聲學基礎課后題答案

習題1

1-1有一動圈傳聲器的振膜可當作質點振動系統來對待，其固有頻率為了，質

量為加，求它的彈性系數。

解：由公式力=3序得：

2叫Mm

七=（2m2加

1-2設有一質量M,“用長為/的細繩鉛直懸掛著，繩子一端固定構成一單擺,

如圖所示，假設繩子的質量和彈性均可忽略。試問：

（1）當這一質點被拉離平衡位置J時，它所受到的恢復平衡的力由何產

生？并應怎樣表示？

（2）當外力去掉后，質點在此力作用下在平衡位置附近產生振動，它

的振動頻率應如何表示？

（答：g為重力加速度）

24V/

圖習題1—2

解：（1）如右圖所示，對作受力分析：它受重力方向豎直向下；受沿

繩方向的拉力T,這兩力的合力E就是小球擺動時的恢復力，方向沿小球擺

動軌跡的切線方向。

設繩子擺動后與豎直方向夾角為6,則sin6=M

受力分析可得：F=Mmgsm6=Mmgy

(2)外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在尸作用下在平衡位置附近產生擺

動，加速度的方向與位移的方向相反。由牛頓定律可知：F=—M,“鬻

則=彳即翳+%=(),

說=區即這就是小球產生的振動頻率。

I2KV/

1-3有一長為/的細繩，以張力T固定在兩端，設在位置x0處，掛著一質量

Mm,如圖所示，試問：c.

(1)當質量被垂直拉離平衡位置J時，它f與/

\K

所受到的恢復平衡的力由何產生？并應怎樣囪寸即「

囹刁越1-3

表示？

(2)當外力去掉后，質量M,“在此恢復力作用下產生振動，它的振動頻率應

如何表示？

(3)當質量置于哪一位置時，振動頻率最低？

解：首先對M,“進行受力分析，見右圖，

工=丁丁匕%-----%=0

~X0)~+￡~Jx：+「

222

X1+￡~?Xo，(/-Xo)+f?(/-Xo)。)

LFSf￡

F=T/----+T

vJ(/-Xo)2+陵&+.2

”上+7￡

I-*0xo

Tl

=--------￡

/(/一%)

可見質量受力可等效為一個質點振動系統，質量彈性系數

77

k=

/（/一尤0）

77

（1）恢復平衡的力由兩根繩子拉力的合力產生，大小為F=—:一￡

Xo（l-xo）

方向為豎直向下。

TI

（2）振動頻率為力

x0(Z—XQ)MM

⑶對。分析可得，當時，系統的振動頻率最低。

1-4設有一長為/的細繩，它以張力T固定在兩端，如圖所示。設在繩的X。位

置處懸有一質量為M的重物。求該系統的固有頻率。提示：當懸有M時，繩子

向下產生靜位移備以保持力的平衡，并假定M離平衡位置4的振動J位移很小,

滿足自《鼻條件。

2Tcos0=Mg

解：如右圖所示，受力分析可得cos”豆n"&=Mg

-I

2J

又&<<4,T/T,可得振動方程為一27%且=加一

1dt

2

4T

即M

.工理」叵」fZ

2TT\MIn:\2乃

i-5有一質點振動系統，已知其初位移為g。，初速度為零，試求其振動位移、

速度和能量。

解：設振動位移S=￡ucos(d)0r-(p),

速度表達式為V=-CD0￡asin(690r-(P)。

由于￡jo=￡o，Mi=。，

代入上面兩式計算可得：

￡=￡()COSCO()t；

v=-g%singf。

振動能量E=＞爐=“就￡.

1-6有一質點振動系統，已知其初位移為瓦，初速度為%,試求其振動位移、

速度、和能量。

解：如右圖所示為一質點振動系統，彈簧的彈性系數為K,“，質量為M,,,,取

正方向沿x軸，位移為久

則質點自由振動方程為武1+。然=0,(其中而=區,)

drMm

解得g=A,cos（如，0）,

"祥噫sin（%-%+"）=①&cosW-%+f）

A）=&COS°o自“=9磁；+說

%

當4=O=4o，Mr=O=%時，'=><

Vo=?o^COS（%-1）

夕o=arctan—%—

質點振動位移為4=」-+v；cos?(/-arctan工）

8。①40

質點振動速度為V=Jo"；+片cos(例/-arctan-^―+—)

供2

質點振動的能量為七=g(說4+片)

