活頁作業(yè)(四)獨立性檢驗獨立性檢驗的基本思想獨立性檢驗的應用1．對分類變量X與Y的統(tǒng)計量χ2的值說法正確的是()A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X與Y無關(guān)系”的把握性越小D．χ2越接近于0，“X與Y無關(guān)系”的把握性越大解析：χ2越大，X與Y越不獨立，所以關(guān)聯(lián)越大；相反，χ2越小，關(guān)聯(lián)越小．答案：B2．在2×2列聯(lián)表中，兩個比值________相差越大，兩個分類變量之間的關(guān)系越強()A．eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d) B．eq\f(a,c＋d)與eq\f(c,a＋b)C．eq\f(a,a＋d)與eq\f(c,b＋c) D．eq\f(a,b＋d)與eq\f(c,a＋c)解析：eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，說明ad與bc相差越大，兩個分類變量之間的關(guān)系越強．答案：A3．對兩個分類變量進行獨立性檢驗的主要作用是()A．判斷模型的擬合效果B．對兩個變量進行相關(guān)分析C．給出兩個分類變量有關(guān)系的可靠程度D．估計預報變量的平均值解析：獨立性檢驗的目的就是明確兩個分類變量有關(guān)系的可靠程度．答案：C4．為了了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機選取了60名高中生，通過問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：作文成績優(yōu)秀作文成績一般總計課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計303060由以上數(shù)據(jù)計算得到χ2≈9.643，根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是(已知當χ2＞7.879時，有99.5%的把握判定兩個變量有關(guān)聯(lián))()A．沒有充足的理由認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)B．有0.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)C．有99.9%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)D．有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)解析：χ2≈9.643＞7.879，P(χ2≈9.643＞7.879)＝0.005.∴在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)．答案：D5．已知某校文理科教師與性別的列聯(lián)表如下：文理性別理科文科總計男3785122女35143178總計72228300由表中的數(shù)據(jù)計算χ2的值約為________．(精確到0.0001)解析：χ2＝eq\f(300×37×143－85×352,122×178×72×228)≈4.5139.答案：4.51396．為了研究高中學生對鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算得到χ2＝8.01，則認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”的把握性約為________．解析：∵χ2＝8.01＞6.635，∴有99%的把握說喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系．答案：99%7．第12屆全國人大四次會議于2016年3月5日至3月16日在北京召開．為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了16名男記者和14名女記者擔任對外翻譯工作，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女記者中分別有10人和6人會俄語．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：會俄語不會俄語總計男女總計30(2)能否在犯錯的概率不超過0.10的前提下認為性別與會俄語有關(guān)？解：(1)對應的2×2列聯(lián)表為會俄語不會俄語總計男10616女6814總計161430(2)假設(shè)：是否會俄語與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(30×10×8－6×62,10＋66＋810＋66＋8)≈1.1575＜2.706，∴不能在犯錯的概率不超過0.10的前提下認為性別與會俄語有關(guān)．8．某校對高三部分學生的數(shù)學質(zhì)檢成績作相應分析．(1)按一定比例進行分層抽樣抽取了20名學生的數(shù)學成績，并用莖葉圖(圖1)記錄，但部分數(shù)據(jù)不小心丟失了，已知數(shù)學成績[70,90)的頻率是0.2，請補全表格并繪制相應頻率分布直方圖(圖2)；分數(shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]eq\f(頻率,組距)(2)為考察學生的物理成績與數(shù)學成績是否有關(guān)系，抽取了部分同學的數(shù)學成績與物理成績進行比較，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：物理成績優(yōu)秀物理成績一般總計數(shù)學成績優(yōu)秀15318數(shù)學成績一般51722總計202040能夠有多大的把握，認為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學成績優(yōu)秀有關(guān)系？(已知當χ2＞10.828時，有99.9%的把握判定兩個變量有關(guān)聯(lián))解：(1)分數(shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]eq\f(頻率,組距)0.0050.0100.0200.0100.005(2)假設(shè)學生的物理成績與數(shù)學成績沒有關(guān)系，則χ2＝eq\f(40×15×17－5×32,18×22×20×20)≈14.55＞10.828.