BC中點，所以EC=所以12故選：B題型3向量共線定理證明點共線問題【例題3】（2023下·貴州遵義·高一?？茧A段練習）已知不共線的向量a,b，且AB=a+2A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】利用向量的共線定理一一判斷即可.【詳解】對A，AD=所以AD=3AB，則對B，AC=則不存在任何λ∈R，使得AC=λAB對C，BD=則不存在任何μ∈R，使得BD=μBC對D，AC=則不存在任何t∈R，使得CD=tAC故選:A.【變式31】1.（2023下·山東東營·高一東營市第一中學?？茧A段練習）若AB=【答案】A,B,D【分析】根據已知條件結合共線向量定理分析判斷即可.【詳解】因為BC=?2所以BD=因為AB=22所以AB與BD共線，因為AB與BD有公共端點B，所以A,B,D三點共線.故答案為：A,B,D【變式31】2.（2023上·內蒙古通遼·高一校考階段練習）已知向量a,b不共線，AB=a+3A．A，B，C三點共線 B．A，C，D三點共線C．A，B，D三點共線 D．B，C，D三點共線【答案】C【分析】根據向量共線定理進行判斷即可.【詳解】因為a,b不共線，AB=a+3易得AB,又AC=AB+而BD=故選：C.【變式31】3.（2023下·全國·高一期中）平面上點P與不共線三點A、B、C滿足關系式：PA+A．P在CA上，且CP=2PA B．P在ABC．P在BC上，且BP=2PC D．P點為【答案】A【分析】根據平面向量線性運算求得正確答案.【詳解】依題意，PA+PB+PA?AP=?故選：A題型4向量共線定理證明線平行問題【例題4】（多選）（2023下·陜西西安·高一期中）下列命題正確的的有（

）A．(?5)(6B．7(C．若a=m?D．(a?5b【答案】ABC【分析】根據向量的數乘運算判斷A，B；由共線向量的定義判斷C，D.【詳解】解：對于A，(?5)(6a對于B，7(a對于C，因為a=m?n,對于D，因為(a?5b故選：ABC.【變式41】1．（2023·全國·高一隨堂練習）已知a=e1+e2，【答案】證明見解析【分析】根據向量的線性運算及共線定理證明.【詳解】因為b=?2所以由共線向量定理知，a與b共線.【變式41】2.（2021上·高二課時練習）證明：如果向量a，b共線，那么向量2a+b【答案】證明見解析【分析】由向量共線定理可證明.【詳解】如果向量a，b共線，則存在唯一實數λ，使得b=λ則2a所以向量2a+b【變式41】3.（2020·高一課時練習）已知a=3e1【答案】a,【解析】根據已知條件求出一個實數k，使得a=k【詳解】解:a,b共線?理由:∵a=3e1【點睛】本題考查向量共線，掌握向量共線定理是解題關鍵．【變式41】4.給出下面三個命題：①非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行；②向量a與b共線，則存在唯一實數λ，使a=③若a=λb，則a其中正確的命題的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由題意結合平面向量共線的性質,逐項判斷即可得解.【詳解】若非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行或重合，故①錯誤；若b=0，a≠0，則向量a與b【點睛】本題考查了平面向量共線的性質，屬于基礎題.題型5已知向量共線（平行）求參數◆類型1向量共線【例題51】（2023下·山西運城·高一統考期中）已知向量a，b不共線，且向量λa+b與a+(2λ?1)b方向相同，則實數λA．1 B．?12 C．1或?1【答案】A【分析】利用向量共線定理求解即可【詳解】因為向量λa+b所以存在唯一實數k(k>0)，使a+(2λ?1)因為向量a，b不共線，所以kλ=12λ?1=k，解得λ=1k=1或故選：A【變式51】1.（2023下·山東濱州·高一統考期中）已知向量a，b不共線，且c=xa+b，d=2a+(2x?3)A．2 B．?12 C．2或?12 【答案】C【分析】利用兩個向量共線的性質列方程可求得實數x的值．【詳解】∵向量a，b不共線，且c=xa+b，d=2所以存在實數λ，使得xa所以x=求得實數x=2或x=?1故選：C．【變式51】2.（2024上·遼寧遼陽·高一統考期末）已知向量a,b不共線，m=a?3b，【答案】?6【分析】根據平面向量共線向量定理，得出m=λ【詳解】因為m∥n，所以?λ∈R，m=λn，則故答案為：?6【變式51】3.（2022下·江西宜春·高一奉新縣第一中學?？茧A段練習）設a與b是兩個不共線向量，且向量a+λb與?b【答案】?12【分析】利用向量共線的條件，列方程求λ的值.【詳解】依題意知向量a+λb與2a則有1?2ka+k+λb=0，所以1?2k=0故答案為：?【變式51】4.（2023下·山西朔州·高一?？茧A段練習）已知兩個非零向量a,b不共線，且ka【答案】6或?6【分析】利用平面向量共線得充要條件計算即可.【詳解】因為ka+3b所以存在實數λ，使ka即k?2λa由于a,b不共線，所以即實數k的值為6或?◆類型2三點共線【例題52】（2021下·山西·高一統考階段練習）已知e1，e2是平面內兩個不共線的向量，AB=4e1+2eA．12 B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根據已知求出AC=3e1+λ+2e2【詳解】由已知可得，AC=AB+因為A，C，D三點共線，所以AC,則?μ∈R，使得AC即3e整理可得3?μe因為e1，e所以有3?μ=0λ+2?μ+μλ=0，解得λ=故選：D.【變式52】1.（2023上·湖南·高二校聯考期中）設e1，e2是兩個不共線的向量，已知AB=e1+te2，BC=2e1【答案】?【分析】由AB=λBDλ≠0，可得e1+t【詳解】由A，B，C三點共線，可得AB=λ又AB=e1則e1+te2=3λ則1=3λt=?λ，解得t=?故答案為：?1【變式52】2．（2023下·上海浦東新·高一?？计谥校┰Oa，b是兩個不共線向量，AB=2a+pb，【答案】?1【分析】由AB,【詳解】由題意BD=BC+CD=2所以存在實數λ，使得2a所以2=2λ，p=?λ，所以λ=1,p=?1．故答案為：?1．【變式52】3．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┮阎矫嫦蛄縠1，e2不共線，且AB=2e1+ke2，CB=3e1【答案】1【分析】先根據向量的減法法則表示出BD，然后根據向量的共線定理進行計算.【詳解】依題意得，BD=由A,B,D三點共線可知，存在λ，使得AB=λBD，即由于e1，e2是兩個不共線的向量，則解得k=1.故答案為：1.【變式52】4.（2023·高一單元測試）e1，e2是兩個不共線的向量，已知AB=2e1+ke2，【答案】?【分析】先表示出BD，然后根據向量的共線定理進行計算.【詳解】依題意得，BC=?e1由A,B,D三點共線可知，存在λ，使得AB=λBD，即由于e1，e2是兩個不共線的向量，則2=λk=?4λ故答案為：?8題型6向量的線性表示◆類型1簡單的線性表示【例題61】（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D所示，在△ABC中，點D是線段AC上靠近A的三等分點，點E是線段AB的中點，則ED=A．16BA+C．?56BA【答案】A【分析】根據條件及圖，利用向量的線性運算即可求出結果.【詳解】因為點D是線段AC上靠近A的三等分點，點E是線段AB的中點，如圖，ED=故選：A.【變式61】1.（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學?？计谥校┮阎狦是△ABC的重心，若GC=xAB+yA．1 B．?1 C．13 D．【答案】B【分析】利用三角形重心的性質與向量的線性運算即可得解.【詳解】連接CG并延長交AB于D，如圖，