1-7假定一質點振動系統的位移是由下列兩個不同頻率、不同振幅振動的疊

力口4=sin碗+工sin2cot,試問：

(1)在什么時候位移最大？

(2)在什么時候速度最大？

解：?「《=sinm+'sin2G/,

2

?de：c

??一=GCOSW+GCOS2a

dt

d￡

=—ar2sincot-c26r2si.nc2cot。

f]CTT

令一-二0,得：cot=2kjr土一或由=Zki±7i,

dt3

經檢驗后得：”2?士劃3時,位移最大。

CD

d?￡/■]

令——=0,得：cut=k/r^cot=2k7r±arccos(-一),

dt24

經檢驗后得：r=也k7T時，速度最大。

CD

1-8假設一質點振動系統的位移由下式表示

J=J]COS(69/+0])+42COS(O)t+02)

試證明g=&COS(M+(p)

其中4=痣2+勇+2家2cos@2一例)，(P="Ctan$sin伙j'?sin仍

。COS/+42cos/

證明：4=0COS(Gf+°])+J2COS(W+02)

=。coscotcosq)\-0sincotsin(pi+$coscotcos(p2-sincotsin(p2

=cos碗(。cos(p、+5cos%)一sin①sin(p[+sin(p2)

設A=cos(px+^2cos(p2,B=-(^sin(px+sin(p2)

貝!JJ=Acos0+8sin"=VA2+B2cos(a+(p)(其中9=arctan(——))

A

2222cos

又A+B=J；cos(p、4-藍cos(p2+2累2.cos(p2

22

+g；sin(p\+藍sin(p2+2砧2sin.sin(p2

+￡+2g&(cos0]cos%+sin/sin%)

=盤+J；+2融cos(%-6)

又(p=arctan(--)=arctan(:‘由』+△sin0)

AJ】cos(p、+&cos(p?

令.=J*+§2=+黃+2自g2COS(仍一名)

則^=^COS(69Z+^)

1-9假設一質點振動系統的位移由下式表示

￡=&COS叼+邑COSW2t(叫〉叱)

試證明

￡-￡aCOS(WjZ+(p),

廿4/~22-7sin(Awt)

其中=74+4+2￡建2cos(/w，)，夕+arctan--------------,Aw=w-w

6,1+6*2cos(Jvvr)12

解：因為位移是矢量，故可以用矢量圖來表示。

由余弦定理知,

2

%=^8]+￡^cos(w2r-VV/)

=不￡；+￡；+2￡聲2COS0VV/)

其中，Aw=w2-W]。

由三角形面積知,

^￡ssinAwt1

t2萬衿,sin。

zjsin/wf

得Bsin/=--------

%

sinAwt

得

sinAwt

+￡2coszlwr）2

￡2sinAwt

￡}+邑COSZIVV/

ssinAwt

故2

1+邑cosJwZ

即可證。

1-10有一質點振動系統，其固有頻率W為已知，而質量Mm與彈性系數Km

待求，現設法在此質量Mn上附加一已知質量%并測得由此而引起的彈簧伸長

金，于是系統的質量和彈性系數都可求得，試證明之.

證由胡克定理得mg=Kmq\=>Km=mg/^\

由質點振動系統固有頻率的表達式/=人匹得，

M=K,*=mg

縱上所述，系統的質量Mm和彈性系數Km都可求解.

1-11有一質點振動系統,其固有頻率為已知，而質量Mm與彈性系數待求,

現設法在此質量Mn上附加一質量加，并測得由此而引起的系統固有頻率變為方,

于是系統的質量和彈性系數都可求得，試證明之。

K,“=（2磯）2〃,“

3=（2硫）2（q+九）

K一4/面02K

W-/o2-/；2

1-12設有如圖1-2-3和圖1-2-4所示的彈簧串接和并接兩種系統，試分別寫

出它們的動力學方程，并求出它們的等效彈性系數。

L

w勺

r

s勺

t

n必

3

為

性系數

等效彈

0,

l=

u"-

為K

方程

力學

時，動

串接

解：

2

降“,+K

42

nt

為

性系數

等效彈

=0,

,,,)￡

,”+(

+(&

“級

程為

學方

動力

時，

并接

。

K2m

KIm+

K—

在

此秤已

品。

石樣

一巖

球上

稱月

簧秤

一彈

面用

球表

在月

員欲

宇航

有一

1-13

，利

巖石

一塊

取得

航員

。宇

"g

稱。?

〃可

100情

縮。?

彈簧壓

驗，

過校

上經

地球

1s,

周期為

其振動

，測得

一下

振動

使它

后，

g,然

0.4k

得為

上讀

刻度

秤從

用此

少？

量是多

實際質

巖石的

而該

多少？

速度是

力加

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表面

月球

試問

,月

根//

=9.8

度為g

加速

重力

面的

球表

為地

質量

實際

石的

該巖

解：設