高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省名校新高考研究聯盟（Z20名校聯盟）2025屆高三上學期第一次聯考（暑假返校考）數學試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規定的地方．3．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范答題，在本試卷紙上答題一律無效．4．考試結束后，只需上交答題卷．第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，所以.故選：B．2.的展開式中項的系數是（）A.672 B. C.84 D.【答案】D【解析】由題意可知：的展開式通項為，令，解得，所以項的系數是.故選：D．3.已知等差數列前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在等差數列中，由，得.故選：D4.已知隨機變量的分布列如下表所示，則（）123A. B. C. D.【答案】C【解析】由分布列可得，解得，則，所以.故選：C．5.已知函數，則“”是“函數在上單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由函數在上單調遞增，得，解得，所以“”是“函數在上單調遞增”的必要不充分條件.故選：B6.函數的圖象在區間上恰有一個對稱中心，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，由的圖象在區間上恰有一個對稱中心，得，所以.故選：C7.若某圓臺有內切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的余弦值為，則此圓臺與其內切球的體積之比為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】將圓臺母線延長交于點S，得圓錐，作圓錐的軸截面，等腰梯形為圓臺的軸截面，截內切球得大圓，并且是梯形的內切圓，令切圓于，如圖，設底面圓直徑，依題意，，，，設內切球半徑為，則，，，，于是，且為的中點，而內切球體積，圓臺的體積,所以圓臺與其內切球的體積比為.故選：A8.設函數，若函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，依題意，在上有解，記，，因此函數在上的圖象有公共點，，如圖，當時，，顯然函數在上的圖象無公共點，當時，函數圖象都關于對稱，得，即，解得，所以實數的取值范圍是.故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知正實數滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于選項A：若，則，則，故A錯誤；對于選項B：因為，設，則，又，可得，所以，故B正確；對于選項C：因為，所以，故C正確；對于選項D：因為，即，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以，故D正確．故選：BCD.10.若直線與圓交于不同的兩點為坐標原點，則（）A.當時，B.的取值范圍為C.D.線段中點的軌跡長度為【答案】AC【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑為，且直線過定點O0,0，設線段中點為M，對于選項A：當時，則直線為，即，圓心到直線的距離為，所以，故A正確；對于選項B：因為，因為點不重合，所以，故B錯誤；對于選項C：因為，所以，故C正確；對于選項D：因為線段中點滿足，設的中點為，圓C與x、y分別切于點、，可知圓過點、，且，可知點的軌跡是以為直徑的半圓（除去），所以軌跡長為，故D錯誤．故選：AC.11.若函數，則下列說法正確的是（）A.若，則函數的最大值為2B.若，則函數為奇函數C.存，使得D.若，則【答案】ACD【解析】因為，可知的定義域為，對于選項A：當時，，可得，當且僅當時，等號成立，所以函數的最大值為2，故A正確；對于選項B：當時，則，令，則，可得，所以函數不為奇函數，故B錯誤；對于選項C：當時，，則，且對任意，則，所以，故C正確．對于選項D：因為，若，可得，則，解得，故D正確．故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，共15分．12.已知是兩個單位向量，若，則向量夾角的余弦值為______．【答案】【解析】由，得，則．故答案為：13.若復數滿足，則__________.【答案】【解析】設，則，，解得，由，得，解得，又，所以.故答案為：14.如圖，設雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點為，過作傾斜角為的直線與雙曲線的左支交于兩點，若，則雙曲線【答案】【解析】令雙曲線右焦點為，半焦距為，設，則，由雙曲線定義得，，由直線傾斜角為，得，由余弦定理得，即，整理得，于是，，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知三棱錐底面，點是的中點，點為線段上一動點，點在線段上.（1）若∥平面，求證：為的中點；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連結，因為∥平面平面，平面平面，則，又因為是的中點，所以是中點.（2）解：方法一：因為底面，如圖建立坐標系，則，，，，可得，，，設平面的法向量為，則，令，則，可得，則，因此直線與平面所成角的正弦值為；方法二：取中點，因為，則，因為底面，底面，則，且，，平面，則平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即直線與平面所成角，且則.所以直線與平面所成角的正弦值為；方法三：設到平面的距離為，可得，則，即，解得，則，所有直線與平面所成角的正弦值.16.在中，內角所對的邊分別為，滿足.（1）若，求；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.解：（1）因為，由正弦定理可得，則，整理得，因為，則，則，即，由，得，則，．（2）因為是銳角三角形，則，解得，則，由正弦定理得，得，可得，所以的取值范圍為.17.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，左、右頂點分別為為坐標原點，為線段（1）求橢圓的方程；（2）延長交橢圓于，若，求直線的方程.解：（1）由條件得，即，則，則，，解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知：，則，且直線與橢圓必相交，若直線的斜率不存在，可知，聯立方程，解得，不妨取，則，可得，不合題意；若直線的斜率存在，設直線，則，，與橢圓聯列方程得，消去y得，可得，則，可得，解得所以直線的方程為；綜上所述：直線的方程為.18.已知函數；（1）設函數，求函數的極值；（2）若不等式當且僅當在區間上成立；求的最大值（3）實數滿足，求證：．（1）解：，令，令，得，當時，，當時，，可得在上單調遞減，在上單調遞增，所以有極小值，無極大值．（2）解：，得，易知在上單調遞減，在上單調遞增，即可得在上單調遞增；易知在處的切線方程為，即；若不等式當且僅當在區間上成立；結合及的圖象可知，需滿足，可得，．于是，易知當時，取得最大值，故．（3）證明：左邊：作差；因為，令，則；令當時，，函數在上是增函數，所以，因此，所以，即，故；對于右邊令，令，則恒成立；所以在上單調遞減，可得，即，所以，即，即，故．綜上得．19.混沌現象普遍存在于自然界和數學模型中，假設在一個混沌系統中，用來表示系統在第個時刻的狀態值，且該系統下一時刻的狀態值滿足，已知初始狀態值，其中