樂山四校高2019屆第四學期半期聯考數學文科試題命題教師：侯光明審題教師：李全勇本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，第Ⅰ卷（選擇題）1至3頁，第Ⅱ卷（非選擇題）3至6頁，共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答題前，務必將自己的姓名、考號填寫在答題卡規定的位置上。2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號。3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。5.考試結束后，只將答題卡交回。第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一．選擇題（每題5分，共60分)1．某校為了了解高一,高二,高三這三個年級之間的學生打王者榮耀游戲的人數情況，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是()A．抽簽法B．系統抽樣法C．分層抽樣法D．隨機數法2．峨眉山市2017年各月的平均氣溫(℃)數據的莖葉圖如下：則這組數據的中位數是()A．19B．20C．21.5D．233．一個正三棱錐的四個面上分別標有數字－2、－1、1、2，隨機拋擲一次，記向下一面的數字為n，則函數y＝－eq\f(1,3)x3＋nx在[1，＋∞)上為減函數的概率為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．14．秦九韶(12081261年)，字道古，漢族，生于普州安岳(今四川省安岳縣)，南宋官員、數學家，與\t"s://baike.so/doc/_blank"李冶、\t"s://baike.so/doc/_blank"楊輝、\t"s://baike.so/doc/_blank"朱世杰并稱\t"s://baike.so/doc/_blank"宋元數學四大家，在他所著的《數書九章》中提出多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出的值為()A.9B.18C.20D.355．點在邊長為2的正方形內運動，則動點到頂點的距離的概率為（）A． B． C． D．6．若函數f(x)＝kx－lnx在區間(1，＋∞)上單調遞增，則k的取值范圍是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)7.設曲線y＝ax－2ln(x＋2)在點(0,f(0))處的切線方程垂直于直線為x+2y=0，則a＝()A．0B．1C．2D．38．按如下程序框圖，若輸出結果為S=42，則判斷框內應補充的條件為()A．B．C．D．9．向上拋擲一顆骰子1次，設事件A表示向上的一面出現奇數點，事件B表示向上的一面出現的點數不超過3，事件C表示向上的一面出現的點數不小于4，則()A．A與B是互斥而非對立事件B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件10．某校高二（16）班共有50人，如圖是該班在四校聯考中數學成績的頻率分布直方圖，則成績在[100,120]內的學生人數為()A．36B．25C．22D．1111．已知a≥eq\f(1－x,x)＋lnx對任意x∈[eq\f(1,e)，e]恒成立，則a的最小值為()A．1B．e2C．eq\f(1,e)D．012.已知y＝f(x)為R上的連續可導函數，當x≠0時，f′(x)＋eq\f(f(x),x)>0，則函數g(x)＝f(x)＋eq\f(1,x)的零點個數為()A．0B．1C．2D．0或2第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二．填空題（每題5分，共20分）13．某中學采用系統抽樣方法，從該校高二年級全體800名學生中抽50名學生做視力檢查．現將800名學生從1到800進行編號．已知從33～48這16個數中取的數是35，則在第1小組1～16中隨機抽到的數是________．14．為了研究某種細菌在特定環境下，隨時間變化繁殖規律，得到如下實驗數據，計算得回歸直線方程為＝0.95－0.15.由以上信息，得到下表中c的值為________.天數x(天)34567繁殖個數y(千個)2345c15．已知總體的各個體的值從小到大為：3、0、3、x、y、6、8、10，且總體的中位數為4.若要使該總體的方差最小，則2xy=______．16.已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導函數y＝f′(x)的圖象經過點(1,0)，(2,0)，如圖所示，則下列說法中不正確的序號是________．①當x＝eq\f(3,2)時函數取得極小值；②f(x)有兩個極值點；③當x＝2時函數取得極小值；④當x＝1時函數取得極大值．三．解答題（17題10分，其余各題均12分，共70分）17．某廠生產某種產品的固定成本(固定投入)為2500元，已知每生產x件這樣的產品需要再增加可變成本C(x)＝200x＋eq\f(1,36)x3(元)，若生產出的產品都能以每件500元售出，要使利潤最大，該廠應生產多少件這種產品？最大利潤是多少？18.柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認識,對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來,某研究機構對春節燃放煙花爆竹的天數x與霧霾天數y進行統計分析,得出下表數據.x4578y2356(1)請畫出上表數據的散點圖，并說明其相關關系；(2)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)試根據(2)求出的線性回歸方程,預測燃放煙花爆竹的天數為9的霧霾天數.(相關公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2),eq\o(a,\s\up6(^))＝－eq\o(b,\s\up6(^)))19．已知函數f(x)＝alnx＋eq\f(2a2,x)＋x(a≠0)．(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x－2y＝0垂直，求實數a的值；(2)討論函數f(x)的單調性．20．某企業招聘大學畢業生，經過綜合測試，錄用了14名女生和6名男生，這20名學生的測試成績如莖葉圖所示(單位：分)，記成績不小于80分者為A等，小于80分者為B等．(1)求女生成績的中位數及男生成績的平均數；(2)如果用分層抽樣的方法從A等和B等中共抽取5人組成“創新團隊”，則從A等和B等中分別抽幾人？(3)在(2)問的基礎上，現從該“創新團隊”中隨機抽取2人，求至少有1人是A等的概率．21.某校600名文科學生參加了4月25日的三調考試，學校為了了解高三文科學生的數學、外語情況，利用隨機數表法從抽取100名學生的成績進行統計分析，將學生編號為000，001，002，…59912568599269696682731050372931557121014218826498176555956356438548246223162430990061844325323830130301622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676（1）若從第6行第7列的數開始右讀，請你一次寫出最先抽出的5個人的編號（上面是摘自隨機數表的第4行到第7行）；（2）抽出的100名學生的數學、外語成績如下表：外語優良及格數學優8m9良9n11及格8911若數學成績優秀率為35%，求m，n的值；（3）在外語成績為良的學生中，已知m≥12，n≥10，求數學成績優比良的人數少的概率．22．