∴有99.9%的把握認為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學成績優(yōu)秀有關(guān)系．1．兩個分類變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于97.5%，則c等于(已知當χ2＞5.024時，則有97.5%的把握認為變量X與Y有關(guān)系)()A．3 B．4C．5 D．6解析：χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)＞5.024.把選項A，B，C，D代入驗證可知選A．答案：A2．在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系時，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認為這個結(jié)論是成立的．下列說法中正確的是()A．100個心臟病患者中，至少有99人打鼾B．1個人患心臟病，則這個人有99%的概率打鼾C．在100個心臟病患者中，一定有打鼾的人D．在100個心臟病患者中，可能一個打鼾的都沒有解析：由題意知，“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論有99%以上的把握正確，而不是心臟病患者打鼾的概率為99%，故選D．答案：D3．獨立性檢驗中，兩個分類變量“X和Y有關(guān)系”的可信程度是95%，則隨機變量χ2的取值范圍是________．解析：當χ2＞3.841時，有95%的把握判定X與Y有關(guān)系，當χ2＞6.635時，有99%的把握判定X與Y有關(guān)系，∴3.841＜χ2≤6.635.答案：(3.841,6.635]4．假設(shè)有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其中2×2列聯(lián)表為y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各組數(shù)據(jù)中，對于同一樣本能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為________．①a＝5，b＝4，c＝3，d＝2②a＝5，b＝3，c＝4，d＝2③a＝2，b＝3，c＝4，d＝5④a＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析：由題意知，四個選項中a＋b＋c＋d的值與(a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d)的值分別相等，則由χ2的計算公式，可知只需計算(ad－bc)2，經(jīng)計算，知其值最大的一組是④.答案：④5．某城市隨機抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：API空氣質(zhì)量天數(shù)[0,50]優(yōu)4(50,100]良13(100,150]輕微污染18(150,200]輕度污染30(200,250]中度污染9(250,300]中度重污染11＞300重度污染15(1)若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失S(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)API(記為ω)的關(guān)系式為S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤ω≤100，,4ω－400，100＜ω≤300，,2000，ω＞300，))試估計在本年內(nèi)隨機抽取一天，該天經(jīng)濟損失S大于200元且不超過600元的概率；(2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān).非重度污染重度污染總計供暖季非供暖季總計100解：(1)設(shè)“在本年內(nèi)隨機抽取一天，該天經(jīng)濟損失S大于200元且不超過600元”為事件A，由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數(shù)為39，∴P(A)＝eq\f(39,100).(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下表格.非重度污染重度污染總計供暖季22830非供暖季63770總計8515100χ2＝eq\f(100×22×7－8×632,30×70×85×15)≈4.575＞3.841.∴有95%的把握認為空氣重度污染與供暖有關(guān)．6．目前，在“互聯(lián)網(wǎng)＋”和“大數(shù)據(jù)”浪潮的推動下，在線教育平臺如雨后春筍般蓬勃發(fā)展，與此同時好多學生家長和相關(guān)專家對在線教學也產(chǎn)生了質(zhì)疑，主要原因就是在線上教學，學生是否能認真聽講．在這種情況下，某市教育主管部門在該市各中小學采用分層抽樣的方式抽出15周歲以下和15周歲以上各200人進行調(diào)查研究，其中15周歲以下能認真聽講的有150人，不能做到認真聽講的有50人，15周歲以上能認真聽講的有170人，不能做到認真聽講的有30人．根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列各題：(1)完成下列2×2列聯(lián)表：不認真聽講能認真聽講總計15周歲以下15周歲以上總計(2)請說明是否有97.5%以上的把握認為能否認真聽講與年齡有關(guān)？(已知當χ2＞5.024時，有97.5%的把握判定兩個變量有關(guān)聯(lián))(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法，從15周歲以下的人中抽取8人，在這8人中任取兩人進行座談，求抽到的人至少有一人能認真聽講的概率．解：(1)不認真聽講能認真聽講總計15周歲以下5015020015周歲以上30170200總計80320400(2)根據(jù)題中的數(shù)據(jù)計算：χ2＝eq\f(400×50×170－150×302,200×200×80×320)＝6.25.因為6.25＞5.024，所以有97.5%的把握認為能否認真聽講與年齡有關(guān)．(3)由題意可知，從15周歲以下抽8人，其中能認真聽講的為6人，不能認真聽講的為2人，設(shè)能認真聽講的人為a1，a2，a3，a4，a5，a6，不能認真聽講的人為b1，b2，于是，在8人中任意抽取兩人有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a4，a5)，