因為G是△ABC的重心，則D是AB的中點，所以GC=?1又GC=xAB+yAC,x,y∈所以x?y=?1故選：B.【變式61】2.（2023下·福建三明·高一統考期末）在平行四邊形ABCD中，AE=13AB，CF=

A．12AD?12AB B．1【答案】D【分析】利用向量的加減法的幾何意義將DG轉化為AB、AD即可.【詳解】DG===1故選：D.

【變式61】3.（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，點D是△ABC中BC邊的中點，AB=a，

(1)試用a，b表示AD；(2)若點G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？(3)若點G是△ABC的重心，求GA+【答案】(1)AD(2)AG(3)0【分析】（1）利用三角形法則整理化簡即可；（2）利用三角形重心性質及向量的線性運算化簡計算即可；（3）利用三角形重心性質及三角形法則化簡計算即可.【詳解】（1）因為點D是△ABC中BC邊的中點，且AB=a，所以AD=（2）因為點G是△ABC的重心，所以AG=23AD=2=1（3）因為點G是△ABC的重心且D是BC邊的中點，所以GB+又AG=23AD=2【變式61】4.我國東漢末數學家趙夾在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若BC=a，BA=b，A．1225a+C．45a+【答案】B【分析】根據給定圖形，利用平面向量的加法法則列式求解作答.【詳解】因“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且BC?=a→，BA=b，BE=BC?916BF◆類型2三點共線在線性表示中的應用【例題62】（2023下·江蘇宿遷·高一統考期中）如圖所示，在△ABC中，AN=14NC，P是

A．1011 B．811 C．211【答案】D【分析】利用共線定理的推論可得.【詳解】因為AN=14所以AP=因為P，B，N三點共線，所以611+5m=1，解得故選：D【變式62】1.（2023下·山東德州·高一統考期中）已知A，B，C三點共線，若4OA=2λOB【答案】12【分析】根據向量共線的充要條件計算即可.【詳解】因為A，B，C三點共線，故有OA而4OA=2λOB+3OC故答案為：1【變式62】2.（2023下·全國·高一隨堂練習）在△ABC中，D為CB上一點，E為AD的中點，若AE=25【答案】110【分析】由