已知函數f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求證：函數f(x)在區間[0,1]上存在唯一的極值點．(2)當x≥eq\f(1,2)時，若關于x的不等式f(x)≥eq\f(5,2)x2＋(a－3)x＋1恒成立，試求實數a的取值范圍．樂山四校高2019屆第四學期半期聯考數學文科試題答案一．選擇題1．C2．B3．C4．B5．C6．D7.D8．AC9．D10．B11．BD12.A二．填空題13．314．915．416.①三．解答題17．解：設該廠生產x件這種產品利潤為L(x)則L(x)＝500x－2500－C(x)＝500x－2500－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200x＋\f(1,36)x3))＝300x－eq\f(1,36)x3－2500(xN)…..........….…2令L′(x)＝300－eq\f(1,12)x2＝0,得x＝60(件)…………….............................…4又當0≤x<60時,L′(x)>0;x>60時,L′(x)<0…………………............…6所以x＝60是L(x)的極大值點,也是最大值點．…….....…8所以當x＝60時,L(x)＝9500元．答：要使利潤最大,該廠應生產60件這種產品,最大利潤為9500元．……………......…1018.解：(1)散點圖如圖所示.為正相關……...................................….....…2……………….......................4eq\o(∑,\s\up11(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.eq\x\to(x)＝eq\f(4＋5＋7＋8,4)＝6,eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4,eq\o(∑,\s\up11(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝42＋52＋72＋82＝154,…………………..........................…6則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(4),\s\do4(i＝1))xiyi－4\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(106－4×6×4,154－4×62)＝1,eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4－6＝－2,…………..........…..8故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝x－2.………….............................................…………….…10(3)由線性回歸方程可以預測,燃放煙花爆竹的天數為9的霧霾天數為7.……….…..........1219．(1)解：f(x)的定義域為{x|x>0}．f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(2a2,x2)＋1(x>0)．………...…2根據題意,有f′(1)＝－2,所以2a2－a－3＝0,解得a＝－1或a＝eq\f(3,2).……………..............…4(2)解：f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(2a2,x2)＋1＝eq\f(x2＋ax－2a2,x2)＝eq\f((x－a)(x＋2a),x2)(x>0)．………………........….…6當a>0時,因為x>0,由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得0<x<a.所以函數f(x)在(a,＋)上單調遞增,在(0,a)上單調遞減．……….............…8當a<0時,因為x>0,由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0,解得x>－2a；由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0,解得0<x<－2a所以函數f(x)在(0,－2a)上單調遞減,在(－2a,＋)上單調遞增．.…………...…...........…10所以：當a>0時,f(x)在(a,＋)上單調遞增,在(0,a)上單調遞減．當a<0時,所以函數f(x)在(0,－2a)上單調遞減,在(－2a,＋)上單調遞增……...........................…...........................................…1220．解：(1)由題中莖葉圖知,女生成績的中位數是75.5.……….......…...2男生成績的平均值為＝eq\f(1,6)(69＋76＋78＋85＋87＋91)＝81.………….4(2)用分層抽樣的方法從A等和B等學生中共抽取5人,每個人被抽中的概率是eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).根據莖葉圖知,A等有8人,B等有12人,所以抽取的A等有8×eq\f(1,4)＝2(人),B等有12×eq\f(1,4)＝3(人)…........6(3)記抽取的A等2人分別為A1,A2,抽取的B等3人分別為B1,B2,B3,從這5人中抽取2人的所有可能的結果為(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共10種…8其中至少有1人是A等的結果為(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)共7種．………………......…......…................…..….10所以至少有1人是A等的概率為eq\f(7,10).………........................................…1221.解：（1）從第6行第7列的數開始右讀,最先抽出的5人的編號依次為：544,354,378,520,384．………….................................................................................……2（2）,得m=18,…............................................….....…....…4∵8+9+8+18+n+9+9+11+11=100,解得n=17．……………..............................………….......…6由題意m+n=35,且m≥12,n≥10,∴滿足條件的（m,n）有：（12,23）,（13,22）,（14,21）,（15,20）,（16,19）,（17,18）,（18,17）,（19,16）,（20,15）,（21,14）,（22,13）,（23,12）,（24,11）,（25,10）,共14種,且每種出現都是等可能的,………8記“數學成績優比良的人數少”為事件M,則事件M包含的基本事件有：（12,23）,（13,22）,（14,21）,（15,20）,（16,19）,（17,18）,共種,…………........10．….......................................................................….......…1222．解：(1)f′(x)＝ex＋4x－3,∵f′(0)＝e0－3